www.ks5u.com微專題36 向量的數(shù)量積——尋找合適的基底    在高考中經(jīng)常會遇到幾何圖形中計算某兩個向量數(shù)量積的問題，如果無法尋找到計算數(shù)量積的要素（模長，夾角）那么可考慮用合適的兩個向量（稱為基底）將兩個向量表示出來，進而進行運算。這也是在幾何圖形中處理向量數(shù)量積的一個重要方法一、基礎(chǔ)知識：（一）所涉及的平面向量定理及數(shù)量積運算法則：1、平面向量基本定理：若向量為兩個不共線的向量，那么對于平面上任意的一個向量，均存在唯一一對實數(shù)，使得。其中成為平面向量的一組基底。（簡而言之，不共線的兩個向量可以表示所有向量）2、向量數(shù)量積運算，其中為向量的夾角3、向量夾角的確定：向量的夾角指的是將的起點重合所成的角，其中：同向          ：反向           ：  4、數(shù)量積運算法則：（1）交換律： （2）系數(shù)結(jié)合律：（3）分配律：因為向量數(shù)量積存在交換律與分配律，才使得有些向量數(shù)量積運算的展開式與實數(shù)因式相乘的展開式規(guī)律相同：例如：     5、若，則由此可見，只要知道基底的模與數(shù)量積，以及將用基底表示出來，則可計算（二）選擇合適基底解題的步驟與技巧：1、如何選擇“合適”的基底：題目中是否有兩個向量模長已知，數(shù)量積可求呢？如果有，那就是它們了。所以在此類題目中首先可先確定那些向量的數(shù)量積與模長已知。常見的可以邊所成向量作基底的圖形有：等邊三角形，已知兩邊的直角三角形，矩形，特殊角的菱形等。2、向量的表示：嘗試所求數(shù)量積的兩個向量是否能被你所選中的基底進行表示，常用的方法有：（1）向量的加減運算 （2）“爪”字型圖：在中，是上的點，如果，則，其中知二可求一。特別的，如果是邊上的中線，則3、計算數(shù)量積：將所求向量用基地表示后，代入到所求表達式計算即可，但在計算過程中要注意基底的夾角二、例題精煉例1:如圖，在中，是邊上一點，，則_______________思路：模長未知（尚可求出），夾角未知，所以很難直接求出數(shù)量積?？紤]是否有合適基底，，可計算出,進而對于,模長均已知，數(shù)量積已求，條件齊備，適合作為基底。用表示：,,答案：例2：如圖，已知在中，，則______思路：觀察條件，很難直接利用公式求解.考慮選擇兩個向量表示,條件中(數(shù)量積有了），（模長有了），所以考慮用作為基底。下一步只需將表示出來，（底邊比值——聯(lián)想到“爪”字型圖）,解得：所以答案：例3:在邊長為1的正三角形中，設(shè)，則__________思路：如圖，等邊三角形三邊已知，夾角已知，由此對于三邊所成的向量，兩兩數(shù)量積均可計算，所以考慮用三邊向量進行表示，表示的方法很多，例如觀察“爪”字形圖可得,(注意向量夾角）答案：小煉有話說：這道題由于是等邊三角形，故可以建系去做，以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，所在直線為軸。坐標(biāo)完成之時，就是計算的完成之日，且此法在計算上更為簡便。例4：如圖，在中，已知，點分別在邊上，且，點為中點，則的值是（     ）A.         B.       C.        D.  思路：在本題中已知及兩個向量的夾角，所以考慮將作為一組基底。則考慮將用進行表示，再做數(shù)量積即可解：     且，所以有：由已知可得：答案：C例5：已知向量的夾角是，且，若，且，則實數(shù)的值是____________思路：題中模長夾角已知，所以選擇它們作為基底，表示，再根據(jù)求出即可解：   即  ① ①式變?yōu)?/span>：解得 答案： 例6：在邊長為的正三角形中，，則的最大值為___________答案： 思路：所給為等邊三角形，則三邊所成向量兩兩數(shù)量積可解。所以用三邊向量將表示出來，再作數(shù)量積運算并利用消元即可求出最值解：                且 等號成立條件： 答案：小煉有話說：（1）本題在最后求最值時還可以利用均值不等式迅速把問題解決：（2）在消元時要注意，如果所消去的元本身有范圍，則這個范圍由主元來承擔(dān)，比如本題中用把消掉，則所滿足的條件除了已知的之外，還有，即 例7：如圖，在四邊形中，是等邊三角形，則的值為_____________思路：從條件中可分析，的邊所成的向量兩兩之間數(shù)量積可求，其公共邊為，所以以作為突破口，所求數(shù)量積中只有需要轉(zhuǎn)換，可得，所以，進而可解解：在中， 在等邊三角形中， 答案： 小煉有話說：（1）在求時要注意夾角不是，而是它的補角！（2）在求也可以用投影定義來解，即在上的投影為，所以例8：如圖，四邊形滿足，若是的中點，則（      ）A.      B.       C.        D.  思路：本題要抓住這個條件，所求表達式中主要解決。從圖中可發(fā)現(xiàn)分別是的中線，從而可用條件中的向量進行表示：，從而求得表達式的值解：                         答案：D  例9：菱形邊長為，，點分別在上，且，若，則（   ）A.                     B.             C.                     D. 思路：本題已知菱形邊長和兩邊夾角，所以菱形四條邊所成向量兩兩數(shù)量積可求，所以可以考慮將題目中所給的所涉及的向量用菱形的邊和進行表示，進而列出關(guān)于的方程，解出方程便可求出解：           答案：D例10：已知向量滿足條件：，且，點是內(nèi)一動點，則_________思路：本題已知模長，可對進行變形得到更多條件：，同理，從而可將所求式子中的向量均用表示再進行計算即可。解：，代入可得：，同理      答案： 小煉有話說：（1）本題在處理關(guān)系時，從入手兩邊同時模長平方，得到數(shù)量積的關(guān)系，這也是“向量等式→數(shù)量積等式”的常見變形方法（2）在處理關(guān)系時也可以通過數(shù)形結(jié)合，從和中發(fā)現(xiàn)在圖像上的特點，推斷出兩兩夾角從而計算出它們的數(shù)量積（3）為動點，但從所求來看表達式有極大可能是一個定值，所以在應(yīng)試時如果想不到正規(guī)方法，也可以考慮利用特殊值進行處理，比如利用條件構(gòu)造出一個特殊模型，即為等邊三角形，且是中心，然后再給選擇一個特殊位置（比如與重合）計算出結(jié)果。      

相關(guān)學(xué)案

高中數(shù)學(xué)講義微專題91 復(fù)數(shù)學(xué)案：

這是一份高中數(shù)學(xué)講義微專題91 復(fù)數(shù)學(xué)案，共4頁。學(xué)案主要包含了基礎(chǔ)知識，典型例題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

高中數(shù)學(xué)講義微專題81 排列組合——選擇合適的數(shù)學(xué)模型學(xué)案：

這是一份高中數(shù)學(xué)講義微專題81 排列組合——選擇合適的數(shù)學(xué)模型學(xué)案，共9頁。學(xué)案主要包含了典型例題，歷年好題精選等內(nèi)容，歡迎下載使用。

高中數(shù)學(xué)講義微專題38 向量的數(shù)量積——數(shù)量積的投影定義（含數(shù)量積綜合練習(xí)題）學(xué)案：

這是一份高中數(shù)學(xué)講義微專題38 向量的數(shù)量積——數(shù)量積的投影定義（含數(shù)量積綜合練習(xí)題）學(xué)案，共15頁。學(xué)案主要包含了基礎(chǔ)知識，典型例題，歷年好題精選等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)學(xué)案 更多

高中數(shù)學(xué)講義微專題17 函數(shù)的極值學(xué)案

高中數(shù)學(xué)講義微專題17 函數(shù)的極值學(xué)案
高中數(shù)學(xué)講義微專題37 向量的數(shù)量積——坐標(biāo)化解決向量問題學(xué)案

高中數(shù)學(xué)講義微專題37 向量的數(shù)量積——坐標(biāo)化解決向量問題學(xué)案
高中數(shù)學(xué)講義微專題14 函數(shù)的切線問題學(xué)案

高中數(shù)學(xué)講義微專題14 函數(shù)的切線問題學(xué)案
高中數(shù)學(xué)講義微專題37 向量的數(shù)量積——坐標(biāo)化解決向量問題

高中數(shù)學(xué)講義微專題37 向量的數(shù)量積——坐標(biāo)化解決向量問題
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
  • 精品推薦
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部