絕密★啟用前4.1實(shí)數(shù)指數(shù)冪和冪函數(shù)同步練習(xí)湘教版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)注意：本試卷包含Ⅰ、Ⅱ兩卷。第Ⅰ卷為選擇題，所有答案必須用2B鉛筆涂在答題卡中相應(yīng)的位置。第Ⅱ卷為非選擇題，所有答案必須填在答題卷的相應(yīng)位置。答案寫在試卷上均無效，不予記分。 一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）已知，，，則，，的大小順序?yàn)?/span>A.  B.  C.  D. 已知，，，則    A.  B.  C.  D. 設(shè)，，均大于，且，令，，，則，，的大小關(guān)系是   A.  B.  C.  D. 設(shè)，，，則   A.  B.  C.  D. 設(shè)，，，則下列關(guān)系中正確的是A.  B.  C.  D. 若，，，則、、從小到大的順序排列為    A.  B.  C.  D. 若，則A.  B.  C.  D. 設(shè)，，，則A.  B.  C.  D. 設(shè)，，，則A.  B.  C.  D. 設(shè)，，，則A.  B.  C.  D. 已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)和，則實(shí)數(shù)的值為    A.  B.  C.  D. 下列選項(xiàng)正確的是A.  B.
C.  D. 二、多空題（本大題共5小題，共25.0分）若函數(shù)是冪函數(shù)，且滿足，則          ，函數(shù)過定點(diǎn)          ．           ；           ．冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則函數(shù)的解析式為          ，的值為          ．函數(shù)其中，且圖像上的定點(diǎn)的坐標(biāo)為          ；若冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則          ．設(shè)，，則          ，          ．三、解答題（本大題共8小題，共96.0分）計(jì)算：
；
，求及．






 已知函數(shù)，且．Ⅰ求的值；Ⅱ試判斷是否存在正數(shù)，使函數(shù)在上的值域?yàn)?/span>，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．






 已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，求的值；
化簡求值：






 已知冪函數(shù)的圖象過 求的值與函數(shù)的定義域；已知，求的值．






 判斷函數(shù)的奇偶性；已知，求；






 求值；設(shè)，求的值．






 已知函數(shù)且在上的最大值與最小值之和為，記．
求的值；
證明；
求的值．






 若點(diǎn)在冪函數(shù)的圖像上，點(diǎn)在冪函數(shù)的圖像上．求和的解析式；定義，求函數(shù)的最大值和單調(diào)區(qū)間．







答案和解析1.【答案】
 【解析】【分析】
本題主要考查指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的單調(diào)性和大小比較．
根據(jù)指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性，作比較，即可得到答案．
【解答】
解：，且，
所以為增函數(shù)，又，，
又在為增函數(shù)，且，所以，
，
故選B．  2.【答案】
 【解析】【分析】
本題考查了利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)與冪函數(shù)的性質(zhì)比較大小，指數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性可比較其大?。?/span>
【解答】
解：因?yàn)?/span>，，
根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得；
又，，
根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得；
所以  3.【答案】
 【解析】【分析】
本題考查了指數(shù)，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，涉及冪函數(shù)的單調(diào)性，考查特殊值法的應(yīng)用．
法一：設(shè)，根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)判斷即可；法二：取特殊值法計(jì)算即可．
【解答】
解：法一：令，
，，，，
則，，，
將它們分別次方，
得，，，
根據(jù)是上的單調(diào)增函數(shù)，，，故，
法二：取特殊值法：
取，，，符合題意，
易驗(yàn)證，
故選D．  4.【答案】
 【解析】【分析】
本題考查指數(shù)的運(yùn)算和冪函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
由指數(shù)冪的運(yùn)算和冪函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【解答】
解：由于
冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，
故，
故選C．  5.【答案】
 【解析】【分析】
本題考查利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)和對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì)比較大小，屬于基礎(chǔ)題．
由，得出，利用函數(shù)的圖象，得出，由此即可求出結(jié)果．
【解答】
解：因?yàn)?/span>，
所以，
作出函數(shù)的圖象如下圖
可知：有個(gè)交點(diǎn)，，，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)增長速度的快慢，由圖可知：
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
因，故，即，
所以．
故選A．  6.【答案】
 【解析】【分析】本題考查了指數(shù)運(yùn)算，考查冪函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
將，，分別化為，，，利用冪函數(shù)在上的單調(diào)性判定大?。?/span>【解答】解：，
，
，
冪函數(shù)是上的單調(diào)增函數(shù)，
，即，
．
故選C．  7.【答案】
 【解析】【分析】
本題主要考查指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化，冪函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，比較大小，屬于中檔題．
可設(shè)，從而可得出，，，可判斷，從而根據(jù)是減函數(shù)，從而得出．
【解答】
解：設(shè)，則：，，；
，，；
；
；
又是減函數(shù)，
；
．
故選：．  8.【答案】
 【解析】【分析】
本題考查指數(shù)的運(yùn)算和冪函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
由指數(shù)冪的運(yùn)算和冪函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【解答】
解：由于
冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，
故，
故選C．  9.【答案】
 【解析】【分析】
本題考查指數(shù)的運(yùn)算和冪函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
由指數(shù)冪的運(yùn)算和冪函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【解答】
解：由于
冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，
故，
故選C．  10.【答案】
 【解析】【分析】
本題考查了指數(shù)運(yùn)算和冪函數(shù)性質(zhì)．
先化簡，，，再由冪函數(shù)性質(zhì)可得大小關(guān)系．
【解答】
解：，
，
，
為在上單調(diào)遞增函數(shù)，，
所以，即，
故選C．  11.【答案】
 【解析】【分析】
本題主要考查了冪函數(shù)及解析式的求法，涉及指數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
用待定系數(shù)法設(shè)冪函數(shù)的解析式，代入已知點(diǎn)求得解析式，再代入后進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算可得結(jié)果．
【解答】
解：設(shè)，依題意可得，所以所以．故所求實(shí)數(shù)．
故選D．  12.【答案】
 【解析】【分析】
本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)行大小比較，逐項(xiàng)分析，即可得出正確結(jié)果．
【解答】
解：，故A錯(cuò)誤；
B.，故B正確；
C.，故C錯(cuò)誤；
D.，故D錯(cuò)誤．
故選B．  13.【答案】
 【解析】【分析】本題考查冪函數(shù)的定義及對(duì)數(shù)恒等式和定點(diǎn)問題，首先根據(jù)條件求出冪函數(shù)，利用對(duì)數(shù)恒等式求出，再把代入即可得到定點(diǎn)，屬中檔題．【解答】解：設(shè)，因?yàn)?/span>，所以，，故則，當(dāng)時(shí)，不論取何值都有．故過定點(diǎn)．故答案為，．  14.【答案】
 【解析】【分析】本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可．【解答】解：



；



；
故答案為；．  15.【答案】
 【解析】【分析】本題考查了冪函數(shù)的定義與計(jì)算函數(shù)值的問題，是基礎(chǔ)題．
用待定系數(shù)法求出冪函數(shù)的解析式，再計(jì)算的值．【解答】解：設(shè)冪函數(shù)，圖象過點(diǎn)，
則，解得；
所以函數(shù)；
且．
故答案為：；．  16.【答案】
 【解析】【分析】
本題主要考查了求指數(shù)型函數(shù)過定點(diǎn)坐標(biāo)以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，是基礎(chǔ)題．
利用指數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)求出函數(shù)過定點(diǎn)的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出冪函數(shù)的解析式．
【解答】
解：函數(shù)其中，且，又，
令，得：，，
函數(shù)過定點(diǎn)的坐標(biāo)為，
設(shè)冪函數(shù)，又點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，，
冪函數(shù)，
故答案為：；．  17.【答案】
 【解析】【分析】本題考查對(duì)數(shù)式和指數(shù)式的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
由即可得出，利用同底數(shù)冪的運(yùn)算法則和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則求出的值．【解答】解：，，
，
，
故答案為；．  18.【答案】 解：原式．解：因?yàn)?/span>，
所以兩邊平方得，，即， ，
 ．
 【解析】本題考查指數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
由分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算．
本題考查指數(shù)冪的運(yùn)算，解題關(guān)鍵是由兩邊平方，屬于基礎(chǔ)題．
由兩邊平方得，，即， ，再開方得答案．
 19.【答案】解：Ⅰ是冪函數(shù)，且，
在上單調(diào)遞增，
，
，
，
或．
Ⅱ由Ⅰ得，
．
，
對(duì)稱軸．
當(dāng)即時(shí)，，
，不符合．
當(dāng)即時(shí)，，
或舍去．
當(dāng)時(shí)，，
符合．
綜上，存在正數(shù)，使函數(shù)在上的值域?yàn)?/span>
 【解析】本題考查冪函數(shù)的性質(zhì)與二次函數(shù)的最值．Ⅰ由可知在上單調(diào)遞增，即指數(shù)，可解得滿足條件的整數(shù)解；Ⅱ由Ⅰ可確定函數(shù)的解析式含參數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論函數(shù)在區(qū)間上的最值是否符合條件，從而求出的值．
 20.【答案】解：冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，
，解得，
，
則；
解：



．
 【解析】本題主要考查了冪函數(shù)求值的問題，先由已知條件求出冪函數(shù)的指數(shù)，代入求出結(jié)果即可；
本題主要考查了對(duì)數(shù)和指數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解決此類問題的關(guān)鍵．
 21.【答案】解：冪函數(shù)的圖象過，，
，
所以，，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>；
設(shè)，則．
，
所以，為奇函數(shù)，．
．
 【解析】本題考查了冪函數(shù)的圖與性質(zhì)，函數(shù)的奇偶性，屬于中檔題．
將代入冪函數(shù)的解析式，即可求出答案；
設(shè)，則，求出，可知為奇函數(shù)，由函數(shù)的奇偶性可得答案．
 22.【答案】解：因?yàn)?/span>，，
所以是偶函數(shù)；
．
 【解析】本題考查冪函數(shù)的性質(zhì)以及指數(shù)冪的運(yùn)算．
根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷即可；
利用即可求解．
 23.【答案】解：


解：，
，
，
 



 【解析】本題考查了指對(duì)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題，由指對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可．
本題考查了指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化，對(duì)數(shù)的換底公式及運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
首先求得，，再由換底公式求得，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則求值即可．
 24.【答案】解：函數(shù)且在上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，
所以舍去，
即
由知
所以
；
由知，

，
所以原式．
 【解析】本題考查指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算，考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．
利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可；
利用指數(shù)冪的運(yùn)算即可；
尋求規(guī)律易得結(jié)果．
 25.【答案】解：設(shè)冪函數(shù)，，
因?yàn)辄c(diǎn)在冪函數(shù)的圖像上，點(diǎn)在冪函數(shù)的圖像上，
所以，，解得，；
所以，；
因?yàn)?/span>
所以
所以作出函數(shù)的圖象，如下：

由圖象可得單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，；
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值．
 【解析】本題主要考查冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與函數(shù)最值，考查學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，屬于基礎(chǔ)題．
設(shè)冪函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求解即可．
由題意得到，利用函數(shù)圖象得到最大值及單調(diào)區(qū)間．
 

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高中數(shù)學(xué)湘教版（2019）必修 第一冊(cè)電子課本

4.1 實(shí)數(shù)指數(shù)冪和冪函數(shù)

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