習題課——導數的綜合應用1.若不等式>0在[1,2]上恒成立,則實數a的取值范圍是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.a>-1 B.a<-1C.a<4 D.a>4解析:依題意不等式x3-2x-a<0在[1,2]上恒成立,即a>x3-2x,令g(x)=x3-2x,則g'(x)=3x2-2>0在[1,2]上恒成立,因此[g(x)]max=g(2)=4,故a>4.答案:D2.已知函數y=x3-3x+c的圖像與x軸恰有兩個公共點,則c=(　　)A.-2或2 B.-9或3 C.-1或1 D.-3或1解析:y'=3x2-3,所以當y'=0時,x=±1.則x,y',y的變化情況如下表:x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)y'+0-0+y↗c+2↘c-2↗ 因此,當函數圖像與x軸恰有兩個公共點時,必有c+2=0或c-2=0,所以c=-2或c=2.故選A.答案:A3.方程-ln x-2=0的根的個數為(　　)A.0 B.1 C.2 D.3解析:令f(x)=-lnx-2,則由f'(x)==0,得x=4.當0<x<4時,f'(x)<0;當x>4時,f'(x)>0.∴x=4是f(x)的唯一極小值點,且f(4)<0.又f(e-2)>0,f(e4)=e2-6>0,∴f(x)在(e-2,4),(4,e4)上各有一個零點,∴對應的方程有2個根.故選C.答案:C4.若不等式ax2≥ln x恒成立,則實數a的取值范圍是(　　)A.a≥ B.a>C.a< D.a≤解析:由ax2≥lnx得a≥,令g(x)=,則g'(x)=,由g'(x)=0得x=,且g(x)在(0,)上是增加的,在(,+∞)上是減少的,于是g(x)在x=處取得極大值即最大值g()=,因此要使a≥成立,應有a≥.答案:A5.已知y=f(x)為R上的可導函數,當x≠0時,f'(x)+>0,則函數g(x)=f(x)+的零點個數為(　　)A.1 B.2 C.0 D.0或2解析:因為函數y=f(x)為R上的可導函數,當x≠0時,f'(x)+>0,即>0.令h(x)=xf(x),即>0.所以可得所以函數h(x)在x>0時是增加的,所以h(x)>h(0)=0.即當x>0時,h(x)>0.同理當x<0時,h(x)>0.又因為函數g(x)=f(x)+可化為g(x)=,所以當x>0時,g(x)>0,即與x軸沒交點.當x<0時,g(x)<0.所以函數g(x)=f(x)+的零點個數為0.故選C.答案:C6.函數f(x)=x3-12x+3,g(x)=3x-m,若?x1∈[-1,5],?x2∈[0,2],f(x1)≥g(x2),則實數m的最小值是　　　　　. 解析:由題意f'(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),則f(x)在[-1,2]上是減少的,在[2,5]上是增加的,所以x∈[-1,5]時,f(x)min=f(2)=8-24+3=-13.又g(x)=3x-m在[0,2]上是增加的,所以x∈[0,2]時,g(x)min=g(0)=1-m,所以-13≥1-m,得m≥14,故mmin=14.答案:147.函數y=ln x+x2的圖像與函數y=3x-b的圖像有3個不同的交點,則實數b的取值范圍是　　　　　. 解析:依題意方程lnx+x2-3x+b=0有3個實數根,即b=-lnx-x2+3x,令f(x)=-lnx-x2+3x,則f'(x)=--2x+3=,因此f(x)在x=取得極小值f+ln2,在x=1取得極大值f(1)=2,故實數b的取值范圍是.答案:8.已知函數f(x)=ex-2x+a有零點,則a的取值范圍是　　　　　. 解析:∵f'(x)=ex-2,令f'(x)=0,解得x=ln2,∴當x∈(-∞,ln2)時,f'(x)<0,則f(x)在區(qū)間(-∞,ln2)上是減少的;當x∈(ln2,+∞)時,f'(x)>0,則f(x)在區(qū)間(ln2,+∞)上是增加的,∴當x=ln2時,f(x)=ex-2x+a取得最小值,為eln2-2ln2+a=2-2ln2+a.由題意,得2-2ln2+a≤0,解得a≤2ln2-2.答案:a≤2ln 2-29.導學號01844051已知函數f(x)=ln x.(1)若函數h(x)=f(x)+x2-ax在點(1,h(1))處的切線與直線4x-y+1=0平行,求實數a的值;(2)對任意的a∈[-1,0),若不等式f(x)<ax2+2x+b在x∈(0,1]上恒成立,求實數b的取值范圍.解(1)由已知得h(x)=lnx+x2-ax,則h'(x)=+x-a=,由于直線4x-y+1=0的斜率為4,依題意得h'(1)=4.即2-a=4?a=-2,故a的值為-2.(2)由已知得:不等式b>lnx-ax2-2x對任意的a∈[-1,0)恒成立,則b>,由函數φ(a)=-x2a-2x+lnx在a∈[-1,0)上是減少的,所以φ(a)max=φ(-1)=x2-2x+lnx,因此問題轉化為不等式b>x2-2x+lnx在x∈(0,1]上恒成立,令G(x)=x2-2x+lnx,則G'(x)=x-2+≥0.因此G(x)max=G(1)=-,故b的取值范圍為b>-.10.導學號01844052已知函數f(x)=x3-x2+bx+c.(1)若f(x)有極值,求b的取值范圍;(2)當f(x)在x=1處取得極值時,證明:對[-1,2]內的任意兩個值x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤.(1)解因為f(x)=x3-x2+bx+c,所以f'(x)=3x2-x+b,要使f(x)有極值,則f'(x)=3x2-x+b=0有兩個不相等的實數解,從而Δ=1-12b>0,解得b<.(2)證明因為f(x)在x=1處取得極值,所以f'(1)=3-1+b=0.所以b=-2.由上可知,當x=1時,f(x)有極小值-+c,當x=-時,f(x)有極大值+c.又f(2)=2+c,f(-1)=+c,所以當x∈[-1,2]時,f(x)的最小值為-+c,最大值為2+c.所以|f(x1)-f(x2)|≤|f(x)max-f(x)min|=,故結論成立.  

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