高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修第一冊第一章集合與常用邏輯用語1.3 集合的基本運(yùn)算第2課時(shí)導(dǎo)學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第8頁
[教材提煉]
知識(shí)點(diǎn)一全集與補(bǔ)集
eq \a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材，思考問題)
(1)方程(x－2)(x2－3)＝0，在有理數(shù)范圍內(nèi)的解是什么？在實(shí)數(shù)集內(nèi)的解是什么？
(2)集合{2}與集合{eq \r(3)，－eq \r(3)}之間有什么關(guān)系？
知識(shí)梳理 (1)全集
一般地，如果一個(gè)集合含有所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集(universe set)，通常記作U.
(2)補(bǔ)集
對于一個(gè)集合A，由全集中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補(bǔ)集(cmplementary set)，簡稱為集合A的補(bǔ)集，記作?UA，即?UA＝{x|x∈U，且x?A}，可用Venn圖表示．
知識(shí)點(diǎn)二補(bǔ)集的性質(zhì)
eq \a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材，思考問題)
A∩?UA＝________，A∪?UA＝________.
知識(shí)梳理 (1)A∪(?UA)＝U，A∩(?UA)＝?.
(2)?U(?UA)＝A，?UU＝?，?U?＝U.
[自主檢測]
1．設(shè)集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,3,5}，則?UM＝( )
A．{2,4,6} B．{1,3,5}
C．{1,2,4} D．U
答案：A
2．設(shè)集合U＝R，M＝{x|x＞2或x＜0}，則?UM＝( )
A．{x|0≤x≤2} B．{x|0＜x＜2}
C．{x|x＜0，或x＞2} D．{x|x≤0，或x≥2}
答案：A
3．設(shè)全集U＝{a，b，c，d}，集合A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，則(?UA)∩B＝________.
答案：{c，d}
4．已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若?UA＝{x|2≤x≤5}，則a＝________.
答案：2
授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第9頁
探究一補(bǔ)集的運(yùn)算
[例1] (1)已知U＝R，集合A＝{x|x＜－2，或x＞2}，則?UA＝( )
A．{x|－2＜x＜2} B．{x|x＜－2，或x＞2}
C．{x|－2≤x≤2} D．{x|x≤－2，或x≥2}
[解析] 依題意，畫出數(shù)軸，如圖所示：
觀察數(shù)軸可知，?UA＝{x|－2≤x≤2}．
[答案] C
(2)已知全集U，M，N是U的非空子集，且?UM?N，則必有( )
A．M??UN B．M?UN
C．?UM＝?UN D．M?N
[解析] 依據(jù)題意畫出Venn圖，
觀察可知，M??UN.
[答案] A
(3)已知全集為U，集合A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，?UB＝{1,4,6}，求集合B.
[解析] 因?yàn)锳＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，所以U＝{1,2,3,4,5,6,7}．
又?UB＝{1,4,6}，所以B＝{2,3,5,7}．
求集合補(bǔ)集的兩種方法
(1)當(dāng)集合用列舉法表示時(shí)，直接用定義或借助Venn圖求解；
(2)當(dāng)集合是用描述法表示的連續(xù)數(shù)集時(shí)，可借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法求解．
若集合A＝{x|－1≤x＜1}，當(dāng)S分別取下列集合時(shí)，求?SA.
(1)S＝R；(2)S＝{x|x≤2}；(3)S＝{x|－4≤x≤1}．
解析：(1)把集合S和A表示在數(shù)軸上如圖所示：
由圖知?SA＝{x|x＜－1，或x≥1}．
(2)把集合S和A表示在數(shù)軸上，如圖所示：
由圖易知?SA＝{x|x＜－1，或1≤x≤2}．
(3)把集合S和A表示在數(shù)軸上，如圖所示：
由圖知?SA＝{x|－4≤x＜－1，或x＝1}．
探究二集合交、并、補(bǔ)的綜合運(yùn)算
[例2] (1)(2019·長沙高一檢測)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，則集合A∩(?UB)＝( )
A．{2,5} B．{3,6}
C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8}
[解析] 因?yàn)閁＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，B＝{1,3,4,6,7}，所以?UB＝{2,5,8}．
又A＝{2,3,5,6}，
所以A∩(?UB)＝{2,5}．
[答案] A
(2)已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，P＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≤0，或x≥\f(5,2)))，求A∩B，(?UB)∪P，(A∩B)∩(?UP)．
[解析] 將集合A，B，P分別表示在數(shù)軸上，如圖所示．
因?yàn)锳＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，
所以A∩B＝{x|－1＜x＜2}．
?UB＝{x|x≤－1，或x＞3}，
又P＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤0，或x≥\f(5,2)))))，
所以(?UB)∪P＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤0，或x≥\f(5,2))))).
又?UP＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(0＜x＜\f(5,2)))))，
所以(A∩B)∩(?UP)
＝{x|－1＜x＜2}∩eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(0＜x＜\f(5,2)))))，
＝{x|0＜x＜2}．
解決集合交、并、補(bǔ)綜合運(yùn)算的技巧
(1)如果所給集合是有限集，則先把集合中的元素一一列舉出來，然后結(jié)合交集、并集、補(bǔ)集的定義來求解．在解答過程中常常借助于Venn圖來求解．
(2)如果所給集合是無限集，則常借助數(shù)軸，把已知集合及全集分別表示在數(shù)軸上，然后進(jìn)行交、并、補(bǔ)集的運(yùn)算，解答過程中要注意邊界問題．
1．在本例(2)的條件下，求(?UA)∩(?UP)．
解析：畫出數(shù)軸，如圖所示：
觀察數(shù)軸可知，
(?UA)∩(?UP)＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2≤x＜\f(5,2))))).
2．將本例(2)中的集合P改為{x|x≤5}，且全集U＝P，A，B不變，求A∪(?UB)．
解析：畫出數(shù)軸，如圖所示：
∴A∪(?UB)＝{x|x＜2，或3＜x≤5}
探究三根據(jù)補(bǔ)集的運(yùn)算求參數(shù)的值或
范圍
[例3] 設(shè)全集U＝{3,6，m2－m－1}，A＝{|3－2m|,6}，?UA＝{5}，求實(shí)數(shù)m.
[解析] 因?yàn)?UA＝{5}，所以5∈U但5?A，
所以m2－m－1＝5，
解得m＝3或m＝－2.
當(dāng)m＝3時(shí)，|3－2m|＝3≠5，
此時(shí)U＝{3,5,6}，A＝{3,6}，滿足?UA＝{5}；
當(dāng)m＝－2時(shí)，|3－2m|＝7≠5，
此時(shí)U＝{3,5,6}，A＝{6,7}，不符合題意舍去．
綜上，可知m＝3.
由集合的補(bǔ)集求參數(shù)的方法
(1)由補(bǔ)集求參數(shù)問題，若集合中元素個(gè)數(shù)有限時(shí)，可利用補(bǔ)集定義并結(jié)合集合知識(shí)求解；
(2)與集合交、并、補(bǔ)運(yùn)算有關(guān)的求參數(shù)問題，若集合中元素為無限個(gè)時(shí)，一般利用數(shù)軸分析法求解．
設(shè)集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2＜x＜4}，全集U＝R，且(?UA)∩B＝?，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解析：因?yàn)锳＝{x|x≥－m}，所以?UA＝{x|x＜－m}．
又B＝{x|－2＜x＜4}，(?UA)∩B＝?，結(jié)合數(shù)軸(圖略)分析可知－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范圍是m≥2.
授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第10頁
一、“柳暗花明，正難則反”——補(bǔ)集思想的應(yīng)用eq \x(?數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理)
“正難則反”策略運(yùn)用的是補(bǔ)集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困難，可先求?UA，再由?U(?UA)＝A求A.
補(bǔ)集的思想作為一種思想方法，為我們研究問題開辟了新思路．今后我們要有意識(shí)地去體會(huì)并運(yùn)用補(bǔ)集思想，在順向思維受阻時(shí)，改用逆向思維，可能“柳暗花明”．從這個(gè)意義上講補(bǔ)集思想具有轉(zhuǎn)換研究對象的功能，這是轉(zhuǎn)化思想的又一體現(xiàn)．
[典例] 已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0，x∈R}，B＝{x|x＜0，x∈R}，若A∩B≠?，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
[解析] 當(dāng)A＝?時(shí)不符合題意，∴A≠?.
設(shè)全集U＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)≥0}
U＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(m\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≤－1，或m≥\f(3,2))))).
若A∩B＝?，則方程x2－4mx＋2m＋6＝0的兩根x1，x2均非負(fù)，則有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m∈U，,x1＋x2＝4m≥0，解得m≥\f(3,2).,x1x2＝2m＋6≥0，))
因?yàn)閙＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(m\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≥\f(3,2)))))關(guān)于U的補(bǔ)集為?UM＝{m|m≤－1}，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為m≤－1.
二、找全集，認(rèn)子集，求補(bǔ)集——求補(bǔ)集的程序與條件eq \x(?數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理)
[典例] 設(shè)全集S＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，?SA＝{5}，求實(shí)數(shù)a的值．
[解析] 由題意得a2＋2a－3＝5，
即a2＋2a－8＝0，
∴a＝－4或a＝2，
當(dāng)a＝2時(shí)，|2a－1|＝3∈S，符合題意，
當(dāng)a＝－4時(shí)，|2a－1|＝9?S，不符合題意，故a＝2.
糾錯(cuò)心得求一個(gè)集合A的子集，首先A是全集的子集，如本題當(dāng)a＝－4時(shí)A＝{9,2}不是S的子集，故求出a值還需檢驗(yàn)．
內(nèi) 容標(biāo) 準(zhǔn)
學(xué) 科素養(yǎng)
1.在具體情境中，了解全集的含義．
數(shù)學(xué)抽象
數(shù)學(xué)運(yùn)算
直觀想象
2.理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會(huì)求給定子集的補(bǔ)集．
3.能使用Venn圖表達(dá)補(bǔ)集的運(yùn)算.

相關(guān)學(xué)案

相關(guān)學(xué)案更多

相關(guān)學(xué)案

相關(guān)學(xué)案 更多

相關(guān)學(xué)案更多