第3課時 定點、定值、探索性問題授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第373頁[A組　基礎(chǔ)保分練]1．（2021·蚌埠模擬）已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）經(jīng)過點P（0，1），離心率e＝．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線l經(jīng)過點Q（2，－1）且與C相交于A，B兩點（異于點P），記直線PA的斜率為k1，直線PB的斜率為k2，證明：k1＋k2為定值．解析：（1）因為橢圓C：＋＝1（a＞b＞0），經(jīng)過點P（0，1），所以b＝1．又e＝，所以＝，解得a＝2．所以橢圓C的方程為＋y2＝1．（2）證明：若直線AB的斜率不存在，則直線l的方程為x＝2，此時直線與橢圓相切，不符合題意．設(shè)直線AB的方程為y＋1＝k（x－2），即y＝kx－2k－1，聯(lián)立得（1＋4k2）x2－8k（2k＋1）x＋16k2＋16k＝0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1＋x2＝，x1x2＝，k1＋k2＝＋＝＝＝2k－＝2k－＝2k－（2k＋1）＝－1．所以k1＋k2為定值，且定值為－1．2．（2021·廣州四校聯(lián)考）設(shè)斜率不為0的直線l與拋物線x2＝4y交于A，B兩點，與橢圓＋＝1交于C，D兩點，記直線OA，OB，OC，OD（O為坐標(biāo)原點）的斜率分別為k1，k2，k3，k4．（1）若直線l過點（0，4），證明：OA⊥OB；（2）求證：的值與直線l的斜率的大小無關(guān)．證明：設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m，k≠0，A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）依題意，兩式相乘得（x1x2）2＝16y1y2，若直線l過點（0，4），則直線l的方程為y＝kx＋4，將直線l的方程代入拋物線x2＝4y，得x2－4kx－16＝0，易知Δ＞0，∴x1x2＝－16，∴y1y2＝16，∴·＝x1x2＋y1y2＝0，∴·＝0，∴OA⊥OB．（2）設(shè)C（x3，y3），D（x4，y4）．聯(lián)立y＝kx＋m和x2＝4y，化簡得x2－4kx－4m＝0，易知Δ＞0，則x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m，k1＋k2＝＋＝＋＝k，聯(lián)立y＝kx＋m和＋＝1，化簡得（2＋3k2）x2＋6kmx＋3m2－12＝0，在Δ＝（6km）2－4（2＋3k2）（3m2－12）＞0的情況下，x3＋x4＝，x3x4＝，k3＋k4＝＋＝2k＋＋＝2k＋＝2k＋＝，∴＝－，是一個與直線l的斜率k無關(guān)的值．[B組　能力提升練]1．（2021·臨沂模擬）過點P的橢圓C：＋＝1（a＞b＞0），其離心率e＝．（1）求橢圓C的方程；（2）若過橢圓C的右焦點F的直線l與橢圓C交于兩點A（x1，y1），B（x2，y2），且與y軸交于一點M（不是原點），＝λ1，＝λ2，證明：λ1＋λ2為定值．解析：（1）解方程組解得a＝2，b＝，∴橢圓C的方程是＋＝1．（2）證明：F（1，0），由題意可知直線AB斜率存在且不為0，設(shè)直線AB的方程為x＝my＋1（m≠0），則M，∴＝，＝（1－x1，－y1），＝，＝（1－x2，－y2）．∵＝λ1，＝λ2，∴y1＋＝－λ1y1，y2＋＝－λ2y2，∴λ1＝－1－，λ2＝－1－，∴λ1＋λ2＝－2－－＝－2－．聯(lián)立方程組消去x得（3m2＋4）y2＋6my－9＝0，∴y1＋y2＝，y1y2＝，∴λ1＋λ2＝－2－＝－2－·＝－．∴λ1＋λ2為定值．2．已知曲線C1：x2＋y2＝r2（r＞0）和C2：＋＝1（a＞b＞0）都過點P（0，－2），且曲線C2的離心率為．（1）求曲線C1和曲線C2的方程；（2）設(shè)點A，B分別在曲線C1，C2上，PA，PB的斜率分別為k1，k2，當(dāng)k1＝4k2＞0時，問直線AB是否過定點？若過定點，求出定點坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由．解析：（1）曲線C1：x2＋y2＝r2（r＞0）和C2：＋＝1（a＞b＞0）都過點P（0，－2），∴r＝2，b＝2，∴曲線C1的方程為x2＋y2＝4．∵曲線C2的離心率為，∴e2＝＝1－＝，∴a＝4，∴曲線C2的方程＋＝1．（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線PA的方程為y＝k1x－2，代入到x2＋y2＝4，消去y，可得（1＋k）x2－4k1x＝0，解得x＝0或x1＝，∴y1＝，直線PB的方程為y＝k2x－2，代入方程＋＝1，消去y，可得（1＋4k）x2－16k2x＝0，解得x＝0或x2＝，∴y2＝．∵k1＝4k2，∴直線AB的斜率k＝＝－，故直線AB的方程為y－＝－，即y＝－x＋2，所以直線AB恒過定點（0，2）．[C組　創(chuàng)新應(yīng)用練]（2021·大同調(diào)研）橢圓＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F2，且離心率e＝．（1）設(shè)E是直線y＝x＋2與橢圓的一個交點，求|EF1|＋|EF2|取最小值時橢圓的方程；（2）已知N（0，1），是否存在斜率為k的直線l與（1）中的橢圓交于不同的兩點A，B，使得點N在線段AB的垂直平分線上？若存在，求出直線l在y軸上截距的范圍；若不存在，說明理由．解析：（1）∵e＝，∴＝，橢圓的方程可化為＋＝1，將＋＝1與y＝x＋2聯(lián)立，消去y化簡得4x2＋12x＋12－3b2＝0，由Δ＝144－16×（12－3b2）≥0，解得b2≥1，即b≥1，∴|EF1|＋|EF2|＝2a＝2b≥2，當(dāng)且僅當(dāng)b＝1時，|EF1|＋|EF2|取最小值2，∴橢圓的方程為＋y2＝1．（2）設(shè)直線l在y軸上的截距為t，則直線l的方程為y＝kx＋t，代入＋y2＝1，消去y整理得，（1＋3k2）x2＋6ktx＋3t2－3＝0，∵直線l與橢圓交于不同的兩點，∴Δ1＝（6kt）2－12（t2－1）（1＋3k2）＞0，即t2＜1＋3k2．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中點為Q，則x1＋x2＝－，x1x2＝，y1＋y2＝k（x1＋x2）＋2t＝，∴AB的中點Q的坐標(biāo)為，∴當(dāng)k≠0時，＝－，化簡得1＋3k2＝－2t，代入t2＜1＋3k2得－2＜t＜0，又－2t＝1＋3k2＞1，∴t＜－，故－2＜t＜－．當(dāng)k＝0時，－1＜t＜1．綜上，k≠0時，直線l在y軸上截距的范圍為；k＝0時，直線l在y軸上截距的范圍為（－1，1）．

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