? 高三理數(shù)三模試卷
一、單項選擇題
1.復(fù)數(shù)z滿足 ，那么 〔??? 〕
A.??????????????????????????B.??????????????????????????C.??????????????????????????D.?
2.集合 ， ，那么 〔??? 〕
A.????????????????B.????????????????C.????????????????D.?
3.△ABC的重心為O ， 那么向量 〔??? 〕
A.?????????????????B.?????????????????C.?????????????????D.?
4.某公交公司推出掃碼支付乘車優(yōu)惠活動，活動為期兩周，活動的前五天數(shù)據(jù)如下表：
第 天
1
2
3
4
5
使用人數(shù)( )
15
173
457
842
1333
由表中數(shù)據(jù)可得y關(guān)于x的回歸方程為 ，那么據(jù)此回歸模型相應(yīng)于點〔2，173〕的殘差為〔??? 〕
A.?-5??????????????????????????????????????????B.?-6??????????????????????????????????????????C.?3??????????????????????????????????????????D.?2
5. ，設(shè)函數(shù) 的圖象在點 處的切線為l ， 那么l過定點〔??? 〕
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
6.?九章算術(shù)?卷七“盈缺乏〞有這樣一段話：“今有良馬與駑馬發(fā)長安至齊.齊去長安三千里.良馬初日行一百九十三里，日增十三里.駑馬初日行九十七里，日減半里.〞意思是：今有良馬與駑馬從長安出發(fā)到齊國.齊國與長安相距3000里.良馬第一日走193里，以后逐日增加13里.駑馬第一日走97里，以后逐日減少0.5里.那么8天后兩馬之間的距離為〔??? 〕
A.?1055里???????????????????????????????B.?1146里???????????????????????????????C.?1510里???????????????????????????????D.?1692里
7.設(shè)直線 與拋物線 相交于 ? 兩點， 為坐標(biāo)原點，假設(shè) ，那么 面積的取值范圍是〔??? 〕
A.???????????????????????????B.???????????????????????????C.???????????????????????????D.?
8.如圖，在棱長為4的正方體 ，中， ， 分別為棱 ， 的中點，過 ， ， 三點作正方體的截面，那么以 點為頂點，以該截面為底面的棱錐的體積為〔??? 〕

A.????????????????????????????????????????B.?8???????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
9.函數(shù) ，用 表示a ， b中的最大值，那么函數(shù) 的零點個數(shù)為〔??? 〕
A.?0???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?3
10.如圖，雙曲線 ： 的右焦點為 ，點 ， 分別在 的兩條漸近線上， 軸， ， ( 為坐標(biāo)原點)，那么 的離心率為〔??? 〕

A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
11.分子間作用力存在于分子與分子之間或惰性氣體原子之間，在一定條件下兩個惰性氣體原子接近，那么彼此因靜電力作用產(chǎn)生極化，從而導(dǎo)致有相互作用力，稱為范德瓦爾斯作用．今有兩個惰性氣體原子，原子核正電荷的電荷量為q ， 這兩個相距R的惰性氣體原子組成體系的能量中有靜電相互作用能U ， 且 ，其中 為靜電常量， 分別表示兩個原子的負(fù)電中心相對各自原子核的位移，且 的絕對值遠(yuǎn)小于 ．當(dāng)x的值接近于0時，在近似計算中 ，那么U的近似值為〔??? 〕
A.?????????????????????????B.?????????????????????????C.?????????????????????????D.?
12.四棱錐 的五個頂點都在球 的球面上， 平面 ，底面 是高為 的等腰梯形， ， ， ，那么球 的外表積為〔??? 〕
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
二、填空題
13.的展開式中 的系數(shù)為________.
14.等比數(shù)列 的前 項和為 ，假設(shè) ， ， ，那么 ________.
15. ， 滿足約束條件 .當(dāng)且僅當(dāng) ， 時， 取得最小值，其中 ， ，那么 的最大值為________.
16.函數(shù) ， .對于不相等的正實數(shù) ， ，設(shè) ， ，現(xiàn)有如下命題：
①對于任意不相等的正實數(shù) ， ，都有 ；
②對于任意的a及任意不相等的正實數(shù) ， ，都有 ；
③對于任意的a，存在不相等的正實數(shù) ， ，使得 ；
④對于任意的a，存在不相等的正實數(shù) ， ，使得 .
其中真命題有________(寫出所有真命題的序號).
三、解答題
17.如圖，平面四邊形 內(nèi)接于一個圓，且 ， ， 為鈍角， .

〔1〕求 ；
〔2〕假設(shè) ，求 的面積.
18.如圖，正三棱柱 中， ， ， ， 分別是棱 ， 的中點， 在側(cè)棱 上，且 .

〔1〕求證：平面 平面 ；
〔2〕求平面 與平面 所成的銳二面角的余弦值.
19.2021年是中國共產(chǎn)黨百年華誕.中國站在“兩個一百年〞的歷史交匯點，全面建設(shè)社會主義現(xiàn)代化國家新征程即將開啟.2021年3月23日，中宣部介紹中國共產(chǎn)黨成立100周年慶祝活動八項主要內(nèi)容，其中第一項為哪一項結(jié)合穩(wěn)固深化“不忘初心?牢記使命〞主題教育成果，在全體黨員中開展黨史學(xué)習(xí)教育.這次學(xué)習(xí)教育貫穿2021年全年，總的要求是學(xué)史明理?學(xué)史增信?學(xué)史崇德?學(xué)史力行，教育引導(dǎo)黨員干部學(xué)黨史?悟思想?辦實事，開新局.為了配合這次學(xué)黨史活動，某地組織全體黨員干部參加黨史知識競賽，現(xiàn)從參加人員中隨機(jī)抽取100人，并對他們的分?jǐn)?shù)進(jìn)行統(tǒng)計，得到如以下列圖的頻率分布直方圖.

〔1〕現(xiàn)從這100人中隨機(jī)抽取2人，記其中得分不低于80分的人數(shù)為 ，試求隨機(jī)變量 的分布列及期望；
〔2〕由頻率分布直方圖，可以認(rèn)為該地參加黨史知識競賽人員的分?jǐn)?shù) 服從正態(tài)分布 ，其中 近似為樣本平均數(shù)， 近似為樣本方差 ，經(jīng)計算 .現(xiàn)從所有參加黨史知識競賽的人員中隨機(jī)抽取500人，且參加黨史知識競賽的人員的分?jǐn)?shù)相互獨立，試問這500名參賽者的分?jǐn)?shù)不低于82.3的人數(shù)最有可能是多少？
參考數(shù)據(jù)： ， ， ， .
20.橢圓 ： 的左?右焦點分別為 ， ，點 ， 分別為 的右頂點和上頂點，假設(shè) 的面積是 的面積的3倍，且 .
〔1〕求 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
〔2〕假設(shè)過點 且斜率不為0的直線與 交于 ， 兩點，點 在直線 上，且 與 軸平行，求證：直線 恒過定點.
21.函數(shù) 有兩個零點 ， .
〔1〕求實數(shù) 的取值范圍；
〔2〕證明： .
xOy中，曲線 ，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 的極坐標(biāo)方程為 ．
〔1〕求曲線 的參數(shù)方程與 的直角坐標(biāo)方程；
〔2〕設(shè)點A ， B分別為曲線 與 上的動點，求 的取值范圍．
23.函數(shù) ．
〔1〕假設(shè) ，試求不等式 的解集；
〔2〕假設(shè) 恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

答案解析局部
一、單項選擇題
1.【解析】【解答】由 ，
故答案為：C

【分析】 利用共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的運算法那么即可得出.
2.【解析】【解答】因為 ，由于 ，所以 ，故
所以
，
那么 或 ，
故 或 ，
故答案為：B.

【分析】 先分別求出集合A，B,以及B的補集，由此能求出 。?
3.【解析】【解答】設(shè) 分別是 的中點，

由于 是三角形 的重心，
所以 .
故答案為：C

【分析】根據(jù)重心的知識，結(jié)合向量減法和數(shù)乘運算，即可得出答案。
4.【解析】【解答】令 ，那么 ，

1
4
9
16
25
使用人數(shù)( )
15
173
457
842
1333
， ，
所以 ，
所以 ，
當(dāng) 時， ，
所以殘差為 .
故答案為：B

【分析】 先計算出m的值,然后求出估計值,最后計算殘差即可.
5.【解析】【解答】由 ， ， ，故過 處的切線方程為： ，故l過定點 .
故答案為：A

【分析】求得f?(x)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，再求出f(1)，由點斜式方程可得切線的方程，再結(jié)合直線系方程得答案.
6.【解析】【解答】良馬日行里數(shù)構(gòu)成以193為首項，13為公差的等差數(shù)列；駑馬日行里數(shù)那么構(gòu)成以97為首項，-0.5為公差的等差數(shù)列，
那么兩馬同時出發(fā)后第8日，良馬日行里數(shù) 〔里〕，
而駑馬日行里數(shù) 〔里〕，
所以良馬較駑馬日行里數(shù)多 〔里〕．
故答案為：B．

【分析】良馬日行里數(shù)構(gòu)成以193為首項，13為公差的等差數(shù)列；駑馬日行里數(shù)那么構(gòu)成以97為首項，-0.5為公差的等差數(shù)列，再根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式進(jìn)行計算，即可得出答案。
7.【解析】【解答】因為直線 與拋物線 相交于 ? 兩點，所以該直線斜率不為零，
設(shè)該直線的方程為 ，其中 不同時為零；設(shè) ? ，
由 可得 ，
那么 ， ，即 ；
因此 ，
又 ，所以 ，即 ，解得 ；
所以 ；
又點 到直線 的距離為 ，
所以 的面積為 ，
即 面積的取值范圍是 .
故答案為：D.

【分析】設(shè)該直線的方程為 ，根據(jù)求出n，再把面積用m來表示即可得到面積的取值范圍。
8.【解析】【解答】延長 交于點 ，連接 交 于 ，那么平面 為所求截面，

故 ，
故答案為：B.

【分析】找出截面四邊形，把所求幾何體的體積轉(zhuǎn)化為兩個三棱錐體積求解。
9.【解析】【解答】分三種情況討論：
① 當(dāng) 時， ，所以 ，故 無零點；
② 當(dāng) 時， ， ，所以 ，故 是 的零點；
③ 當(dāng) 時， ，所以 的零點就是 的零點.
顯然， 在 上單調(diào)遞減，且 ， ，
故 在 內(nèi)有唯一零點，即 在 內(nèi)有唯一零點.
綜上可知，函數(shù) 在 時有2個零點.
故答案為：C.

【分析】分 ， ， 三種情況討論可得結(jié)果。
10.【解析】【解答】因為直線 ： ，所以 ，因為 ，所以 ，
由于直線 ： ，且 ，所以 ，所以直線 ： ，
因此 ，解得 ，即 ，
因為 ，所以 ，即 ，
所以離心率 .
故答案為：C.

【分析】 寫出BF所在直線方程，與直線OB方程聯(lián)立解得B的坐標(biāo)，求出A的坐標(biāo)，可得AB所在直線的斜率，利用AB⊥OB,即可列式求解雙曲線的離心率.
11.【解析】【解答】根據(jù)題意，
?
?
；
故答案為：A．

【分析】 根據(jù)題意,由題中給出的公式進(jìn)行變形分析,即可得到答案.
12.【解析】【解答】取 的中點 ，過 作 面 ，如圖，

因為 ， ， ， ,
所以在 中， ,
所以 ，
由余弦定理可知， ，
故 ,
設(shè)底面ABCD外接圓半徑為r ， 圓心為M ， 球О的半徑為R ，
由正弦定理知 故 ，
又因為 平面
所以
所以球 的外表積為
故答案為：D

【分析】由題意可得底面等腰梯形的外接圓的半徑，過底面外接圓的圓心E作垂直于底面的直線，那么外接球的球心在此直線上，在兩個三角形中求出外接球的半徑。
二、填空題
13.【解析】【解答】 的展開式中 的系數(shù)為
故答案為：840

【分析】 由題意利用二項展開式的通項公式，求得 ? 的展開式中 的系數(shù).
14.【解析】【解答】因為 ，那么 ，
又由 ， ，得 ，解得 ，
那么 .
故答案為： .

【分析】由結(jié)合等比數(shù)列的通項公式及求和公式，即可直接求解。
15.【解析】【解答】作出約束條件 對應(yīng)的平面區(qū)域如圖中區(qū)域I，
由 解得 ，即點 ；
又 表示點 與平面區(qū)域I中的點 之間距離的平方，
過點 作 與直線 垂直，交 軸于點 ；過點 作 與直線 垂直，交 軸于點 ；
那么 所在直線方程為 ，即 ；
所在直線方程為 ，即
故 ， ；
因為當(dāng)且僅當(dāng) ， 時， 取得最小值，且 ， ，
所點 所在的區(qū)域只能為區(qū)域II，即 所在區(qū)域〔含邊界〕；
又 表示點 到原點距離的平方，由圖可知： ，
即 的最大值為 .

故答案為： .

【分析】 由約束條件作出可行域，再由題意求出點(a,?b)的范圍，數(shù)形結(jié)合得到使 取最大值的點，求出點的坐標(biāo)，那么答案可求.
16.【解析】【解答】對于①，由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得 在 上遞增，即有 ，那么命題①正確；
對于②，由二次函數(shù)的單調(diào)性可得 在 遞減，在 ， 遞增，那么 不恒成立，那么命題②錯誤；
對于③，由 ，可得 ，即為 ，
考查函數(shù) ，即對于任意的 ，存在不相等的正實數(shù) ， ， ，即函數(shù) 在 上不單調(diào)， ，對于函數(shù) ， 時， ， ， 先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增，所以命題③正確；
對于④，由 ，可得 ，即 ，考查函數(shù) ，即對于任意的 ，存在不相等的正實數(shù) ， ， ，即函數(shù) 在 上不單調(diào)， ，當(dāng) 時， ，函數(shù) 單調(diào)遞增，所以命題④不正確．
故答案為：①③

【分析】 運用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷①；由二次函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷②；通過函數(shù)， ?求出導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，即可判斷③；通過函數(shù)， ?求出導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，即可判斷④.
三、解答題
17.【解析】【分析】〔1〕 根據(jù)條件，在△ABD中，運用正弦定理，即可求解；
(2)根據(jù)條件，運用余弦定理，以及三角形面積公式，即可求解.
18.【解析】【分析】 (1)推導(dǎo)出AA1⊥BN，BN⊥AC，從而BN⊥平面AA1C1C，進(jìn)而BN⊥ME，推導(dǎo)出 ? ，從而 ?，進(jìn)而EN⊥ME，ME⊥平面BEN，由此能證明平面MEB⊥平面BEN.
(2) 以??為原點，?? ， ?? ， ??所在直線分別為??軸，??軸，??軸建立如以下列圖空間直角坐標(biāo)系?? ， 利用向量法能求出平面BEN與平面BCM所成的銳二面角的余弦值.
19.【解析】【分析】 (1)先求出隨機(jī)變量ξ的可能取值，然后求出其對應(yīng)的概率，列出分布列，由數(shù)學(xué)期望的計算公式求解即可；
(2)由題意先求出μ和σ，然后利用正態(tài)分布的對稱性求出 的概率，記500位參賽者中分?jǐn)?shù)不低于82.3的人數(shù)為隨機(jī)變量 ? ， 那么?? ， 其中?? ， 通過作商法比較 和的大小，即可得到答案.
20.【解析】【分析】 (1)由 ?的面積是??的面積的3倍 ，且 ? ,得 解得a,?c，即可得出答案；
(2) 設(shè)直線??的方程為?? ， ?? ， ?? ， 聯(lián)立橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得 ? ， ?? ， 那么 ， 寫出直線MP的方程，令y=0,得 ， 化簡可得 ， ?即可得出答案.
21.【解析】【分析】 (1)對f?(x)求導(dǎo)，再對a分類討論，利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系求出f?(x?)的單調(diào)性與最值，再結(jié)合題意可求得a的取值范圍；
(2)由題意得 ?? ， 令?? ， 從而可得 ， 分析可得要證 ? 即證 ，令 ?? ， ?利用導(dǎo)數(shù)求出h?(t)的單調(diào)性，從而可得h(t)?

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