2020-2021學(xué)年1.4 充分條件與必要條件導(dǎo)學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

1．4　充分條件與必要條件1．4.1　充分條件與必要條件內(nèi)　容　標(biāo)　準(zhǔn)學(xué)　科　素　養(yǎng)1.根據(jù)具體命題，明確條件與結(jié)論的關(guān)系．數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理2.針對具體命題理解必要條件、充分條件的意義. 授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第11頁 [教材提煉]知識點　充分條件與必要條件下列“若p，則q”形式的命題中，哪些是真命題？哪些是假命題？(1)若平行四邊形的對角線互相垂直，則這個平行四邊形是菱形；(2)若兩個三角形的周長相等，則這兩個三角形全等．　　　知識梳理　(1)一般地，“若p，則q”為真命題，是指由p通過推理可以得出q.這時，我們就說，由p可以推出q，記作p?q，并且說p是q的充分條件(sufficient condition)，q是p的必要條件(necessary condition)．如果“若p，則q”為假命題，那么由條件p不能推出結(jié)論q，記作p?q.此時，我們就說p不是q的充分條件，q不是p的必要條件．(2)一般地，數(shù)學(xué)中的每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個充分條件．?dāng)?shù)學(xué)中的每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個必要條件． [自主檢測]1．若a∈R，則“a＝1”是“|a|＝1”的(　　)A．充分條件B．必要條件C．既不是充分條件也不是必要條件D．無法判斷答案：A2．“a＝b”是“ac＝bc”的________條件．(充分，必要)答案：充分3．“x2＝1”是“x＝1”的________條件．(充分，必要)答案：必要授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第11頁探究一　充分條件、必要條件的判定[例1]　指出下列“若p，則q”的命題中，p是q的什么條件，q是p的什么條件．(1)若四邊形的兩組對角分別相等，則這個四邊形是平行四邊形；(2)若兩個三角形相似，則這兩個三角形的三邊成比例；(3)若四邊形為菱形，則這個四邊形的對角線互相垂直；(4)若平面內(nèi)點P在線段AB的垂直平分線上，則PA＝PB.[解析]　(1)這是一條平行四邊形的判定定理，p?q，所以p是q的充分條件．q是p的必要條件．(2)這是三角形相似的一條性質(zhì)定理，p?q，所以q是p的必要條件．p是q的充分條件．(3)這是一條菱形的性質(zhì)定理，p?q，所以p是q的充分條件．q是p的必要條件．(4)這是線段垂直平分線的性質(zhì)p?q.所以p是q的充分條件，q是p的必要條件．一般地，要判斷“若p，則q”形式的命題中p與q的條件關(guān)系，只需判斷是否有“p?q”，即“若p，則q”是否為真命題．只有p?q，p是q的充分條件，同時q是p的必要條件；如果p?q，p是q的不充分條件，q是p的不必要條件． (1)“xy為無理數(shù)”是“x，y為無理數(shù)”的____________．(2)“x是無理數(shù)”是“x2也是無理數(shù)”的________．答案：(1)既不充分也不必要　(2)必要條件探究二　充分條件、必要條件與集合的關(guān)系[例2]　指出下列各組題中，p是q的什么條件．(1)p：x＜1，q：x≤2；(2)p：x＞0，y＞0，q：xy＞0；(3)p：0＜x＜5，q：0＜x≤3.[解析]　(1)∵{x|x＜1}{x|x≤2}即p?q但q?p.p是q的充分不必要條件．(2)p：{(x，y)|xy＞0}p?q但q?p.p是q的充分不必要條件．(3)p：{x|0＜x＜5}{x|0＜x≤3}p?q但q?p.∴p是q的必要不充分條件．若p以集合A的形式出現(xiàn)，q以集合B的形式出現(xiàn)，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，則①若A?B，則p是q的充分條件．②若B?A，則p是q的必要條件．③若A?B且B?A，即AB，則p是q的充分不必要條件．④若B?A且A?B，即BA，則p是q的必要不充分條件．⑤若A?B且B?A，則p是q的既不充分也不必要條件．　“x＜1”是“＞1”的________條件．(充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要)解析：∵＞1即0＜x＜1，∴{x|x＜1}{x|0＜x＜1}．答案：必要不充分探究三　由充分，必要條件求參數(shù)[例3]　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．[解析]　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．因為p是q的必要不充分條件，所以q是p的充分不必要條件，即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，故有或解得m≤3.又m＞0，所以實數(shù)m的取值范圍為{m|0＜m≤3}. 將條件關(guān)系轉(zhuǎn)化為集合的包含關(guān)系．從而建立參數(shù)的不等式(組)求解. 　將例3中“p是q的必要不充分條件”改為“p是q的充分不必要條件”，其他條件不變，求實數(shù)m的取值范圍．解析：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．因為p是q的充分不必要條件，設(shè)p代表的集合為A，q代表的集合為B，所以AB.所以或解不等式組得m＞9或m≥9，所以m≥9，即實數(shù)m的取值范圍是{m|m≥9}．授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第12頁一、“充分”與“必要”的孿生兄弟關(guān)系　對于一個命題“若p則q”，研究p與q的條件關(guān)系時．一要明確所問：“p是q的什么條件”還是“q是p的什么條件”．二要明確推導(dǎo)關(guān)系，即原命題的真假，對于同一個推理形式“p?q”而言，“p是q”的充分條件，同時“q是p”的必要條件．二者是同一個問題、相伴孿生．就命題而言，如果將命題“若p，則q”中的條件p和結(jié)論q互換，就得到一個新的命題“若q，則p”，稱這個命題為原命題的逆命題．結(jié)論原命題逆命題p與q的關(guān)系真假p是q的充分不必要條件q是p的必要不充分條件假真p是q的必要不充分條件q是p的充分不必要條件假假p是q的既不充分也不必要條件q是p的既不充分也不必要條件即：(1)若p?q，則稱p是q的充分條件，q是p的必要條件．(2)若p?q，且q?p，則稱p是q的充分不必要條件．(3)若p?q，且q?p，則稱p是q的必要不充分條件．(4)若p?q，且q?p，則稱p是q的既不充分也不必要條件．[典例]　p是r的充分不必要條件，q是r的必要不充分條件．s是r的必要條件，也是q的充分條件．判斷p是q的什么條件，p是s的什么條件．[解析]　由題意得，p、q、r、s之間的關(guān)系．如圖：p是q的充分不必要條件．p是s的充分不必要條件．二、混淆“充分條件”“必要條件”[典例]　若“x＜m”是“x＞2或x＜1”的充分不必要條件．求m的范圍．[解析]　由題意得{x|x＜m}{x|x＞2或x＜1}．如圖：∴m≤1.糾錯心得　本題將條件關(guān)系轉(zhuǎn)化為集合的真包含關(guān)系．借助數(shù)軸，易去掉m＝1或者將包含關(guān)系弄錯．