高考數(shù)學一輪復習第八章第七節(jié)雙曲線課時作業(yè)理含解析北師大版-試卷下載-教習網(wǎng)

第七節(jié) 雙曲線授課提示：對應學生用書第365頁[A組　基礎保分練]1．“k<9”是“方程＋＝1表示雙曲線”的（　?。?/span>A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：因為方程＋＝1表示雙曲線，所以（25－k）（k－9）<0，所以k<9或k>25，所以“k<9”是“方程＋＝1表示雙曲線”的充分不必要條件．答案：A2．若雙曲線－＝1（a＞0，b＞0）的一條漸近線過點（－2b，a），則該雙曲線的離心率為（　?。?/span>A．　　　　　　　 B．2C．3 D．解析：依題意得該雙曲線的漸近線方程為y＝±x，則a＝－×（－2b），得a2＝2b2，得e＝＝＝．答案：D3．（2020·高考全國卷Ⅲ）設雙曲線C：－＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦點分別為F1，F2，離心率為．P是C上一點，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面積為4，則a＝（　?。?/span>A．1 B．2C．4 D．8解析：由得∴|F1F2|＝2c＝2a．∵△PF1F2中，F1P⊥F2P，∴|F1P|2＋|F2P|2＝|F1F2|2＝4c2＝20a2．不妨設P在C的右支上，則|F1P|－|F2P|＝2a．∵△PF1F2的面積為4，∴|F1P||F2P|＝4，即|F1P||F2P|＝8．∴（|F1P|－|F2P|）2＝|F1P|2＋|F2P|2－2|F1P||F2P|＝20a2－2×8＝4a2，解得a＝1．答案：A4．已知雙曲線－＝1（b＞0）的右焦點為（3，0），則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于（　?。?/span>A． B．3C．5 D．4解析：由題意知a2＝4，4＋b2＝32，故b＝，所以漸近線的方程為y＝±x，則焦點到漸近線的距離d＝＝．答案：A5．已知直線l與雙曲線C：x2－y2＝2的兩條漸近線分別交于A，B兩點，若AB的中點在該雙曲線上，O為坐標原點，則△AOB的面積為（　?。?/span>A． B．1C．2 D．4解析：由題意得，雙曲線的兩條漸近線方程為y＝±x，設A（x1，x1），B（x2，－x2），所以AB中點坐標為，所以－＝2，即x1x2＝2，所以S△AOB＝|OA|·|OB|＝|x1|·|x2|＝|x1x2|＝2．答案：C6．已知雙曲線C：－y2＝1，O為坐標原點，F為C的右焦點，過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M，N．若△OMN為直角三角形，則|MN|＝（　　）A． B．3C．2 D．4解析：因為雙曲線－y2＝1的漸近線方程為y＝±x，所以∠MON＝60°．不妨設過點F的直線與直線y＝x交于點M，由△OMN為直角三角形，不妨設∠OMN＝90°，則∠MFO＝60°．又直線MN過點F（2，0），所以直線MN的方程為y＝－（x－2）．由得所以M，所以|OM|＝＝，所以|MN|＝|OM|＝3．答案：B7．（2021·昆明調(diào)研）已知雙曲線C：－＝1（a＞0，b＞0）的一條漸近線與直線x＋2y＝0垂直，則雙曲線C的離心率為_________．解析：易知直線x＋2y＝0的斜率為－，所以雙曲線的一條漸近線的斜率為2，即＝2，所以雙曲線C的離心率e＝＝＝．答案：8．設雙曲線－＝1（a＞0，b＞0）的右焦點是F，左、右頂點分別是A1，A2，過F作A1A2的垂線與雙曲線交于B，C兩點．若A1B⊥A2C，則該雙曲線的漸近線的斜率為_________．解析：由題設易知A1（－a，0），A2（a，0），B，C．∵A1B⊥A2C，∴·＝－1，整理得a＝b．∵漸近線方程為y＝±x，即y＝±x，∴漸近線的斜率為±1．答案：±19．（2021·湛江模擬）已知雙曲線－＝1（a＞0，b＞0）的右焦點為F（c，0）．（1）若雙曲線的一條漸近線方程為y＝x且c＝2，求雙曲線的方程；（2）以原點O為圓心，c為半徑作圓，該圓與雙曲線在第一象限的交點為A，過A作圓的切線，斜率為－，求雙曲線的離心率．解析：（1）因為雙曲線的漸近線方程為y＝±x，所以a＝b，所以c2＝a2＋b2＝2a2＝4，所以a2＝b2＝2，所以雙曲線方程為－＝1．（2）設點A的坐標為（x0，y0），所以直線AO的斜率滿足·（－）＝－1，所以x0＝y0，①依題意，圓的方程為x2＋y2＝c2，將①代入圓的方程得3y＋y＝c2，即y0＝c，所以x0＝c，所以點A的坐標為，代入雙曲線方程得－＝1，即b2c2－a2c2＝a2b2．②又因為a2＋b2＝c2，所以將b2＝c2－a2代入②式，整理得c4－2a2c2＋a4＝0，所以3－8＋4＝0，所以（3e2－2）（e2－2）＝0，因為e＞1，所以e＝，所以雙曲線的離心率為．[B組　能力提升練]1．若雙曲線－＝1（a＞0，b＞0）上一點M（－3，4）關于一條漸近線的對稱點恰為右焦點F2，則該雙曲線的標準方程為（　?。?/span>A．－＝1 B．－＝1C．－＝1 D．－＝1解析：點M（－3，4）與雙曲線的右焦點F2（c，0）關于漸近線y＝x對稱，則得c＝5，＝2，所以b2＝25－a2＝4a2，所以a2＝5，b2＝20，則該雙曲線的標準方程為－＝1．答案：A2．如圖，F1，F2是雙曲線C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，過F2的直線與雙曲線交于A，B兩點．若|AB|∶|BF1|∶|AF1|＝3∶4∶5，則雙曲線的漸近線方程為（　?。?/span>A．y＝±2x B．y＝±2xC．y＝±x D．y＝±x解析：由題意可設|AB|＝3k，則|BF1|＝4k，|AF1|＝5k，則易得BF1⊥BF2，由雙曲線的定義可知|AF1|－|AF2|＝2a，則可得|AF2|＝5k－2a，|BF2|＝8k－2a，再根據(jù)雙曲線的定義得|BF2|－|BF1|＝2a，得k＝a，則|BF1|＝4a，|BF2|＝6a．又|F1F2|＝2c，所以在直角三角形BF1F2中，16a2＋36a2＝4c2＝4（a2＋b2），則＝2，雙曲線的漸近線方程為y＝±2x．答案：A3．（2021·廈門模擬）已知雙曲線C：－＝1（a＞0，b＞0）的一個焦點為F，點A，B是C的一條漸近線上關于原點對稱的兩點，以AB為直徑的圓過F且交C的左支于M，N兩點，若|MN|＝2，△ABF的面積為8，則C的漸近線方程為（　?。?/span>A．y＝±x B．y＝±xC．y＝±2x D．y＝±x解析：設雙曲線的另一個焦點為F′，由雙曲線的對稱性，可得四邊形AFBF′是矩形，所以S△ABF＝S△ABF′，即bc＝8，由可得y＝±，則|MN|＝＝2，即b2＝c，所以b＝2，c＝4，所以a＝＝2，所以C的漸近線方程為y＝±x．答案：B4．（2021·衡水模擬）過雙曲線－＝1（a＞0，b＞0）的右焦點F（，0）作斜率為k（k＜－1）的直線與雙曲線過第一象限的漸近線垂直，且垂足為A，交另一條漸近線于點B，若S△BOF＝（O為坐標原點），則k的值為（　　）A．－ B．－2C．－ D．－解析：由題意得雙曲線過第一象限的漸近線方程為y＝－x，過第二象限的漸近線的方程為y＝x，直線FB的方程為y＝k（x－），聯(lián)立方程得?x＝，所以y＝，所以S△BOF＝|OF|×|yB|＝××＝．令＝，得k＝－2或k＝（舍）．答案：B5．已知點F2為雙曲線C：－＝1（a＞0，b＞0）的右焦點，直線y＝kx交C于A，B兩點，若∠AF2B＝，S△AF2B＝2，則C的虛軸長為_________．解析：設雙曲線C的左焦點為F1，連接AF1，BF1（圖略），由對稱性可知四邊形AF1BF2是平行四邊形，所以S△AF1B＝2，∠F1AF2＝．設|AF1|＝r1，|AF2|＝r2，則4c2＝r＋r－2r1r2cos．又|r1－r2|＝2a，所以r1r2＝4b2．又S△AF2B＝S△AF1F2＝r1r2sin＝2，所以b2＝2，則該雙曲線的虛軸長為2．答案：26．已知雙曲線M：－＝1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，過點F且垂直于x軸的直線與雙曲線M交于A，B兩點，與雙曲線M的兩條漸近線交于C，D兩點．若|AB|＝|CD|，則雙曲線M的離心率是_________．解析：設雙曲線的右焦點為F（c，0），易知，|AB|＝．該雙曲線的漸近線方程為y＝±x，當x＝c時，y＝±，所以|CD|＝．由|AB|＝|CD|，得＝×，即b＝c，所以a＝＝c，所以e＝＝．答案：[C組　創(chuàng)新應用練]1．（2021·廣東四校聯(lián)考）P是雙曲線C：－y2＝1右支上一點，直線l是雙曲線C的一條漸近線．P在l上的射影為Q，F1是雙曲線C的左焦點，則|PF1|＋|PQ|的最小值為（　?。?/span>A．1 B．2＋C．4＋ D．2＋1解析：設雙曲線的右焦點為F2，連接PF2（圖略），因為|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝2＋|PF2|，|PF1|＋|PQ|＝2＋|PF2|＋|PQ|，當且僅當Q，P，F2三點共線，且P在Q，F2之間時，|PF2|＋|PQ|最小，且最小值為點F2到直線l的距離．由題意可得直線l的方程為y＝±x，焦點F2（，0），點F2到直線l的距離d＝1，故|PQ|＋|PF1|的最小值為2＋1．答案：D2．已知雙曲線C：－y2＝1的左焦點為F，過F的直線l交雙曲線C的左、右兩支分別于點Q，P．若|FQ|＝t|QP|，則實數(shù)t的取值范圍是（　?。?/span>A． B．C． D．解析：由條件知F（－2，0）．設P（x0，y0），Q（x1，y1），則＝（x1＋2，y1），＝（x0－x1，y0－y1），則（x1＋2，y1）＝t（x0－x1，y0－y1），所以x1＝，y1＝．因為點P（x0，y0），Q（x1，y1）都在雙曲線C上，所以消去y0，得x0＝．易知x0≥，所以≥，易知t＞0，所以0＜t≤，即實數(shù)t的取值范圍是．答案：A3．一種畫雙曲線的工具如圖所示，長桿OB通過O處的鉸鏈與固定好的短桿OA連接，取一條定長的細繩，一端固定在點A，另一端固定在點B，套上鉛筆（如圖所示）．作圖時，使鉛筆緊貼長桿OB，拉緊繩子，移動筆尖M（長桿OB繞O轉(zhuǎn)動），畫出的曲線即為雙曲線的一部分．若|OA|＝10，|OB|＝12，細繩長為8，則所得雙曲線的離心率為（　　）A． B．C． D．解析：設|MB|＝t，則由題意，可得|MO|＝12－t，|MA|＝8－t，有|MO|－|MA|＝4＜|AO|＝10，由雙曲線的定義可得動點M的軌跡為雙曲線的一支，且雙曲線的焦距2c＝10，實軸長2a＝4，即c＝5，a＝2，所以e＝＝．答案：D

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