?高三理數(shù)第一次高考診斷試卷
一、單項(xiàng)選擇題
1.集合 ， ，那么 〔?? 〕
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????D.?
2.假設(shè)復(fù)數(shù) 滿足 ，那么 的共軛復(fù)數(shù)是〔?? 〕
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
3.拋物線 的準(zhǔn)線經(jīng)過橢圓 的右焦點(diǎn)，那么 〔?? 〕
A.?2???????????????????????????????????????????B.?4???????????????????????????????????????????C.?8???????????????????????????????????????????D.?12
4.甲、乙兩名射擊運(yùn)動愛好者在相同條件下各射擊10次，中靶環(huán)數(shù)情況如下列圖．那么甲、乙兩人中靶環(huán)數(shù)的方差分別為〔?? 〕

A.?7，7???????????????????????????????B.?7，1.2???????????????????????????????C.?1.1，2.3???????????????????????????????
5.函數(shù) ，那么 〔?? 〕
A.?是奇函數(shù)，且在 單調(diào)遞減
B.?是奇函數(shù)，且在 單調(diào)遞增
C.?是偶函數(shù)，且在 單調(diào)遞減
D.?是偶函數(shù)，且在 單調(diào)遞增
6. ， 表示兩條不同直線， ， 表示兩個不同平面．設(shè)有四個命題： ：假設(shè) ， ，那么 ； ：假設(shè) ， ，那么 ； ：假設(shè) ， ，那么 ； ：假設(shè) ， ，那么 ．那么以下復(fù)合命題中為真命題的是〔?? 〕
A.??????????????????????????????B.??????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?
7.由倫敦著名建筑事務(wù)所Steyn Studio設(shè)計(jì)的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品．假設(shè)將如下列圖的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線 下支的一局部，且此雙曲線的下焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，離心率為2，那么該雙曲線的漸近線方程為〔?? 〕

A.??????????????????????????B.??????????????????????????C.??????????????????????????D.?
8. 是第四象限角，且 ，那么 〔?? 〕
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
9.圓 上任意一點(diǎn) 到直線 的距離大于 的概率為〔?? 〕
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
10.玉琮是一種內(nèi)圓外方的筒型玉器，它與玉璧、玉圭、玉璋、玉璜、玉琥被稱為“六器〞，是古人用于祭祀神祇的一種禮器．?周禮?中載有“以玉作六器，以禮天地四方，以蒼璧禮天，以黃琮禮地〞等文．如圖為齊家文化玉琮，該玉琮中方內(nèi)空，形狀對稱，圓筒內(nèi)徑 ，外徑 ，筒高 ，方高 ，那么其體積約為〔單位： 〕〔?? 〕

A.??????????????B.??????????????C.??????????????D.?
11.在 中， ， ，那么 的面積的最大值為〔?? 〕
A.?????????????????????????????????????????B.?1????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
12.設(shè)實(shí)數(shù) ，假設(shè)對任意的 ，不等式 恒成立，那么 的最小值為〔??? 〕
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
二、填空題
13.設(shè) ， ， ，那么 ， ， 的大小關(guān)系是________．〔按照從大到小的順序排列〕
14.向量 與向量 夾角為 ，且 ， ，要使 與 垂直，那么 ________．
15.展開式中 的系數(shù)為________．
16.函數(shù) ， ，有以下命題：
① 的表達(dá)式可改寫為 ；
②直線 是函數(shù) 圖象的一條對稱軸；
③函數(shù) 的圖象可以由函數(shù) 的圖象向右平移 個單位長度得到；
④滿足 的 的取值范圍是 ．
其中正確的命題序號是________．〔注：把你認(rèn)為正確的命題序號都填上〕
三、解答題
17.數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，且 ， ．
〔1〕求 ；
〔2〕設(shè) ，求使得 成立的最小正整數(shù) ．
18.2021年10月，中共中央辦公廳、國務(wù)院辦公廳印發(fā)了?關(guān)于全面加強(qiáng)和改進(jìn)新時(shí)代學(xué)校體育工作的意見?，某地積極開展中小學(xué)健康促進(jìn)行動，發(fā)揮以體育智、以體育心功能，決定在2021年體育中考中再增加一定的分?jǐn)?shù)，規(guī)定：考生須參加立定跳遠(yuǎn)、擲實(shí)心球、一分鐘跳繩三項(xiàng)測試，其中一分鐘跳繩總分值20分．學(xué)校為掌握九年級學(xué)生一分鐘跳繩情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生測試，其成績均在 間，并得到如下列圖頻率分布直方圖，計(jì)分規(guī)那么如下表：
一分鐘跳繩個數(shù)





得分
16
17
18
19
20

〔1〕補(bǔ)全頻率分布直方圖，并根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本中位數(shù)；
〔2〕假設(shè)兩人可組成一個小隊(duì)，并且兩人得分之和小于35分，那么稱該小隊(duì)為“潛力隊(duì)〞，用頻率估計(jì)概率，求從進(jìn)行測試的100名學(xué)生中任意選取2人，恰好選到“潛力隊(duì)〞的概率．
19.如圖，在四棱錐 中，底面 為梯形， ， ， ， ，平面 平面 ， 為棱 上一點(diǎn)．

〔1〕在平面 內(nèi)能否作一條直線與平面 垂直？假設(shè)能，請畫出直線并加以證明；假設(shè)不能，請說明理由；
〔2〕假設(shè) 時(shí)，求直線 與平面 所成角的正弦值．
20.橢圓 的焦距為 ，且經(jīng)過點(diǎn) ．
〔1〕求橢圓 的方程；
〔2〕設(shè)橢圓 上存在兩點(diǎn) ， ，使得 的斜率與 的斜率之和為-1，直線 是否過定點(diǎn)？假設(shè)是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不是，說明理由．
21.函數(shù) ．
〔1〕求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；
〔2〕設(shè)函數(shù) ，假設(shè) 在 上有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) 的取值范圍．
22.在平面直角坐標(biāo)系 中，點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，直線 的方程為： 〔其中 為參數(shù)〕．以坐標(biāo)原點(diǎn) 為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 的極坐標(biāo)方程為： ．
〔1〕將直線 的方程化為普通方程，曲線 的方程化為直角坐標(biāo)方程；
〔2〕假設(shè)直線 過點(diǎn) 且交曲線 于 ， 兩點(diǎn)，設(shè)線段 的中點(diǎn)為 ，求 ．
23.函數(shù) ， ．
〔1〕假設(shè) ， ，解不等式 ；
〔2〕當(dāng) ， 時(shí)， 的最大值是 ，證明： ．

答案解析局部
一、單項(xiàng)選擇題
1.【解析】【解答】因?yàn)?， ，
所以 ，
故答案為：A

【分析】 求出A的范圍，求出A，B的交集即可．
2.【解析】【解答】因?yàn)?，
所以 ，
所以 ，
故答案為：C

【分析】先求出z，再求出 ?的共軛復(fù)數(shù)即可。
3.【解析】【解答】拋物線 的準(zhǔn)線方程是 ，橢圓 的右焦點(diǎn)是 ，
因?yàn)閽佄锞€ 的準(zhǔn)線經(jīng)過橢圓 的右焦點(diǎn)，
所以p=4，
故答案為：B

【分析】 先求出橢圓的右焦點(diǎn)是 ，由此能求出p．
4.【解析】【解答】實(shí)線的數(shù)字為： ，
虛線的數(shù)字為： ，
所以 ，
,

.
故答案為：D

【分析】根據(jù)平均數(shù)，方差的公式，計(jì)算即可。
5.【解析】【解答】因?yàn)?， ,定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，
且 ，
所以 是偶函數(shù)，
當(dāng) 時(shí)， ，
所以 在 單調(diào)遞增，
故答案為：D

【分析】 根據(jù)奇偶性的定義即可判斷奇偶性，然后結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷單調(diào)性．
6.【解析】【解答】 ：假設(shè) ， ，那么 是假命題，例如 也可能，故 是真命題；
：假設(shè) ， ，那么 ，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理即線面平行的性質(zhì)定理知是真命題；
：假設(shè) ， ，那么 是假命題，例如可以 ；
：假設(shè) ， ，那么 是假命題， 也可能相交.
所以 ， ， 是假命題， 是真命題，
故答案為：C

【分析】 ：m與n相交、平行或異面；：由線面垂直的性質(zhì)定理得m⊥n；：由線面垂直的性質(zhì)定理得m⊥n；：m與n相交、平行或異面．
7.【解析】【解答】因?yàn)?，
所以下焦點(diǎn)為 ，漸近線方程為 ，即 ，
那么下焦點(diǎn)到 的距離為 ，
又因?yàn)?，
解得 ，即 ，
所以漸近線方程為：
故答案為：B

【分析】 利用條件求出， 即可求解雙曲線的漸近線方程．
8.【解析】【解答】因?yàn)?是第四象限角，且 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故答案為：D

【分析】 由利用同角三角函數(shù)根本關(guān)系式可求sinα的值，利用正弦、余弦的二倍角公式及兩角和差的余弦。
9.【解析】【解答】設(shè)圓心為 ，圓心到直線 的距離 ，
如圖，
?
取 ，過 做 交圓于 ，可知滿足條件的點(diǎn)在劣弧 上〔不包括A，B〕，
在 中， ,
所以 ， ， 即 ,
因?yàn)榉蠗l件的點(diǎn)所在弧長所對圓心角為 ，
由幾何概型可知 ,
故答案為：C
【分析】設(shè)圓心為 ，圓心到直線 的距離 ， 取 ，過 做 交圓于 ，可知滿足條件的點(diǎn)在劣弧 上〔不包括A，B〕，由幾何概型可知 ?。
10.【解析】【解答】由圖可知，組合體由圓柱、長方體構(gòu)成，
組合體的體積為 ，
故答案為：D

【分析】由圖可知，組合體由圓柱、長方體構(gòu)成，根據(jù)圓柱的體積公式即可求出答案。
11.【解析】【解答】由余弦定理， ，
即 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號成立，
所以 ，
所以 ，
故答案為：D

【分析】根據(jù)余弦定理及面積公式即可求出答案。
12.【解析】【解答】解：由題意 得 ，設(shè) ， ，
可得 與 互為反函數(shù)，且 與 的圖像關(guān)于 對稱，
所以函數(shù) 〔或 〕的圖像與直線 相切時(shí) 的值是不等式 恒成立時(shí) 的最小值，設(shè)函數(shù) 與直線 相切的切點(diǎn)為 ，
可得 可得 ，同時(shí)對 求導(dǎo)可得： ，可得 ，聯(lián)立可得 ，解得： ，
那么 的最小值為 ，
故答案為：A.

【分析】 設(shè) ， ，可得 與 互為反函數(shù)，且 與 的圖像關(guān)于 對稱，可得不等式恒成立，只需不等式恒成立，運(yùn)用參數(shù)別離和構(gòu)造函數(shù)，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性、最值，可得t的范圍．
二、填空題
13.【解析】【解答】 ,
,
而 ， ，
所以b＞a＞c，
故答案為：b＞a＞c

【分析】 利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接求解．
14.【解析】【解答】解：因?yàn)?與 垂直，
那么 ，
解得 .
故答案為： .

【分析】 將向量與 垂直的關(guān)系轉(zhuǎn)化為內(nèi)積為零，代入兩向量的模與夾角，即可得到參數(shù)λ的方程，解方程求值。
15.【解析】【解答】由多項(xiàng)式乘法及二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)可知，含 的項(xiàng)分別為 ， ， ， ，
合并同類項(xiàng)，那么含 的項(xiàng)為 ，
所以系數(shù)為24.
故答案為：24.

【分析】寫出 的展開式的通項(xiàng)，令x的指數(shù)等于3和1，即得展開式中的系數(shù)。
16.【解析】【解答】 ，故①正確；
當(dāng) 時(shí)， ，故②錯誤；
因?yàn)楹瘮?shù) 的圖象向右平移 個單位長度得到 ，
而 ,故③錯誤；
由 可得 ，解得 ，
所以 ,解得 ，故④正確.
故答案為：①④

【分析】 根據(jù)對稱軸的定義可得f〔x〕的圖象關(guān)于直線對稱，故①正確；y=2sin2x的圖象向右平移個單位得到故②不正確；求出函數(shù)的對稱中心判定③不正確；求出函數(shù)的增區(qū)間判定④正確；求出函數(shù)的周期判斷⑤不正確；由,知⑥不正確．
三、解答題
17.【解析】【分析】 〔1〕利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，推出數(shù)列 是等比數(shù)列，然后求解即可;
〔2〕化簡數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用裂項(xiàng)消項(xiàng)法求解數(shù)列的和，結(jié)合不等式推出n的范圍，然后求解即可．
18.【解析】【分析】 〔1〕求出第一、二兩組的頻率，第三組的頻率，所以中位數(shù)落在第三組，由此能求出筆試成績的中位數(shù)；
〔2〕 根據(jù)頻率分布直方圖，一分鐘跳繩個數(shù)在??那么可得16分， 而且這些事件的可能性相同，其中“潛力隊(duì)〞的兩人構(gòu)成有4種情況，分別得分之和為??，??，??，??． 那么即可求得恰好選到“潛力隊(duì)〞的概率 。
19.【解析】【分析】〔1〕 過??作??，交棱??于??，??為所求作的直線，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可證得 ?平面?；
〔2〕 取??中點(diǎn)??，??中點(diǎn)??，連接??，那么??平面??，以??為坐標(biāo)原點(diǎn)，??所在直線為??軸，??所在直線為??軸，??所在直線為??軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出 平面??的法向量?， 設(shè)??與平面??所成角為?? ，由 求出 ??與平面??所成角的正弦值 。
?
20.【解析】【分析】 〔1〕根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)和離心率，即可求出橢圓的方程；
〔2〕設(shè) ??，?? ，設(shè)直線l：y=kx+m，構(gòu)造方程組，消元，根據(jù)韋達(dá)定理，和弦長公式，運(yùn)用斜率公式，計(jì)算化簡整理，即k〔x-2〕+〔y+1〕=0，即可求定點(diǎn)．
21.【解析】【分析】 〔1〕求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
〔2〕求出g〔x〕的解析式，問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程 在??上有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，令函數(shù) ??，??，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的范圍即可．
22.【解析】【分析】 〔1〕：首先由 ??〔??為參數(shù)〕消去參數(shù)得普通方程，進(jìn)一步把極坐標(biāo)方程
? ，轉(zhuǎn)化為普通方程；
〔2〕 直線??的參數(shù)方程為?， 代入??可得?， 根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出 。
?
23.【解析】【分析】 〔1〕通過對x取值范圍的討論，去掉絕對值符號，解相應(yīng)的一次不等式，最后取并集即可求得不等式 ? 的解集；
〔2〕利用絕對值不等式的幾何意義及根本不等式可證出 ?。

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