一、選擇題
1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) eq \f(5i,2－i)的對應(yīng)點位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
B [ eq \f(5i,2－i)＝ eq \f(5i（2＋i）,（2－i）（2＋i）)＝ eq \f(5i（2＋i）,5)＝－1＋2i，對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(－1，2)，位于第二象限．]
2．設(shè)z＝ eq \f(3－i,1＋2i)，則|z|＝( )
A．2 B． eq \r(3) C． eq \r(2) D．1
C [由z＝ eq \f(3－i,1＋2i)，得|z|＝| eq \f(3－i,1＋2i)|＝ eq \f(|3－i|,|1＋2i|)＝ eq \f(\r(10),\r(5))＝ eq \r(2).]
3．若復(fù)數(shù)z滿足z(2－i)＝11＋7i(i是虛數(shù)單位)，則z為( )
A．3＋5i B．3－5i
C．－3＋5i D．－3－5i
A [∵z(2－i)＝11＋7i，∴z＝ eq \f(11＋7i,2－i)＝ eq \f(（11＋7i）（2＋i）,（2－i）（2＋i）)＝ eq \f(15＋25i,5)＝3＋5i.]
4．已知復(fù)數(shù)z1＝3－bi，z2＝1－2i，若 eq \f(z1,z2)是實數(shù)，則實數(shù)b等于( )
A．6 B．－6 C．0 D． eq \f(1,6)
A [∵ eq \f(z1,z2)＝ eq \f(3－bi,1－2i)＝ eq \f(（3－bi）（1＋2i）,（1－2i）（1＋2i）)＝ eq \f(3＋2b＋（6－b）i,5)是實數(shù)，
∴6－b＝0，∴實數(shù)b的值為6，故選A.]
5．若 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋i,1－i))) eq \s\up8(n)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－i,1＋i))) eq \s\up8(n)＝2，則n的值可能為( )
A．4 B．5 C．6 D．7
A [因為 eq \f(1＋i,1－i)＝i， eq \f(1－i,1＋i)＝－i，
所以in＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－i)) eq \s\up8(n)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2，n＝4k,0，n＝4k＋1,－2，n＝4k＋2,0，n＝4k＋3))(k∈N)，結(jié)合選項知，n的值可能為4.]
二、填空題
6．已知復(fù)數(shù)z＝－1＋i(i是虛數(shù)單位)，則 eq \f(z＋2,z2＋z)＝________．
－1 [∵z＝－1＋i，則z2＝－2i，
∴ eq \f(z＋2,z2＋z)＝ eq \f(1＋i,－1－i)＝ eq \f(1＋i,－（1＋i）)＝－1.]
7．已知 eq \f(2－3i,z)＝－i，則復(fù)數(shù)z＝________．
3＋2i [因為 eq \f(2－3i,z)＝－i，所以z＝ eq \f(2－3i,－i)＝(2－3i)i＝3＋2i.]
8．計算： eq \f(（1＋i）（4＋3i）,（2－i）（1－i）)＝________．
－2＋i [法一： eq \f(（1＋i）（4＋3i）,（2－i）（1－i）)＝ eq \f(1＋7i,1－3i)＝ eq \f(（1＋7i）（1＋3i）,10)＝－2＋i.
法二： eq \f(（1＋i）（4＋3i）,（2－i）（1－i）)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋i,1－i))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4＋3i,2－i)))
＝ eq \f(i（4＋3i）（2＋i）,5)＝ eq \f(（－3＋4i）（2＋i）,5)＝ eq \f(－10＋5i,5)＝－2＋i.]
三、解答題
9．計算：(1) eq \f(（－1＋i）（2＋i）,i3)；(2) eq \f(（1＋2i）2＋3（1－i）,2＋i).
[解] (1) eq \f(（－1＋i）（2＋i）,i3)＝ eq \f(－3＋i,－i)＝－1－3i.
(2) eq \f(（1＋2i）2＋3（1－i）,2＋i)＝ eq \f(－3＋4i＋3－3i,2＋i)＝ eq \f(i,2＋i)＝ eq \f(i（2－i）,5)＝ eq \f(1,5)＋ eq \f(2,5)i.
10. 計算：(1)(1＋2i)÷(3－4i)；(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋i,1－i))) eq \s\up8(6)＋ eq \f(\r(2)＋\r(3)i,\r(3)－\r(2)i).
[解] (1)(1＋2i)÷(3－4i)＝ eq \f(1＋2i,3－4i)＝ eq \f(（1＋2i）（3＋4i）,（3－4i）（3＋4i）)＝ eq \f(－5＋10i,25)＝－ eq \f(1,5)＋ eq \f(2,5)i；
(2)原式＝ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(（1＋i）2,2))) eq \s\up8(6)＋ eq \f(（\r(2)＋\r(3)i）（\r(3)＋\r(2)i）,（\r(3)）2＋（\r(2)）2)＝i6＋ eq \f(\r(6)＋2i＋3i－\r(6),5)＝－1＋i.
11. 若復(fù)數(shù)z＝ eq \f(1＋i,1＋ai)為純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為( )
A．1 B．0 C．－ eq \f(1,2) D．－1
D [設(shè)z＝bi，b∈R且b≠0，則 eq \f(1＋i,1＋ai)＝bi，得到1＋i＝－ab＋bi，∴1＝－ab，且1＝b，解得a＝－1，故選D.]
12．已知復(fù)數(shù) eq \f(a＋i,2＋i)＝x＋yi(a，x，y∈R，i是虛數(shù)單位)，則x＋2y＝( )
A．1 B． eq \f(3,5) C．－ eq \f(3,5) D．－1
A [由題意得a＋i＝(x＋yi)(2＋i)＝2x－y＋(x＋2y)i，∴x＋2y＝1，故選A.]
13．定義一種運算： eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a b,c d))＝ad－bc.則復(fù)數(shù) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1＋i －1,2 3i))的共軛復(fù)數(shù)是________．
－1－3i [ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1＋i －1,2 3i))＝3i(1＋i)＋2＝－1＋3i，∴其共軛復(fù)數(shù)為－1－3i.]
14．若復(fù)數(shù)z＝ eq \f(7＋ai,2－i)的實部為3，則z的虛部為________．
1 [z＝ eq \f(7＋ai,2－i)＝ eq \f(（7＋ai）（2＋i）,（2－i）（2＋i）)＝ eq \f(（14－a）＋（7＋2a）i,5)＝ eq \f(14－a,5)＋ eq \f(7＋2a,5)i.
由題意知 eq \f(14－a,5)＝3，∴a＝－1，∴z＝3＋i，∴z的虛部為1.]
15．已知復(fù)數(shù)z＝1＋i.
(1)設(shè)ω＝z2＋3 eq \x\t(z)－4，求ω；
(2)若 eq \f(z2＋az＋b,z2－z＋1)＝1－i，求實數(shù)a，b的值．
[解] (1)因為z＝1＋i，
所以ω＝z2＋3 eq \x\t(z)－4＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i.
(2)因為z＝1＋i，所以 eq \f(z2＋az＋b,z2－z＋1)＝ eq \f(（1＋i）2＋a（1＋i）＋b,（1＋i）2－（1＋i）＋1)＝1－i，
即 eq \f(（a＋b）＋（a＋2）i,i)＝1－i，
所以(a＋b)＋(a＋2)i＝(1－i)i＝1＋i，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋2＝1，,a＋b＝1，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝2.))

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2.3 復(fù)數(shù)乘法幾何意義初探

版本： 北師大版 (2019)

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