專題27  向量的數(shù)量積-數(shù)量積的投影定義【熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展】平面向量的數(shù)量積是高考考查的重點(diǎn)、熱點(diǎn)，往往以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).常常以平面圖形為載體，借助于向量的坐標(biāo)形式等考查數(shù)量積、夾角、垂直的條件等問題；也易同三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)相結(jié)合，以工具的形式出現(xiàn)．1、向量的投影：（1）有向線段的值：設(shè)有一軸，是軸上的有向線段，如果實(shí)數(shù)滿足，且當(dāng)與軸同向時(shí)，，當(dāng)與軸反向時(shí)，，則稱為軸上有向線段的值.（2）點(diǎn)在直線上的投影：若點(diǎn)在直線外，則過作于，則稱為在直線上的投影；若點(diǎn)在直線上，則在在直線上的投影與重合.所以說，投影往往伴隨著垂直.（3）向量的投影：已知向量，若的起點(diǎn)在所在軸（與同向）上的投影分別為，則向量在軸上的值稱為在上的投影，向量稱為在上的投影向量.2、向量的投影與向量夾角的關(guān)系：通過作圖可以觀察到，向量的夾角將決定投影的符號(hào)，記為向量的夾角（1）為銳角：則投影（無論是在上的投影還是在上的投影）均為正（2）為直角：則投影為零（3）為鈍角：則投影為負(fù)3、投影的計(jì)算公式：以在上的投影為例，通過構(gòu)造直角三角形可以發(fā)現(xiàn)（1）當(dāng)為銳角時(shí)，，因?yàn)?/span>，所以（2）當(dāng)為銳角時(shí)，，因?yàn)?/span>，所以即（3）當(dāng)為直角時(shí)，，而，所以也符合綜上可得：在上的投影，即被投影向量的模乘以兩向量的夾角4、數(shù)量積與投影的關(guān)系（數(shù)量積的幾何定義）：向量數(shù)量積公式為，可變形為或，進(jìn)而與向量投影找到聯(lián)系 （1）數(shù)量積的投影定義：向量的數(shù)量積等于其中一個(gè)向量的模長乘以另一個(gè)向量在該向量上的投影，即（記為在上的投影）（2）投影的計(jì)算公式：由數(shù)量積的投影定義出發(fā)可知投影也可利用數(shù)量積和模長進(jìn)行求解：，即數(shù)量積除以被投影向量的模長5、數(shù)量積投影定義的適用范圍：作為數(shù)量積的幾何定義，通常適用于處理幾何圖形中的向量問題（1）圖形中出現(xiàn)與所求數(shù)量積相關(guān)的垂直條件，尤其是垂足確定的情況下（此時(shí)便于確定投影），例如：直角三角形，菱形對(duì)角線，三角形的外心（外心到三邊投影為三邊中點(diǎn)）（2）從模長角度出發(fā)，在求數(shù)量積的范圍中，如果所求數(shù)量積中的向量中有一個(gè)模長是定值，則可以考慮利用投影，從而將問題轉(zhuǎn)化為尋找投影最大最小的問題【經(jīng)典例題】例1．（2020·吉林高三三模）已知向量，，若，，則在上的投影為（    ）A．1 B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?/span>，，，所以，解得，所以，，所以在上的投影為.故選：A.例2．（2020·安徽省泗縣第一中學(xué)高三三模）已知向量，，，則在方向上的投影為（    ）A．-5 B．5 C．6 D．7【答案】A【解析】因?yàn)橄蛄?/span>，，，所以，即，解得，所以，所以.故選：A.例3．（2020·湖北武漢·高三三模）已知向量，滿足，在上投影為，則的最小值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】在上投影為，即.，，,則，，，.故選：B．例4．（2020·湖南天心·長郡中學(xué)高三三模）在中,則在方向上的投影為（    ）．A．4 B．3 C．-4 D．5【答案】C【解析】對(duì)等式兩邊平方得，，整理得，，則，，設(shè)向量與的夾角為，所以，在方向上的投影為，故選C．例5．（2020·哈爾濱市第一中學(xué)校高三三模）設(shè)，，，且，則向量在上的投影的取值范圍（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?/span>，，，建立以點(diǎn)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，即有．設(shè)向量與的夾角為，所以向量在上的投影為．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，由可得，，即，所以；當(dāng)時(shí)，，由可得，，即，所以．綜上可知，向量在上的投影的取值范圍為．故選：A．例6．（2020·全國高三三模）已知非零向量，滿足，且，，，則在方向上的投影為（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴，∴，又，，，，設(shè)和的夾角為，∴在方向上的投影為，即.故選：A.例7．（2020·全國山東省實(shí)驗(yàn)高三三模）已知，，，是邊上的點(diǎn)，且，為的外心，的值為（    ）A．8 B．10 C．18 D．9【答案】D【解析】因?yàn)?/span>，所以，因此；取，中點(diǎn)分別為，則，；因此，所以.故選D例8．（2020·浙江高三三模）已知向量，，向量在向量上的投影等于1，則的最小值為______.【答案】【解析】由向量在向量上的投影等于1，可知（向量、夾角）又，，所以當(dāng)與反向，時(shí)，等號(hào)成立.故答案為: 【精選精練】1．（2020·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高三三模）已知向量與的夾角是，且，，則在上的投影為（    ）.A． B． C． D．2【答案】A【解析】由題意，向量與的夾角是，且，，所以在上的投影為.故選：A.2．（2020·浙江高三三模）已知，，，則在方向上的投影為（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意知：，∴，故在方向上的投影：，故選：A3．（2020·安徽高三三模）已知向量，滿足，，且在方向上的投影是，則實(shí)數(shù)（    ）A．2 B． C．1 D．【答案】D【解析】由題意得，則在方向上的投影是，化簡得，得，解得（舍去）或.所以.故選：D.4．（2020·梅河口市第五中學(xué)三模）如圖，已知圓中，弦的長為，圓上的點(diǎn)滿足，那么在方向上的投影為（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】解法一：連接BC，由得O為的重心，A，B，C三點(diǎn)均勻分布在圓周上，為正三角形，所以，弦AB的長為，所以在方向上的投影為，故選：D. 解法二：由，得O為的重心，A，B，C三點(diǎn)均勻分布在圓周上，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，所以，，所以，
所以，所以在方向上的投影為，故選：D. 5．（2020·安徽省舒城中學(xué)高三三模）已知非零向量滿足，且在方向上的投影與在方向上的投影相等，則等于（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?/span>在方向上的投影與在方向上的投影相等， 設(shè)這兩個(gè)向量的夾角為，則， 又由且，所以，故選B.6．（2020·浙江高三三模）已知，，是空間單位向量，且滿足，若向量.則在方向上的投影的最大值為（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?/span>，∴，，∴①，因?yàn)橐笞畲笾担什环寥?/span>，令，則，代入①式得②，令，故②式小于等于.故選：D.7．（2020·哈爾濱市第一中學(xué)校高三三模）設(shè)，，，，且，則向量在上的投影的取值范圍　　A． B． C． D．【答案】C【解析】由于，則．由于，，如圖所示建系，設(shè)，，由于，且，則P、A、B三點(diǎn)共線．設(shè)，則，即．向量在上的投影為設(shè)，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以，解得；當(dāng)時(shí)，，所以，解得．綜上，向量在上的投影的取值范圍為．故選：C．8．（2020·浙江高三三模）若，，平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，的最大值是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，可得因?yàn)?/span>，所以，即是角平分線所以由角平分線的性質(zhì)可得設(shè)，則，由可得因?yàn)?/span>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，即的最小值為所以的最大值是故選：C9．（2020·重慶高三三模）最早發(fā)現(xiàn)勾股定理的人應(yīng)是我國西周時(shí)期的數(shù)學(xué)家商高，根據(jù)記載，商高曾經(jīng)和周公討論過“勾3股4弦5”的問題，我國的（九章算術(shù)也有記載，所以，商高比畢達(dá)哥拉斯早500多年發(fā)現(xiàn)勾股定理.現(xiàn)有滿足“勾3股4弦5”.其中.D為弦BC上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且滿足勾股定理.則（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由等面積法可得，依題意可得，，則在上的投影為，所以.故選：D10．（2020·遼寧沙河口·遼師大附中高三三模）在中，，向量 在上的投影的數(shù)量為，則(    )A． B． C． D．【答案】C【解析】∵向量 在上的投影的數(shù)量為，∴．①∵，∴，∴．②由①②得，∵為的內(nèi)角，∴，∴．在中，由余弦定理得，∴．故選C．11．（2020·浙江省富陽中學(xué)高三三模）已知向量，，滿足，在方向上的投影為2，，則的最小值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，向量的夾角為，則，則，因?yàn)?/span>，所以.不妨設(shè)，，設(shè)，則，整理得，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑的圓，記圓心為，又，即，當(dāng)直線過圓心，且垂直于軸時(shí)，可取得最小值，即.12．（2020·廣東廣州·高三三模）在同一平面內(nèi)，已知A為動(dòng)點(diǎn)，B，C為定點(diǎn)，且∠BAC=，，BC=1，P為BC中點(diǎn)．過點(diǎn)P作PQ⊥BC交AC所在直線于Q，則在方向上投影的最大值是（　　）A． B． C． D．【答案】C【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則B（-，0），C（，0），P（0，0），由可知，ABC三點(diǎn)在一個(gè)定圓上，且弦BC所對(duì)的圓周角為，所以圓心角為.圓心在BC的中垂線即軸上，且圓心到直線BC的距離為，即圓心為，半徑為.所以點(diǎn)A的軌跡方程為：，則 ，則 ，由在方向上投影的幾何意義可得：在方向上投影為|DP|=|x|，則在方向上投影的最大值是，故選C．

相關(guān)學(xué)案

高中數(shù)學(xué)講義微專題38 向量的數(shù)量積——數(shù)量積的投影定義（含數(shù)量積綜合練習(xí)題）學(xué)案：

這是一份高中數(shù)學(xué)講義微專題38 向量的數(shù)量積——數(shù)量積的投影定義（含數(shù)量積綜合練習(xí)題）學(xué)案，共15頁。學(xué)案主要包含了基礎(chǔ)知識(shí)，典型例題，歷年好題精選等內(nèi)容，歡迎下載使用。

高中數(shù)學(xué)人教版新課標(biāo)A必修42.4 平面向量的數(shù)量積第2課時(shí)導(dǎo)學(xué)案：

這是一份高中數(shù)學(xué)人教版新課標(biāo)A必修42.4 平面向量的數(shù)量積第2課時(shí)導(dǎo)學(xué)案

第29講-平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用（解析版）學(xué)案：

這是一份第29講-平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用（解析版）學(xué)案，共25頁。

英語朗讀寶
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
  • 1.電子資料成功下載后不支持退換，如發(fā)現(xiàn)資料有內(nèi)容錯(cuò)誤問題請(qǐng)聯(lián)系客服，如若屬實(shí)，我們會(huì)補(bǔ)償您的損失
  • 2.壓縮包下載后請(qǐng)先用軟件解壓，再使用對(duì)應(yīng)軟件打開；軟件版本較低時(shí)請(qǐng)及時(shí)更新
  • 3.資料下載成功后可在60天以內(nèi)免費(fèi)重復(fù)下載
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

  • 0

    資料籃

  • 在線客服

    官方
    微信

    添加在線客服

    獲取1對(duì)1服務(wù)

  • 官方微信

    官方
    微信

    關(guān)注“教習(xí)網(wǎng)”公眾號(hào)

    打開微信就能找資料

  • 免費(fèi)福利

    免費(fèi)福利
返回
頂部