?第二次高考診斷理數(shù)試卷
一、單項(xiàng)選擇題
1.集合 ， ，那么 〔??? 〕
A.???????????????????????B.???????????????????????C.???????????????????????D.?
2.復(fù)數(shù) 滿足 ，那么復(fù)數(shù) 的虛部為〔??? 〕
A.?-i???????????????????????????????????????????B.?i???????????????????????????????????????????C.?-1???????????????????????????????????????????D.?1
3.函數(shù) ，那么函數(shù) 的圖象為〔??? 〕
A.?
B.?
C.?
D.?
4.雙曲線 的漸近線方程為 ，實(shí)軸長為2，那么 為〔??? 〕
A.?-1????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
5.如圖，在棱長為2的正方體 中， 分別是棱 的中點(diǎn)， 是底面 內(nèi)一動點(diǎn)，假設(shè)直線 與平面 不存在公共點(diǎn)，那么三角形 的面積的最小值為〔?? 〕

A.??????????????????????????????????????????B.?1?????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?2
6.某地以“綠水青山就是金山銀山〞理念為引導(dǎo)，推進(jìn)綠色開展，現(xiàn)要訂購一批苗木，苗木長度與售價(jià)如下表：
苗木長度 (厘米)
38
48
58
68
78
88
售價(jià) (元)




24

由表可知，苗木長度 (厘米)與售價(jià) (元)之間存在線性相關(guān)關(guān)系，回歸方程為 ，那么當(dāng)苗木長度為150厘米時(shí)，售價(jià)大約為〔??? 〕
A.?33.3?????????????????????????????????????B.?35.5?????????????????????????????????????C.?38.9?????????????????????????????????????
7.數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，假設(shè)點(diǎn) 在函數(shù) 的圖象上，那么 〔??? 〕
A.?2021???????????????????????????????????B.?4041???????????????????????????????????C.?4042???????????????????????????????????D.?4043
8. ， ， 均為銳角，且 ，那么 〔??? 〕
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
9.中國古代制定樂律的生成方法是最早見于?管子·地員篇?的三分損益法，三分損益包含兩個(gè)含義：三分損一和三分益一.根據(jù)某一特定的弦，去其 ，即三分損一，可得出該弦音的上方五度音；將該弦增長 ，即三分益一，可得出該弦音的下方四度音.中國古代的五聲音階：宮?徵(zhǐ)，商?羽?角(jué)，就是按三分損一和三分益一的順序交替，連續(xù)使用產(chǎn)生的.假設(shè)五音中的“宮〞的律數(shù)為81，請根據(jù)上述律數(shù)演算法推算出“羽〞的律數(shù)為〔??? 〕
A.?72?????????????????????????????????????????B.?48?????????????????????????????????????????C.?54?????????????????????????????????????????D.?64
10.數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，且 ，那么 〔??? 〕
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
11.過拋物線 焦點(diǎn) 的直線 與拋物線交與 ， 兩點(diǎn)，過 ， 兩點(diǎn)分別作拋物線 準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為 ， ，假設(shè)線段 的中點(diǎn)為 ，且線段 的長為4，那么直線 的方程為〔??? 〕
A.???????????????????????????????????????????????????B.?
C.?或 ???????????????????D.?或
12.函數(shù) ， ，假設(shè)經(jīng)過點(diǎn) 存在一條直線 與 圖象和 圖象都相切，那么 〔??? 〕
A.?0?????????????????????????????????????????B.?-1?????????????????????????????????????????C.?3?????????????????????????????????????????D.?-1或3
二、填空題
13.平面內(nèi)單位向量 ， ， 滿足 ，那么 =________.
14.假設(shè)實(shí)數(shù) ， 滿足約束條件 ，那么 取最大值4時(shí)， 的最小值為________.
15.孫子定理(又稱中國剩余定理)是中國古代求解一次同余式組的方法.問題最早可見于南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作?孫子算經(jīng)?卷下第二十六題“物不知數(shù)〞問題：有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二.問物幾何？它的根本解法之一是：列出用3整除余2的整數(shù)：2，5，8，11，14，17，20，23…，用5整除余3的整數(shù)：3，8，13，18，23，…，用7整除余2的整數(shù)：2，9，16，23…，那么23就是“問物幾何？〞中“物〞的最少件數(shù)，“物〞的所有件數(shù)可用 表示.試問：一個(gè)數(shù)被3除余1，被4除少1，被5除余4，那么這個(gè)數(shù)最小是________.
16.三棱錐 的底面是邊長為3的正三角形，面 垂直底面 ，且 ，那么三棱錐 體積的最大值是________.
三、解答題
17.如圖，在直四棱柱 中，底面 是邊長為2的菱形，且 ， ， 分別為 ， 的中點(diǎn).

〔1〕證明： 平面 ；
〔2〕假設(shè) ，求二面角 的余弦值.
18.某校為了解高三學(xué)生周末在家學(xué)習(xí)情況，隨機(jī)抽取高三年級甲?乙兩班學(xué)生進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，統(tǒng)計(jì)了甲?乙兩班各40人每天的學(xué)習(xí)時(shí)間(單位：小時(shí))，并將樣本數(shù)據(jù)分成 ， ， ， ， 五組，整理得到如下頻率分布直方圖：

參考公式： ， .
參考數(shù)據(jù)①：








②假設(shè) ，那么 ， .
〔1〕將學(xué)習(xí)時(shí)間不少于6小時(shí)和少于6小時(shí)的學(xué)生數(shù)填入下面的 列聯(lián)表：

不少于6小時(shí)
少于6小時(shí)
總計(jì)
甲班



乙班



總計(jì)



能以95%的把握認(rèn)為學(xué)習(xí)時(shí)間不少于6小時(shí)與班級有關(guān)嗎？為什么？
〔2〕此次問卷調(diào)查甲班學(xué)生的學(xué)習(xí)時(shí)間大致滿足 ，其中 等于甲班學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)間的平均數(shù)，求甲班學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)間在區(qū)間 的概率.
19.圓 經(jīng)過橢圓 的右焦點(diǎn) ，且經(jīng)過點(diǎn) 作圓 的切線被橢圓 截得的弦長為 .
〔1〕求橢圓 的方程；
〔2〕假設(shè)點(diǎn) ， 是橢圓 上異于短軸端點(diǎn)的兩點(diǎn)，點(diǎn) 滿足 ，且 ，試確定直線 ， 斜率之積是否為定值，假設(shè)是，求出這個(gè)定值；假設(shè)不是，說明理由.
20.的內(nèi)角 ， ， 的對邊分別是 ， ， ，且 .
〔1〕求角 的大??；
〔2〕假設(shè) ， 為 邊上一點(diǎn)， ，且________，求 的面積.(從① 為 的平分線，② 為 的中點(diǎn)，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面的橫線上并作答)
21.函數(shù) ， .
〔1〕假設(shè) 在 單調(diào)遞增，求 的取值范圍；
〔2〕假設(shè) ，求證： .
22.在直角坐標(biāo)系 中，點(diǎn) 是曲線 上的動點(diǎn)，滿足 的點(diǎn) 的軌跡是 .
〔1〕以坐標(biāo)原點(diǎn) 為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求曲線 ， 的極坐標(biāo)方程；
〔2〕直線 的參數(shù)方程是 ( 為參數(shù))，點(diǎn) 的直角坐標(biāo)是 ，假設(shè)直線 與曲線 交于 ， 兩點(diǎn)，當(dāng) 時(shí)，求 的值.
23.函數(shù) ， .
〔1〕求函數(shù) 的圖象與直線 圍成區(qū)域的面積；
〔2〕假設(shè)對于 ， ，且 時(shí)，不等式 恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.

答案解析局部
一、單項(xiàng)選擇題
1.【解析】【解答】因?yàn)?等價(jià)于 等價(jià)于 ，
所以 ，又 ，
所以 .
故答案為：C

【分析】求出集合A，B，再根據(jù)交集的定義進(jìn)行運(yùn)算，即可得出答案。
2.【解析】【解答】由 ，
所以復(fù)數(shù) 的虛部為1，
故答案為：D

【分析】 利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法那么、虛部的定義即可得出復(fù)數(shù)z的虛部.
3.【解析】【解答】因?yàn)?，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，
所以 ，
所以函數(shù) 為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以D不正確；
因?yàn)?，所以B不正確；
因?yàn)?，所以A不正確.
故答案為：C

【分析】 根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得， 排除B，分析函數(shù)為奇函數(shù)排除D，再由排除A，即可得答案.
4.【解析】【解答】因?yàn)殡p曲線 的漸近線方程為 ，
所以 ，即 ，
又雙曲線的實(shí)軸長為2，所以 ，得 ，所以 ，
所以 .
故答案為：A

【分析】 利用雙曲線的漸近線方程以及實(shí)軸長得到即可推出結(jié)果.
5.【解析】【解答】延展平面 ，可得截面 ,其中 分別是所在棱的中點(diǎn)，

直線 與平面 不存在公共點(diǎn)，
所以 平面 ,
由中位線定理可得 ,
在平面 內(nèi)，
在平面 外，
所以 平面 ,
因?yàn)?與 在平面 內(nèi)相交，
所以平面 平面 ,
所以 在 上時(shí)，直線 與平面 不存在公共點(diǎn)，
因?yàn)?與 垂直，所以 與 重合時(shí) 最小，
此時(shí)，三角形 的面積最小，
最小值為 ，
故答案為：C.

【分析】 延展平面 ，可得截面 ,從而得到以在 上，當(dāng)點(diǎn) 與 重合時(shí) 最小，那么三角形 的面積最小，求解此時(shí)的面積即可.
6.【解析】【解答】因?yàn)?，
，
所以樣本點(diǎn)中心為 ，
又回歸直線 經(jīng)過 ，
所以 ，所以 ，
所以回歸方程為 ，
當(dāng) 時(shí)， 厘米.
那么當(dāng)苗木長度為150厘米時(shí)，售價(jià)大約為38.9厘米.
故答案為：C

【分析】 由題中給出的數(shù)據(jù)，求出樣本中心，利用線性回歸方程經(jīng)過樣本中心求出，從而得到線性回歸方程，將代入求解即可.
7.【解析】【解答】因?yàn)辄c(diǎn) 在函數(shù) 的圖象上，
所以 ，
當(dāng) 時(shí)， ，
當(dāng) 時(shí)， ，
又 適合上式，
所以 ，
所以 ，
故答案為：D

【分析】 將點(diǎn) ? 代入函數(shù)解析式，即可得到數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，然后利用數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出結(jié)果.
8.【解析】【解答】因?yàn)?， ， 均為銳角，所以 ，
因?yàn)?，所以 ，即 ，
所以 ，得 ，因?yàn)?為銳角，所以 ，
所以 .
故答案為：A

【分析】 由可求，利用同角三角函數(shù)根本關(guān)系式可求的值，進(jìn)而根據(jù)誘導(dǎo)公式可求 ? 的值.
9.【解析】【解答】依題意，將“宮〞的律數(shù)81三分損一可得“徵〞的律數(shù)為 ，
將“徵〞的律數(shù) 54 三分益一可得“商〞的律數(shù)為 ，
將“商〞的律數(shù)72三分損一可得“羽〞的律數(shù)為 .
故答案為：B

【分析】 根據(jù)題中材料分析得出律數(shù)變化規(guī)律，進(jìn)行求解.
10.【解析】【解答】當(dāng) 時(shí)， ，得 ，
當(dāng) 時(shí)， ，
所以 ，即 ，又 ，
所以數(shù)列 是首項(xiàng)為 ，公比 的等比數(shù)列，
所以 ， ，
所以 .
故答案為：B

【分析】 首先利用數(shù)列的遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步利用關(guān)系式的應(yīng)用求出結(jié)果.
11.【解析】【解答】由 得 ，所以 ，準(zhǔn)線為 ，
設(shè)直線 的方程為 ，
聯(lián)立 ，消去 并整理得 ， 恒成立，
設(shè) 、 ，
那么 ，所以 ，
依題意得 、 ，那么線段 的中點(diǎn) ，
因?yàn)?，所以 ，解得 ，
所以直線 的方程為： 或 .
故答案為：C

【分析】 求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，設(shè)直線 的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)的距離公式，計(jì)算可得所求直線方程.
12.【解析】【解答】因?yàn)?，
所以 ，
那么 ，
所以
所以函數(shù) 在 處的切線方程為 ，
由 得 ，
由 ，解得 或 ，
故答案為：D

【分析】 設(shè)直線 ??與?相切的切點(diǎn)，求得的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切線的方程，代入A的坐標(biāo)，求得切點(diǎn)，可得切線的方程，與 聯(lián)立，運(yùn)用相切的條件：判別式為0，解方程，可得所求值.
二、填空題
13.【解析】【解答】因?yàn)?為單位向量，
所以 ，
因?yàn)?，所以 ，
所以 ，
所以 ，得 .
故答案為：

【分析】 此題根據(jù)題意將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化可得，然后兩邊平方，并結(jié)合單位向量的定義進(jìn)行計(jì)算即可得到 ??的值.
14.【解析】【解答】作出可行域如圖：

聯(lián)立 ，得 ，所以 ，
因?yàn)?，所以 ，
將目標(biāo)函數(shù) 化為斜截式可得 ，
因?yàn)橹本€ 的斜率為 ，
所以由圖可知，當(dāng)直線 經(jīng)過 時(shí)， ，所以 ，
所以 ，
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號成立.
故答案為：2

【分析】 由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)求得最大值，可得，然后結(jié)合根本不等式求得 ? 的最小值.
15.【解析】【解答】因?yàn)楸?除余1的整數(shù)有：
被4除少1即被4除余3的整數(shù)有：
被5除余4的整數(shù)有：
所以這個(gè)數(shù)最小為 .
故答案為：19

【分析】 分別列出被3除余1，被4除少1，被5除余4的數(shù)，找出最小數(shù)即可.
16.【解析】【解答】因?yàn)槊?垂直底面 ，那么三棱錐的高即為 到AB的距離，設(shè)為 ，

，設(shè) ，
在 中， ，
那么 ，
那么 ，
當(dāng) ，即 時(shí)， ，
又 ，
那么三棱錐 體積的最大值為 .
故答案為： .

【分析】 由題意畫出圖形，求出A到平面 的距離，設(shè) ，求解三角形可得三角形的面積，換元后利用配方法求最值，再由棱錐體積公式求三棱錐體積的最大值.
三、解答題
17.【解析】【分析】?〔1〕連接??交??于??點(diǎn)，連接??，? 利用中位線定理證明四邊形??為平行四邊形?，得到 ?，然后利用線面垂直的判定定理證明 ?平面??，從而證明 ?平面?? ；
〔2〕建立適宜的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出兩個(gè)平面的法向量，然后由向量的夾角公式求解即可.
18.【解析】【分析】〔1〕 根據(jù)頻率分布直方圖分別求出甲班、乙班學(xué)習(xí)時(shí)間不少于6小時(shí)和少于6小時(shí) 的人數(shù)，完成 ? 列聯(lián)表，計(jì)算K的觀測值，對照題目中的表格，得出統(tǒng)計(jì)結(jié)論；
〔2〕先求出班學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)間的平均數(shù)μ，再根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求解.
19.【解析】【分析】?〔1〕由圓??經(jīng)過橢圓??的右焦點(diǎn)??，所以??，??， 再由圓的切線可得 ? 在橢圓上，代入橢圓方程即可求解；
〔2〕設(shè)出點(diǎn) ?，?的坐標(biāo)，利用向量關(guān)系求出A的坐標(biāo)，由此求出 ? 的關(guān)系式，再利用點(diǎn)?，?在橢圓上，聯(lián)立求出 ，由此即可求解.
20.【解析】【分析】?〔1〕由結(jié)合正弦定理及和差角公式進(jìn)行化簡可求 ， 進(jìn)而可求B；
〔2〕① ?為??的平分線，由結(jié)合三角形面積公式及余弦定理可求ac，然后結(jié)合三角形面積公式可求；
② ?為??的中點(diǎn)，由結(jié)合誘導(dǎo)公式及余弦定理可求 然后結(jié)合余弦定理可求ac，然后結(jié)合三角形的面積公式可求.
?
21.【解析】【分析】?〔1〕依題意，?? 在??上恒成立， 別離參數(shù)， ? 再令 ?， 利用導(dǎo)數(shù)可求得其最小值，從而可得a的取值范圍；
〔2〕由〔1〕知，當(dāng) ? 時(shí)， ??在??上單調(diào)遞增， 令 ， 可得 ??在??上恒成立， ；再令??，那么有??，所以?， 從而可證結(jié)論成立.
22.【解析】【分析】?〔1〕直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，在參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換.
〔2〕利用〔1〕的結(jié)論，利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用和等比數(shù)列的等比中項(xiàng)的應(yīng)用求出結(jié)果.
23.【解析】【分析】?〔1〕求出函數(shù)的分段函數(shù)形式，然后畫出圖象即可；
〔2〕利用根本不等式求出 ， 得到 ， 然后根據(jù)x的范圍化簡 即可.
?
?

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