高三理數三模試卷一、單項選擇題1.集合 ，且 有16個子集，那么實數a可以是〔    〕            A. -1                                           B. 0                                           C. 2                                           D. 32.i為虛數單位，復數 ，那么z在復平面內對應的點位于〔    〕            A. 第一象限                           B. 第二象限                           C. 第三象限                           D. 第四象限3.為考察A?B兩名運發(fā)動的訓練情況，下面是A?B兩名運發(fā)動連續(xù)10天完成訓練指標任務的綜合得分的折線圖，給出以下四個結論，其中錯誤的結論是〔    〕  A. 第3天至第10天兩名運發(fā)動綜合得分均超過80分
B. 第2天至第7天B運發(fā)動的得分逐日提高
C. 第2天至第3天A運發(fā)動的得分增量大于B運發(fā)動的得分增量
D. A運發(fā)動第1天至第3天的得分方差大于第2天至第4天的得分的方差4.雙曲線 ，圓 與雙曲線C的一條漸近線相交所得弦長為2，那么雙曲線的離心率等于〔    〕            A.                                        B.                                        C.                                        D. 5.在平面直角坐標系中，將不等式組 表示的平面區(qū)域繞 軸旋轉一周所形成的幾何體的體積是〔    〕            A.                                         B.                                         C.                                         D. 6.函數 〔 且 〕的大致圖像是〔    〕            A.                                     B. 
C.                                         D. 二、填空題7.為迎接2022年北京冬奧會，短道速滑隊組織甲?乙?丙等6名隊員參加選拔賽，比賽結果沒有并列名次.記“甲得第一名〞為p，“乙得第一名〞為q，“丙得第一名〞為r，假設 是真命題， 是真命題，那么得第一名的是________.    8.過拋物線 ： 的焦點 的直線與拋物線 交于 ， 兩點，假設 ， ，那么 ________．    9.“一灣如月弦初上，半壁澄波鏡比明〞描述的是敦煌八景之一的月牙泉.如下列圖，月牙泉由兩段在同一平面內的圓弧形岸連接圍成.兩岸連接點間距離為 米.其中外岸為半圓形，內岸圓弧所在圓的半徑為60米.某游客繞著月牙泉的岸邊步行一周，那么該游客步行的路程為________米.  三、解答題10. 為等差數列，數列 的前 和為 ，___________.在① ，② 這兩個條件中任選其中一個，補充在上面的橫線上，并完成下面問題的解答(如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分).    〔1〕求數列 和 的通項公式；    〔2〕求數列 的前 項和 .    11.為降低工廠廢氣排放量，某廠生產甲、乙兩種不同型號的減排器，現分別從甲、乙兩種減排器中各自抽取100件進行性能質量評估檢測，綜合得分情況的頻率分布直方圖如下列圖：  減排器等級及利潤率如下表，其中 ．綜合得分 的范圍減排器等級減排器利潤率一級品二級品三級品〔1〕假設從這100件甲型號減排器中按等級分層抽樣的方法抽取10件，再從這10件產品中隨機抽取4件，求至少有2件一級品的概率；    〔2〕將頻率分布直方圖中的頻率近似地看作概率，用樣本估計總體，那么：  ①假設從乙型號減排器中隨機抽取3件，求二級品數 的分布列及數學期望 ；②從長期來看，投資哪種型號的減排器平均利潤率較大？12.在三棱柱 中， 側面 ， ， ， ．  〔1〕求證： ；    〔2〕假設E為棱 的中點，且 與平面 所成角的正弦值為 ，求二面角 的大小．    13.橢圓 的左、右焦點分別為 、 ，離心率為 ， 是橢圓 上的一個動點，當 是橢圓 的上頂點時， 的面積為1.    〔1〕求橢圓 的方程    〔2〕設斜率存在的直線 ，與橢圓 的另一個交點為 .假設存在 ，使得 ，求 的取值范圍    14.設函數 .    〔1〕假設 的圖象的一條切線 在 軸上的截距為1，求切線 的方程；    〔2〕求函數 的極值點個數.    15.曲線 的極坐標方程為 ，以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為 的正半軸，建立平面直角坐標系 . 〔1〕假設曲線 為參數〕與曲線 相交于兩點 ，求 ；    〔2〕假設 是曲線 上的動點，且點 的直角坐標為 ，求 的最大值.    16.設函數 ．    〔1〕求 的最小值 ；    〔2〕在〔1〕的件下，證明 ．   
答案解析局部一、單項選擇題1.【解析】【解答】集合 ，且 有16個子集， 那么 有4個元素，由 ，由元素的互異性可得 .故答案為：A 
【分析】由 有16個子集，得有4個元素，再由元素的互異性可得a的值。2.【解析】【解答】由 即復數 ，所以復數對應的點為 位于第二象限.故答案為：B【分析】根據三角函數的誘導公式，求得復數 ，結合復數的幾何意義，即可求解.3.【解析】【解答】對A，由圖象可得，第3天至第10天兩名運發(fā)動綜合得分均超過80分，A正確，不符合題意； 對B，由圖象可得，第1天至第7天B運發(fā)動的得分逐日提高，B正確，不符合題意；對C，第2天至第3天A運發(fā)動的得分增量大于2，B運發(fā)動的得分增量小于2，C正確，不符合題意；對D，由圖象可得，在第1天至第3天的得分中，A運發(fā)動的最小得分78，最高得分80，在第2天至第4天的得分中，最小得分78，最高得分高于80,所以A運發(fā)動第1天至第3天的得分方差小于第2天至第4天的得分的方差，D錯誤，符合題意.綜上，錯誤的結論是D選項.故答案為：D. 
【分析】根據圖像，逐項進行分析，即可得出答案。4.【解析】【解答】由題意可知圓心 ，半徑為 ，又因為漸近線與圓相交所得弦長為2，那么圓心到漸近線的距離等于 ，雙曲線的一條漸近線為 ，運用點到直線的距離公式計算有 ，即 ，所以 ，故 . 故答案為：A. 
【分析】 直接根據圓的弦長公式求出圓心到漸近線的距離，從而建立關于a,b,c的方程，化簡即可求得離心率．5.【解析】【解答】作出平面區(qū)域如圖陰影局部，如圖易知，面積為 故旋轉一周體積為： 故答案為：B 
【分析】如下列圖三角形旋轉一周，體積為大圓錐減去小圓錐體積。6.【解析】【解答】函數 〔 且 〕是偶函數，排除B； 當 時， ，可得： ，令 ，作出 與 圖像如圖：可知兩個函數有一個交點，就是函數的一個極值點， ，排除C；當 時， ，故 時，函數 單調遞增，時，函數 單調遞減，排除A故答案為：D【分析】利用函數的奇偶性排除選項，通過函數的導數求解函數極值點的個數，求出 的值，推出結果即可.二、填空題7.【解析】【解答】由 是真命題，可知p，q中至少有一個是真命題， 又比賽結果沒有并列名次，說明第一名要么是甲，要么是乙，那么r是假命題，又 是真命題，那么 是真命題，即p為假命題，故得第一名的是乙，故答案為：乙． 
【分析】分別討論p,q,r是真命題，然后驗證 是真命題， 是真命題是否成立即可。8.【解析】【解答】設 ， 兩點的坐標分別為 ， ，顯然直線 的斜率存在， 設直線 的方程為 ，聯立方程 ，消去 后整理為 ，有 ，又由 ， ，有 ，可得 ，有 ，解得 ．故答案為：4. 
【分析】根據題意畫出圖形，結合圖形設出點A、B的坐標，利用焦點弦公式表示|AF|、|BF|, 列方程組求出p的值.9.【解析】【解答】如圖，是月牙湖的示意圖， 是 的中點， 連結 ，可得 ，由條件可知 ， 所以 ，所以 ， ，所以月牙泉的周長 .故答案為：  
【分析】連結 ，可得 ，由題意可得 ，可求， ，進而由圖利用扇形的弧長公式即可計算得出答案。三、解答題10.【解析】【分析】選 ① 〔1〕由等差數列的根本量法求出公差d后可得通項公式an  ， 再利用 確定數列 是等比數列，從而得出通項公式 ；
〔2〕用分組〔并項〕求和法求和；
選 ② 〔1〕由等差數列的根本量法求出公差d后可得通項公式an  ， 由   求得， 并確定其是等比數列；
〔2〕 用分組〔并項〕求和法求和。11.【解析】【分析】 (1)先根據頻率分布直方圖分析相應的數據，從而確定甲型號減排器中抽取的樣本中各等級減排器的數量，然后利用古典概型的概率計算公式求解所求事件的概率；
(2)①首先確定二級品數ξ所有可能的取值及其相應的概率，列出分布列，并求數學期望E(ξ)；②分別求出甲、乙兩型號減排器的利潤率的平均值，然后進行比較即可.12.【解析】【分析】〔1〕利用邊長關系、勾股定理證明    ，  結合  側面   ，建立空間直角坐標系證明   即證結論；
〔2〕先利用平面  的法向量 與  成角的余弦值的絕對值等于 ， 解出AB長度，再利用平面 與平面  的法向量所成的角求二面角的大小即可。13.【解析】【分析】〔1〕 由題可知橢圓離心率    ， 當  為橢圓  的上頂點時，  的面積為1 ，列出方程組求解即可得出橢圓  的方程；
〔2〕 設    ，     ， 線段PQ的中點為    ， 直線  的斜率為k，由〔1〕設直線PQ的方程為  ，當  時，  符合題意； 當  時，把  代入    ， 得    ，  利用韋達定理得出   ，由 直線  為線段  的垂直平分線， 得出   ，即 ， 利用根本不等式即可求出  的取值范圍 。14.【解析】【分析】〔1〕對函數求導， 設切點坐標為    ， 那么    ，  再由   的圖象的一條切線  在  軸上的截距為1 ，即可求出切線  的方程；
〔2〕 由題可知 ，對函數求導，然后設    ， 那么    ，  設    ， 那么 ，再根據導數的正負號判斷出單調性即可求出函數  的極值點個數 。   15.【解析】【分析】  在曲線  上，設 ，可得  ， 令 ，那么  ，代入化簡即可得出。16.【解析】【分析】〔1〕將  化為分段函數，進而得出 當  時取得最小值； 〔2〕   ，分 及  討論即可。 

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