絕密★啟用前云南昆明市高三上學期摸底統(tǒng)測數(shù)學（理）試卷注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上 第I卷（選擇題)請點擊修改第I卷的文字說明 評卷人得分  一、單選題1．設集合,則（ ）A．    B．C．    D．2．已知復數(shù)滿足,則（   ）A．                   B．                    C．                  D．3．已知向量,若,則（   ）A．                         B．                          C．                 D．4．執(zhí)行如圖所示的程序框圖,如果輸入的,那么輸出的值等于（ ） A．    B．    C．    D．5．已知函數(shù)是奇函數(shù), 當時,, 則（   ）A．                         B．                      C．                     D．6．如圖，某幾何體的三視圖由半徑相同的圓和扇形構成, 若府視圖中扇形的面積為, 則該幾何體的體積等于（ ）A．    B．    C．    D．7．如圖，陰影部分是由四個全等的直角三角形組成的圖形, 在大正方形內隨機取一點, 這一點落在小正方形內的概率為, 若直角三角形的兩條直角邊的長分別為,則（ ）A．    B．    C．    D．8．為了得到函數(shù)的圖象, 可以將函數(shù)的圖象（ ）A．向左平行移動個單位B．向右平行移動個單位C．向左平行移動個單位D．向右平行移動個單位9．點分別是橢圓的左頂點和右焦點, 點在橢圓上, 且,則的面積為（ ）A．    B．    C．    D．10．已知數(shù)列滿足:, 則（   ）A．                      B．                       C．                    D．11．已知函數(shù),若存在實數(shù),當時,恒成立, 則實數(shù)的取值范圍是（ ）A．    B．C．    D．12．在平面直角坐標系中, 以為圓心的圓與軸和軸分別相切于兩點, 點分別在線段上, 若,與圓相切, 則的最小值為（   ）A．                  B．C．           D． 
第II卷（非選擇題)請點擊修改第II卷的文字說明 評卷人得分  二、填空題13．若滿足約束條件,則的取值范圍是        ．14．中,邊上的中線等于,且,則        ．15．如圖, 在正方體中,, 過直線的平面平面,則平面截該正方體所得截面的面積為        ．16．設點分別是曲線和直線上的動點, 則兩點間的距離的最小值是        ． 評卷人得分  三、解答題17．已知數(shù)列的前項和為,．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若,求．
18．如圖, 四棱錐中, 平面平面,為線段上一點,為的中點．（1）證明:平面；（2）求二面角的正弦值．
19．（題文）某汽車美容公司為吸引顧客，推出優(yōu)惠活動：對首次消費的顧客，按元/次收費, 并注冊成為會員, 對會員逐次消費給予相應優(yōu)惠，標準如下：消費次第
 第次
 第次
 第次
 第次
 次
 收費比例
  該公司從注冊的會員中, 隨機抽取了位進行統(tǒng)計, 得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下:消費次第
 第次
 第次
 第次
 第次
 第次
 頻數(shù)
  假設汽車美容一次, 公司成本為元, 根據(jù)所給數(shù)據(jù), 解答下列問題:（1）估計該公司一位會員至少消費兩次的概率；（2）某會員僅消費兩次, 求這兩次消費中, 公司獲得的平均利潤；（3）以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率, 設該公司為一位會員服務的平均利潤為元, 求的分布列和數(shù)學期望．
20．（題文）已知點是拋物線的焦點, 若點在上,且．（1）求的值；（2）若直線經(jīng)過點且與交于（異于）兩點, 證明: 直線與直線的斜率之積為常數(shù)．
21．已知函數(shù),曲線在點處的切線方程為．（1）求實數(shù)的值及函數(shù)的單調區(qū)間；（2）用表示不超過實數(shù)的最大整數(shù), 如:, 若時,,求的最大值．
22．選修4-4：坐標系與參數(shù)方程已知曲線的極坐標方程是,以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為軸的正半軸, 建立平面直角坐標系，在平面直角坐標系中, 直線經(jīng)過點,傾斜角．（1）寫出曲線直角坐標方程和直線的參數(shù)方程；（2）設與曲線相交于兩點, 求的值．          23．選修4-5：不等式選講已知函數(shù),其中．（1）當時, 解不等式；（2）若,且,證明:．
參考答案1．D【解析】試題分析：因為，所以 ，故選D．考點：1、集合的表示方法；2、集合的交集．2．A【解析】試題分析：因為，所以，，故選A．考點：1、復數(shù)的模的求法；2、復數(shù)的運算．3．D【解析】試題分析：因為，所以，，故選D．考點：1、向量垂直的性質；2、平面向量數(shù)量積公式．4．C【解析】試題分析：執(zhí)行程序框圖，第一次循環(huán)；第二次循環(huán)，；第三次循環(huán)，；第四次循環(huán)，，退出循環(huán)，輸出，故選C．考點：1、程序框圖；2、循環(huán)結構．【方法點睛】本題主要考查程序框圖的循環(huán)結構流程圖，屬于中檔題．解決程序框圖問題時一定注意以下幾點：（1）不要混淆處理框和輸入框；（2）注意區(qū)分程序框圖是條件分支結構還是循環(huán)結構；（3）注意區(qū)分當型循環(huán)結構和直到型循環(huán)結構；（4）處理循環(huán)結構的問題時一定要正確控制循環(huán)次數(shù)；（5）要注意各個框的順序；（6）在給出程序框圖求解輸出結果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運算方法逐次計算，直到達到輸出條件即可．5．A【解析】試題分析：因為函數(shù)是奇函數(shù)且時,， 所以，故選A．考點：1、函數(shù)的奇偶性；2、函數(shù)的解析式及對數(shù)的性質．6．A【解析】試題分析：由三視圖可知該幾何體是一個球體截去四分之一的切割體，即其體積為球體的四分之三，設球半徑是，由俯視圖可知，所以幾何體體積為，故選A．考點：1、幾何體的三視圖；2、球的體積公式．7．B【解析】試題分析：設小正方形的邊長為，則大正方形邊長為，， ，化為，因為，所以， ，故選B．考點：1、正方形的面積及勾股定理；2、幾何概型概率公式．8．B【解析】試題分析：因為， 所以，將函數(shù)的圖象向右平行移動個單位得，故選B．考點：1、兩角差的正弦公式；2、誘導公式及三角函數(shù)圖象的平移變換．9．B【解析】試題分析：因為分別是橢圓的左頂點和右焦點, 點在橢圓上, 且， 所以，為直角三角形，時，可得，即，又因為，所以面積為，故選B．考點：1、橢圓的標準方程及幾何性質；2、三角形面積公式．10．C【解析】試題分析：因為 所以，是以為首項，以 公差的等差數(shù)列，，，故選C．考點：1、等差數(shù)列的定義；2、等差數(shù)列的通項公式．11．B【解析】試題分析：作出的圖象，如圖，當時，由圖知，合題意，排除選項C、D,當時，由圖知不恒成立，排除故選A,故選B．考點：1、分段函數(shù)的解析式及圖象；2、不等式恒成立、數(shù)形結合思想及選擇題的排除法．【方法點睛】本題主要考查分段函數(shù)的解析式及圖象、不等式恒成立、數(shù)形結合思想及選擇題的特殊值法，屬于難題．特殊值法解答選擇題是高中數(shù)學一種常見的解題思路和方法，這種方法即可以提高做題速度和效率，又能提高準確性，這種方法主要適合下列題型:（1）求值問題（可將選項逐個驗證）；（2）求范圍問題（可在選項中取特殊值，逐一排除）；（3）圖象問題（可以用函數(shù)性質及特殊點排除）；（4）解方程、求解析式、求通項、求前項和公式問題等等．12．D【解析】試題分析：因為為圓心的圓與軸和軸分別相切于兩點, 點分別在線段上, 若, 與圓相切，設切點為，所以，設，則，，故選D．考點：1、圓的幾何性質；2、數(shù)形結合思想及三角函數(shù)求最值．【方法點睛】本題主要考查圓的幾何性質、數(shù)形結合思想及三角函數(shù)求最值，屬于難題．求最值的常見方法有 ① 配方法：若函數(shù)為一元二次函數(shù)，常采用配方法求函數(shù)求值域，其關鍵在于正確化成完全平方式，并且一定要先確定其定義域；② 三角函數(shù)法：將問題轉化為三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的有界性求最值；③ 不等式法：借助于基本不等式 求函數(shù)的值域，用不等式法求值域時，要注意基本不等式的使用條件“一正、二定、三相等”；④ 單調性法：首先確定函數(shù)的定義域，然后準確地找出其單調區(qū)間 ，最后再根據(jù)其單調性求凼數(shù)的值域，⑤圖像法：畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像的最高和最低點求最值，本題主要應用方法②求的最小值的．13．【解析】試題分析：畫出約束條件表示的可行域，如圖，平移直線，直線經(jīng)過點和點時，分別取得最小值和最大值，故答案為．考點：1、可行域的畫法；2、最優(yōu)解的求法．14．【解析】試題分析：設中點為，，因為邊上的中線等于，所以，由余弦定理知及誘導公式得，，解得，，故答案為．考點：余弦定理的應用．15．【解析】試題分析：設，中點為，連接，由中位線定理得，根據(jù)正方體的性質可知，，可得平面，進而平面，因為平面，所以平面 平面，故答案為．考點：1、正方體的性質及三角形中位線定理；2、線面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理．【方法點睛】本題主要考查正方體的性質及三角形中位線定理、線面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，屬于難題．解答空間幾何體中的平行、垂直關系時，一般要根據(jù)已知條件把空間中的線線、線面、面面之間的平行、垂直關系進行轉化，轉化時要正確運用有關的定理，找出足夠的條件進行推理；解答本題的關鍵是由線線垂直證明線面垂直，進而證明面面垂直．16．【解析】試題分析：因為，由得，，即曲線在處的切線與直線平行，所以到直線的距離就是兩點間的距離的最小值，由點到直線的距離公式得，故答案為．考點：1、利用導數(shù)求切點坐標；2、點到直線的距離公式及轉化與劃歸思想的應用．【方法點睛】本題主要考查利用導數(shù)求切點坐標、點到直線的距離公式及轉化與劃歸思想的應用．屬于難題．數(shù)學中常見的思想方法有：函數(shù)與方程的思想、分類討論思想、轉化與劃歸思想、數(shù)形結合思想、建模思想等等，轉化與劃歸思想解決高中數(shù)學問題的一種重要思想方法，是中學數(shù)學四種重要的數(shù)學思想之一，尤其在解決知識點較多以及知識跨度較大的問題發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度．運用這種方法的關鍵是將題設條件研究透，這樣才能快速找準突破點．以便將問題轉化為我們所熟悉的知識領域，進而順利解答，希望同學們能夠熟練掌握并應用于解題當中．本題講兩點間的最值問題轉化為，切點到直線的距離是解題的關鍵．17．（1）；（2）．【解析】試題分析：（1）根據(jù)，令解得，進而得數(shù)列的通項公式為；（2）由（1），進而得是首項為,公比為的等比數(shù)列,再由等比數(shù)列前項和公式可得結果．試題解析：（1），則，又，得，等差數(shù)列的公差，所以數(shù)列的通項公式為．（2）,所以數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列,．考點：1、等差數(shù)列的通項公式；2、等比數(shù)列前項和公式．18．（1）證明見解析；（2）．【解析】試題分析：（1）連接,設,可證四邊形為平行四邊形，得是的中點,利用三角形中位線定理可得進而由線面平行的判定定理可得結論；（2）先證平面，分別以所在直線為軸,軸,為軸正方向,空間直角坐標系,分別求出平面和平面的法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得二面角的余弦值，進而得結果．試題解析：（1）證明: 連接,設,連接,四邊形為平行四邊形, 且是的中點, 又為的中點,平面平面平面．（2）取的中點,連接,由得平面平面,平面平面平面,在中,, 在等腰中,, 以為坐標原點, 分別以所在直線為軸,軸,為軸正方向, 建立如圖所示的空間直角坐標系,由題知,設是平面的法向量, 則,即．設是平面的法向量, 則,即得．,二面角的正弦值為．考點：1、線面平行的判定定理；2、空間向量夾角余弦公式．19．（1）；（2）；（3）分布列見解析，．【解析】試題分析：（1）直接根據(jù)古典概型概率公式求解即可；（2）先求出該會員第一次消費、第二次消費公司獲得的利潤，然后求平均值即可；（3）的所有可能取值為分別求出各隨機變量對應的概率，利用期望公式求解即可．試題解析：（1）位會員中, 至少消費兩次的會員有人, 所以估計一位會員至少消費兩次的概率為．（2）該會員第一次消費時, 公司獲得利潤為（元）, 第次消費時, 公司獲得利潤為（元）, 所以, 公司這兩次服務的平均利潤為（元）．（3）由（2）知，一位會員消費次數(shù)可能為次，次，次，次，次，當會員僅消費次時, 利潤為元,當會員僅消費次時, 平均利潤為元,當會員僅消費次時, 平均利潤為元,當會員僅消費次時, 平均利潤為元,當會員僅消費次時, 平均利潤為元,故的所有可能取值為的分布列為: 數(shù)學期望為（元）．考點：1、古典概型概率公式；2、離散型隨機變量的分布列及期望．20．（1）；（2）證明見解析．【解析】試題分析：（1）根據(jù)拋物線焦半徑公式及點在上列方程組可求得的值；（2）設， ，設直線的方程為，聯(lián)立方程,消得,，根據(jù)韋達定理可得．試題解析：（1）由拋物線定義知,則,解得,又點在上, 代入,得,解得．（2）由（1）得,當直線經(jīng)過點且垂直于軸時, 此時,則直線的斜率,直線的斜率,所以．當直線不垂直于軸時, 設,則直線的斜率,同理直線的斜率,設直線的斜率為,且經(jīng)過,則 直線的方程為．聯(lián)立方程,消得,,所以,故,綜上, 直線與直線的斜率之積為．考點：1、待定系數(shù)法求拋物線方程；2、直線與拋物線的位置關系、韋達定理及定值問題．【方法點睛】本題主要考查待定系數(shù)法求拋物線方程、直線與拋物線的位置關系、韋達定理及定值問題，屬于難題．探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：①從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個值與變量無關；②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．本題就是根據(jù)方法②求得直線與直線的斜率之積為定制的．21．（1），的單調遞增區(qū)間為,單調遞減區(qū)間為；（2）．【解析】試題分析：（1）先求導函數(shù)，,由，得增區(qū)間，得減區(qū)間；（2）不等式等價于，根據(jù)導數(shù)求得的最小值為 的取值范圍，進而得的最大值．試題解析：（1）函數(shù)的定義域為,因為,由已知得,由得,由得,所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為,單調遞減區(qū)間為．（2）時, 不等式等價于,令,由（1）得在上單調遞增，又因為在上有唯一零點,且,當時,,當時,, 所以的最小值為, 由得,由于,,因為,所以最大值為．考點：1、導數(shù)的幾何意義及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；2、不等式恒成立問題．【方法點晴】本題主要考查的是利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、利用導數(shù)研究函數(shù)的最值、不等式的恒成立和導數(shù)的幾何意義，屬于難題．利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性進一步求函數(shù)最值的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②對求導；③令，解不等式得的范圍就是遞增區(qū)間；令，解不等式得的范圍就是遞減區(qū)間；④根據(jù)單調性求函數(shù)的極值及最值（閉區(qū)間上還要注意比較端點處函數(shù)值的大小）．22．（1），為參數(shù)）；（2）．【解析】試題分析：(1)利用,化為直角坐標方程,利用直線參數(shù)方程公式求出參數(shù)方程；(2)利用直線參數(shù)方程的幾何意義求出弦長.試題解析：（1）曲線化為，再化為直角坐標方程為，化為標準方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．（2）將的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標方程，整理得，，則，，所以．考點：1.極坐標方程,直角方程,參數(shù)方程的互化；2.直線參數(shù)方程的幾何意義.23．（1）；（2）證明見解析．【解析】試題分析：（1）分三種情況討論，分別求解不等式組，然后求并集即可；（2），分兩組分別利用基本不等式可證結論．試題解析：（1）當時, 由,由得,,或,或或或．（2）證明:,．考點：1、絕對值不等式的解法；2、絕對值不等式的證明．

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