專題28  平面向量的數(shù)量積求解兩法【熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展】平面向量的數(shù)量積是高考考查的重點(diǎn)、熱點(diǎn)，往往以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).常常以平面圖形為載體，借助于向量的坐標(biāo)形式等考查數(shù)量積、夾角、垂直的條件等問題；也易同三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)相結(jié)合，以工具的形式出現(xiàn)．關(guān)于數(shù)量積的運(yùn)算，除上一專題介紹的利用投影定義，本專題繼續(xù)介紹兩種方法，一是遇到幾何圖形中計(jì)算某兩個(gè)向量數(shù)量積的問題，如果無法尋找到計(jì)算數(shù)量積的要素（模長(zhǎng)，夾角），那么可考慮用合適的兩個(gè)向量（稱為基底）將兩個(gè)向量表示出來，進(jìn)而進(jìn)行運(yùn)算.這也是在幾何圖形中處理向量數(shù)量積的一個(gè)重要方法.二是若幾何圖形特殊（如正方形，等邊三角形等），易于建系并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，則考慮將向量坐標(biāo)化，一旦所求向量用坐標(biāo)表示，其數(shù)量積等問題迎刃而解.（一）所涉及的平面向量定理及數(shù)量積運(yùn)算法則：1、平面向量基本定理：若向量為兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于平面上任意的一個(gè)向量，均存在唯一一對(duì)實(shí)數(shù)，使得.其中成為平面向量的一組基底.（簡(jiǎn)而言之，不共線的兩個(gè)向量可以表示所有向量）2、向量數(shù)量積運(yùn)算，其中為向量的夾角3、向量夾角的確定：向量的夾角指的是將的起點(diǎn)重合所成的角，其中：同向          ：反向           ：  4、數(shù)量積運(yùn)算法則：（1）交換律： （2）系數(shù)結(jié)合律：（3）分配律：因?yàn)橄蛄繑?shù)量積存在交換律與分配律，才使得有些向量數(shù)量積運(yùn)算的展開式與實(shí)數(shù)因式相乘的展開式規(guī)律相同：例如：     5、若，則由此可見，只要知道基底的模與數(shù)量積，以及將用基底表示出來，則可計(jì)算（二）選擇合適基底解題的步驟與技巧：1、如何選擇“合適”的基底：題目中是否有兩個(gè)向量模長(zhǎng)已知，數(shù)量積可求呢？如果有，那就是它們了.所以在此類題目中首先可先確定那些向量的數(shù)量積與模長(zhǎng)已知.常見的可以邊所成向量作基底的圖形有：等邊三角形，已知兩邊的直角三角形，矩形，特殊角的菱形等.2、向量的表示：嘗試所求數(shù)量積的兩個(gè)向量是否能被你所選中的基底進(jìn)行表示，常用的方法有：（1）向量的加減運(yùn)算 （2）“爪”字型圖：在中，是上的點(diǎn)，如果，則，其中知二可求一.特別的，如果是邊上的中線，則3、計(jì)算數(shù)量積：將所求向量用基地表示后，代入到所求表達(dá)式計(jì)算即可，但在計(jì)算過程中要注意基底的夾角（二）平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1、向量的坐標(biāo)表示（1）平面向量基本定理：在平面中，如果兩個(gè)向量不共線，則對(duì)于平面上的任一向量，存在，使得，且這種表示唯一.其中稱為平面向量的一組基底，而有序?qū)崝?shù)對(duì)稱為在基底下的坐標(biāo)（2）為了讓向量能夠放置在平面直角坐標(biāo)系中，我們要選擇一組特殊的基底，在方向上它們分別與軸的正方向同向，在長(zhǎng)度上，，由平面向量基本定理可得：平面上任一向量，均有，其坐標(biāo)為，從圖上可觀察到恰好是將向量起點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合時(shí)，終點(diǎn)的坐標(biāo)（3）已知平面上的兩點(diǎn)坐標(biāo)，也可求得以它們?yōu)槠鸾K點(diǎn)的向量坐標(biāo)：設(shè)，則 （可記為“終”“起”），所以只要確定了平面上點(diǎn)的坐標(biāo)，則向量的坐標(biāo)自然可求.另外三個(gè)坐標(biāo)知二可求一，所以當(dāng)已知向量坐標(biāo)與其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，也可求出另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)2、向量的坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，則有：（1）加減運(yùn)算： （2）數(shù)乘運(yùn)算： （3）數(shù)量積運(yùn)算： （4）向量的模長(zhǎng)： 3、向量位置關(guān)系的判定：（1）平行： （2）垂直： （3）向量夾角余弦值： 4、常見的可考慮建系的圖形：關(guān)于向量問題，一旦建立坐標(biāo)系并成功寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，則問題常常迎刃而解.但難點(diǎn)如何甄別一道題適合使用建系的方法求解.如果你遇到以下圖形，則可嘗試建系的方法，看能否把問題解決（1）具備對(duì)稱性質(zhì)的圖形：長(zhǎng)方形，正方形，等邊三角形，圓形（2）帶有直角的圖形：直角梯形，直角三角形（3）具備特殊角度的圖形（等）【經(jīng)典例題】例1．【2020年高考山東卷7】已知是邊長(zhǎng)為的正六邊形內(nèi)的一點(diǎn)，則的取值范圍是 （   ）A．            B．            C．             D．例2．【2020年高考天津卷15】如圖，在四邊形中，，，且，則實(shí)數(shù)的值為_________，若是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為_________．例3．（2020·河南焦作·高三三模）在中，點(diǎn)，在線段上，，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有，則一定有（    ）A． B． C． D．例4．（2020·四川省綿陽南山中學(xué)三模）如圖，在平行四邊形中，，，，若、分別是邊、上的點(diǎn)，且滿足，其中，則的取值范圍是A． B．C． D．例5．（2020·黑龍江讓胡路·大慶一中高三三模）“勾3股4弦5”是勾股定理的一個(gè)特例.根據(jù)記載，西周時(shí)期的數(shù)學(xué)家商高曾經(jīng)和周公討論過“勾3股4弦5”的問題，畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理早了500多年，如圖，在矩形中，滿足“勾3股4弦5”，且，為上一點(diǎn)，.若，則的值為（    ）A． B． C． D．1例6．（2020·湖北武漢·高三三模）在中，為線段的中點(diǎn)，為線段垂直平分線上任一異于的點(diǎn)，則（     ）A． B． C． D．7例7．（2020·河南高三三模）已知中，點(diǎn)M在線段上，，且.若，則（    ）A． B． C．27 D．18例8．（2020·四川宜賓·高三三模）如圖，在平面四邊形中，，，，，，若點(diǎn)F為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（    ）A．1 B． C． D．2【精選精練】1．（2020·湖北沙區(qū)·沙市中學(xué)高三三模）菱形中，，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則為(    )A． B．3 C． D．2．（2020·寧夏銀川·高三三模）在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，且AB＝6，AC＝8，則的值是（    ）A．﹣28 B．﹣14 C．14 D．283．（2020·河南洛陽·高三三模）在中，，，，點(diǎn)，分別在線段，上，且，，則（    ）．A． B． C．4 D．94．（2020·湖南益陽·高三三模）在中，，，，則（    ）A．-4 B．-2 C．2 D．45．（2020·江西東湖·南昌二中高三三模）中，，，是的中點(diǎn)，若，則（    ）A．0 B．2 C．4 D．86．（2020·北京市八一中學(xué)三模）在中，，，點(diǎn)在邊上，且，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．7．（2020·長(zhǎng)春市第八中學(xué)高三三模）已知菱形的邊長(zhǎng)為2，，點(diǎn)、分別在直線、上，，若，則實(shí)數(shù)的值為（    ）A． B． C． D．8．（2020·四川青羊·樹德中學(xué)高三三模）已知是長(zhǎng)為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是(    )A． B． C． D．9．（2020·四川省綿陽南山中學(xué)三模）若向量的模均為1，且，則的最大值為（    ）A． B．3 C．5 D．710．（2020·邵陽市第二中學(xué)三模）已知四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形，P為對(duì)角線上一點(diǎn)，則的最小值是（    ）A．0 B． C． D．11．（2020·浙江三模）空間向量，，兩兩垂直，，，，則（    ）A．， B．， C．， D．，12．（2020·四川青羊·石室中學(xué)高三三模）已知單位向量，滿足，若存在向量，使得，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．

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【備考2023】高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)專題特訓(xùn)學(xué)案（全國(guó)通用）——14 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用 （原卷版 解析版）：

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考點(diǎn)28 平面向量的數(shù)量積與應(yīng)用（考點(diǎn)詳解）-備戰(zhàn)2022年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)微專題學(xué)案：

這是一份考點(diǎn)28 平面向量的數(shù)量積與應(yīng)用（考點(diǎn)詳解）-備戰(zhàn)2022年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)微專題學(xué)案，共6頁。學(xué)案主要包含了平面向量數(shù)量積的基本運(yùn)算；，平面向量數(shù)量積的應(yīng)用；，平面向量與三角函數(shù)等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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