1. 命題p：“?x>1，使得x2>x”的否定是（ ）
A.“?x≤1，使得x2≤x”B.“?x≤1，使得x2>x”
C.“?x>1，使得x2≤x”D.“?x≤1，使得x2>x”

2. 拋物線x=116y2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A.0,14B.14,0C.0,4D.4,0

3. 設(shè)Sn是等差數(shù)列ann∈N?的前n項(xiàng)和，且a1=1，S4=16，則a7=（ ）
A.7B.10C.13D.16

4. 已知a→=2，?1，3，b→=?4，x+1，y?2，若a→//b→，則x+y=（ ）
A.?6B.?5C.?4D.?3

5. 下列四個(gè)正方體圖形中，A、B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M、N、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出AB // 平面MNP的圖形的序號(hào)是（ ）

A.①③B.①④C.①③④D.②④

6. 如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC上的一點(diǎn)，DC=1，AC=3，BD=3，∠ADC=120°，則AB的長(zhǎng)為（ ）

A.2B.14C.7D.3

7. 如圖，已知F1,F2分別為雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線與雙曲線C的左支交于A，B兩點(diǎn)，連接AF2，BF2，在△ABF2中，sin∠ABF22=14，|AB|=|BF2|，則雙曲線C的離心率為（ ）

A.3B.2C.3D.2

8. 若對(duì)任意的x、 y∈R，不等式x2+y2+xy≥3x+y?a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A.(?∞,?1]B.(?∞,1]C.[?1,+∞）D.[1,+∞）
二、多選題

已知等比數(shù)列{an}公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a6=8a3，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A.{an}為單調(diào)遞增數(shù)列B.S6S3=9
C.S3，S6，S9成等比數(shù)列D.Sn=2an?a1

下列命題正確的是（ ）
A.函數(shù)fx=sinx+12sin2x在0，2π上有3個(gè)零點(diǎn)
B.在同一平面內(nèi)，已知非零向量a→，b→，則在這個(gè)平面內(nèi)對(duì)任意的向量c→，存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)m、n使c→=ma→+nb→
C.等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a1>0，公差d≠0，則“S6>S7”是“S7>S8”的充分不必要條件
D.在△ABC中，若a=3,B=60°，三角形的面積S=33，則三角形外接圓的半徑為33

在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，M是線段A1C1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.四面體B1ACM的體積恒為定值
B.直線D1M與平面AD1C所成角正弦值的最大值為62
C.異面直線BM與AC所成角的范圍是60°,90°
D.當(dāng)4A1M=A1C1時(shí)，平面BDM截正方體所得的截面面積為94

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，短軸長(zhǎng)為2，點(diǎn)M，P在C上且|OP|=c，直線PF2與C交于另一個(gè)點(diǎn)Q，若tan∠F1QF2=34，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A.△PF1Q為等腰三角形B.橢圓C的離心率為22
C.△PF1F2內(nèi)切圓的半徑為2?1 D. △MPQ面積的最大值為21+33
三、填空題

已知x>0，當(dāng)x=________時(shí)，x+4x的最小值為4．

已知{an}是等比數(shù)列，若a2a4=a5，a4=27，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=________．

已知F是雙曲線x24?y212=1的左焦點(diǎn)，A(1, 4)，P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則|PF|+|PA|的最小值為_(kāi)_______．

在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為線段A1B1，AB的中點(diǎn)，O為四棱錐E?C1D1DC的外接球的球心，點(diǎn)M，N分別是直線DD1，EF上的動(dòng)點(diǎn)，記直線OC與MN所成的角為θ，則當(dāng)θ最小時(shí)，tanθ=________.
四、解答題

已知拋物線C:y2=2pxp>0經(jīng)過(guò)點(diǎn)P6,y0，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，且|PF|=10.
(1)求y0的值；

(2)點(diǎn)Q為拋物線C上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為線段FQ的中點(diǎn)，試求點(diǎn)M的軌跡方程．

如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠ACB=120°，AC=2，BC=4，AA1=6，D為線段AB的中點(diǎn)，E為線段BB1的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段A1C的中點(diǎn)．

(1)證明： EF//平面ABC；

(2)求三棱錐A1?B1CD的體積．

已知在△ABC中， 5+4csA+B=4sin2C．
(1)求角C的大小；

(2)若∠BAC與∠ABC的內(nèi)角平分線交于點(diǎn)I，△ABC的外接圓半徑為4，求△ABI周長(zhǎng)的最大值．

已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=n2.
(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；

(2)若bn=an+1?12n，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，不等式?1nλ0)，直線l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M．
(1)證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；

(2)若l過(guò)點(diǎn)(m3, m)，延長(zhǎng)線段OM與C交于點(diǎn)P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)l的斜率；若不能，說(shuō)明理由．
參考答案與試題解析
2020-2021學(xué)年湖南省湘潭市湘鄉(xiāng)市高二（上）12月月考數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題
1.
【答案】
C
【考點(diǎn)】
命題的否定
全稱命題與特稱命題
【解析】
無(wú)
【解答】
解：因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題，
所以命題p：“?x>1，使得x2>x”的否定是：“?x>1，使得x2≤x”.
故選C．
2.
【答案】
D
【考點(diǎn)】
拋物線的性質(zhì)
【解析】
無(wú)
【解答】
解：由x=116y2，得y2=16x，其焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，
因?yàn)?p=16，p=8，所以p2=4，
所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為4,0．
故選D．
3.
【答案】
C
【考點(diǎn)】
等差數(shù)列的前n項(xiàng)和
等差數(shù)列的通項(xiàng)公式
【解析】
無(wú)
【解答】
解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，
∵ a1=1，S4=16，
∴ S4=4a1+6d=4+6d=16，
∴ d=2，∴ a7=a1+6d=13．
故選C．
4.
【答案】
D
【考點(diǎn)】
共線向量與共面向量
【解析】
無(wú)
【解答】
解：a→=2,?1,3，b→=?4,x+1,y?2，且a→//b→，則設(shè)b→=λa→，
∴ 2=?4λ，?1=x+1λ，3=y?2λ，解得λ=?12，x=1，y=?4，
∴ x+y=?3．
故選D．
5.
【答案】
B
【考點(diǎn)】
直線與平面平行的判定
【解析】
此題暫無(wú)解析
【解答】
解：對(duì)圖①，構(gòu)造AB所在的平面，如圖所示，
即對(duì)角面，可以證明這個(gè)對(duì)角面ACB與平面MNP平行，
由面面平行的定義可得AB // 平面MNP．
對(duì)圖④，通過(guò)證明AB // PN得到AB // 平面MNP；
對(duì)于②、③無(wú)論用定義還是判定定理都無(wú)法證明線面平行.
故選B.
6.
【答案】
C
【考點(diǎn)】
余弦定理
解三角形
【解析】
無(wú)
【解答】
解：△ADC中根據(jù)余弦定理AC2=AD2+DC2?2AD?DC?cs120°，
即3=AD2+1?2?AD??12，
整理為AD2+AD?2=0，解得AD=1，
在△ABD中利用余弦定理AB2=AD2+BD2?2AD?BD?cs60°，
AB2=1+9?2×1×3×12=7，
所以AB=7．
故選C．
7.
【答案】
D
【考點(diǎn)】
余弦定理
雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
雙曲線的定義
雙曲線的離心率
二倍角的余弦公式
【解析】
無(wú)
【解答】
解：設(shè)|BF1|=m，則由雙曲線定義可得|BF2|=2a+m，
|AF1|=|AB|?|BF1|=|BF2|?m=2a，則|AF2|=4a，
則sin∠ABF22=2a2a+m=14，解得m=6a，從而|BF2|=8a．
在△BF1F2中， |F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2?2|BF1|?|BF2|cs∠F1BF2，
即4c2=36a2+64a2?2×6a×8a×1?2sin2∠ABF22，
解得e=ca=2．
故選D．
8.
【答案】
D
【考點(diǎn)】
函數(shù)恒成立問(wèn)題
二次函數(shù)的性質(zhì)
【解析】
無(wú)
【解答】
解：不等式x2+y2+xy≥3x+y?a對(duì)任意x，y∈R恒成立等價(jià)于不等式x2+y?3x+y2?3y+3a≥0對(duì)任意x，y∈R恒成立，
∴ Δ=y?32?4y2?3y+3a=?3y2+6y+9?12a≤0，
∴ 4a≥?y2+2y+3=?y?12+4，
當(dāng)y=1時(shí)， ?y2+2y+3取得最大值4，
∴ 4a≥4，解得a≥1．
因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1,+∞)．
故選D．
二、多選題
【答案】
B,D
【考點(diǎn)】
等比數(shù)列的通項(xiàng)公式
等比數(shù)列的前n項(xiàng)和
數(shù)列遞推式
等比中項(xiàng)
【解析】
根據(jù)a6=8a3建立關(guān)系，逐項(xiàng)判斷選項(xiàng)可得答案．
【解答】
解：由a6=8a3，可得q3a3=8a3，則q=2，
當(dāng)首項(xiàng)a10，公差d≠0，
則a1>0，dS7整理得a7S8”，
但是“S7>S8”，不一定a70，
∴ x+4x≥2x?4x=4，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)，x+4x的最小值為4．
故答案為：2．
【答案】
3n?1
【考點(diǎn)】
等比數(shù)列的通項(xiàng)公式
【解析】
此題暫無(wú)解析
【解答】
解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)閍2a4=a5，a4=27，
所以a4=a2q2=a5a4q2=q3=27，解得q=3，
a1=a4q3=2727=1，所以an=3n?1．
故答案為：3n?1．
【答案】
9
【考點(diǎn)】
雙曲線的定義
【解析】
根據(jù)A點(diǎn)在雙曲線的兩支之間，根據(jù)雙曲線的定義求得a，進(jìn)而根據(jù)PA|+|PF′|≥|AF′|=5兩式相加求得答案．
【解答】
解：∵ A點(diǎn)在雙曲線的兩支之間，且雙曲線右焦點(diǎn)為F′(4, 0)，
∴ 由雙曲線性質(zhì)|PF|?|PF′|=2a=4，
而|PA|+|PF′|≥|AF′|=5，
兩式相加得|PF|+|PA|≥9，當(dāng)且僅當(dāng)A、P、F′三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立．
故答案為：9．
【答案】
112142
【考點(diǎn)】
異面直線及其所成的角
球內(nèi)接多面體
空間中直線與直線之間的位置關(guān)系
【解析】
此題暫無(wú)解析
【解答】
解：如圖，設(shè)P，Q分別為棱CD和C1D1的中點(diǎn)，
則四棱錐E?C1D1DC的外接球即三棱柱DFC?D1EC1的外接球.
因?yàn)槿庵鵇FC?D1EC1為直三棱柱，
所以其外接球球心O為上、下底面三角形外心G和H連線的中點(diǎn)．
由題意，MN是平面DD1EF內(nèi)的一條動(dòng)直線，
所以θ的最小值是直線OC與平面DD1EF所成角，
即問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求直線OC與平面DD1EF所成角的正切值.
不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則EQ=2，ED1=5，
因?yàn)椤鱁C1D1為等腰三角形，
所以△EC1D1外接圓的直徑為2GE=ED1sin∠EC1D1=525=52，
則GE=54，從而GQ=2?54=34=PH.
如圖，以D為原點(diǎn)，以DA→，DC→，DD1→的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向，
建立空間直角坐標(biāo)系D?xyz，
則D(0,0,0)，D1,(0,0,2)，C(0,2,0)，F(xiàn)(2,1,0)，O(34,1,1),
易求平面DD1EF的一個(gè)法向量為n→=1,?2,0.
因?yàn)镺C→=(?34,1,?1)，
所以sinθ=|cs|=115×41，則tanθ=112142.
故答案為：112142.
四、解答題
【答案】
解：(1)由拋物線C:y2=2pxp>0經(jīng)過(guò)點(diǎn)P6,y0可得：y02=12p，
又|PF|=10，可得6+p2=10 ，
解得p=8，y0=±46；
(2)由(1)知C:y2=16x，則F4,0，
設(shè)Qx1,y1，Mx,y，根據(jù)點(diǎn)M為線段FQ的中點(diǎn)，
可得 x1+4=2xy1=2y，即x1=2x?4y1=2y，
由點(diǎn)Q在拋物線C上，所以(2y)2=16(2x?4)，
整理可得點(diǎn)M的軌跡方程為y2=8x?16．
【考點(diǎn)】
拋物線的定義
軌跡方程
【解析】
此題暫無(wú)解析
【解答】
解：(1)由拋物線C:y2=2pxp>0經(jīng)過(guò)點(diǎn)P6,y0可得：y02=12p，
又|PF|=10，可得6+p2=10 ，
解得p=8，y0=±46；
(2)由(1)知C:y2=16x，則F4,0，
設(shè)Qx1,y1，Mx,y，根據(jù)點(diǎn)M為線段FQ的中點(diǎn)，
可得 x1+4=2xy1=2y，即x1=2x?4y1=2y，
由點(diǎn)Q在拋物線C上，所以(2y)2=16(2x?4)，
整理可得點(diǎn)M的軌跡方程為y2=8x?16．
【答案】
(1)證明：取AC的中點(diǎn)為G，分別連接GF，BG．
又∵ F為線段A1C的中點(diǎn)，
∴ AA1//GF，且AA1=2GF．
∵ BB1=2BE，
根據(jù)三棱柱ABC?A1B1C1的性質(zhì)知，BB1//AA1，BB1=AA1，
∴ GF//BE，且GF=BE，
∴ 四邊形BEFG為平行四邊形，
∴ EF//BG．
又∵ BG?平面ABC，EF?平面ABC，
∴ EF//平面ABC．
(2)解：據(jù)題設(shè)知，S△ABC=12×2×4×sin120°=23，
∵ V三棱柱ABC?A1B1C1=23×6=123.
又∵ VA1?ACD=VB1?BCD=13×12×23×6=23，
VC?A1B1C1=13×23×6=43，
∴ 三棱錐A1?B1CD的體積
VA1?B1CD=123?23?23?43=43．
【考點(diǎn)】
直線與平面平行的判定
柱體、錐體、臺(tái)體的體積計(jì)算
【解析】
無(wú)
無(wú)
【解答】
(1)證明：取AC的中點(diǎn)為G，分別連接GF，BG．
又∵ F為線段A1C的中點(diǎn)，
∴ AA1//GF，且AA1=2GF．
∵ BB1=2BE，
根據(jù)三棱柱ABC?A1B1C1的性質(zhì)知，BB1//AA1，BB1=AA1，
∴ GF//BE，且GF=BE，
∴ 四邊形BEFG為平行四邊形，
∴ EF//BG．
又∵ BG?平面ABC，EF?平面ABC，
∴ EF//平面ABC．
(2)解：據(jù)題設(shè)知，S△ABC=12×2×4×sin120°=23，
∵ V三棱柱ABC?A1B1C1=23×6=123.
又∵ VA1?ACD=VB1?BCD=13×12×23×6=23，
VC?A1B1C1=13×23×6=43，
∴ 三棱錐A1?B1CD的體積
VA1?B1CD=123?23?23?43=43．
【答案】
解：(1)∵ A+B+C=π，
∴ A+B=π?C，
∴ csA+B=?csC，
又5+4csA+B=4sin2C，
∴ 5?4csC=41?cs2C，
即4cs2C?4csC+1=0，
解得csC=12．
又00，
∴ l不過(guò)原點(diǎn)且與C有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是k>0，k≠3，
由(1)知OM的方程為y=?9kx，
設(shè)P的橫坐標(biāo)為xP，
由y=?9kx,9x2+y2=m2, 得xP2=k2m29k2+81，即xP=±km39+k2，
將點(diǎn)(m3, m)的坐標(biāo)代入l的方程得b=m(3?k)3，
即l的方程為y＝kx+m(3?k)3，
將y=?9kx，代入y＝kx+m(3?k)3，
得kx+m(3?k)3=?9kx
解得xM=k(k?3)m3(9+k2)，
四邊形OAPB為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段AB與線段OP互相平分，即xP＝2xM，
于是±km39+k2=2×k(k?3)m3(9+k2)，
解得k1＝4?7或k2＝4+7，
∵ ki>0，ki≠3，i＝1，2，
∴ 當(dāng)l的斜率為4?7或4+7時(shí)，四邊形OAPB能為平行四邊形．

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