高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第七章第七節(jié)立體幾何中的向量方法課時作業(yè)理含解析北師大版-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

第七節(jié) 立體幾何中的向量方法授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第351頁[A組　基礎(chǔ)保分練]1．將邊長為1的正方形AA1O1O（及其內(nèi)部）繞OO1旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，長為，長為，其中B1與C在平面AA1O1O的同側(cè)，則異面直線B1C與AA1所成的角的大小為（　　）A．　　　 B．　　　C．　　　　 D．解析：以O為坐標(biāo)原點(diǎn)建系（圖略），則A（0，1，0），A1（0，1，1），B1，C．所以＝（0，0，1），＝（0，－1，－1），所以cos〈，〉＝＝＝－，所以〈，〉＝，所以異面直線B1C與AA1所成的角為．答案：B2．如圖，已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，E為線段AB上一點(diǎn)，且AE＝AB，則DC1與平面D1EC所成的角的正弦值為（　?。?/span>A． B． C． D．解析：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系（圖略），則C1（0，3，1），D1（0，0，1），E（1，1，0），C（0，3，0），所以＝（0，3，1），＝（1，1，－1），＝（0，3，－1）．設(shè)平面D1EC的法向量為n＝（x，y，z），則即即取y＝1，得n＝（2，1，3）．因?yàn)?/span>cos〈，n〉＝＝＝，所以DC1與平面D1EC所成的角的正弦值為．答案：A3．如圖所示，在空間直角坐標(biāo)系中，有一棱長為a的正方體ABCD-A′B′C′D′，A′C的中點(diǎn)E與AB的中點(diǎn)F的距離為（　?。?/span>A．a B．aC．a D．a解析：A′（a，0，a），A（a，0，0），C（0，a，0），B（a，a，0），F，E，|EF|＝＝a．答案：B4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為正三角形，底面ABCD為正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，M為底面ABCD內(nèi)的一個動點(diǎn)，且滿足MP＝MC，則點(diǎn)M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡為（　　）解析：法一：以D為原點(diǎn)，DA，DC分別為x，y軸建系如圖：設(shè)M（x，y，0），設(shè)正方形邊長為a，則P，C（0，a，0），則||＝，||＝．由||＝||得x＝2y，所以點(diǎn)M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡為一條直線y＝x．法二：所求軌跡是線段PC的垂直平分面與平面ABCD的交線．答案：A5．在底面為直角梯形的四棱錐P-ABCD中，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，則點(diǎn)D到平面PBC的距離是_________．解析：分別以AB，AD，AP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，1，0），∴＝（2，2，－2），＝（0，2，0）．設(shè)n＝（x，y，z）為平面PBC的法向量，則即取x＝1，則n＝（1，0，1）．又＝（－2，1，0），∴點(diǎn)D到平面PBC的距離d＝＝．答案：6．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB，則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于_________．解析：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)AA1＝2AB＝2，則D（0，0，0），C（0，1，0），B（1，1，0），C1（0，1，2），則＝（0，1，0），＝（1，1，0），＝（0，1，2）．設(shè)平面BDC1的法向量為n＝（x，y，z），則所以有令y＝－2，得平面BDC1的一個法向量n＝（2，－2，1）．設(shè)CD與平面BDC1所成的角為θ，則sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝．答案：7．（2021·西安摸底）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AB⊥BB1，AC＝BC＝BB1，D為AB的中點(diǎn)，且CD⊥DA1．（1）求證：BB1⊥平面ABC；（2）求銳二面角C-DA1-C1的余弦值．解析：（1）證明：因?yàn)?/span>AC＝BC，D為AB的中點(diǎn)，所以CD⊥AB，又DC⊥DA1，AB∩DA1＝D，所以CD⊥平面AA1B1B，又BB1平面AA1B1B，所以CD⊥B1B，又B1B⊥AB，AB∩CD＝D，所以B1B⊥平面ABC．（2）由已知及（1）可得CB，CC1，CA兩兩互相垂直，所以以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CB所在直線為x軸，CC1所在直線為y軸，CA所在直線為z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CC1＝2，則C（0，0，0），C1（0，2，0），A1（0，2，2），D（1，0，1），所以＝（1，0，1），＝（0，2，2），＝（1，－2，1），＝（0，0，2）．設(shè)平面DCA1的法向量n1＝（x1，y1，z1），則即令z1＝－1，則x1＝1，y1＝1，n1＝（1，1，－1）．設(shè)平面DC1A1的法向量n2＝（x2，y2，z2），則即得z2＝0，x2－2y2＝0，令y2＝1，則x2＝2，n2＝（2，1，0）．所以cos〈n1，n2〉＝＝＝．故銳二面角C-DA1-C1的余弦值為．[B組　能力提升練]1．（2021·合肥調(diào)研）如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1，點(diǎn)O為棱AB的中點(diǎn)．（1）求證：BC1∥平面A1CO；（2）若△ABC是等邊三角形，且AB＝AA1，∠A1AB＝60°，平面AA1B1B⊥平面ABC，求二面角A-A1C-B的余弦值．解析：（1）證明：連接AC1交A1C于M，連接OM．由三棱柱ABC-A1B1C1知，四邊形ACC1A1為平行四邊形，M為AC1的中點(diǎn)．又O為AB的中點(diǎn)，∴BC1∥OM．∵OM平面A1CO，BC1?平面A1CO，∴BC1∥平面A1CO．（2）∵△ABC是等邊三角形，且AB＝AA1，∠A1AB＝60°，∴A1O⊥AB，CO⊥AB．又平面AA1B1B⊥平面ABC，∴A1O⊥平面ABC，∴A1O⊥CO．以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OC，OA，OA1分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)AC＝AB＝BC＝AA1＝2，則C（，0，0），A（0，1，0），B（0，－1，0），A1（0，0，）．設(shè)平面A1AC的法向量為n1＝（x1，y1，z1），則n1⊥，n1⊥，∴∵＝（，－1，0），＝（0，－1，），∴令y1＝，得x1＝1，z1＝1，即n1＝（1，，1）．設(shè)平面A1BC的法向量為n2＝（x2，y2，z2），則n2⊥，n2⊥，∴∵＝（，1，0），＝（0，1，），∴令y2＝－，得x2＝1，z2＝1，即n2＝（1，－，1）．∴cos〈n1，n2〉＝＝－，由題意可知，二面角A-A1C-B為銳角，其余弦值為．2．（2021·福州市高三質(zhì)檢）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC為正三角形，點(diǎn)D在棱BC上，且CD＝3BD，點(diǎn)E，F分別為棱AB，BB1的中點(diǎn)．（1）證明：A1C∥平面DEF；（2）若A1C⊥EF，求直線A1C1與平面DEF所成的角的正弦值．解析：（1）證明：如圖，連接AB1交A1B于點(diǎn)H，設(shè)A1B交EF于點(diǎn)K，連接DK，因?yàn)樗倪呅?/span>ABB1A1為矩形，所以H為線段A1B的中點(diǎn)．因?yàn)辄c(diǎn)E，F分別為棱AB，BB1的中點(diǎn)，所以點(diǎn)K為線段BH的中點(diǎn)，所以A1K＝3BK．又CD＝3BD，所以A1C∥DK．又A1C?平面DEF，DK平面DEF，所以A1C∥平面DEF．（2）連接CE，EH，由（1）知，EH∥AA1，因?yàn)?/span>AA1⊥平面ABC，所以EH⊥平面ABC．因?yàn)?/span>△ABC為正三角形，且點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn)，所以CE⊥AB．故以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)?/span>x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E-xyz．設(shè)AB＝4，AA1＝t（t＞0），則A1（2，t，0），A（2，0，0），C（0，0，2），E（0，0，0），F，D，所以＝（－2，－t，2），＝．因?yàn)?/span>A1C⊥EF，所以·＝0，所以（－2）×（－2）－t×＋2×0＝0，所以t＝2，所以＝（－2，，0），＝．設(shè)平面DEF的法向量為n＝（x，y，z），則所以取x＝1，則n＝（1，，）．又＝＝（－2，0，2），設(shè)直線A1C1與平面DEF所成的角為θ，則sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝＝，所以直線A1C1與平面DEF所成的角的正弦值為．[C組　創(chuàng)新應(yīng)用練]如圖，正方形ABCD的邊長為4，E，F分別為BC，DA的中點(diǎn)．將正方形ABCD沿著線段EF折起，使∠DFA＝60°．設(shè)G為AF的中點(diǎn)．（1）求證：DG⊥EF；（2）求直線GA與平面BCF所成角的正弦值；（3）設(shè)P，Q分別為線段DG，CF上的點(diǎn)，且PQ∥平面ABEF，求線段PQ的長度的最小值．解析：（1）證明：因?yàn)檎叫?/span>ABCD中，E，F分別為BC，DA的中點(diǎn)，所以EF⊥FD，EF⊥FA，又因?yàn)?/span>FD∩FA＝F，所以EF⊥平面DFA．又因?yàn)?/span>DG平面DFA，所以DG⊥EF．（2）因?yàn)?/span>∠DFA＝60°，DF＝FA，AG＝GF，所以△DFA為等邊三角形，且DG⊥FA．又因?yàn)?/span>DG⊥EF，EF∩FA＝F，所以DG⊥平面ABEF．設(shè)BE的中點(diǎn)為H，連接GH，則GA，GH，GD兩兩垂直，故以GA，GH，GD所在直線分別為x軸、y軸和z軸建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz，如圖，則G（0，0，0），A（1，0，0），B（1，4，0），C（0，4，），F（－1，0，0），所以＝（1，0，0），＝（－1，0，），＝（－2，－4，0）．設(shè)平面BCF的法向量為m＝（x，y，z），由m·＝0，m·＝0，得令z＝2，得m＝（2，－，2）．設(shè)直線GA與平面BCF所成的角為α，則sin α＝|cos〈m，〉|＝＝，即直線GA與平面BCF所成角的正弦值為．（3）由題意，可設(shè)P（0，0，k）（0≤k≤），＝λ（0≤λ≤1），由＝（1，4，），得＝（λ，4λ，λ），所以Q（λ－1，4λ，λ），＝（λ－1，4λ，λ－k）．由（2）得，＝（0，0，）為平面ABEF的一個法向量．因?yàn)?/span>PQ∥平面ABEF，所以·＝0，即λ－k＝0．所以||＝＝＝，又因?yàn)?/span>17λ2－2λ＋1＝17＋，所以當(dāng)λ＝時，||min＝．所以當(dāng)λ＝，k＝時，線段PQ的長度取得最小值，其最小值為．

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