第七章　立體幾何第二節(jié)　空間幾何體的表面積與體積課時規(guī)范練A組——基礎對點練1．一個球的表面積是16π，那么這個球的體積為(　　)A.π　　　　　　　 B.πC．16π  D．24π解析：設球的半徑為R，∵表面積是16π，∴4πR2＝16π，解得R＝2.∴體積為πR3＝.故選B.答案：B2．《九章算術》卷5《商功》記載一個問題“今有圓堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．問積幾何？答曰：二千一百一十二尺．術曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．這里所說的圓堡瑽就是圓柱體，它的體積為“周自相乘，以高乘之，十二而一”．就是說：圓堡瑽(圓柱體)的體積為V＝×(底面圓的周長的平方×高)，則由此可推得圓周率π的取值為(　　)A．3  B．3.1C．3.14  D．3.2解析：∵圓堡瑽(圓柱體)的體積為V＝×(底面圓的周長的平方×高)，∴×(2πr)2×h＝πr2×h，解得π＝3.故選A.答案：A3．(2020·江西七校聯(lián)考)若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是(　　)A．48＋π  B．48－πC．48＋2π  D．48－2π解析：該幾何體是正四棱柱挖去了一個半球，正四棱柱的底面是正方形(邊長為2)，高為5，半球的半徑是1，那么該幾何體的表面積為S＝2×2×2＋4×2×5－π×12＋4π×12÷2＝48＋π，故選A.答案：A4．某幾何體的主視圖和左視圖如圖(1)，它的俯視圖的直觀圖是矩形O1A1B1C1，如圖(2)，其中O1A1＝6，O1C1＝2，則該幾何體的側面積為(　　)圖(1)圖(2)A．48  B．64C．96  D．128解析：由題圖(2)及斜二測畫法可知原俯視圖為如圖所示的平行四邊形OABC，設CB與y軸的交點為D，則易知CD＝2，OD＝2×2＝4，∴CO＝＝6＝OA，∴俯視圖是以6為邊長的菱形，由三視圖知幾何體為一個直四棱柱，其高為4，∴該幾何體的側面積為4×6×4＝96.故選C.答案：C5．(2018·高考全國卷Ⅲ)設A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊三角形且其面積為9，則三棱錐D-ABC體積的最大值為(　　)A．12  B．18C．24  D．54解析：由等邊△ABC的面積為9可得AB2＝9，∴AB＝6，∴等邊△ABC的外接圓的半徑為r＝2.設球的半徑為R，球心到等邊△ABC的外接圓圓心的距離為d，則d＝＝＝2.∴三棱錐D-ABC高的最大值為2＋4＝6，∴三棱錐D-ABC體積的最大值為×9×6＝18.故選B.答案：B6．一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，點M是AB上的動點，記四面體EFMC的體積為V1，多面體ADF-BCE的體積為V2，則＝(　　)A.  B．C.  D．隨點M位置的變化而變化解析：由三視圖可知多面體ADF-BCE是直三棱柱，其底面是等腰直角三角形(直角邊長為a)，且四邊形DFEC與四邊形ABCD都是正方形，它們的邊長均為a.∵M是AB上的動點，且易知AB∥平面DFEC，∴點M到平面DFEC的距離等于點B到平面DFEC的距離，為a，∴V1＝VM-EFC＝×a·a·a＝.又V2＝a·a·a＝，故＝＝，故選B.答案：B7．(2019·高考全國卷Ⅰ)已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F分別是PA，AB的中點，∠CEF＝90°，則球O的體積為(　　)A．8π  B．4πC．2π  D.π解析：設PA＝x，則cos∠APC＝＝＝，∴CE2＝PE2＋PC2－2PE·PC·cos∠APC＝＋x2－2··x·＝＋2.∵∠CEF＝90°，EF＝PB＝，CF＝，∴CE2＋EF2＝CF2，即＋2＋＝3，解得x＝，∴PA＝PB＝PC＝，又AB＝BC＝AC＝2，易知PA，PB，PC兩兩相互垂直，故三棱錐P-ABC的外接球的半徑為，∴三棱錐P-ABC的外接球的體積為π·＝π，故選D.答案：D8．(2018·高考全國卷Ⅱ)已知圓錐的頂點為S，母線SA，SB互相垂直，SA與圓錐底面所成角為30°.若△SAB的面積為8，則該圓錐的體積為________．解析：設圓錐底面半徑為r，母線長為l，高為h，因為母線SA與底面所成的角為30°，所以l＝r.由△SAB的面積為8得l2＝8，即×r2＝8，所以r2＝12，h＝r＝2.所以圓錐的體積為πr2h＝π×12×2＝8π.答案：8π9．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線與粗虛線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體外接球的表面積為________．解析：根據(jù)三視圖得出：該幾何體是鑲嵌在正方體中的四棱錐O-ABCD，正方體的棱長為2，A，D為棱的中點．根據(jù)幾何體可以判斷：球心應該在過A，D且平行于正方體底面的中截面上，設球心到截面BCO的距離為x，則到AD的距離為2－x，∴R2＝x2＋()2，R2＝12＋(2－x)2，解得x＝，R＝，故該多面體外接球的表面積為4πR2＝π.答案：π10．如圖，為了制作一個圓柱形燈籠，先要制作4個全等的矩形骨架，總計耗用9.6米鐵絲，再用S平方米塑料片制成圓柱的側面和下底面(不安裝上底面)．(1)當圓柱底面半徑r取何值時，S取得最大值？并求出該最大值(結果精確到0.01平方米)；(2)若要制作一個如圖放置的、底面半徑為0.3米的燈籠，請作出用于制作燈籠的三視圖(作圖時，不需考慮骨架等因素)．解析：(1)由題意，可知圓柱的高為＝1.2－2r(米)，∴塑料片面積S＝πr2＋2πr(1.2－2r)＝πr2＋2.4πr－4πr2＝－3πr2＋2.4πr＝－3π(r2－0.8r)．∴當r＝0.4米時，S有最大值，約為1.51平方米．(2)若燈籠底面半徑為0.3米，則高為1.2－2×0.3＝0.6(米)．制作燈籠的三視圖如圖所示．B組——素養(yǎng)提升練11．(2019·高考全國卷Ⅲ)學生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術制作模型，如圖，該模型為長方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體，其中O為長方體的中心，E，F，G，H分別為所在棱的中點，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用的材料密度為0.9 g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質量為________ g.解析：由題意得，SEFGH＝4×6－4××2×3＝12 cm2，四棱錐O-EFG的高3 cm，∴VO-EFGH＝×12×3＝12 cm3.又長方體ABCD-A1B1C1D1的體積為V2＝4×6×6＝144 cm3，所以該模型體積為V＝V2－V1＝144－12＝132 cm3，其質量為0.9×132＝118.8 g.答案：118.812．(2017·高考全國卷Ⅰ)如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F為圓O上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱錐．當△ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為________．答案：413．如圖，△ABC內(nèi)接于圓O，AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，DC⊥平面ABC，AB＝2，EB＝.(1)求證：DE⊥平面ACD；(2)設AC＝x，V(x)表示三棱錐B-ACE的體積，求函數(shù)V(x)的解析式及最大值．解析：(1)證明：∵四邊形DCBE為平行四邊形，∴CD∥BE，BC∥DE.∵DC⊥平面ABC，BC平面ABC，∴DC⊥BC.∵AB是圓O的直徑，∴BC⊥AC，且DC∩AC＝C，∴BC⊥平面ADC.∵DE∥BC，∴DE⊥平面ADC.(2)∵DC⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC.在Rt△ABE中，AB＝2，EB＝.在Rt△ABC中，∵AC＝x，BC＝(0<x<2)，∴S△ABC＝AC·BC＝x·，∴V(x)＝VE－ABC＝x·(0<x<2)．∵x2(4－x2)≤＝4，當且僅當x2＝4－x2，即x＝時，取等號，∴當x＝時，體積有最大值. 

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