在實(shí)際問題中，有時兩個變量之間的關(guān)系并不是線性關(guān)系，這就需要運(yùn)用散點(diǎn)圖選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來擬合觀測數(shù)據(jù)，然后通過適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，把非線性問題轉(zhuǎn)化為線性問題，從而確定未知參數(shù)，建立相應(yīng)的線性回歸方程．
提示　不一定；越小越好．
2．刻畫回歸效果的方式(1)殘差圖法作圖時________為殘差，________可以選為樣本編號，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖．若殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)，帶狀區(qū)域越窄，則說明擬合效果越好．(2)殘差平方和法
決定系數(shù)R2是度量模型擬合效果的一種指標(biāo)，在線性模型中，它代表解釋變量客戶預(yù)報變量的能力．
拓展深化[微判斷]1．殘差平方和越接近0, 線性回歸模型的擬合效果越好． ( )2．在畫兩個變量的散點(diǎn)圖時， 響應(yīng)變量在x軸上，解釋變量在y軸上． ( )提示　在畫兩個變量的散點(diǎn)圖時， 響應(yīng)變量在y軸上，解釋變量在x軸上．3．R2越小， 線性回歸模型的擬合效果越好． ( )提示　R2越大， 線性回歸模型的擬合效果越好．
[微訓(xùn)練]1．在殘差分析中， 殘差圖的縱坐標(biāo)為__________．答案　殘差2．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)在建立變量x，y的回歸模型時，分別選擇了4種不同模型，計算可得它們的決定系數(shù)R2分別如下表：
哪位同學(xué)建立的回歸模型擬合效果最好？解　R2越大，表示回歸模型的擬合效果越好，故甲同學(xué)建立的回歸模型擬合效果最好．
[微思考]在使用經(jīng)驗回歸方程進(jìn)行預(yù)測時，需要注意哪些問題？提示　(1)經(jīng)驗回歸方程只適用于所研究的樣本的總體；(2)所建立的經(jīng)驗回歸方程一般都有時效性；(3)解釋變量的取值不能離樣本數(shù)據(jù)的范圍太遠(yuǎn)．一般解釋變量的取值在樣本數(shù)據(jù)范圍內(nèi)，經(jīng)驗回歸方程的預(yù)報效果好，超出這個范圍越遠(yuǎn)，預(yù)報的效果越差；(4)不能期望經(jīng)驗回歸方程得到的預(yù)報值就是響應(yīng)變量的精確值.
題型一　線性回歸分析【例1】　已知某種商品的價格x(單位：元/件)與需求量y(單位：件)之間的關(guān)系有如下一組數(shù)據(jù)：
規(guī)律方法　(1)解答線性回歸問題，應(yīng)通過散點(diǎn)圖來分析兩變量間的關(guān)系是否線性相關(guān)，然后再利用求回歸方程的公式求解回歸方程，并利用殘差圖或相關(guān)指數(shù)R2來分析函數(shù)模型的擬合效果，在此基礎(chǔ)上，借助回歸方程對實(shí)際問題進(jìn)行分析．(2)刻畫回歸效果的三種方法①殘差圖法：殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)說明選用的模型比較合適．
【訓(xùn)練1】　某地區(qū)2011年到2017年農(nóng)村居民家庭人均純收入y(單位：千元)的數(shù)據(jù)如下表：
(2)利用(1)中的回歸方程，分析2011年到2017年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測該地區(qū)2020年農(nóng)村居民家庭人均純收入．附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為
解 （1）由所給數(shù)據(jù)計算得
題型二　殘差分析與相關(guān)指數(shù)的應(yīng)用?【例2】　假定小麥基本苗數(shù)x與成熟期有效穗y之間存在相關(guān)關(guān)系，今測得5組數(shù)據(jù)如下：
(1)以x為解釋變量，y為預(yù)報變量，作出散點(diǎn)圖；(2)求y與x之間的回歸方程，對于基本苗數(shù)56.7預(yù)報有效穗；(3)計算各組殘差，并計算殘差平方和；(4)求R2，并說明(2)中求出的回歸模型的擬合程度．
解　(1)散點(diǎn)圖如下．
【訓(xùn)練2】　為研究質(zhì)量x(單位：g)對彈簧長度y(單位：cm)的影響，對不同質(zhì)量的6個物體進(jìn)行測量，數(shù)據(jù)如下表：
(1)作出散點(diǎn)圖并求回歸直線方程；(2)求出R2并說明回歸模型擬合的程度；(3)進(jìn)行殘差分析．
解　(1)散點(diǎn)圖如圖所示．
樣本點(diǎn)分布在一條直線附近，y與x具有線性相關(guān)關(guān)系．
(3)由殘差表中的數(shù)值可以看出第3個樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集這個數(shù)據(jù)的時候是否有人為的錯誤，如果有的話，需要糾正錯誤，重新建立回歸模型；由表中數(shù)據(jù)可以看出殘差點(diǎn)比較均勻地落在寬度不超過0.15的狹窄的水平帶狀區(qū)域中，說明選用的線性回歸模型的精度較高，由以上分析可知，彈簧長度與所掛物體的質(zhì)量成線性關(guān)系．
題型三　非線性回歸分析【例3】　某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響．對近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi(i＝1，2，…，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計量的值．
(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關(guān)系為z＝0.2y－x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題：①年宣傳費(fèi)x＝49時，年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少？②年宣傳費(fèi)x為何值時，年利潤的預(yù)報值最大？
規(guī)律方法　求非線性回歸方程的步驟(1)確定變量，作出散點(diǎn)圖．(2)根據(jù)散點(diǎn)圖，選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù)．(3)變量置換，通過變量置換把非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題，并求出線性回歸方程．(4)分析擬合效果：通過計算決定系數(shù)或畫殘差圖來判斷擬合效果．(5)根據(jù)相應(yīng)的變換，寫出非線性回歸方程．
【訓(xùn)練3】　下表為收集到的一組數(shù)據(jù)：
解　(1)作出散點(diǎn)圖如下圖，從散點(diǎn)圖可以看出x與y不具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)已有知識可以發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)分布在某一條指數(shù)函數(shù)曲線y＝c1ec2x的周圍，其中c1，c2為待定的參數(shù)．
(2)對y＝c1ec2x兩邊取對數(shù)，得ln y＝ln c1＋c2x，令z＝ln y，則有變換后的樣本點(diǎn)應(yīng)分布在直線z＝bx＋a(a＝ln c1，b＝c2)的周圍，這樣就可以利用線性回歸模型來建立y與x之間的非線性回歸方程了，數(shù)據(jù)可以轉(zhuǎn)化為
一、素養(yǎng)落地1．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)運(yùn)算及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．2．當(dāng)根據(jù)給定的樣本數(shù)據(jù)得到的散點(diǎn)圖并不是分布在一條直線附近時，就不能直接求其回歸直線方程了，這時可根據(jù)得到的散點(diǎn)圖，選擇一種擬合得最好的函數(shù)，常見的函數(shù)有冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等，然后進(jìn)行變量置換，將問題轉(zhuǎn)化為線性回歸分析問題．
二、素養(yǎng)訓(xùn)練1．下列兩個變量之間的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系的是(　　)A．角度和它的余弦值B．正方形的邊長和面積C．正n邊形的邊數(shù)和內(nèi)角度數(shù)和D．人的年齡和身高解析　函數(shù)關(guān)系就是變量之間的一種確定性關(guān)系．A，B，C三項中的兩個變量之間都是函數(shù)關(guān)系，可以寫出相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，分別為f(θ)＝cs θ，g(a)＝a2，h(n)＝(n－2)π.D選項中的兩個變量之間不是函數(shù)關(guān)系，對于年齡確定的人群，仍可以有不同的身高，故選D.答案　D
2．(多選題)關(guān)于殘差圖的描述正確的是(　　)A．殘差圖的橫坐標(biāo)可以是樣本編號B．殘差圖的橫坐標(biāo)也可以是解釋變量或預(yù)報變量C．殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄相關(guān)指數(shù)越小D．殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄殘差平方和越小
解析　殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，則殘差平方和越小，此時，R2的值越大，故描述錯誤的是C.答案　ABD
3．某產(chǎn)品在某零售攤位的零售價x(單位：元)與每天的銷售量y(單位：個)的統(tǒng)計資料如下表所示：
4．在研究硝酸鈉的溶解度時，觀察它在不同溫度(x)的水中溶解度(y)的結(jié)果如下表：
由此得到回歸直線的斜率是__________．
5．在一次抽樣調(diào)查中測得樣本的5個樣本點(diǎn)，數(shù)值如下表：
根據(jù)散點(diǎn)圖可知y與x近似地呈反比例函數(shù)關(guān)系，
由散點(diǎn)圖可以看出y與t呈近似的線性相關(guān)關(guān)系，列表如下：

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8.2 一元線性回歸模型及其應(yīng)用

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第三冊

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