必備知識(shí)預(yù)案自診
知識(shí)梳理
1.平面向量的有關(guān)概念
2.平面向量的線性運(yùn)算
續(xù) 表
3.向量共線定理
(1)向量a(a≠0)與b共線的充要條件是:存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使 .
注:限定a≠0的目的是保證實(shí)數(shù)λ的存在性和唯一性.
(2)變形形式:已知直線l上三點(diǎn)A,B,P,O為直線l外任一點(diǎn),有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使得OP=(1-λ)OA+λOB.
考點(diǎn)自診
1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.
(1)向量與有向線段是一樣的,因此可以用有向線段表示向量.( )
(2)AB+BC+CD=AD.( )
(3)若兩個(gè)向量共線,則其方向必定相同或相反.( )
(4)若向量AB與向量CD是共線向量,則A,B,C,D四點(diǎn)在一條直線上.( )
(5)若a∥b,b∥c,則a∥c.( )
2.(2020河南開封模擬)AB+BC-AD=( )
A.CD
B.CB
C.AD
D.DC
3.(多選)(2020山東鄆城第一中學(xué)高三模擬)若點(diǎn)G是△ABC的重心,BC邊的中點(diǎn)為D,則下列結(jié)論正確的是( )
A.G是△ABC的三條中線的交點(diǎn)
B.GA+GB+GC=0
C.AG=2GD
D.AG=GD
4.(2020山東菏澤調(diào)研)設(shè)a與b是兩個(gè)不共線向量,且向量a+λb與-(b-2a)共線,則λ= .
5.(2020全國1,理14)設(shè)a,b為單位向量,且|a+b|=1,則|a-b|= .
關(guān)鍵能力學(xué)案突破
【例1】給出下列四個(gè)說法:
①若|a|=|b|,則a=b;
②若A,B,C,D是不共線的四點(diǎn),則“AB=DC”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件;
③若a=b,b=c,則a=c;
④a=b的充要條件是|a|=|b|且a∥b.
其中正確說法的序號(hào)是( )

A.②③B.①②C.③④D.②④
解題心得平面向量有關(guān)概念的關(guān)鍵點(diǎn)
(1)平面向量定義的關(guān)鍵是方向和大小.
(2)非零共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反,長度沒有限制.
(3)相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長度相等.
(4)單位向量的關(guān)鍵是長度都是1個(gè)單位長度.
(5)零向量的關(guān)鍵是長度是0,規(guī)定零向量與任意向量共線.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1設(shè)a,b都是非零向量,下列四個(gè)條件中,一定能使a|a|+b|b|=0成立的是( )
A.a=2bB.a∥b
C.a=-13bD.a⊥b
【例2】(1)在△ABC中,BD=13BC,若AB=a,AC=b,則AD=( )
A.23a+13bB.13a+23b
C.13a-23bD.23a-13b
(2)如圖,在平行四邊形ABCD中,AC,BD相交于點(diǎn)O,E為線段AO的中點(diǎn).若BE=λBA+μBD(λ,μ∈R),則λ+μ等于( )
A.1B.34C.23D.12
解題心得平面向量的線性運(yùn)算的求解策略
(1)進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí),要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中,選用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的向量或首尾相接的向量,運(yùn)用向量加法、減法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算來求解.
(2)除了充分利用相等向量、相反向量和線段的比例關(guān)系外,有時(shí)還需要利用三角形中位線、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì),把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)在△ABC中,點(diǎn)O在線段BC的延長線上,且|BO|=3|CO|,當(dāng)AO=xAB+yAC時(shí),x-y=( )
A.-2B.-3
C.2D.3
(2)如圖所示,在正方形ABCD中,E為AB的中點(diǎn),F為CE的中點(diǎn),則AF=( )
A.34AB+14ADB.14AB+34AD
C.12AB+ADD.34AB+12AD
【例3】設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線.
(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),求證:A,B,D三點(diǎn)共線;
(2)試確定實(shí)數(shù)k,使ka+b和a+kb共線.
變式發(fā)散1若將本例(1)中“BC=2a+8b”改為“BC=a+mb”,則當(dāng)m為何值時(shí),A,B,D三點(diǎn)共線?
變式發(fā)散2若將本例(2)中的“共線”改為“反向共線”,則k為何值?
解題心得
[提醒]證明三點(diǎn)共線時(shí),需說明共線的兩向量有公共點(diǎn).
使用向量共線定理的大前提是至少有一個(gè)向量是非零向量.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)在四邊形ABCD中,AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b,則四邊形ABCD的形狀是( )
A.矩形B.平行四邊形
C.梯形D.菱形
(2)已知O為△ABC內(nèi)一點(diǎn),且AO=12(OB+OC),AD=tAC,若B,O,D三點(diǎn)共線,則t=( )
A.14B.13C.12D.23
第五章 平面向量、復(fù)數(shù)
5.1 平面向量的概念及線性運(yùn)算
必備知識(shí)·預(yù)案自診
知識(shí)梳理
1.大小 方向 長度 模 0 1個(gè)單位長度
相同 相反 方向相同或相反 平行 相等 相同 相等 相反
2.b+a a+(b+c) |λ||a| 相同 相反
(λμ)a λa+μa λa+λb
3.(1)b=λa
考點(diǎn)自診
1.(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)×
2.D AB+BC-AD=AC-AD=DC,故選D.
3.ABC 對(duì)于A,△ABC三條中線的交點(diǎn)就是重心,故A正確;對(duì)于B,根據(jù)平行四邊形法則可知GB+GC=2GD,因?yàn)辄c(diǎn)G是△ABC的重心,所以GA=-2GD,所以GA+GB+GC=0,故B正確;
對(duì)于C,因?yàn)辄c(diǎn)G是△ABC的重心,所以AG=2GD,所以AG=2GD,故C正確,D錯(cuò)誤.故選ABC.
4.-12 依題意知向量a+λb與2a-b共線,設(shè)a+λb=k(2a-b),則有(1-2k)a+(k+λ)b=0,所以1-2k=0,k+λ=0,解得k=12,λ=-12.
5.3 ∵|a+b|2=(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b=1+1+2a·b=1,
∴a·b=-12,
∴|a-b|2=(a-b)2=|a|2+|b|2-2a·b=3,∴|a-b|=3.
關(guān)鍵能力·學(xué)案突破
例1A ①不正確.兩個(gè)向量的長度相等,但它們的方向不一定相同.
②正確.∵AB=DC,∴|AB|=|DC|,AB∥DC且AB,DC方向相同,又A,B,C,D是不共線的四點(diǎn),∴四邊形ABCD為平行四邊形;
反之,若四邊形ABCD為平行四邊形,則|AB|=|DC|,AB∥DC且AB,DC方向相同,因此AB=DC.
③正確.∵a=b,∴a,b的長度相等且方向相同,又b=c,∴b,c的長度相等且方向相同,∴a,c的長度相等且方向相同,故a=c.
④不正確.當(dāng)a∥b且方向相反時(shí),即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故|a|=|b|且a∥b不是a=b的充要條件,而是必要不充分條件.
綜上所述,正確說法的序號(hào)是②③.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1C 由a,b都是非零向量及a|a|+b|b|=0,得a|a|=-b|b|≠0,即a=-b|b|·|a|≠0,則a與b方向相反,因此當(dāng)向量a與向量b方向相反時(shí),能使a|a|+b|b|=0成立.對(duì)照各個(gè)選項(xiàng)可知,選項(xiàng)A中a與b的方向相同;選項(xiàng)B中a與b方向相同或相反;選項(xiàng)C中a與b的方向相反;選項(xiàng)D中a與b互相垂直.
例2(1)A (2)B (1)∵AB=a,AC=b,
BD=13BC,∴AD-AB=13(AC-AB),∴AD=23AB+13AC=23a+13b.故選A.
(2)∵E為線段AO的中點(diǎn),
∴BE=12BA+12BO=12BA+12×12BD=12BA+14BD=λBA+μBD,∴λ+μ=12+14=34.故選B.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)A (2)D (1)如圖.
∵|BO|=3|CO|,
∴BO=3CO.
∴BO=32BC=32(AC-AB).
∴AO=AB+BO=AB+32(AC-AB)=-12AB+32AC.又AO=xAB+yAC,∴x=-12,y=32.
∴x-y=-2,故選A.
(2)根據(jù)題意得AF=12(AC+AE),又因?yàn)锳C=AB+AD,AE=12AB,
所以AF=12AB+AD+12AB=34AB+12AD.故選D.
例3(1)證明∵AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),
∴BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5AB,
∴AB,BD共線,又它們有公共點(diǎn)B,
∴A,B,D三點(diǎn)共線.
(2)解∵ka+b與a+kb共線,
∴存在實(shí)數(shù)λ,使ka+b=λ(a+kb),即(k-λ)a=(λk-1)b.
又a,b是兩個(gè)不共線的非零向量,
∴k-λ=0,λk-1=0.∴k2-1=0.∴k=±1.
變式發(fā)散1解BD=BC+CD=(a+mb)+3(a-b)=4a+(m-3)b,
若A,B,D三點(diǎn)共線,則存在實(shí)數(shù)λ,使BD=λAB,即4a+(m-3)b=λ(a+b),
∴4=λ,m-3=λ,解得m=7.
故當(dāng)m=7時(shí),A,B,D三點(diǎn)共線.
變式發(fā)散2解因?yàn)閗a+b與a+kb反向共線,所以存在實(shí)數(shù)λ,使ka+b=λ(a+kb)(λ

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