?【課題】10.4 用樣本估計總體

【教學(xué)目標(biāo)】
知識目標(biāo)：
(1) 理解用樣本的頻率分布估計總體．
(2) 理解用樣本均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差估計總體的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差．
能力目標(biāo)：
（1）會作出樣本的頻率分布表及頻率分布直方圖，并且用樣本的頻率分布估計總體；
（2）會計算樣本均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，并估計總體的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差；
（3）通過相關(guān)問題的解決，培養(yǎng)學(xué)生的計算工具使用技能、數(shù)據(jù)處理技能．
情感目標(biāo)：
（1）嘗試應(yīng)用計算軟件或計算器進(jìn)行概率與統(tǒng)計的計算，感受計算工具帶來的便捷．
（2）關(guān)注生活中的數(shù)學(xué)模型，體會數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用．
（3）經(jīng)歷合作學(xué)習(xí)的過程，嘗試探究與討論，樹立團(tuán)隊(duì)合作意識．
【教學(xué)重點(diǎn)】
計算樣本均值、樣本方差及樣本標(biāo)準(zhǔn)差．
【教學(xué)難點(diǎn)】
列頻率分布表，繪頻率分布直方圖．
【教學(xué)設(shè)計】
均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差是用來反映隨機(jī)變量的統(tǒng)計規(guī)律的某些層面的數(shù)字指標(biāo)即數(shù)字特征．用樣本的數(shù)字特征去估計總體的數(shù)字特征是統(tǒng)計的重要思想方法．在教學(xué)中要向?qū)W生指出為什么要從總體中抽取樣本．
通過例題的教學(xué)，讓學(xué)生體會用樣本估計總體的思想．在教學(xué)中應(yīng)向?qū)W生指出用樣本估計總體的具體方法是：通過隨機(jī)抽樣，計算樣本頻率；利用樣本頻率估計總體概率．樣本的容量越大，對總體的估計也就越精確．
在制作一組數(shù)據(jù)的頻率分布表時，決定組距與組數(shù)是關(guān)鍵，在一般情況下，數(shù)據(jù)越多，分組的組數(shù)也就越多．
頻率分布表和頻率分布直方圖是頻率分布的兩種不同的表示形式，前者準(zhǔn)確，后者直觀，兩者放在一起，使我們對一組數(shù)據(jù)的頻率分布情況了解得更清晰．
均值反映了樣本和總體的平均水平，方差和標(biāo)準(zhǔn)差則反映了樣本和總體的波動大小程度．方差和標(biāo)準(zhǔn)差在比較兩組數(shù)據(jù)波動大小時，這兩個量是等價的．標(biāo)準(zhǔn)差的優(yōu)點(diǎn)是其度量單位與原數(shù)據(jù)的度量單位一致，有時比較方便．
例2從選拔射擊選手出發(fā)，鞏固了均值的概念，使學(xué)生容易掌握均值的計算方法和明白均值的實(shí)際意義．特別應(yīng)向?qū)W生強(qiáng)調(diào)說明均值的作用．
【教學(xué)備品】
教學(xué)課件．
【課時安排】
2課時．(90分鐘)
【教學(xué)過程】
教 學(xué)
過 程
教師
行為
學(xué)生
行為
教學(xué)
意圖
時間
*揭示課題
10.4 用樣本估計總體
*創(chuàng)設(shè)情境 興趣導(dǎo)入
【知識回顧】
初中我們曾經(jīng)學(xué)習(xí)過頻數(shù)分布圖和頻數(shù)分布表，利用它們可以清楚地看到數(shù)據(jù)分布在各個組內(nèi)的個數(shù)．
【知識鞏固】
例1 某工廠從去年全年生產(chǎn)某種零件的日產(chǎn)記錄(件)中隨機(jī)抽取30份，得到以下數(shù)據(jù)：
346 345 347 357 349 352 341 345 358 350

354 344 346 342 345 358 348 345 346 357

350 345 352 349 346 356 351 355 352 348

列出頻率分布表．
解 分析樣本的數(shù)據(jù)．其最大值是358，最小值是341，它們的差是358－341=17．取組距為3，確定分點(diǎn)，將數(shù)據(jù)分為6組．
列出頻數(shù)分布表

【小提示】
設(shè)定分點(diǎn)數(shù)值時需要考慮分點(diǎn)值不要與樣本數(shù)據(jù)重合．
分 組
頻 數(shù) 累 計
頻 數(shù)
340.5～343.5
┬
2
343.5～346.5
正 正
10
346.5～349.5
正
5
349.5～352.5
正 ￣
6
352.5～355.5
┬
2
355.5～358.5
正
5
合 計
30
30


介紹



質(zhì)疑





引領(lǐng)
分析








講解
說明

了解



觀察









思考
解答















啟發(fā)
學(xué)生思考


0






























10
*動腦思考 探索新知
【新知識】
各組內(nèi)數(shù)據(jù)的個數(shù)，叫做該組的頻數(shù)．每組的頻數(shù)與全體數(shù)據(jù)的個數(shù)之比叫做該組的頻率．
計算上面頻數(shù)分布表中各組的頻率，得到頻率分布表如表10－8所示．
表10－8
分 組
頻 數(shù)
頻 率
340.5～343.5
2
0.067
343.5～346.5
10
0.333
346.5～349.5
5
0.167
349.5～352.5
6
0.2
352.5～355.5
2
0.067
355.5～358.5
5
0.166
合 計
30
1.000









根據(jù)頻率分布表，可以畫出頻率分布直方圖（如圖10－4）．

圖10－4
頻率分布直方圖的橫軸表示數(shù)據(jù)分組情況，以組距為單位；縱軸表示頻率與組距之比．因此，某一組距的頻率數(shù)值上等于對應(yīng)矩形的面積．
【想一想】
各小矩形的面積之和應(yīng)該等于1．為什么呢？
【新知識】
圖10－4顯示，日產(chǎn)量為344~346件的天數(shù)最多，其頻率等于該矩形的面積，即
．
根據(jù)樣本的數(shù)據(jù)，可以推測，去年的生產(chǎn)這種零件情況：去年約有的天數(shù)日產(chǎn)量為344~346件．
頻率分布直方圖可以直觀地反映樣本數(shù)據(jù)的分布情況．由此可以推斷和估計總體中某事件發(fā)生的概率．樣本選擇得恰當(dāng)，這種估計是比較可信的．
如上所述，用樣本的頻率分布估計總體的步驟為：
(1) 選擇恰當(dāng)?shù)某闃臃椒ǖ玫綐颖緮?shù)據(jù)；
(2) 計算數(shù)據(jù)最大值和最小值、確定組距和組數(shù)，確定分點(diǎn)并列出頻率分布表；
(3) 繪制頻率分布直方圖；
(4) 觀察頻率分布表與頻率分布直方圖，根據(jù)樣本的頻率分布，估計總體中某事件發(fā)生的概率．
【軟件鏈接】
利用與教材配套的軟件（也可以使用其他軟件），可以方便的繪制樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，如圖10－5所示．

圖10?5













講解
說明















引領(lǐng)
分析






















仔細(xì)
分析
關(guān)鍵
語句













觀察
















理解























記憶


















帶領(lǐng)
學(xué)生
分析













































































25
*運(yùn)用知識 強(qiáng)化練習(xí)
已知一個樣本為：
25 21 23 25 26 29 26 28 30 29
26 24 25 27 26 22 24 25 26 28
（1）填寫下面的頻率分布表：
分 組
頻 數(shù) 累 計
頻 數(shù)
頻 率
20.5～22，5



22，5～24.5



24.5～26.5



26.5～28.5



28.5～30.5



合 計



（2）畫出頻率分布直方圖．




提問
巡視
指導(dǎo)




思考
解答



及時
了解
學(xué)生
知識
掌握
情況













35
*動腦思考 探索新知
【新知識】
除了分析樣本數(shù)據(jù)，做出頻率分布表與頻率分布直方圖，估計總體某事件發(fā)生的概率外，還要利用樣本均值、標(biāo)準(zhǔn)差來估計總體．
【知識回顧】
如果有n個數(shù)， ，…，，那么叫做這n個數(shù)的平均數(shù)或均值，讀作“x拔”． 均值反映出這組數(shù)據(jù)的平均水平．
例如，某班共有10名學(xué)生，一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)的成績分別為：
78，65，47，84，92，88，75，58，73，68，
則這10名學(xué)生的平均成績?yōu)?br /> =．
我們可以用樣本的均值來估計總體．樣本容量越大，這種估計的可信程度越高．
【新知識】
觀察某個樣本，得到一組數(shù)據(jù)，那么

叫做這個樣本的均值，樣本均值反映出樣本的平均水平．




說明
強(qiáng)調(diào)





引領(lǐng)
分析






說明
強(qiáng)調(diào)











觀察
思考





















通過例題進(jìn)一步領(lǐng)會

























45
*鞏固知識 典型例題
【知識鞏固】
例 2 要從兩位射擊選手中選拔一位參加射擊比賽，讓他們作測試，兩位選手的10次射擊成績?nèi)绫?0?9所示：
表10?9 兩位選手射擊成績統(tǒng)計
射擊序號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲選手
9.2
9.0
9.5
8.7
9.9
10.0
9.1
8.6
8.5
9.1
乙選手
9.1
8.9
9.3
9.7
9.9
9.9
8.9
9.2
9.6
8.8

你覺得選哪位選手參加比賽合適呢？
解 將這10次射擊成績作為一個樣本，來對兩名選手的射擊水平進(jìn)行估計．分別計算數(shù)據(jù)的均值，得


顯然 ．
由此估計，乙的射擊平均水平高于甲，所以應(yīng)選擇選手乙去參加比賽．







說明
強(qiáng)調(diào)















引領(lǐng)
分析









觀察
思考















主動
求解














通過例題進(jìn)一步領(lǐng)會































55
*創(chuàng)設(shè)情境 興趣導(dǎo)入
【問題】
學(xué)校英語提高班采用小班教學(xué)，每班15人．現(xiàn)有A、B兩個班參加統(tǒng)一的口語測試，成績?nèi)绫?0－10所示：

表10－10 英語口語測試成績統(tǒng)計

A班
67
72
93
69
86
84
45
77
88
91
81
76
84
90
63
B班
78
96
56
83
86
48
98
67
62
70
64
97
96
79
86

試問哪個班的成績較好些？





質(zhì)疑



引導(dǎo)
分析







思考








啟發(fā)
學(xué)生思考












60
*動腦思考 探索新知
【新知識】
將這次成績作為樣本，來評價兩個班成績．分別計算均值，得
，，
A、B兩個班的平均成績相同，也就是均值相同．
我們再來比較兩個班同學(xué)的成績對于平均成績的偏離程度，偏離程度越大，說明其成績波動越大，教學(xué)兩極分化；偏離程度越小，說明其成績波動越小，教學(xué)水平均衡穩(wěn)定．
分別計算A班同學(xué)成績與均值之差，如表10－11所示：
表10－11
序號i
1
2
3
…
14
15
成績
67
72
93
…
90
63
偏差
?10.73
?5.73
15.27
…
12.27
?14.73

這些偏差有正數(shù)，也有負(fù)數(shù)．如果直接相加，就會出現(xiàn)偏差互相抵消，不能反映偏離程度．所以我們用偏差平方的均值來描述這種偏離程度．
如果樣本由n個數(shù)， ，…， 組成，那么樣本的方差為
．
分別計算兩個班成績的方差，得


由估計，A班的考試成績比B班的波動小，因此A班同學(xué)的學(xué)習(xí)成績更穩(wěn)定，總體看比B班的成績好．

由于樣本方差的單位是數(shù)據(jù)的單位的平方，使用起來不方便．因此，人們常使用它的算術(shù)平方根來表示個體與樣本均值之間偏離程度，叫做樣本標(biāo)準(zhǔn)差．即
．










講解
說明









引領(lǐng)
分析













仔細(xì)
分析
關(guān)鍵
語句









思考











理解














記憶






















帶領(lǐng)
學(xué)生
分析




















































70
*鞏固知識 典型例題
【計算器使用】
計算樣本的方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）一般是很麻煩的．可以使用計算器或計算機(jī)軟件完成計算．下面通過實(shí)例來說明．
例3 求由數(shù)據(jù)
156、178、170、173、169、156、164、163、152、157
所組成樣本的均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差（精確到0.1）．
解 采用函數(shù)型計算器（這里是用CASIO fx 82#ES PLUS型計算器）計算樣本均值、樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差的步驟如下：
（1）將計算器設(shè)置為統(tǒng)計（STAT）狀態(tài)．
操作：按一次MODE 鍵，顯示
，
表示進(jìn)入計算狀態(tài)選項(xiàng)，按 2 進(jìn)入統(tǒng)計計算狀態(tài)．
（2）輸入數(shù)據(jù)
操作：在統(tǒng)計計算狀態(tài)下，按鍵 1 進(jìn)入單個變量輸入數(shù)據(jù)狀態(tài)，依次輸入各個數(shù)據(jù)，每輸入一個數(shù)據(jù)后，都要按鍵 = ；輸入最后一個數(shù)據(jù) 157按鍵 =后再按鍵 AC ．
（3）顯示計算結(jié)果
① 依次按鍵：SHIFT 、 1 ，然后按鍵4 ，最后依次按鍵1 、 =，顯示樣本容量為：n=10．
② 依次按鍵：SHIFT 、 1 ，然后按鍵4 ，最后依次按鍵2 、 =，顯示樣本均值為：．
③ 依次按鍵：SHIFT 、 1 ，然后按鍵4 ，最后依次按鍵4 、 =，顯示樣本標(biāo)準(zhǔn)差為：=8. 6．
（4）在顯示樣本標(biāo)準(zhǔn)差的基礎(chǔ)上，依次按鍵： 、 ＝ ，顯示樣本方差為：．

【軟件鏈接】
(1) 依次輸入數(shù)據(jù)(如圖10－6)．


圖10－6
（2）如圖10－7所示，求樣本均值時，在數(shù)據(jù)空白單元格(如C6)內(nèi)輸入“樣本均值”，在“樣本均值”右側(cè)空單元格(如D6)內(nèi)輸入“=AVERAGE（A1：A10）”，按回車鍵；求樣本方差時，在數(shù)據(jù)空白單元格(如C7)內(nèi)輸入“樣本方差”，在“樣本方差”右側(cè)空單元格(如D7)內(nèi)輸入“=VAR（A1：A10）”，按回車鍵；求樣本標(biāo)準(zhǔn)差時，在數(shù)據(jù)空白單元格(如C8)內(nèi)輸入“樣本標(biāo)準(zhǔn)差”，在“樣本標(biāo)準(zhǔn)差”右側(cè)空單元格(如D8)內(nèi)輸入“=SQRT（D7）”，按回車鍵．



圖10－7










說明
強(qiáng)調(diào)













引領(lǐng)
























講解
說明










觀察














思考
























動手
操作





















通過例題進(jìn)一步領(lǐng)會












































































80
*運(yùn)用知識 強(qiáng)化練習(xí)
從一塊小麥地里隨機(jī)抽取10株小麥， 測得各株高為(單位： cm)：
71、77、80、78、75、84、79、82、79、75．
（1）求樣本均值，并說明樣本均值的意義．
（2）求樣本方差及樣本標(biāo)準(zhǔn)差，并說明樣本方差或樣本標(biāo)準(zhǔn)差的意義.


提問
巡視
指導(dǎo)


思考
解答
及時
了解
學(xué)生
知識
掌握
情況






82
*理論升華 整體建構(gòu)
思考并回答下面的問題：
均值，方差和標(biāo)準(zhǔn)差的含義？
結(jié)論：均值反映了樣本和總體的平均水平，方差和標(biāo)準(zhǔn)差則反映了樣本和總體的波動大小程度．


質(zhì)疑


歸納強(qiáng)調(diào)




回答






及時了解學(xué)生知識掌握情況








85
*歸納小結(jié) 強(qiáng)化思想
本次課學(xué)了哪些內(nèi)容？重點(diǎn)和難點(diǎn)各是什么？

引導(dǎo)


回憶



*自我反思 目標(biāo)檢測
本次課采用了怎樣的學(xué)習(xí)方法？你是如何進(jìn)行學(xué)習(xí)的？你的學(xué)習(xí)效果如何？
科研人員在研究地里的麥苗長勢時，隨機(jī)抽取20株，測得各株高為（單位：mm）：
61 67 58 67 65 64 59 62 58 66
64 59 60 63 58 60 62 60 63 63
求樣本均值、樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差．


提問


巡視
指導(dǎo)


反思


動手
求解


檢驗(yàn)
學(xué)生
學(xué)習(xí)
效果








89
*繼續(xù)探索 活動探究
(1)讀書部分：教材
(2)書面作業(yè)：教材習(xí)題10.4 A組（必做）；10.4 B組（選做）
(3)實(shí)踐調(diào)查：用發(fā)現(xiàn)的眼睛尋找生活中的樣本均值實(shí)例

說明

記錄

分層次要求






90
【教師教學(xué)后記】
項(xiàng)目
反思點(diǎn)
學(xué)生知識、技能的掌握情況
學(xué)生是否真正理解有關(guān)知識；
是否能利用知識、技能解決問題；
在知識、技能的掌握上存在哪些問題；
學(xué)生的情感態(tài)度
學(xué)生是否參與有關(guān)活動；
在數(shù)學(xué)活動中，是否認(rèn)真、積極、自信；
遇到困難時，是否愿意通過自己的努力加以克服；
學(xué)生思維情況
學(xué)生是否積極思考；
思維是否有條理、靈活；
是否能提出新的想法；
是否自覺地進(jìn)行反思；
學(xué)生合作交流的情況
學(xué)生是否善于與人合作；
在交流中，是否積極表達(dá)；
是否善于傾聽別人的意見；
學(xué)生實(shí)踐的情況
學(xué)生是否愿意開展實(shí)踐；
能否根據(jù)問題合理地進(jìn)行實(shí)踐；
在實(shí)踐中能否積極思考；
能否有意識的反思實(shí)踐過程的方面；




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10.4.2 用樣本均值、標(biāo)準(zhǔn)差估計總體

版本： 高教版（中職）

年級： 基礎(chǔ)模塊下冊

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