專題12  函數(shù)的極（最）值問(wèn)題【熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展】從高考來(lái)看，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具，它的突出作用是用于研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、函數(shù)的零點(diǎn)等．從題型看，往往有一道選擇題或填空題，有一道解答題.其中解答題難度較大，常與不等式、方程等結(jié)合考查．在高考導(dǎo)數(shù)的綜合題中，所給函數(shù)往往是一個(gè)含參數(shù)的函數(shù)，且導(dǎo)函數(shù)含有參數(shù)，在分析函數(shù)單調(diào)性時(shí)面臨分類(lèi)討論.(一)函數(shù)的極值問(wèn)題1、函數(shù)極值的概念：（1）極大值：一般地，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)及其附近有定義，如果對(duì)附近的所有的點(diǎn)都有，就說(shuō)是函數(shù)的一個(gè)極大值，記作，其中是極大值點(diǎn)（2）極小值：一般地，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)及其附近有定義，如果對(duì)附近的所有的點(diǎn)都有，就說(shuō)是函數(shù)的一個(gè)極小值，記作，其中是極小值點(diǎn)，極大值與極小值統(tǒng)稱為極值2、在定義中，取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)，極值點(diǎn)是自變量的值，極值指的是函數(shù)值.請(qǐng)注意以下幾點(diǎn)：（1）極值是一個(gè)局部概念：由定義，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最小（2）函數(shù)的極值不是唯一的即一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個(gè)（3）極大值與極小值之間無(wú)確定的大小關(guān)系即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值 （4）函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn) 3、極值點(diǎn)的作用：（1）極值點(diǎn)為單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)（2）極值點(diǎn)是函數(shù)最值點(diǎn)的候選點(diǎn)4、在處可導(dǎo)，那么為的一個(gè)極值點(diǎn)說(shuō)明：①前提條件：在處可導(dǎo)  ②單向箭頭：在可導(dǎo)的前提下，極值點(diǎn)導(dǎo)數(shù)，但是導(dǎo)數(shù)不能推出為的一個(gè)極值點(diǎn)，例如：在處導(dǎo)數(shù)值為0，但不是極值點(diǎn)  ③上述結(jié)論告訴我們，判斷極值點(diǎn)可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)來(lái)進(jìn)行，但是極值點(diǎn)的定義與導(dǎo)數(shù)無(wú)關(guān)（例如：在處不可導(dǎo)，但是為函數(shù)的極小值點(diǎn)）5、求極值點(diǎn)的步驟： （1）篩選： 令求出的零點(diǎn)（此時(shí)求出的點(diǎn)有可能是極值點(diǎn)）（2）精選：判斷函數(shù)通過(guò)的零點(diǎn)時(shí)，其單調(diào)性是否發(fā)生變化，若發(fā)生變化，則該點(diǎn)為極值點(diǎn)，否則不是極值點(diǎn)（3）定性： 通過(guò)函數(shù)單調(diào)性判斷出是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)：先增后減→極大值點(diǎn)，先減后增→極小值點(diǎn)6、在綜合題分析一個(gè)函數(shù)時(shí)，可致力于求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，當(dāng)求出單調(diào)區(qū)間時(shí)，極值點(diǎn)作為單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)也自然體現(xiàn)出來(lái)，并且可根據(jù)單調(diào)性判斷是極大值點(diǎn)還是極小指點(diǎn)，換言之，求極值的過(guò)程實(shí)質(zhì)就是求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的過(guò)程.7、對(duì)于在定義域中處處可導(dǎo)的函數(shù)，極值點(diǎn)是導(dǎo)函數(shù)的一些零點(diǎn)，所以涉及到極值點(diǎn)個(gè)數(shù)或所在區(qū)間的問(wèn)題可轉(zhuǎn)化成導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題.但要注意檢驗(yàn)零點(diǎn)能否成為極值點(diǎn).8、極值點(diǎn)與函數(shù)奇偶性的聯(lián)系：（1）若為奇函數(shù)，則當(dāng)是的極大（極?。┲迭c(diǎn)時(shí)，為的極小（極大）值點(diǎn)（2）若為偶函數(shù)，則當(dāng)是的極大（極?。┲迭c(diǎn)時(shí)，為的極大（極小）值點(diǎn)（二）函數(shù)的最值問(wèn)題1、函數(shù)的最大值與最小值：（1）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，若，使得對(duì)，均滿足，那么稱為函數(shù)的一個(gè)最大值點(diǎn)，稱為函數(shù)的最大值（2）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，若，使得對(duì)，均滿足，那么稱為函數(shù)的一個(gè)最小值點(diǎn)，稱為函數(shù)的最小值（3）最大值與最小值在圖像中體現(xiàn)為函數(shù)的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)（4）最值為函數(shù)值域的元素，即必須是某個(gè)自變量的函數(shù)值.例如：，由單調(diào)性可得有最小值，但由于取不到4，所以盡管函數(shù)值無(wú)限接近于,但就是達(dá)不到.沒(méi)有最大值.（5）一個(gè)函數(shù)其最大值（或最小值）至多有一個(gè)，而最大值點(diǎn)（或最小值點(diǎn)）的個(gè)數(shù)可以不唯一，例如，其最大值點(diǎn)為，有無(wú)窮多個(gè).2．“最值”與“極值”的區(qū)別和聯(lián)系如圖為一個(gè)定義在閉區(qū)間上的函數(shù)的圖象．圖中與是極小值，是極大值．函數(shù)在上的最大值是，最小值是（1）“最值”是整體概念，是比較整個(gè)定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的，具有絕對(duì)性；而“極值”是個(gè)局部概念，是比較極值點(diǎn)附近函數(shù)值得出的，具有相對(duì)性．（2）從個(gè)數(shù)上看，一個(gè)函數(shù)在其定義域上的最值是唯一的；而極值不唯一；（3）函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個(gè)，而函數(shù)的極值可能不止一個(gè)，也可能沒(méi)有一個(gè).（4）極值只能在定義域內(nèi)部取得，而最值可以在區(qū)間的端點(diǎn)處取得，有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點(diǎn)必定是極值．3、結(jié)論：一般地，在閉區(qū)間上函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么函數(shù)在上必有最大值與最小值．4、最值點(diǎn)只可能在極值點(diǎn)或者邊界點(diǎn)處產(chǎn)生，其余的點(diǎn)位于單調(diào)區(qū)間中，意味著在這些點(diǎn)的周?chē)扔斜人蟮?，也有比它小的，故不?huì)成為最值點(diǎn).5、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟:一般地，求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟如下：（1）求在內(nèi)的極值；（2）將的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值、比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值，得出函數(shù)在上的最值6、求函數(shù)最值的過(guò)程中往往要利用函數(shù)的單調(diào)性，所以說(shuō)，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是求最值與極值的基礎(chǔ) 7、在比較的過(guò)程中也可簡(jiǎn)化步驟：（1）利用函數(shù)單調(diào)性可判斷邊界點(diǎn)是否能成為最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn)（2）極小值點(diǎn)不會(huì)是最大值點(diǎn)，極大值點(diǎn)也不會(huì)是最小值點(diǎn)8、最值點(diǎn)的作用（1）關(guān)系到函數(shù)的值域（2）由最值可構(gòu)造恒成立的不等式：例如：，可通過(guò)導(dǎo)數(shù)求出，由此可得到對(duì)于任意的，均有，即不等式.【經(jīng)典例題】例1．（2020·四川鄰水實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三三模）若函數(shù)滿足，且，則函數(shù)（    ）A．既無(wú)極大值又無(wú)極小值 B．有極小值無(wú)極大值C．既有極大值又有極小值 D．有極大值無(wú)極小值例2．（2020·四川內(nèi)江·三模）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極小值，則的取值范圍是（     ）A． B． C． D．例3．（2020·四川省綿陽(yáng)江油中學(xué)高三三模）函數(shù)在的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為（    ）A．4 B．3 C．2 D．1例4．（2020·全國(guó)高三三模）已知函數(shù)，若時(shí)，在處取得最大值，則的取值范圍為（    ）A． B． C． D．例5．（2020·黑龍江薩爾圖·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)三模）已知函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，且在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（   ）A． B．C． D．例6．（2020·黑龍江哈爾濱·高三三模）若函數(shù)在上有最大值，則的取值范圍為（    ）A． B． C． D．例7．（2020·洛陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)高三三模）若定義域?yàn)?/span>的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上的最大值為（    ）A．1 B． C． D．例8．【2020年高考天津卷20】已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，（i）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（ii）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；【精選精練】1．（2020·廣西柳城縣中學(xué)高三三模）函數(shù)在處有極值為10，則a的值為（    ）A．3 B．-4 C．-3 D．-4或32．（2020·衡水市第二中學(xué)高三三模）若函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）A． B．C． D．3．（2020·河北易縣中學(xué)高三三模）已知，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，則的最小值為（    ）A． B．9 C．5 D．4．（2020·貴州貴陽(yáng)一中高三三模）若函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B．C． D．5．（2020·吉林高三三模）函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值、最小值分別是（    ）A． B． C． D．6．（2020·黑龍江尖山·雙鴨山一中高三三模）若函數(shù)的值域?yàn)?/span>，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．7．（2020·甘肅蘭州·高三三模）已知定義在上的函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，且滿足，，則的最小值為（    ）A． B． C． D．8．（2020·山東泰安·三模）若存在，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（  ）A． B． C． D．9．（2020·福建高三三模）已知定義在上的函數(shù)滿足，函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.若時(shí)，的最大值為，則（    ）A． B． C． D．10．（2020·浙江高三三模）已知函數(shù)（，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）在處取得極小值，則的極大值是（    ）A． B． C． D．11．（2020·湖南懷化·高三三模）關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（    ）A．在單調(diào)遞增 B．有極小值為0，無(wú)極大值C．的值域?yàn)?/span> D．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱12．（2020·廣東濠江·金山中學(xué)高三三模）已知函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（    ）A．（﹣∞，0]∪[，+∞） B．（﹣∞，0]∪[，+∞）C．（﹣∞，0]∪[，+∞） D．（﹣∞，]∪[0，+∞）

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