類型二與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的探究題（原卷版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?類型二與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的探究題
【典例1】【問題情境】
已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)E是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A、C重合)，以CE為一邊作Rt△DCE，使∠DCE＝90°，且CD＝CA.沿CA方向平移△CDE，使點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)A，得到△ABF.過點(diǎn)F作FG⊥BC，交線段BC于點(diǎn)G，連接DG、EG.
【深入探究】
(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，小文猜想GC＝GF，請(qǐng)你幫他證明這一結(jié)論；
(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)E在線段AC的延長(zhǎng)線上，且CE＜CA時(shí)，猜想線段DG與EG的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你的猜想；
【拓展應(yīng)用】
(3)如圖③，將(2)中的“CE＜CA”改為“CE＞CA”，若設(shè)∠CDE＝α，請(qǐng)用含α的式子表示∠CGE的度數(shù)(直接回答即可，不必證明)．

第1題圖

【典例2】綜合與探究
如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)．直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（1）請(qǐng)直接寫出，兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸，垂足為．與直線交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)是軸上的點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

【典例3】如圖，△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC于點(diǎn)D，∠FAC＝∠ABC，且∠FAC在AC下方，點(diǎn)P，Q分別是射線BD，射線AF上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合，點(diǎn)Q不與點(diǎn)A重合，連接CQ，過點(diǎn)P作PE⊥CQ于點(diǎn)E，連接DE.
(1)若∠ABC＝60°，BP＝AQ.
①如圖①，當(dāng)點(diǎn)P在線段BD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段DE和線段AQ的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；
②如圖②，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，試判斷①中的結(jié)論是否成立，并說明理由；
(2)若∠ABC＝2α≠60°，請(qǐng)直接寫出當(dāng)線段BP和線段AQ滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，能使(1)中①的結(jié)論仍然成立(用含α的三角函數(shù)表示)．

【典例4】如圖，等邊△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為邊AB，AC，BC的中點(diǎn)，M為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，△DMN為等邊三角形．
(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，請(qǐng)你判斷EN與MF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？
(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)M在線段BC上時(shí)，其他條件不變，(1)的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)利用圖②證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；
(3)若點(diǎn)M在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，請(qǐng)你在圖③中畫出相應(yīng)的圖形，并判斷(1)的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)直接寫出結(jié)論，若不成立請(qǐng)說明理由．

【典例5】已知，在矩形ABCD中，BC＝2AB，點(diǎn)M為AD邊的中點(diǎn)，連接BD，點(diǎn)P是對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，連接AP，以點(diǎn)P為頂點(diǎn)作∠EPF＝90°，PE交AB邊于點(diǎn)E，PF交AD邊于點(diǎn)F.
(1)發(fā)現(xiàn)問題
如圖①，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中∠PBA與∠PAB互余時(shí)，線段BE、MF與AB的數(shù)量關(guān)系為__________；
(2)解決問題
如圖②，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中∠PBA與∠PAB相等時(shí)，請(qǐng)判斷(1)中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；
(3)拓展延伸
在(2)的條件下，連接EF并延長(zhǎng)EF，交直線BD于點(diǎn)G，若BE∶AF＝2∶3，EF＝，求DG的長(zhǎng)．

【典例6】已知在△ABC中，AB邊上的動(dòng)點(diǎn)D由A向B運(yùn)動(dòng)(與A，B不重合)，點(diǎn)E與點(diǎn)D同時(shí)出發(fā)，由點(diǎn)C沿BC的延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)(E不與C重合)，連接DE交AC于F，點(diǎn)H是線段AF上一點(diǎn)．
(1)初步嘗試
如圖①，若△ABC是等邊三角形，DH⊥AC，且點(diǎn)D，E的運(yùn)動(dòng)速度相等，過點(diǎn)D作DG∥BC交AC于點(diǎn)G，則GH與AH的數(shù)量關(guān)系是________，GF與FC的數(shù)量關(guān)系是________，的值是________；
(2)類比探究
如圖②，若在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ADH＝∠A＝30°，且點(diǎn)D，E的運(yùn)動(dòng)速度之比是∶1，求的值；
(3)延伸拓展
如圖③，若在△ABC中，AB＝AC，∠ADH＝∠A＝36°，記＝m，且點(diǎn)D，E的運(yùn)動(dòng)速度相等，試用含m的代數(shù)式表示.(直接寫出結(jié)果，不必寫出解答過程)

【典例7】已知：等邊三角形的邊長(zhǎng)為4厘米，長(zhǎng)為1厘米的線段在的邊上沿方向以1厘米/秒的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)開始時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)終止），過點(diǎn)分別作邊的垂線，與的其它邊交于兩點(diǎn)，線段運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．
（1）線段在運(yùn)動(dòng)的過程中，為何值時(shí)，四邊形恰為矩形？并求出該矩形的面積；
C
P
Q
B
A
M
N
（2）線段在運(yùn)動(dòng)的過程中，四邊形的面積為，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．求四邊形的面積隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍．

圖（15）
Cc
Dc
Ac
Bc
Qc
Pc
Ec
【典例8】如圖，在梯形中，厘米，厘米，的坡度動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)以2厘米/秒的速度沿方向向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以3厘米/秒的速度沿方向向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止．設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．
（1）求邊的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)為何值時(shí)，與相互平分；
（3）連結(jié)設(shè)的面積為探求與的函數(shù)關(guān)系式，求為何值時(shí)，有最大值？最大值是多少？

【典例9】如圖，已知中，厘米，厘米，點(diǎn)為的中點(diǎn)．
A
Q
C
D
B
P
（1）如果點(diǎn)P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．
①若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過1秒后，與是否全等，請(qǐng)說明理由；
②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使與全等？
（2）若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿三邊運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在的哪條邊上相遇？

【典例10】在梯形中，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿線段以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)沿線段以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．
（1）求的長(zhǎng)．（2）當(dāng)時(shí)，求的值．（3）試探究：為何值時(shí)，為等腰三角形．

A
B
O
C
D
P
Q
【典例11】如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90o，AB＝12cm，AD＝8cm，BC＝22cm，AB為⊙O的直徑，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AD邊向點(diǎn)D以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿CB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端
點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)．
(1)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQCD為平行四邊形？
(2)當(dāng)t為何值時(shí)，PQ與⊙O相切？

【典例12】如圖，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分別從A，B，C，D出發(fā)沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的邊上同時(shí)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)先到達(dá)所在運(yùn)動(dòng)邊的另一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)即停止．已知在相同時(shí)間內(nèi)，若BQ=xcm()，則AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．
（1）當(dāng)x為何值時(shí)，以PQ，MN為兩邊,以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊構(gòu)成一個(gè)三角形；
（2）當(dāng)x 為何值時(shí)，以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；
（3）以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形能否為等腰梯形?如果能，求x的值；如果不能，請(qǐng)說明理由．
A
B
D
C
P
Q
M
N

類型二與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的探究題
【典例1】【問題情境】
已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)E是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A、C重合)，以CE為一邊作Rt△DCE，使∠DCE＝90°，且CD＝CA.沿CA方向平移△CDE，使點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)A，得到△ABF.過點(diǎn)F作FG⊥BC，交線段BC于點(diǎn)G，連接DG、EG.
【深入探究】
(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，小文猜想GC＝GF，請(qǐng)你幫他證明這一結(jié)論；
(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)E在線段AC的延長(zhǎng)線上，且CE＜CA時(shí)，猜想線段DG與EG的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你的猜想；
【拓展應(yīng)用】
(3)如圖③，將(2)中的“CE＜CA”改為“CE＞CA”，若設(shè)∠CDE＝α，請(qǐng)用含α的式子表示∠CGE的度數(shù)(直接回答即可，不必證明)．

第1題圖
【答案】(1)證明：∵在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠BCA＝∠ABC＝45°，
∵FG⊥BC，
∴∠FGC＝90°，∴∠GFC＝90°－∠GCF＝45°，
∴∠GFC＝∠GCF，
∴GC＝GF；
(2)解：DG＝EG，DG⊥EG；
證明：同(1)可證GC＝GF，
∵∠DCE＝90°，∠BCA＝45°，
∴∠DCG＝45°，
∵∠GFC＝45°，
∴∠DCG＝∠EFG，
∵△CDE平移得到△ABF，
∴CE＝AF，∴CE＋CF＝AF＋CF，即EF＝AC，
∵AC＝CD，∴EF＝CD，∴△DCG≌△EFG(SAS)，
∴DG＝EG，∠DGC＝∠EGF，
∴∠DGC－∠EGC＝∠EGF－∠EGC，
即∠DGE＝∠CGF＝90°，
∴DG⊥EG；
(3)解：∠CGE＝180°－α.
【典例2】綜合與探究
如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)．直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（1）請(qǐng)直接寫出，兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸，垂足為．與直線交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)是軸上的點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】（1），，直線的函數(shù)表達(dá)式為：；（2）當(dāng)點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為或；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
【解析】
【分析】
（1）令可得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，把的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式可得的解析式；
（2）根據(jù)題意畫出圖形，分別表示三點(diǎn)的坐標(biāo)，求解的長(zhǎng)度，分兩種情況討論即可得到答案；
（3）根據(jù)題意畫出圖形，分情況討論：①如圖，當(dāng)點(diǎn)在軸正半軸上時(shí)，記為點(diǎn)．過點(diǎn)作直線，垂足為．再利用相似三角形與等腰直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理可得答案，②如圖，當(dāng)點(diǎn)在軸負(fù)半軸上時(shí)，記為點(diǎn)．過點(diǎn)作直線，垂足為，再利用相似三角形與等腰直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理可得答案．
【詳解】
解：（1）令

，，
設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為：，
把代入得：

解得：
直線的函數(shù)表達(dá)式為：．
（2）解：如圖，根據(jù)題意可知，點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
，．

，
，
分兩種情況：
①當(dāng)時(shí)，得．
解得：，（舍去）
當(dāng)時(shí)，．
點(diǎn)的坐標(biāo)為
②當(dāng)時(shí)，得．
解得：，（舍去）
當(dāng)時(shí)，
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
當(dāng)點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為或

（3）解：直線與軸交于點(diǎn)，
點(diǎn)坐標(biāo)為．
分兩種情況：
①如圖，當(dāng)點(diǎn)在軸正半軸上時(shí)，記為點(diǎn)．
過點(diǎn)作直線，垂足為．則，
，
．

即
．
又，，

．

連接，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
軸
．
，．
．
．
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
②如圖，當(dāng)點(diǎn)在軸負(fù)半軸上時(shí)，記為點(diǎn)．過點(diǎn)作直線，垂足為，
則，
，．
．
即
．
又，，

．．
由①可知，．．
．
．

點(diǎn)的坐標(biāo)為
點(diǎn)的坐標(biāo)為或．

【點(diǎn)睛】
本題考查的是二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，平面直角坐標(biāo)系中線段的長(zhǎng)度的計(jì)算，同時(shí)考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，特別是分類討論的數(shù)學(xué)思想，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
【典例3】如圖，△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC于點(diǎn)D，∠FAC＝∠ABC，且∠FAC在AC下方，點(diǎn)P，Q分別是射線BD，射線AF上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合，點(diǎn)Q不與點(diǎn)A重合，連接CQ，過點(diǎn)P作PE⊥CQ于點(diǎn)E，連接DE.
(1)若∠ABC＝60°，BP＝AQ.
①如圖①，當(dāng)點(diǎn)P在線段BD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段DE和線段AQ的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；
②如圖②，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，試判斷①中的結(jié)論是否成立，并說明理由；
(2)若∠ABC＝2α≠60°，請(qǐng)直接寫出當(dāng)線段BP和線段AQ滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，能使(1)中①的結(jié)論仍然成立(用含α的三角函數(shù)表示)．

【答案】解：(1)①DE＝AQ，DE∥AQ；
②成立；
【解法提示】如解圖①，連接PC、PQ，

∵BA＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴BC＝AC，
∵BC＝AC，∠FAC＝∠PBC＝30°，AQ＝BP，
∴△AQC≌△BPC(SAS)，
∴QC＝PC，∠ACQ＝∠BCP，
∴∠ACQ＋∠ACP＝∠BCP＋∠ACP＝60°，
∴△PCQ是等邊三角形，
又PE⊥QC，∴E為QC的中點(diǎn)，
∵AB＝BC，BD⊥AC，
∴D為AC的中點(diǎn)，
∴DE＝AQ，DE∥AQ；
②成立．理由如下：
如解圖②，連接PC、PQ.

∵BA＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等邊三角形，∴BC＝AC，
∵BC＝AC，∠FAC＝∠PBC＝30°，AQ＝BP，
∴△AQC≌△BPC(SAS)，
∴QC＝PC，∠ACQ＝∠BCP，
∴∠PCQ＝∠BCA＝60°，
∴△PCQ是等邊三角形，
又∵PE⊥QC，∴E為QC的中點(diǎn)，
∵AB＝BC，BD⊥AC，∴D為AC的中點(diǎn)，
∴DE＝AQ，DE∥AQ；

(2)如解圖③，連接PC，取PC中點(diǎn)M，連接MD、ME，設(shè)PE與AC交點(diǎn)為N，
∵∠PDC＝90°，
∴MD＝PC，
同理ME＝PC，即MP＝MC＝MD＝ME，
∴P、D、E、C四點(diǎn)共圓，
∴∠NCE＝∠NPD，∠EDC＝∠NPC，
∵DE∥AQ，∴∠QAC＝∠EDC，
又∠QAC＝∠PBC，
∴∠NPC＝∠PBC，
∵∠EPD＋∠NPC＝∠PBC＋∠BCP，
∴∠EPD＝∠BCP，
∴∠NCE＝∠BCP.
由∠NCE＝∠BCP，∠QAC＝∠PBC，得△QAC∽△PBC，
∴＝＝＝2sin∠DBC＝2sin，
即＝2sinα.
【典例4】如圖，等邊△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為邊AB，AC，BC的中點(diǎn)，M為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，△DMN為等邊三角形．
(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，請(qǐng)你判斷EN與MF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？
(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)M在線段BC上時(shí)，其他條件不變，(1)的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)利用圖②證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；
(3)若點(diǎn)M在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，請(qǐng)你在圖③中畫出相應(yīng)的圖形，并判斷(1)的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)直接寫出結(jié)論，若不成立請(qǐng)說明理由．

【答案】解：(1)EN＝MF；
【解法提示】如解圖①，連接DE、DF，
∵D、E、F是等邊△ABC三邊中點(diǎn)，
∴△DEF是等邊三角形，∴DE＝DF，∠EDF＝60°，
∵△DMN為等邊三角形，∴DM＝DN，∠MDN＝60°，
∴∠MDF＝∠NDE＝60°＋∠NDF，
∴△DMF≌△DNE(SAS)，∴EN＝MF.

圖① 圖②
(2)成立．
證明：如解圖②，連接DE、DF和EF，
∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC.
又∵D，E，F(xiàn)是三邊的中點(diǎn)，
∴DE，DF，EF為三角形的中位線，
∴DE＝DF＝EF，∠FDE＝60°.
又∵∠MDF＋∠FDN＝60°， ∠NDE＋∠FDN＝60°，
∴∠MDF＝∠NDE.
在△DMF和△DNE中，
∴△DMF≌△DNE(SAS)，∴EN＝FM；
(3)畫出圖形如解圖③，

③
MF與EN相等的結(jié)論仍然成立(或EN＝MF成立)．
【解法提示】如解圖④，連接DE、EF、DF.
　
④
∵D、E、F分別為AB、AC、BC的中點(diǎn)，且△ABC是等邊三角形，∴△DEF是等邊三角形，
∴DE＝DF，∠EDF＝60°.
∵△DMN是等邊三角形，
∴DM＝DN，∠MDN＝60°，
∴∠MDF＋∠MDE＝∠MDE＋∠NDE，
∴∠MDF＝∠NDE，
∴△MDF≌△NDE(SAS)，
∴MF＝NE.
【典例5】已知，在矩形ABCD中，BC＝2AB，點(diǎn)M為AD邊的中點(diǎn)，連接BD，點(diǎn)P是對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，連接AP，以點(diǎn)P為頂點(diǎn)作∠EPF＝90°，PE交AB邊于點(diǎn)E，PF交AD邊于點(diǎn)F.
(1)發(fā)現(xiàn)問題
如圖①，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中∠PBA與∠PAB互余時(shí)，線段BE、MF與AB的數(shù)量關(guān)系為__________；
(2)解決問題
如圖②，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中∠PBA與∠PAB相等時(shí)，請(qǐng)判斷(1)中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；
(3)拓展延伸
在(2)的條件下，連接EF并延長(zhǎng)EF，交直線BD于點(diǎn)G，若BE∶AF＝2∶3，EF＝，求DG的長(zhǎng)．

【答案】解：(1)BE－MF＝AB；
【解法提示】如解圖①，取AB的中點(diǎn)N，連接PN、PM.

∵∠PBA與∠PAB互余，
∴∠PBA＋∠PAB＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴∠APD＝90°，
∵N是AB的中點(diǎn)，M是AD的中點(diǎn)，
∴PN＝BN＝AN＝AB，AM＝DM＝PM＝AD，
∴∠NAP＝∠NPA，∠MAP＝∠MPA.
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AB＝CD，AD＝BC.
∵BC＝2AB，
∴AD＝2AB，
∴＝，
而∠NAP＋∠MAP＝∠BAD＝90°，
∴∠NPA＋∠MPA＝90°，即∠NPM＝90°.
∵∠EPF＝90°，
∴∠NPM＝∠EPF，
∴∠NPM－∠EPM＝∠EPF－∠EPM，
∴∠NPE＝∠MPF.
∵∠ABP＋∠BAP＝90°，∠BAP＋∠DAP＝90°，
∴∠ABP＝∠DAP.
∵PN＝BN，AM＝PM，
∴∠ABP＝∠BPN，∠DAP＝∠MPA，
∴∠ENP＝∠FMP，
∴△PNE∽△PMF，
∴＝＝＝.
∴NE＝MF，
∵BE－NE＝BN，
∴BE－MF＝BN，
又∵BN＝AB，
∴BE－MF＝AB.
(2)不成立；
理由如下：如解圖②，取AB的中點(diǎn)N，連接PN、PM，

∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵∠PBA＝∠PAB，
∴PA＝PB，
∵N是AB的中點(diǎn)，
∴PN⊥AB，
∴∠ANP＝90°，
∵∠PAB＋∠PAD＝90°，∠PBA＋∠PBC＝90°，
∴∠PAD＝∠PBC，
∴∠PAD＝∠PDA，
∴PA＝PD.
∵M(jìn)是AD的中點(diǎn)，
∴PM⊥AD，
∴∠PMA＝90°，
∴四邊形PMAN是矩形，
∴∠NPM＝90°，AN＝PM，PN＝AM.
∵∠EPF＝90°，
∴∠NPM＝∠EPF，
∴∠NPM－∠EPM＝∠EPF－∠EPM，
∴∠NPE＝∠MPF.
∵∠PNE＝∠PMF＝90°，
∴△PNE∽△PMF，
∴＝＝.
∵AD＝2AB，
∴NE＝2MF.
∵BE－NE＝BN，
∴BE－2MF＝BN，
∵N是AB的中點(diǎn)，
∴BN＝AB，
∴BE－2MF＝AB，故(1)中結(jié)論不成立；
(3) 如解圖③，延長(zhǎng)CD交FG于點(diǎn)H，設(shè)BE＝2a，則AF＝3a.

∵BE－2MF＝AB，
∴BE－2(AF－AM)＝AB.
∵AM＝AB，
∴2a－2(3a－AB)＝AB，
∴AB＝a，
∴AD＝a，AE＝a，F(xiàn)D＝a.
∵AE2＋AF2＝EF2，
∴(a)2＋(3a)2＝()2，
解得a1＝3，a2＝－3(舍去)．
∴AE＝2，BE＝6，AF＝9，DF＝7，BD＝8.
∵HD∥AB，
∴△AEF∽△DHF，
∴＝，
∴＝，
∴DH＝.
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，即HD∥BE.
∴△GDH∽△GBE，
∴＝，
∴＝，
∴DG＝.
【典例6】已知在△ABC中，AB邊上的動(dòng)點(diǎn)D由A向B運(yùn)動(dòng)(與A，B不重合)，點(diǎn)E與點(diǎn)D同時(shí)出發(fā)，由點(diǎn)C沿BC的延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)(E不與C重合)，連接DE交AC于F，點(diǎn)H是線段AF上一點(diǎn)．
(1)初步嘗試
如圖①，若△ABC是等邊三角形，DH⊥AC，且點(diǎn)D，E的運(yùn)動(dòng)速度相等，過點(diǎn)D作DG∥BC交AC于點(diǎn)G，則GH與AH的數(shù)量關(guān)系是________，GF與FC的數(shù)量關(guān)系是________，的值是________；
(2)類比探究
如圖②，若在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ADH＝∠A＝30°，且點(diǎn)D，E的運(yùn)動(dòng)速度之比是∶1，求的值；
(3)延伸拓展
如圖③，若在△ABC中，AB＝AC，∠ADH＝∠A＝36°，記＝m，且點(diǎn)D，E的運(yùn)動(dòng)速度相等，試用含m的代數(shù)式表示.(直接寫出結(jié)果，不必寫出解答過程)

【答案】解：(1)GH＝AH，GF＝FC，2；
【解法提示】∵DG∥BC，
∴∠ADG＝∠B，∠AGD＝∠ACB，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，
∴∠ADG＝∠AGD＝∠A，
∴△ADG是等邊三角形，∴GD＝AD＝CE，
∵DH⊥AC，∴GH＝AH，
∵DG∥BC，
∴∠GDF＝∠CEF，∠DGF＝∠ECF，
在△GDF和△CEF中，
∵，
∴△GDF≌△CEF(ASA)，
∴GF＝CF，
∴GH＋GF＝AH＋CF，即HF＝AC，
∴＝2.
(2)如解圖①，過點(diǎn)D作DG∥BC，交AC于點(diǎn)G，

則∠ADG＝∠B＝90°，
∵∠A＝∠ADH＝30°，∴∠HGD＝∠HDG＝60°，
∴△DHG是等邊三角形，
∴AH＝GH＝GD，AD＝GD，
根據(jù)題意得AD＝CE，∴GD＝CE，
∵DG∥BC，∴∠GDF＝∠CEF，∠DGF＝∠ECF，
在△GDF和△CEF中，
∵，∴△GDF≌△CEF(ASA)，
∴GF＝CF，∴GH＋GF＝AH＋CF，
即HF＝AC，∴＝2；
(3)＝.
【解法提示】如解圖②，過點(diǎn)D作DG∥BC，交AC于點(diǎn)G，

則∠ADG＝∠B，∠AGD＝∠ACB，AD＝EC，
∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ACB＝∠B＝∠ADG＝∠AGD＝72°，
∵∠ADH＝∠A＝36°，
∴AH＝DH，∠DHG＝72°＝∠AGD，
∴DG＝DH＝AH，
∴△ADG∽△ABC，△ADG∽△DGH，
∴△DGH∽△ABC，∴＝＝＝m，∴＝m，
∵DG∥BC，∴△DFG∽△EFC，∴＝，
又∵CE＝AD，∴＝＝m，∴＝＝m，
∴＝＝m，∴＝，
∴＝＝＋1＝.
【典例7】已知：等邊三角形的邊長(zhǎng)為4厘米，長(zhǎng)為1厘米的線段在的邊上沿方向以1厘米/秒的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)開始時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)終止），過點(diǎn)分別作邊的垂線，與的其它邊交于兩點(diǎn)，線段運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．
（1）線段在運(yùn)動(dòng)的過程中，為何值時(shí)，四邊形恰為矩形？并求出該矩形的面積；
C
P
Q
B
A
M
N
（2）線段在運(yùn)動(dòng)的過程中，四邊形的面積為，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．求四邊形的面積隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍．
【解析】：（1）過點(diǎn)作，垂足為．則，
C
P
Q
B
A
M
N
當(dāng)運(yùn)動(dòng)到被垂直平分時(shí)，四邊形是矩形，即時(shí)，
四邊形是矩形，秒時(shí)，四邊形是矩形．
，
C
P
Q
B
A
M
N
（2）當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
點(diǎn)評(píng)：此題關(guān)鍵也是對(duì)P、Q兩點(diǎn)的不同位置進(jìn)行分類。
圖（15）
Cc
Dc
Ac
Bc
Qc
Pc
Ec
【典例8】如圖，在梯形中，厘米，厘米，的坡度動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)以2厘米/秒的速度沿方向向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以3厘米/秒的速度沿方向向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止．設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．
（1）求邊的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)為何值時(shí)，與相互平分；
（3）連結(jié)設(shè)的面積為探求與的函數(shù)關(guān)系式，求為何值時(shí)，有最大值？最大值是多少？
【解析】：（1）作于點(diǎn)，如圖（3）所示，則四邊形為矩形．
又 2分
在中，由勾股定理得：
（2）假設(shè)與相互平分．由則是平行四邊形（此時(shí)在上）．
即解得即秒時(shí)，與相互平分．
（3）①當(dāng)在上，即時(shí)，作于，則
即=
當(dāng)秒時(shí)，有最大值為
②當(dāng)在上，即時(shí)，=
易知隨的增大而減?。十?dāng)秒時(shí)，有最大值為
綜上，當(dāng)時(shí)，有最大值為
【典例9】如圖，已知中，厘米，厘米，點(diǎn)為的中點(diǎn)．
A
Q
C
D
B
P
（1）如果點(diǎn)P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．
①若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過1秒后，與是否全等，請(qǐng)說明理由；
②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使與全等？
（2）若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿三邊運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在的哪條邊上相遇？
【解析】：（1）①∵秒，∴厘米，
∵厘米，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴厘米．
又∵厘米，∴厘米，∴．
又∵，∴，∴．
②∵， ∴，
又∵，，則，
∴點(diǎn)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間秒，∴厘米/秒．
（2）設(shè)經(jīng)過秒后點(diǎn)與點(diǎn)第一次相遇，由題意，得，解得秒．
∴點(diǎn)共運(yùn)動(dòng)了厘米．
∵，∴點(diǎn)、點(diǎn)在邊上相遇，∴經(jīng)過秒點(diǎn)與點(diǎn)第一次在邊上相遇．
【典例10】在梯形中，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿線段以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)沿線段以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．
（1）求的長(zhǎng)．（2）當(dāng)時(shí)，求的值．（3）試探究：為何值時(shí)，為等腰三角形．
【解析】：（1）如圖①，過、分別作于，于，則四邊形是矩形
∴在中，
在，中，由勾股定理得，
∴
（圖①）
A
D
C
B
K
H
（圖②）
A
D
C
B
G
M
N

（2）如圖②，過作交于點(diǎn)，則四邊形是平行四邊形
∵∴∴∴
由題意知，當(dāng)、運(yùn)動(dòng)到秒時(shí)，
∵∴又
A
D
C
B
M
N
（圖③）
（圖④）
A
D
C
B
M
N
H
E
∴∴即解得，

（3）分三種情況討論：①當(dāng)時(shí)，如圖③，即∴
②當(dāng)時(shí)，如圖④，過作于
解法一：由等腰三角形三線合一性質(zhì)得
在中，又在中，∴解得
∵∴∴即∴
（圖⑤）
A
D
C
B
H
N
M
F
③當(dāng)時(shí)，如圖⑤，過作于點(diǎn).
解法一：（方法同②中解法一）
解得
解法二：
∵∴
∴即∴
綜上所述，當(dāng)、或時(shí)，為等腰三角形
A
B
O
C
D
P
Q
【典例11】如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90o，AB＝12cm，AD＝8cm，BC＝22cm，AB為⊙O的直徑，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AD邊向點(diǎn)D以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿CB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端
點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)．
(1)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQCD為平行四邊形？
(2)當(dāng)t為何值時(shí)，PQ與⊙O相切？
【解析】：(1)∵直角梯形
當(dāng)時(shí)，四邊形為平行四邊形．
由題意可知：
，，
當(dāng)時(shí)，四邊形為平行四邊形．
O
A
P
D
B
Q
C
H
E
O
A
P
D
B
Q
C

（2）解：設(shè)與相切于點(diǎn)過點(diǎn)作垂足為
直角梯形
由題意可知：
為的直徑，為的切線
在中，即：
， 7分
因?yàn)樵谶呥\(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，而（舍去）
當(dāng)秒時(shí)，與相切．
【典例12】如圖，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分別從A，B，C，D出發(fā)沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的邊上同時(shí)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)先到達(dá)所在運(yùn)動(dòng)邊的另一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)即停止．已知在相同時(shí)間內(nèi)，若BQ=xcm()，則AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．
（1）當(dāng)x為何值時(shí)，以PQ，MN為兩邊,以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊構(gòu)成一個(gè)三角形；
（2）當(dāng)x 為何值時(shí)，以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；
（3）以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形能否為等腰梯形?如果能，求x的值；如果不能，請(qǐng)說明理由．
A
B
D
C
P
Q
M
N

【解析】：
（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合或點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合時(shí)，以PQ，MN為兩邊，以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊可能構(gòu)成一個(gè)三角形．
①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合時(shí)，
（舍去）．因?yàn)锽Q+CM=，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)M不重合．所以符合題意．
②當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合時(shí)，
．此時(shí)，不符合題意．故點(diǎn)Q與點(diǎn)M不能重合．
所以所求x的值為．
（2）由（1）知，點(diǎn)Q 只能在點(diǎn)M的左側(cè)，
①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的左側(cè)時(shí)，由，解得．
當(dāng)x=2時(shí)四邊形PQMN是平行四邊形．
②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的右側(cè)時(shí)，由，解得．
當(dāng)x=4時(shí)四邊形NQMP是平行四邊形．所以當(dāng)時(shí)，以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
（3）過點(diǎn)Q，M分別作AD的垂線，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)．由于2x>x，所以點(diǎn)E一定在點(diǎn)P的左側(cè)．
若以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形，則點(diǎn)F一定在點(diǎn)N的右側(cè)，且PE=NF，
即．解得．
由于當(dāng)x=4時(shí)，以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，所以,以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形不能為等腰梯.

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