【高考大一輪單元復(fù)習(xí)】高考數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)講義與檢測(cè)-專題13《計(jì)數(shù)原理與概率》講義（新高考專用）

這是一份【高考大一輪單元復(fù)習(xí)】高考數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)講義與檢測(cè)-專題13《計(jì)數(shù)原理與概率》講義（新高考專用），文件包含高考大一輪單元復(fù)習(xí)高考數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)講義與檢測(cè)-專題13《計(jì)數(shù)原理與概率》講義新高考專用解析版docx、高考大一輪單元復(fù)習(xí)高考數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)講義與檢測(cè)-專題13《計(jì)數(shù)原理與概率》講義新高考專用原卷版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共124頁(yè)， 歡迎下載使用。
?專題13 計(jì)數(shù)原理與概率
知識(shí)回顧
一.計(jì)數(shù)原理：1.分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理


基本形式
一般形式
區(qū)別
分類加法計(jì)數(shù)原理
完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法
完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，…，在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法
分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理，都涉及完成一件事情的不同方法種數(shù).它們的區(qū)別在于：分類加法計(jì)數(shù)原理與分類有關(guān)，各種方法相互獨(dú)立，用其中的任何一種方法都可以完成這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理與分步有關(guān)，各個(gè)步驟相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了，這件事才算完成
分步乘法計(jì)數(shù)原理
完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法
完成一件事需要n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1× m2×…×mn種不同的方法
【溫馨提示】分類應(yīng)滿足：不重不漏； 分步必須注意：步與步間的連續(xù)性
2. 與兩個(gè)計(jì)數(shù)原理有關(guān)問(wèn)題的解題策略
（1）在綜合應(yīng)用兩個(gè)原理解決問(wèn)題時(shí)，一般是先分類再分步，但在分步時(shí)可能又會(huì)用到分類加法計(jì)數(shù)原理.
（2）對(duì)于較復(fù)雜的兩個(gè)原理綜合應(yīng)用的問(wèn)題，可恰當(dāng)?shù)禺嫵鍪疽鈭D或列出表格，化抽象為直觀.
3. 應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理應(yīng)遵循的兩原則
（1）根據(jù)題目特點(diǎn)恰當(dāng)選擇一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn).
（2）分類時(shí)應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，且只能屬于某一類即標(biāo)準(zhǔn)明確，不重不漏.
二.排列組合：
1. 排列:從個(gè)不同的元素中取出個(gè)()元素并按一定的順序排成一列,叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列.
（1）排列數(shù): 從個(gè)不同的元素中取出個(gè)()元素的所有排列的個(gè)數(shù).用符號(hào)表示.
（2）排列數(shù)公式：（）.特別地：，.
2. 解決排列問(wèn)題常用的方法
(1)特殊元素優(yōu)先法
對(duì)于有特殊元素的排列問(wèn)題，一般應(yīng)先考慮特殊元素，再考慮其他元素．
(2)特殊位置優(yōu)先法
對(duì)于特殊位置的排列問(wèn)題，一般應(yīng)先考慮特殊位置，再考慮其他位置．
(3)相鄰問(wèn)題捆綁法
對(duì)于要求某幾個(gè)元素相鄰的排列問(wèn)題，可先將相鄰的元素“捆綁”起來(lái)，看作一個(gè)“大”的元素，與其他元素一起排列，然后再對(duì)被“捆綁”的元素內(nèi)部進(jìn)行排列．
(4)不相鄰問(wèn)題插空法
對(duì)于要求某幾個(gè)元素不相鄰的排列問(wèn)題，可先將其他元素排好，然后將不相鄰的元素插入在已排好的元素之間及兩端的空隙即可．
3. 組合：一般地，從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素并成一組，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)組合
（1）組合數(shù): 從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，用表示.
（2）組合數(shù)公式: .
（3）組合數(shù)的性質(zhì)：①．規(guī)定：； ②＝+ .
4.組合問(wèn)題的常見(jiàn)類型與處理方法：
①“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再?gòu)氖Ｏ碌脑刂羞x取.
②“至少”或“至多”含有幾個(gè)元素的題型：若直接法分類復(fù)雜時(shí)，逆向思維，間接求解.
【溫馨提示】1.排列與組合的概念
名稱
定義
區(qū)別
排列
從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素
按照一定的順序排成一列
排列有序，組合無(wú)序
組合
合成一組

2.排列數(shù)與組合數(shù)

定義
計(jì)算公式
性質(zhì)
聯(lián)系
排列數(shù)
從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù).用符號(hào)“A”表示
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ (n，m∈N*，且m≤n)
(1)A＝n??；
(2)0?。?
C＝
組合數(shù)
從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù).用符號(hào)“C”表示
C＝ (n，m∈N*，且m≤n)
(1)C＝C＝1；
(2)C＝C；
(3)C＝C＋C
3. .排列組合綜合題思路，先選后排，先組合后排列.
當(dāng)有多個(gè)限制條件時(shí)，應(yīng)以其中一個(gè)限制條件為標(biāo)準(zhǔn)分類，限制條件多時(shí)，多考慮用間接法，但需確定一個(gè)總數(shù).
①不同元素的分配問(wèn)題，往往是先分組再分配.在分組時(shí)，通常有三種類型：不均勻分組、均勻分組、部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法.
②對(duì)于相同元素的“分配”問(wèn)題，常用的方法是采用“隔板法”.
三.二項(xiàng)式定理：
1. 二項(xiàng)式定理及基本概念：

（1）二項(xiàng)式展開(kāi)式：右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開(kāi)式.
（2）二項(xiàng)式系數(shù):展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù).
（3）項(xiàng)數(shù)：共項(xiàng)，是關(guān)于與的齊次多項(xiàng)式.
（4）通項(xiàng)：展開(kāi)式中的第項(xiàng)叫做二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)。用表示.
①項(xiàng)數(shù)：展開(kāi)式中總共有項(xiàng)。
②順序：注意正確選擇,,其順序不能更改。與是不同的。
③指數(shù)：的指數(shù)從逐項(xiàng)減到，是降冪排列。的指數(shù)從逐項(xiàng)減到，是升冪排列。各項(xiàng)的次數(shù)和等于.
④系數(shù)：注意正確區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)依次是項(xiàng)的系數(shù)是與的系數(shù)（包括二項(xiàng)式系數(shù)）。
2.“楊輝三角”與二項(xiàng)式定理的性質(zhì)：
（1）二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即，
（它反映了組合數(shù)的性質(zhì)：），直線 將函數(shù) 的圖象分成對(duì)稱的兩部分，它是圖象的對(duì)稱軸.
（2）二項(xiàng)式系數(shù)和：令,則二項(xiàng)式系數(shù)的和為
，
變形式。
（3）奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和=偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和：
在二項(xiàng)式定理中，令，則，
從而得到：
（4）奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和：

（5）二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)：如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)時(shí)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)取得最大值。如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)時(shí)，則中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù),同時(shí)取得最大值。
⑥系數(shù)的最大項(xiàng)：求展開(kāi)式中最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法。設(shè)展開(kāi)式中各項(xiàng)
系數(shù)分別為，設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有，從而解出來(lái)。
3.常用結(jié)論：
令
令
令,則二項(xiàng)式系數(shù)的和為，
變形式.
【溫馨提示】1.二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式，求解此類問(wèn)題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式，建立方程來(lái)確定指數(shù)(求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和k的隱含條件，即n，k均為非負(fù)整數(shù)，且n≥k，
如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng).
2.求兩個(gè)多項(xiàng)式的積的特定項(xiàng)，可先化簡(jiǎn)或利用分類加法計(jì)數(shù)原理討論求解.
3.解題技巧與方法總結(jié)
(1)“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對(duì)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m (a，b∈R)的式子求其展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x＝1即可；對(duì)形如(ax＋by)n (a，b∈R)的式子求其展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可．
(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝.
4.整除問(wèn)題和求近似值是二項(xiàng)式定理中兩類常見(jiàn)的應(yīng)用問(wèn)題，整除問(wèn)題中要關(guān)注展開(kāi)式的最后幾項(xiàng)，而求近似值則應(yīng)關(guān)注展開(kāi)式的前幾項(xiàng)．
5. 求二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略：
(1)求展開(kāi)式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出值即可.
(2)已知展開(kāi)式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)的值，再由通項(xiàng)寫出第項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出值，最后求出特定項(xiàng)的系數(shù).
6. 運(yùn)用二項(xiàng)式定理的解題策略
(1)正用:求形式簡(jiǎn)單的二項(xiàng)展開(kāi)式時(shí)可直接由二項(xiàng)式定理展開(kāi),展開(kāi)時(shí)注意二項(xiàng)展開(kāi)式的特點(diǎn):前一個(gè)字母是降冪,后一個(gè)字母是升冪.形如的展開(kāi)式中會(huì)出現(xiàn)正負(fù)間隔的情況.對(duì)較繁雜的式子,先化簡(jiǎn)再用二項(xiàng)式定理展開(kāi).
(2)逆用:逆用二項(xiàng)式定理可將多項(xiàng)式化簡(jiǎn),對(duì)于這類問(wèn)題的求解,要熟悉公式的特點(diǎn)、項(xiàng)數(shù)、各項(xiàng)冪指數(shù)的規(guī)律以及各項(xiàng)的系數(shù).
提醒:逆用二項(xiàng)式定理時(shí)如果項(xiàng)的系數(shù)是正負(fù)相間的,則是的形式. 二項(xiàng)式定理的應(yīng)用基本思路是正用或逆用二項(xiàng)式定理，注意選擇合適的形式．
四.隨機(jī)事件與古典概型：
1.頻數(shù)、頻率和概率
(1)頻數(shù)、頻率：在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)?，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝為事件A出現(xiàn)的頻率?.
(2)概率：對(duì)于給定的隨機(jī)事件A，如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，把這個(gè)常數(shù)記作P(A)，稱為事件A的概率.
2.事件的關(guān)系與運(yùn)算
名稱
條件
結(jié)論
符號(hào)表示
包含關(guān)系
A發(fā)生?B發(fā)生
事件B包含事件A(事件A包含于事件B)
B?A(或A?B)
相等關(guān)系
若B?A且A?B
事件A與事件B相等
A＝B
并(和)
事件
A發(fā)生或B發(fā)生
事件A與事件B的并事件(或和事件)?
A∪B(或A＋B)
交(積)
事件
A發(fā)生且B發(fā)生
事件A與事件B的交事件(或積事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
A∩B為不可能事件
事件A與事件B互斥?
A∩B＝?
對(duì)立事件
A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件
事件A與事件B互為對(duì)立事件?
A∩B＝?，
P(A∪B)＝1

3.概率的幾個(gè)基本性質(zhì)
(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率：P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率：P(F)＝0.
(4)概率的加法公式：如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
(5)對(duì)立事件的概率：若事件A與事件B互為對(duì)立事件，則A∪B為必然事件，P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B).
頻數(shù)是一個(gè)整數(shù)，其取值范圍為0≤nA≤n，nA∈N，因此隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率fn(A)＝的可能取值介于0與1之間，即0≤fn(A)≤1.
頻率在一定程度上可以反映事件發(fā)生的可能性的大小.但是，頻率不是一個(gè)完全確定的數(shù)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的不同，產(chǎn)生的頻率也可能不同.
并(和)事件包含三種情況：①事件A發(fā)生，事件B不發(fā)生；②事件A不發(fā)生，事件B發(fā)生；③事件A，B都發(fā)生.即事件A，B至少有一個(gè)發(fā)生.
互斥事件具體包括三種不同的情形：①事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生；②事件A不發(fā)生且事件B發(fā)生；③事件A與事件B都不發(fā)生.
“事件A與事件B是對(duì)立事件”是“其概率滿足P(A)＋P(B)＝1”的充分不必要條件，這里一定不要認(rèn)為是充要條件.事實(shí)上，若事件A與事件B是對(duì)立事件，則A∪B為必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1；反之不一定成立.
4.古典概型
(1)古典概型的特征：
①有限性：在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限的，即只有有限個(gè)不同的基本事件；,②等可能性：每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性是相等的.
一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型，在于這個(gè)試驗(yàn)是否具有古典概型的兩個(gè)特征——有限性和等可能性.
(2)古典概型的概率計(jì)算的基本步驟：
①判斷本次試驗(yàn)的結(jié)果是否是等可能的，設(shè)出所求的事件為A；
②分別計(jì)算基本事件的總數(shù)n和所求的事件A所包含的基本事件個(gè)數(shù)m；
③利用古典概型的概率公式P(A)＝，求出事件A的概率.
(3)頻率的計(jì)算公式與古典概型的概率計(jì)算公式的異同
名稱
不同點(diǎn)
相同點(diǎn)
頻率計(jì)
算公式
頻率計(jì)算中的m，n均隨隨機(jī)試驗(yàn)的變化而變化，但隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，它們的比值逐漸趨近于概率值
都計(jì)算了一個(gè)比值
古典概型的
概率計(jì)算公式
是一個(gè)定值，對(duì)同一個(gè)隨機(jī)事件而言，m，n都不會(huì)變化
5.探究概率加法公式的推廣(1)當(dāng)一個(gè)事件包含多個(gè)結(jié)果時(shí)，要用到概率加法公式的推廣，
即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).
(2)P()＝1－P(A1∪A2∪…∪An)＝1－P(A1)－P(A2)－…－P(An).注意涉及的各事件要彼此互斥.
五.離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值、方差：
一）隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量
1. “隨機(jī)試驗(yàn)”的概念
一般地，一個(gè)試驗(yàn)如果滿足下列條件：
A．試驗(yàn)可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行．
B．試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)．
c．每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但在試驗(yàn)之前卻不能肯定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果．
這種試驗(yàn)就是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，為了方便起見(jiàn)，也簡(jiǎn)稱試驗(yàn)．
2．隨機(jī)變量的定義
一般地，如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，可以用一個(gè)變量來(lái)表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量．
通常用大寫拉丁字母X，Y，Z（或小寫希臘字母ξ，η，ζ）等表示。
3．離散型隨機(jī)變量的定義
如果對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量。
離散型隨機(jī)變量的例子很多．例如某人射擊一次可能命中的環(huán)數(shù) X 是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它的所有可能取值為0，1，…，10；某網(wǎng)頁(yè)在24小時(shí)內(nèi)被瀏覽的次數(shù)Y也是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它的所有可能取值為0, 1,2，….
4. 隨機(jī)變量的分類
隨機(jī)變量有以下兩種：
離散型隨機(jī)變量:
連續(xù)型隨機(jī)變量: 如果隨機(jī)變量可以取其一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的隨機(jī)變量叫做連續(xù)型隨機(jī)變量．
5. 若是隨機(jī)變量，其中a,b是常數(shù)，則也是隨機(jī)變量，并且不改變其屬性（離散型、連續(xù)型）。
二）離散性隨機(jī)變量的分布列
分布列定義：
設(shè)離散型隨機(jī)變量所有可能取得的值為x1,x2,…,x3,…xn,若取每一個(gè)值xi(i=1,2,…，n)的概率為，則稱表

x1
x2
…
xi
…
xn
P
P1
P2
…
Pi
…
Pn
為隨機(jī)變量的概率分布，簡(jiǎn)稱的分布列.
2.分布列的性質(zhì)
離散型隨機(jī)變量的分布列都具有下面兩個(gè)性質(zhì)：
（1）Pi≥0,i=1,2，…，n；
（2）P1+P2+…+Pn=1
3. 離散型隨機(jī)變量函數(shù)及其分布列
一般地，若ξ是隨機(jī)變量，f(x)是連續(xù)函數(shù)或單調(diào)函數(shù)，則f(ξ)也是隨機(jī)變量，也就是說(shuō)，隨機(jī)變量的某些函數(shù)也是隨機(jī)變量。
已知離散型隨機(jī)變量的分布列，求離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布列：
①ξ與η一一對(duì)應(yīng)時(shí)，ξ的每個(gè)取值的概率就對(duì)應(yīng)著η的每個(gè)取值的概率；
②如果ξ有多個(gè)取值對(duì)應(yīng)一個(gè)η的值，那么這個(gè)η值的概率就是這多個(gè)ξ值的概率的和。
三）條件概率與全概率：
條件概率及其性質(zhì)
(1)對(duì)于任何兩個(gè)事件A和B，在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號(hào)P(B|A)來(lái)表示，其公式為P(B|A)＝（變形） (P(A)>0)．
在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的個(gè)數(shù)，則P(B|A)＝.
(2)條件概率具有的性質(zhì)：條件概率只是縮小了樣本空間，因此條件概率同樣具有概率的性質(zhì).
①0≤P(B|A)≤1；
②如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
③設(shè)B和B互為對(duì)立事件，則P（ B?|A）=1- P（B|A）.
2.條件概率的3種求法
定義法
先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A)
基本事件法
借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件AB所包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A)＝ .
縮樣法
縮小樣本空間的方法，就是去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型求解，它能化繁為簡(jiǎn)
【溫馨提示】1．相互獨(dú)立事件與互斥事件的區(qū)別
相互獨(dú)立事件是指兩個(gè)事件發(fā)生的概率互不影響，計(jì)算式為P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事件是指在同一試驗(yàn)中，兩個(gè)事件不會(huì)同時(shí)發(fā)生，計(jì)算公式為P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
2．相互獨(dú)立事件
(1)對(duì)于事件A，B，若事件A的發(fā)生與事件B的發(fā)生互不影響，則稱事件A，B是相互獨(dú)立事件．
(2)若A與B相互獨(dú)立，則P(B|A)＝P(B)．P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B)．
(3)若A與B相互獨(dú)立，則A與，與B，與也都相互獨(dú)立．
(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，則A與B相互獨(dú)立．
（5）P(A·B)＝P(A)·P(B)只有在事件A，B相互獨(dú)立時(shí)，公式才成立，此時(shí)P(B)＝P(B|A)．
（6）求概率時(shí)，對(duì)于條件中含有“在……的條件下，求……發(fā)生的概率”的問(wèn)題，一般為條件概率，求解時(shí)可根據(jù)條件概率的定義或利用古典概型概率求解．
全概率公式
1.全概率公式
一般地，設(shè)是一組兩兩互斥的事件，，且，則對(duì)任意的事件，有，稱為全概率公式.
【全概率公式的解析】全概率公式為概率論中的重要公式，它將對(duì)一復(fù)雜事件B的概率求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在不同情況下發(fā)生的簡(jiǎn)單事件的概率的求和問(wèn)題.
條件：（1）是一組兩兩互斥的事件，并且可以構(gòu)成一個(gè)完備的事件組，其和為全集.
（2）已知事件B的發(fā)生有各種可能的情形，如果事件B發(fā)生是由原因 所引起的，則事件B發(fā)生的概率 ，每一原因都可能導(dǎo)致B發(fā)生，故B發(fā)生的概率是各原因引起B(yǎng)發(fā)生概率的總和，這就是全概率公式，所以可以把全概率理解為“由原因推結(jié)果”，每個(gè)原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的作用，也就是結(jié)果發(fā)生的可能性與各種原因的作用大小有關(guān).即全概率公式就是將復(fù)雜的概率事件轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的各概率事件的和.是計(jì)算復(fù)雜概率問(wèn)題的有力工具.

2.* 貝葉斯公式：設(shè)是一組兩兩互斥的事件，，且，則對(duì)任意的事件，,
有
【微點(diǎn)撥】全概率也是條件概率.
四）特殊的分布列
1. 兩點(diǎn)分布
隨機(jī)變量 X 的分布列是
ξ
0
1
P


像上面這樣的分布列稱為兩點(diǎn)分布列．
要點(diǎn)詮釋：
(1)若隨機(jī)變量X的分布列為兩點(diǎn)分布, 則稱X服從兩點(diǎn)分布,而稱P(X=1)為成功率.
(2)兩點(diǎn)分布又稱為0-1分布或伯努利分布
(3)兩點(diǎn)分布列的應(yīng)用十分廣泛,如抽取的彩票是否中獎(jiǎng)；買回的一件產(chǎn)品是否為正品；新生嬰兒的性別；投籃是否命中等等；都可以用兩點(diǎn)分布列來(lái)研究
2. 二項(xiàng)分布
一般地，如果一次伯努利試驗(yàn)中，出現(xiàn)“成功”的概率為p，記q＝1－p，且n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)“成功”的次數(shù)為X，則X的取值范圍是{0，1，…，k，…，n}，而且P(X＝k)＝Cpkqn－k，k＝0，1，…，n，
因此X的分布列如下表所示
X
0
1
…
k
…
n
P
Cp0qn
Cp1qn－1
…
Cpkqn－k
…
Cpnq0
注意到上述X的分布列第二行中的概率值都是二項(xiàng)展開(kāi)式(q＋p)n＝Cp0qn＋Cp1qn－1＋…＋Cpkqn－k＋…＋Cpnq0中對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值，因此稱X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p).
兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差
(1)若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).
(2)若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
3.超幾何分布
一般地，在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，則則事件 {X=k｝發(fā)生的概率為, 其中，且．
稱分布列為超幾何分布列．如果隨機(jī)變量 X 的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量 X 服從超幾何分布

0
1








五）期望和方差的公式及關(guān)系
1..數(shù)學(xué)期望

2.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)
（1）. （2）若～,則.
(3) 若服從幾何分布,且，則.
3.方差

4.標(biāo)準(zhǔn)差：=.
5.方差的性質(zhì)
(1)；(2）若～，則.
(3) 若服從幾何分布,且，則.
6.方差與期望的關(guān)系：.
六）正態(tài)分布：
1.密度曲線與密度函數(shù)：對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量ξ，位于x軸上方，ξ落在任一區(qū)間內(nèi)的概率等于它與x軸.直線與直線所圍成的曲邊梯形的面積
（如圖陰影部分）的曲線叫ξ的密度曲線，以其作為
圖像的函數(shù)叫做ξ的密度函數(shù)，由于“”
是必然事件，故密度曲線與x軸所夾部分面積等于1.
2. ⑴正態(tài)分布與正態(tài)曲線：如果隨機(jī)變量ξ的概率密度為：. （為常數(shù)，且），稱ξ服從參數(shù)為的正態(tài)分布，用～表示.的表達(dá)式可簡(jiǎn)記為，它的密度曲線簡(jiǎn)稱為正態(tài)曲線.
⑵正態(tài)分布的期望與方差：若～，則ξ的期望與方差分別為：.
⑶正態(tài)曲線的性質(zhì).
① 曲線在x軸上方，與x軸不相交.
② 曲線是單峰的，關(guān)于直線對(duì)稱.
③ 當(dāng)時(shí)曲線處于最高點(diǎn)，即x＝μ處達(dá)到峰值，當(dāng)x向左、向右遠(yuǎn)離時(shí)，曲線不斷地降低，呈現(xiàn)出“中間高、兩邊低”的鐘形曲線.
④曲線與x軸之間的面積為1；
⑤當(dāng)σ一定時(shí)，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；
⑥當(dāng)＜時(shí)，曲線上升；當(dāng)＞時(shí)，曲線下降，并且當(dāng)曲線向左、向右兩邊無(wú)限延伸時(shí)，以x軸為漸近線，向x軸無(wú)限的靠近.
⑦當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定，越大，曲線越“矮胖”.表示總體的分布越分散；越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.
3. ⑴標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：如果隨機(jī)變量ξ的概率函數(shù)為，則稱ξ服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. 即～有，求出，而P（a＜≤b）的計(jì)算則是 .
注意：當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的的X取0時(shí)，有當(dāng)?shù)腦取大于0的數(shù)時(shí)，有 .比如.則必然小于0，如圖.
⑵正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布間的關(guān)系：若～則ξ的分布函數(shù)通
常用表示，且有.
5.
⑴“3”原則.
假設(shè)檢驗(yàn)是就正態(tài)總體而言的，進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)可歸結(jié)為如下三步：①提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)，統(tǒng)計(jì)假設(shè)里的變量服從正態(tài)分布.②確定一次試驗(yàn)中的取值是否落入范圍.③做出判斷：如果，接受統(tǒng)計(jì)假設(shè). 如果，由于這是小概率事件，就拒絕統(tǒng)計(jì)假設(shè).
⑵“3”原則的應(yīng)用：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布則 ξ落在內(nèi)的概率為99.7％ 亦即落在之外的概率為0.3％，此為小概率事件，如果此事件發(fā)生了，就說(shuō)明此種產(chǎn)品不合格（即ξ不服從正態(tài)分布）.
6. 正態(tài)分布的三個(gè)常用數(shù)據(jù)
①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6；
②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 4；
③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 4.
【溫馨提示】正態(tài)分布下兩類常見(jiàn)的概率計(jì)算
(1)利用正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性研究相關(guān)概率問(wèn)題，涉及的知識(shí)主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱，曲線與x軸之間的面積為1.
(2)利用3σ原則求概率問(wèn)題時(shí)，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ，σ進(jìn)行對(duì)比聯(lián)系，確定它們屬于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一個(gè)．















?？碱}型
1.計(jì)數(shù)原理：
【例題1-1】設(shè)橢圓＋＝1的焦點(diǎn)在y軸上，其中a∈{1，2，3，4，5}，b＝{1，2，3，4，5，6，7}，則滿足上述條件的橢圓個(gè)數(shù)為（ ）
A．20 B．24 C．12 D．11
【自我提升】如圖所示，由連接正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)而組成的三角形中與正八邊形有公共邊的三角形有________個(gè).

【例題1-2】展開(kāi)后的不同項(xiàng)數(shù)為（ ）
A．9 B．12 C．18 D．24
【自我提升】如圖所示，用6種不同的顏色給圖中的4個(gè)格子涂色，每個(gè)格子涂一種顏色，要求相鄰的兩個(gè)格子顏色不同，則不同的涂色方法共有________種．(用數(shù)字作答)

【例題1-3】將3顆相同的紅色小球和2顆相同的黑色小球裝入四個(gè)不同盒子，每個(gè)盒子至少1顆，不同的分裝方案種數(shù)為(　　)
A．40 B．28
C．24 D．16
【例題1-4】一個(gè)同心圓形花壇，分為兩部分，中間小圓部分種植草坪和綠色灌木，周圍的圓環(huán)分為n(n≥3，n∈N*)等份，種植紅、黃、藍(lán)三種顏色不同的花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花．

（1）如圖①，圓環(huán)分成3等份，分別為a1，a2，a3，則有多少種不同的種植方法？
（2）如圖②，圓環(huán)分成4等份，分別為a1，a2，a3，a4，則有多少種不同的種植方法？
【例題1-5】書架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書.
(1)從書架上任取1本書，有多少種不同取法？
(2)從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書，有多少種不同取法？
【例題1-6】現(xiàn)有高二四個(gè)班學(xué)生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他們自愿組成數(shù)學(xué)課外小組．
(1)選其中一人為負(fù)責(zé)人，有多少種不同的選法？
(2)每班選一名組長(zhǎng)，有多少種不同的選法？
(3)推選二人作中心發(fā)言，這二人需來(lái)自不同的班級(jí)，有多少種不同的選法？
【自我提升】某公司新招聘進(jìn)8名員工，平均分給甲、乙兩個(gè)部門，其中2名英語(yǔ)翻譯人員不能分給同一個(gè)部門，另外3名電腦編程人員也不能分給同一個(gè)部門，則不同的分配方案種數(shù)是（ ）
A．18 B．24 C．36 D．72
2.排列組合：
【例題2-1】從0，1，2，3這四個(gè)數(shù)字中，每次取出三個(gè)不同的數(shù)字排成一個(gè)三位數(shù).
（1）能組成多少個(gè)不同的三位數(shù)，并寫出這些三位數(shù).
（2）若組成這些三位數(shù)中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在個(gè)位，則這樣的三位數(shù)共有多少個(gè)，并寫出這些三位數(shù).
【例題2-2】用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)符合下列條件的無(wú)重復(fù)的數(shù)字？
（1）六位奇數(shù)；
（2）個(gè)位數(shù)字不是5的六位數(shù)；
（3）不大于4 310的四位偶數(shù).
【例題2-3】有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù)．
(1)選5人排成一排；
(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；
(3)全體排成一排，甲不站排頭也不站排尾；
(4)全體排成一排，女生必須站在一起；
(5)全體排成一排，男生互不相鄰．
（6）全體站成一排，甲不站排頭，乙不站排尾．
【例題2-4】一場(chǎng)小型晚會(huì)有個(gè)唱歌節(jié)目和個(gè)相聲節(jié)目，要求排出一個(gè)節(jié)目單．
（1）個(gè)相聲節(jié)目要排在一起，有多少種排法？
（2）第一個(gè)節(jié)目和最后一個(gè)節(jié)目都是唱歌節(jié)目，有多少種排法？
（3）前個(gè)節(jié)目中要有相聲節(jié)目，有多少種排法？
【例題2-5】若整數(shù)滿足，則的值為（ ）
A．1 B． C．1或 D．1或3
【例題2-6】某校足球隊(duì)有高一學(xué)生6人，髙二學(xué)生5人，高三學(xué)生8人．
(1)若每個(gè)年級(jí)各選1名學(xué)生擔(dān)任召集人，則有多少種不同的選法？
(2)若選派2人外出參觀學(xué)習(xí)，要求這2人來(lái)自不同年級(jí)，則有多少種不同的選法？
【例題2-7】將6名中學(xué)生分到甲、乙、丙3個(gè)不同的公益小組：
(1)要求有3人分到甲組，2人分到乙組，1個(gè)人分到丙組，共有多少種不同的分法？
(2)要求三個(gè)組的人數(shù)分別為3，2，1，共有多少種不同的分法？
【例題2-8】判斷下列問(wèn)題是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題，并求出相應(yīng)的排列數(shù)或組合數(shù).
（1）10個(gè)人相互寫一封信，一共寫了多少封信？
（2）10個(gè)人相互通一次電話，一共通了多少次電話？
（3）10支球隊(duì)以單循環(huán)進(jìn)行比賽(每?jī)申?duì)比賽一次)，這次比賽需要進(jìn)行多少場(chǎng)？
（4）從10個(gè)人中選3人去開(kāi)會(huì)，有多少種選法？
（5）從10個(gè)人中選出3人擔(dān)任不同學(xué)科的課代表，有多少種選法？
【自我提升1】由1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，按從小到大的順序排成一個(gè)數(shù)列{an}，則a72等于（ ）
A．1 543 B．2 543
C．3 542 D．4 532
【自我提升2】計(jì)算：______．
【自我提升3】計(jì)算：______．
【自我提升4】6個(gè)人坐在一排10個(gè)座位上，問(wèn)：
（1）空位不相鄰的坐法有多少種？
（2）4個(gè)空位只有3個(gè)相鄰的坐法有多少種？
（3）4個(gè)空位至多有2個(gè)相鄰的坐法有多少種？
3.二項(xiàng)式定理：
【例題3-1】求的展開(kāi)式．
【例題3-2】已知的展開(kāi)式中，各二項(xiàng)式系數(shù)的和為，則展開(kāi)式中的第項(xiàng)為_(kāi)_______．
【例題3-3】已知的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)的和與其各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和之比為，則（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【例題3-4】在(2x－3y)10的展開(kāi)式中，求：
(1)二項(xiàng)式系數(shù)的和；
(2)各項(xiàng)系數(shù)的和；
(3)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；
(4)奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和.
【例題3-5】若，則（ ）
A． B．4 C． D．
【例題3-6】已知.求下列各式的值.
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【例題3-7】如圖，它滿足①第行首尾兩數(shù)均為，②表中的遞推關(guān)系類似楊輝三角，則第行（）第2個(gè)數(shù)是______.

【例題3-8】1.028的近似值是________．(精確到小數(shù)點(diǎn)后三位)
【例題3-9】已知，求證：能被整除．
【自我提升1】已知．
(1)寫出的展開(kāi)式；
(2)化簡(jiǎn)．
【自我提升2】在的展開(kāi)式中，有多少個(gè)有理項(xiàng)？
【自我提升3】求的展開(kāi)式中和的指數(shù)相等的項(xiàng)．
【自我提升4】的展開(kāi)式中的系數(shù)是（ ）
A．90 B．80 C．70 D．60
【自我提升5】（多選題）我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》就給出了著名的楊輝三角，由此可見(jiàn)我國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的.以下關(guān)于楊輝三角的猜想中正確的有（ ）

A．由“與首末兩端‘等距離’的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等”猜想：
B．由“在相鄰的兩行中，除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它‘肩上’兩個(gè)數(shù)的和”猜想：
C．由“第行所有數(shù)之和為”猜想：
D．由“，，”猜想
【自我提升6】設(shè)，則＝________.
4.隨機(jī)事件、古典概型、事件的相互獨(dú)立性：
【例題4-1】在10件同類商品中，有8件紅色的，2件白色的，從中任意抽取3件，下列事件是隨機(jī)事件的是（ ）
A．3件都是紅色 B．3件都是白色
C．至少有1件紅色 D．有1件白色
【例題4-2】從含有10件正品、2件次品的12件產(chǎn)品中，任意抽取3件，則必然事件是（ ）
A．3件都是正品 B．3件都是次品
C．至少有1件次品 D．至少有1件正品
【例題4-3】下列事件中不可能事件的個(gè)數(shù)為（???????）
①拋一塊石塊下落；
②如果，那么；
③沒(méi)有水分，種子能發(fā)芽；
④某電話機(jī)在1分鐘內(nèi)收到2次呼叫；
⑤在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下且溫度低于時(shí)，冰融化．
A．1 B．2 C．3 D．4
【例題4-4】有4張卡片，上面分別寫有數(shù)字1，2，3，4，從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的所有基本事件數(shù)為（ ）
A．2 B．3
C．4 D．6
【例題4-5】某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)參加演講比賽，判斷下列每對(duì)事件是不是互斥事件，如果是，再判別它們是不是對(duì)立事件．
(1)恰有1名男生與恰有2名男生；
(2)至少有1名男生與全是男生；
(3)至少有1名男生與全是女生；
(4)至少有1名男生與至少有1名女生．
【例題4-6】擲一枚骰子，給出下列事件：
“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于3”.
求：（1），；（2），.
【例題4-7】設(shè)A，B，C表示三個(gè)隨機(jī)事件，試將下列事件用A，B，C表示出來(lái).
（1）三個(gè)事件都發(fā)生；
（2）三個(gè)事件至少有一個(gè)發(fā)生；
（3）A發(fā)生，B，C不發(fā)生；
（4）A，B都發(fā)生，C不發(fā)生；
（5）A，B至少有一個(gè)發(fā)生，C不發(fā)生；
（6）A，B，C中恰好有兩個(gè)發(fā)生.
【例題4-8】下列有關(guān)古典概型的說(shuō)法中，正確的是（???????）
A．試驗(yàn)的樣本空間的樣本點(diǎn)總數(shù)有限
B．每個(gè)事件出現(xiàn)的可能性相等
C．每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等
D．已知樣本點(diǎn)總數(shù)為，若隨機(jī)事件包含個(gè)樣本點(diǎn)，則事件發(fā)生的概率
【例題4-9】從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為（???????）
A． B． C． D．
【例題4-10】下列各對(duì)事件中，為相互獨(dú)立事件的是（???????）
A．?dāng)S一枚骰子一次，事件M“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”；事件N“出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)”
B．袋中有3白、2黑共5個(gè)大小相同的小球，依次有放回地摸兩球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”
C．袋中有3白?2黑共5個(gè)大小相同的小球，依次不放回地摸兩球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”
D．甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生，現(xiàn)從甲?乙兩組中各選1名同學(xué)參加演講比賽，事件M“從甲組中選出1名男生”，事件N“從乙組中選出1名女生”
【例題4-11】已知事件，，且，，則下列結(jié)論正確的是（???????）
A．如果，那么，
B．如果與互斥，那么，
C．如果與相互獨(dú)立，那么，
D．如果與相互獨(dú)立，那么，
【例題4-12】如圖，已知電路中4個(gè)開(kāi)關(guān)閉合的概率都是，且是互相獨(dú)立的，燈亮的概率為（???????）

A． B． C． D．
【例題4-13】甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，求下列事件的概率
（1）兩人都中靶;（2）恰好有一人中靶;（3）兩人都脫靶;（4）至少有一人中靶.
【自我提升1】下列事件是隨機(jī)事件的是（ ）
①當(dāng)時(shí)，；
②當(dāng)，有解；
③當(dāng)，關(guān)于x的方程在實(shí)數(shù)集內(nèi)有解；
④當(dāng)時(shí)，.
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【自我提升2】已知非空集合，且集合是集合的真子集，則下列命題為真命題的是（???????）
A．“若，則”是必然事件 B．“若，則”是不可能事件
C．“若，則”是隨機(jī)事件 D．“若，則”是必然事件
【自我提升3】已知集合，，從兩個(gè)集合中各取一個(gè)元素構(gòu)成點(diǎn)的坐標(biāo)．
(1)寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間；(2)求這個(gè)試驗(yàn)樣本點(diǎn)的總數(shù)；
(3)寫出“得到的點(diǎn)是第一象限內(nèi)的點(diǎn)”這一事件所包含的樣本點(diǎn)；
(4)說(shuō)出事件所表示的實(shí)際意義．
【自我提升4】從裝有3個(gè)紅球和4個(gè)白球的口袋中任取3個(gè)小球，則下列選項(xiàng)中的兩個(gè)事件是互斥事件的為（???????）
A．“都是紅球”與“至少1個(gè)紅球”
B．“恰有2個(gè)紅球”與“至少1個(gè)白球”
C．“至少1個(gè)白球”與“至多1個(gè)紅球”
D．“2個(gè)紅球，1個(gè)白球”與“2個(gè)白球，1個(gè)紅球”
【自我提升5】拋擲相同硬幣3次，記“至少有一次正面向上”為事件A，“一次正面向上，兩次反面向上”為事件B，“兩次正面向上，一次反面向上”為事件C，“至少一次反面向上”為事件D，“3次都正面向上”為事件E.
(1)試判斷事件A與事件B，C，E的關(guān)系；
(2)試求AD，B+C所包含的樣本點(diǎn)，并判斷AD與B+C的關(guān)系.
【自我提升6】記某射手一次射擊訓(xùn)練中，射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)分別為事件，，，，指出下列事件的含義：
（1）；（2）；（3）.
【自我提升7】同時(shí)拋擲三枚質(zhì)地均勻的硬幣，計(jì)算以下事件的概率：
(1)至少一枚反面朝上；(2)至少兩枚反面朝上；(3)恰好兩枚反面朝上．
【自我提升8】2020年1月，教育部出臺(tái)《關(guān)于在部分高校開(kāi)展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)工作的意見(jiàn)》（簡(jiǎn)稱“強(qiáng)基計(jì)劃”），明確從2020年起強(qiáng)基計(jì)劃取代原有的高校自主招生方式.如果甲、乙、丙三人通過(guò)強(qiáng)基計(jì)劃的概率分別為，那么三人中恰有兩人通過(guò)的概率為（???????）
A． B． C． D．
【自我提升9】已知A，B是相互獨(dú)立事件，且P(A)＝，P(B)＝，則P(A)＝_______；P()＝_______
【自我提升10】甲、乙兩人獨(dú)立地解決同一問(wèn)題，甲解出此問(wèn)題的概率是，乙解出此問(wèn)題的概率是.求：
（1）甲、乙都解出此問(wèn)題的概率；
（2）甲、乙都未解出此問(wèn)題的概率；
（3）甲、乙恰有一人解出此問(wèn)題的概率；
（4）至少有一人解出此問(wèn)題的概率.
5.離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、方差：
【例題5-1】甲、乙兩人爭(zhēng)奪一場(chǎng)圍棋比賽的冠軍，若比賽采用三局兩勝制，甲在每局比賽中獲勝的概率均為，且各局比賽相互獨(dú)立，則在甲獲得冠軍的情況下，比賽進(jìn)行了三局的概率為（???????）
A． B． C． D．
【例題5-2】已知一個(gè)不透明的口袋中有4個(gè)白球和8個(gè)紅球，球除顏色外完全相同.
（1）若一個(gè)人從口袋中隨機(jī)抽取一個(gè)球，求其抽取到白球的概率；
（2）若一個(gè)人從口袋中隨機(jī)不放回連續(xù)抽取球兩次，每次抽取一個(gè)球，求在第一次抽取出白球的條件下第二次抽取出的也是白球的概率.
【例題5-3】分別在下列各條件下，求：
(1)；
(2)．
【例題5-4】北京冬奧會(huì)的志愿者中，來(lái)自甲、乙、丙三所高校的人數(shù)分別為：甲高校學(xué)生志愿者7名，教職工志愿者2名；乙高校學(xué)生志愿者6名，教職工志愿者3名；丙高校學(xué)生志愿者5名，教職工志愿者4名.
(1)從這三所高校的志愿者中各抽取一名，求這三名志愿者中既有學(xué)生又有教職工的概率；
(2)先從三所高校中任選一所，再?gòu)倪@所高校的志愿者中任取一名，求這名志愿者是教職工志愿者的概率.
【例題5-5】學(xué)生在做一道有4個(gè)選項(xiàng)的選擇題時(shí)，如果他不知道問(wèn)題的正確答案，就做隨機(jī)猜測(cè)．現(xiàn)從卷面上看題是答對(duì)了，試在以下情況下求學(xué)生確實(shí)知道正確答案的概率．
（1）學(xué)生知道正確答案和胡亂猜想的概率都是；
（2）學(xué)生知道正確答案的概率是0.2．


【例題5-6】設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列為

0
1
2
3
4

0.2
0.1
0.1
0.3

求：（1）的分布列；
（2）求的值.
【例題5-7】列選項(xiàng)中的隨機(jī)變量不服從兩點(diǎn)分布的是（???????）
A．拋擲一枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)
B．某射擊手射擊一次，擊中目標(biāo)的次數(shù)
C．從裝有除顏色外其余均相同的5個(gè)紅球，3個(gè)白球的袋中任取1個(gè)球，設(shè)
D．某醫(yī)生做一次手術(shù)，手術(shù)成功的次數(shù)
【例題5-8】若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2，則P(Y＝－2)＝________.
【例題5-9】下列例子中隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布的有________．
①隨機(jī)變量ξ表示重復(fù)拋擲一枚骰子n次中出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù)；
②某射手擊中目標(biāo)的概率為0.9，從開(kāi)始射擊到擊中目標(biāo)所需的射擊次數(shù)ξ；
③有一批產(chǎn)品共有N件，其中M件為次品，采用有放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出現(xiàn)次品的件數(shù)（M0)，若在(70，90)內(nèi)的概率為0.7，則落在[90，100]內(nèi)的概率為（???????）
A．0.2 B．0.15 C．0.1 D．0.05
【自我提升4】趙先生朝九晚五上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地鐵加步行．趙先生從家到公交站或地鐵站都要步行5分鐘．公交車多且路程近一些，但乘坐公交路上經(jīng)常擁堵，所需時(shí)間（單位：分鐘）服從正態(tài)分布，，下車后從公交站步行到單位要12分鐘；乘坐地鐵暢通，但路線長(zhǎng)且乘客多，所需時(shí)間（單位：分鐘）服從正態(tài)分布，，下地鐵后從地鐵站步行到單位要5分鐘．給出下列說(shuō)法：從統(tǒng)計(jì)的角度認(rèn)為所有合理的說(shuō)法的序號(hào)是（???????）
（1）若出門，則乘坐公交上班不會(huì)遲到；
（2）若出門，則乘坐地鐵上班不遲到的可能性更大；
（3）若出門，則乘坐公交上班不遲到的可能性更大；
（4）若出門．則乘坐地鐵上班幾乎不可能不遲到．
參考數(shù)據(jù)：，則，，
A．（1）（2）（3）（4） B．（2）（4）
C．（3）（4） D．（4）
【自我提升5】某校一次高三年級(jí)數(shù)學(xué)檢測(cè)，經(jīng)抽樣分析，成績(jī)近似服從正態(tài)分布，且，若該校1800學(xué)生參加此次檢測(cè)，估計(jì)該校此次檢測(cè)成績(jī)不低于99分的學(xué)生人數(shù)為_(kāi)__________.


1. 6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館，甲場(chǎng)館安排1名，乙場(chǎng)館安排2名，丙場(chǎng)館安排3名，則不同的安排方法共有（ ）
A．120種 B．90種 C．60種 D．30種
2. 某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是（ ）
A．62% B．56% C．46% D．42%
3. 若二項(xiàng)式的展開(kāi)式中第m項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則m，n應(yīng)滿足（ ）
A． B． C． D．
4. 我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽(yáng)爻“”和陰爻“”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率是（　?。?br />
A．516 B．1132 C．2132 D．1116
5. 已知A與B是兩個(gè)事件，P(B)＝，P(AB)＝，則P(A|B)等于（???????）
A． B．
C． D．
6.現(xiàn)有語(yǔ)文、數(shù)學(xué)課本共7本（其中語(yǔ)文課本不少于2本），從中任取2本，至多有1本語(yǔ)文課本的概率是，則語(yǔ)文課本有（ ）
A．2本 B．3本 C．4本 D．5本
7. 已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則實(shí)數(shù)的值為(???????)
A．1 B．2 C．3 D．4
8. 如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為（　　　　）

A．24 B．18 C．12 D．9
9. 已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，若，，則（???????）
A． B． C． D．
10. 下列說(shuō)法正確的是（???????）
A．隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，若PX=0=13，則EX=13
B．隨機(jī)變量X~Bn,p，若EX=30，DX=10，則p=43
C．隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N4,1，且PX≥5=0.1587，則P3