1. 設(shè)集合A=x|x?7x+120，則A∩B=( )
A.x|?60，且a+3b=1，則9a?b+14b的值不可能為( )
A.12B.15C.18D.20

斜率為14的直線l與橢圓C :x2a2+y2b2=1a>b>0相交于A，B兩點(diǎn)，且l過C的左焦點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M?2,1，C的右焦點(diǎn)為F，則( )
A.直線l的方程為y=14x+34B.a2=8b2
C.△FAB的周長(zhǎng)為48147D.橢圓x27+y2=1比橢圓C更扁
三、填空題

設(shè)向量AB→=1,2,4，CD→=m,1,1，AB→⊥CD→，則m=________．

已知A是橢圓C:y2a2+x2b2=1a>b>0的左頂點(diǎn)，F(xiàn)為C的一個(gè)焦點(diǎn)，若直線AF的斜率為12，則C的離心率為________．

在△ABC中，若B=π3，tanC=23，AC=2，則AB=________．

已知點(diǎn)Pm,n是拋物線x2=?8y上一動(dòng)點(diǎn)，則m2+n2+4n+4+m2+n2?4m+2n+5的最小值為________.
四、解答題

已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且滿足b2+c2?a2=58bc，sinC=2sinB.
(1)求csA；

(2)若△ABC的周長(zhǎng)為6+15，求△ABC的面積．

如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC⊥BC，AC=AA1=2BC，E，F(xiàn)分別為側(cè)棱BB1，CC1的中點(diǎn)．

(1)證明：BF//平面A1C1E；

(2)求B1C與平面A1C1E所成角的正弦值．

已知數(shù)列an的首項(xiàng)為4．
(1)若數(shù)列an?2n是等差數(shù)列，且公差為2，求an的通項(xiàng)公式；

(2)在①a3?a2=48且a2>0，②a3=64且a4>0，③a2021=16a2a2017這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中并解答．
問題：若an是等比數(shù)列，________，求數(shù)列3n?1an的前n項(xiàng)和Sn．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．

如圖，在Rt△ABC中，AC⊥BC，∠BAC=30°，BC=3，AC=3DC，DE//BC，沿DE將點(diǎn)A折至A1處，使得A1C⊥DC，點(diǎn)M為A1B的中點(diǎn)．

(1)證明：A1B⊥平面CMD．

(2)求二面角B?CM?E的余弦值．

已知拋物線C:y2=2pxp>0與雙曲線x23?y2=1有相同的焦點(diǎn)F．

(1)求C的方程，并求其準(zhǔn)線l的方程；

(2)如圖，過F且斜率存在的直線與C交于不同的兩點(diǎn)Ax1,y1，Bx2,y2，直線OA與準(zhǔn)線l交于點(diǎn)N，過點(diǎn)A作l的垂線，垂足為M．證明：y1y2為定值，且四邊形AMNB為梯形．

已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，|F1F2|=4，且a=2b.
(1)求C的方程；

(2)若A，B為C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過F2且垂直x軸的直線平分∠AF2B，證明：直線AB過定點(diǎn)．
參考答案與試題解析
2020-2021年湖南省湘鄉(xiāng)市高二（上）期末考試數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題
1.
【答案】
B
【考點(diǎn)】
交集及其運(yùn)算
一元二次不等式的解法
【解析】
無
【解答】
解：∵ A=x|?12ln7.
∵ e2>2.72>7，
∴ ln72”是“fm>0”的充分不必要條件.
故選A．
7.
【答案】
B
【考點(diǎn)】
拋物線的性質(zhì)
數(shù)列的求和
【解析】
暫無
【解答】
解：∵ 點(diǎn)Ann,nn∈N?在拋物線y2=2pxp>0上，
∴ n=2pn，
解得p=12，
∴ F(14,0)，
∴ |AnF|=n+p2=n+14，
∴ |A1F|+|A2F|+?+|A20F|
=1+2+?+20+14×20
=1+20×202+5=215.
故選B.
8.
【答案】
A
【考點(diǎn)】
解三角形的實(shí)際應(yīng)用
余弦定理
【解析】
暫無
【解答】
解：由題意，得∠OAP=30°，∠OBP=45°，
OP⊥OA，OP⊥OB，
∵ OP=1km，
∴ OB=OP=1 km，OA=3 km，
又AB=7.5×160×20=52 km，
由余弦定理，得cs∠AOB=OA2+OB2?AB22OA?OB=1+3?2542×1×3=?338.
故選A.
二、多選題
【答案】
B,C,D
【考點(diǎn)】
雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
雙曲線的離心率
【解析】
暫無
【解答】
解：∵ c2=a2+b2=3+13=16，
∴ c=4，
∴ 焦距為2c=8，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
∵ a2=3，即a=3，
∴ C的實(shí)軸為線段y=0(?3≤x≤3)，故B選項(xiàng)正確；
∵ a=3，c=4，
∴ 離心率e=ca=43=433，故C選項(xiàng)正確；
∵ 曲線y=lnx?3經(jīng)過C的右焦點(diǎn)為4,0，故D選項(xiàng)正確．
故選BCD.
【答案】
A,C,D
【考點(diǎn)】
數(shù)列的求和
等差數(shù)列的通項(xiàng)公式
等差數(shù)列的前n項(xiàng)和
等差數(shù)列的性質(zhì)
【解析】
暫無
【解答】
解：因?yàn)閍1=2，a3=8，
即a3=a1+2d=2+2d=8，
解得d=3，
所以a5=a1+4d=14，故A選項(xiàng)正確；
因?yàn)閍1=2，d=3，
所以an=3n?1，
所以a2021?a2000=3×21=63，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
所以Sn=n3n+12，故C選項(xiàng)正確；
因?yàn)閍n=3n?1，
所以1anan+1=1(3n?1)(3n+2)=1313n?1?13n+2，
所以數(shù)列1anan+1的前16項(xiàng)和為
1312?15+15?18+?+147?150
=1312?150=13×2450=425，故D選項(xiàng)正確.
故選ACD.
【答案】
A,B
【考點(diǎn)】
基本不等式
基本不等式在最值問題中的應(yīng)用
【解析】
此題暫無解析
【解答】
解：∵ a>b>0，且a+3b=1，
∴ a?b>0，a?b+4b=1，
∴ 9a?b+14b=[a?b+4b](9a?b+14b)
=10+36ba?b+a?b4b
≥10+236ba?b?a?b4b=16，
當(dāng)且僅當(dāng)36ba?b=a?b4b，即a=1316，b=116時(shí)，等號(hào)成立，
∴ 9a?b+14b的最小值為16．
綜上所述，不可能的值為12，15.
故選AB．
【答案】
B,C
【考點(diǎn)】
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
橢圓的定義
與橢圓有關(guān)的中點(diǎn)弦及弦長(zhǎng)問題
【解析】
此題暫無解析
【解答】
解：由題意，得直線l的斜率為14，且過點(diǎn)M(?2,1)，
則直線l的方程為y=14x+2+1=14x+32，
故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
∵ 直線l的方程為y=14x+32，
當(dāng)y=0時(shí)，x=?6，
∴ c=6.
設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由題意，得x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1，
則x22?x12a2+y22?y12b2=0，
整理，得b2a2=?y22?y12x22?x21=?y2+y1x2+x1?y2?y1x2?x1
=?2?4×14=18，
即a2=8b2，故B選項(xiàng)正確；
又b2a2=18，
即18=a2?36a2，
解得a=12147，
∴ △FAB的周長(zhǎng)為4a=48147，故C選項(xiàng)正確；
又b2a2=180；
由題意，設(shè)數(shù)列an的公比為q.
由a3?a2=48，得4q2?4q=48，
解得q=4或q=?3，
又a2>0，
所以q=4．
所以an=4×4n?1=4n ，
所以3n?1an=3n?14n，
所以Sn=2×4+5×42+?+3n?1×4n ，
4Sn=2×42+5×43+?+3n?1×4n+1，
兩式相減，得?3Sn=8+3(42+43+?+4n)?(3n?1)4n+1 ，
即?3Sn=8+3×42?4n+11?4+1?3n4n+1=2?3n4n+1?8，
所以Sn=(3n?2)4n+1+83．
選②：a3=64且a4>0；
由題意，設(shè)數(shù)列an的公比為q.
由a3=64，得4q2=64，
解得q=±4，
又a2>0，
所以q=4 ．
所以an=4×4n?1=4n ，
所以3n?1an=3n?14n．
所以Sn=2×4+5×42+?+3n?1×4n ，
4Sn=2×42+5×43+?+3n?1×4n+1，
兩式相減，得?3Sn=8+3(42+43+?+4n)?(3n?1)4n+1 ，
即?3Sn=8+3×42?4n+11?4+1?3n4n+1=2?3n4n+1?8，
所以Sn=(3n?2)4n+1+83．
選③：a2021=16a2a2017；
由題意，設(shè)數(shù)列an的公比為q.
由a2021=16a2a2017，得a2021=16a1a2018=64a2018，
則q3=64，
解得q=4，
所以an=4×4n?1=4n ，
所以3n?1an=3n?14n．
所以Sn=2×4+5×42+?+3n?1×4n ，
4Sn=2×42+5×43+?+3n?1×4n+1，
兩式相減，得?3Sn=8+3(42+43+?+4n)?(3n?1)4n+1 ，
即?3Sn=8+3×42?4n+11?4+1?3n4n+1=2?3n4n+1?8，
所以Sn=(3n?2)4n+1+83．
【考點(diǎn)】
等差數(shù)列的通項(xiàng)公式
數(shù)列的求和
數(shù)列遞推式
等比數(shù)列的通項(xiàng)公式
【解析】
此題暫無解析
【解答】
解：(1)因?yàn)閍1=4，
所以a1?2=2.
因?yàn)閿?shù)列{an?2n}是等差數(shù)列，且公差為2，
所以an?2n=2+2n?1=2n，
所以an=2n+2n ．
(2)選①：a3?a2=48且a2>0；
由題意，設(shè)數(shù)列an的公比為q.
由a3?a2=48，得4q2?4q=48，
解得q=4或q=?3，
又a2>0，
所以q=4．
所以an=4×4n?1=4n ，
所以3n?1an=3n?14n，
所以Sn=2×4+5×42+?+3n?1×4n ，
4Sn=2×42+5×43+?+3n?1×4n+1，
兩式相減，得?3Sn=8+3(42+43+?+4n)?(3n?1)4n+1 ，
即?3Sn=8+3×42?4n+11?4+1?3n4n+1=2?3n4n+1?8，
所以Sn=(3n?2)4n+1+83．
選②：a3=64且a4>0；
由題意，設(shè)數(shù)列an的公比為q.
由a3=64，得4q2=64，
解得q=±4，
又a2>0，
所以q=4 ．
所以an=4×4n?1=4n ，
所以3n?1an=3n?14n．
所以Sn=2×4+5×42+?+3n?1×4n ，
4Sn=2×42+5×43+?+3n?1×4n+1，
兩式相減，得?3Sn=8+3(42+43+?+4n)?(3n?1)4n+1 ，
即?3Sn=8+3×42?4n+11?4+1?3n4n+1=2?3n4n+1?8，
所以Sn=(3n?2)4n+1+83．
選③：a2021=16a2a2017；
由題意，設(shè)數(shù)列an的公比為q.
由a2021=16a2a2017，得a2021=16a1a2018=64a2018，
則q3=64，
解得q=4，
所以an=4×4n?1=4n ，
所以3n?1an=3n?14n．
所以Sn=2×4+5×42+?+3n?1×4n ，
4Sn=2×42+5×43+?+3n?1×4n+1，
兩式相減，得?3Sn=8+3(42+43+?+4n)?(3n?1)4n+1 ，
即?3Sn=8+3×42?4n+11?4+1?3n4n+1=2?3n4n+1?8，
所以Sn=(3n?2)4n+1+83．
【答案】
(1)證明：∵ DC⊥BC，A1C⊥DC，且A1C∩BC=C，
∴ DC⊥平面A1CB，
∴ DC⊥A1B．
∵ ∠BAC=30°，BC=3，
∴ AC=3BC=3DC=3，
∴ DC=1，
∴ AD=2=A1D，
由勾股定理，得A1C=A1D2?DC2=3=BC．
∵ 點(diǎn)M為A1B的中點(diǎn)，
∴ CM⊥A1B，
又CD∩CM=C，
∴ A1B⊥平面CMD．
(2)解：∵ DE⊥CD，DE⊥A1D，且CD∩A1D=D，
∴ DE平面ACD，
又BC//DE，
∴ BC⊥平面A1CD．
以C為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C?xyz，
則M0,32,32，E1,233,0，B0,3,0，
由(1)可知，m→=1,0,0是平面CMB的一個(gè)法向量．
設(shè)平面CME的法向量為n2→=x,y,z，
則n2→?CM→=0,n2→?CE→=0,
即32y+32z=0,x+233y=0,
令y=3，則x=?2，z=?3，
∴ n2→=?2,3,?3，
∴ cs?n1→,n2→?=?21×4+3+3=?105．
又二面角B?CM?E為銳角，
∴ 二面角B?CM?E的余弦值為105．
【考點(diǎn)】
直線與平面垂直的判定
用空間向量求平面間的夾角
【解析】
此題暫無解析
【解答】
(1)證明：∵ DC⊥BC，A1C⊥DC，且A1C∩BC=C，
∴ DC⊥平面A1CB，
∴ DC⊥A1B．
∵ ∠BAC=30°，BC=3，
∴ AC=3BC=3DC=3，
∴ DC=1，
∴ AD=2=A1D，
由勾股定理，得A1C=A1D2?DC2=3=BC．
∵ 點(diǎn)M為A1B的中點(diǎn)，
∴ CM⊥A1B，
又CD∩CM=C，
∴ A1B⊥平面CMD．
(2)解：∵ DE⊥CD，DE⊥A1D，且CD∩A1D=D，
∴ DE平面ACD，
又BC//DE，
∴ BC⊥平面A1CD．
以C為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C?xyz，
則M0,32,32，E1,233,0，B0,3,0，
由(1)可知，m→=1,0,0是平面CMB的一個(gè)法向量．
設(shè)平面CME的法向量為n2→=x,y,z，
則n2→?CM→=0,n2→?CE→=0,
即32y+32z=0,x+233y=0,
令y=3，則x=?2，z=?3，
∴ n2→=?2,3,?3，
∴ cs?n1→,n2→?=?21×4+3+3=?105．
又二面角B?CM?E為銳角，
∴ 二面角B?CM?E的余弦值為105．
【答案】
(1)解：∵ 雙曲線x23?y2=1的右焦點(diǎn)為F2,0，
∴ p2=2，
解得p=4，
∴ C的方程為y2=8x，其準(zhǔn)線l的方程為x=?2．
(2)證明：由題意可知，直線AB過點(diǎn)F且斜率存在，
設(shè)直線AB的方程為y=kx?2k≠0，
聯(lián)立y=kx?2,y2=8x,
整理，得ky2?8y?16k=0，
則Δ=64+64k2>0恒成立，
y1y2=?16kk=?16，
故y1y2為定值．
由題意，得點(diǎn)N在準(zhǔn)線l上，設(shè)點(diǎn)N?2,m，
由kOA=kON，得y1x1=m?2，
又∵ y2=?16y1，
∴ m=?2y1x1=?2y1y128=?16y1=y2，
∴ BN//x軸//AM.
又∵ x1≠x2，|AM|≠|(zhì)BN|，
∴ 四邊形AMNB為梯形．
【考點(diǎn)】
拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
圓錐曲線中的定點(diǎn)與定值問題
拋物線的應(yīng)用
【解析】
此題暫無解析
【解答】
(1)解：∵ 雙曲線x23?y2=1的右焦點(diǎn)為F2,0，
∴ p2=2，
解得p=4，
∴ C的方程為y2=8x，其準(zhǔn)線l的方程為x=?2．
(2)證明：由題意可知，直線AB過點(diǎn)F且斜率存在，
設(shè)直線AB的方程為y=kx?2k≠0，
聯(lián)立y=kx?2,y2=8x,
整理，得ky2?8y?16k=0，
則Δ=64+64k2>0恒成立，
y1y2=?16kk=?16，
故y1y2為定值．
由題意，得點(diǎn)N在準(zhǔn)線l上，設(shè)點(diǎn)N?2,m，
由kOA=kON，得y1x1=m?2，
又∵ y2=?16y1，
∴ m=?2y1x1=?2y1y128=?16y1=y2，
∴ BN//x軸//AM.
又∵ x1≠x2，|AM|≠|(zhì)BN|，
∴ 四邊形AMNB為梯形．
【答案】
(1)解：因?yàn)閨F1F2|=4=2c，
所以c=2，
又a=2b，且a2?b2=c2，
所以2b2?b2=4，
解得b2=4，
所以a2=8，
故橢圓C的方程為x28+y24=1．
(2)證明：由題意可知，直線AB的斜率存在，F(xiàn)22,0，
設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，
由x28+y24=1,y=kx+m,
整理，得(1+2k2)x2+4kmx+2m2?8=0，
則Δ=16k2m2?4(1+2k2)(2m2?8)=64k2?8m2+32，
且x1+x2=?4km1+2k2，x1x2=2m2?81+2k2．
設(shè)直線F2A，F(xiàn)2B的傾斜角分別為α，β，
則α=π?β，k F2 A+k F2 B=y1x1?2+y2x2?2=0，
所以y1(x2?2)+y2(x1?2)=0，
即kx1+mx2?2+kx2+mx1?2=0，
所以2kx1x2+m?2kx1+x2?4m=0，
所以2k×2m2?81+2k2+(2k?m)×4km1+2k2?4m=0，
化簡(jiǎn)，得m=?4k，
所以直線AB的方程為y=kx?4k=k(x?4)，
所以直線AB過定點(diǎn)4,0．
【考點(diǎn)】
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
圓錐曲線中的定點(diǎn)與定值問題
【解析】
無
無
【解答】
(1)解：因?yàn)閨F1F2|=4=2c，
所以c=2，
又a=2b，且a2?b2=c2，
所以2b2?b2=4，
解得b2=4，
所以a2=8，
故橢圓C的方程為x28+y24=1．
(2)證明：由題意可知，直線AB的斜率存在，F(xiàn)22,0，
設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，
由x28+y24=1,y=kx+m,
整理，得(1+2k2)x2+4kmx+2m2?8=0，
則Δ=16k2m2?4(1+2k2)(2m2?8)=64k2?8m2+32，
且x1+x2=?4km1+2k2，x1x2=2m2?81+2k2．
設(shè)直線F2A，F(xiàn)2B的傾斜角分別為α，β，
則α=π?β，k F2 A+k F2 B=y1x1?2+y2x2?2=0，
所以y1(x2?2)+y2(x1?2)=0，
即kx1+mx2?2+kx2+mx1?2=0，
所以2kx1x2+m?2kx1+x2?4m=0，
所以2k×2m2?81+2k2+(2k?m)×4km1+2k2?4m=0，
化簡(jiǎn)，得m=?4k，
所以直線AB的方程為y=kx?4k=k(x?4)，
所以直線AB過定點(diǎn)4,0．

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