1. 為調(diào)查參加運動會的1000名運動員的年齡情況，從中抽查了100名運動員的年齡，就這個問題來說，下列說法正確的是( )
A.1000名運動員是總體B.每個運動員是個體
C.抽取的100名運動員是樣本D.樣本容量是100

2. 某工廠生產(chǎn)的30個零件編號為01，02，?，19，30，現(xiàn)利用如下隨機數(shù)表從中抽取5個進(jìn)行檢測.若從表中第1行第5列的數(shù)字開始，從左往右依次讀取數(shù)字，則抽取的第5個零件編號為 ( )

A.25B.23C.12 D.07

3. 若{a→,b→,c→}是空間的一個基底，則下列各組中不能構(gòu)成空間一個基底的是( )
A.a→，2b→，3c→
B.a→+b→，b→+c→，c→+a→
C.a→+b→+c→，b→+c→，c→
D.a→+2b→，2b→+3c→，3a→?9c→

4. 以下數(shù)據(jù)為參加數(shù)學(xué)競賽決賽的15人的成績：（單位：分）78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，56，98，83，90，91，則這15人成績的第80百分位數(shù)是( )
A.90B.91.5C.91D.90.5

5. 已知數(shù)據(jù)x1，x2，?，xn的平均數(shù)xˉ=5，方差s2=4，則數(shù)據(jù)3x1+7，3x2+7，?，3xn+7的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為( )
A.15，36B.22，6C.15，6D.22，36

6. 如圖，平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AC與BD交于點M，設(shè)AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→，則B1M→=( )

A.?12a→?12b→?c→B.12a→+12b→?c→
C.12a→?12b→?c→D.?12a→+12b→?c→

7. 若向量a→=(1,λ,1)，b→=(2,?1,?2)，且a→與b→的夾角余弦為26，則λ等于( )
A.?2B.2C.?2或2D.2

8. 棱長為1的正四面體ABCD中，點E，F(xiàn)分別是線段BC，AD上的點，且滿足BE→=13BC→，AF→=14AD→，則AE→?CF→=( )
A.?1324B.?12C.12D.1324
二、多選題

已知向量a→=(1, 2, 3)，b→=(3, 0, ?1)，c→=(?1, 5, ?3)，下列等式中正確的是( )
A.(a→?b→)?c→=b→?c→
B.(a→+b→)?c→=a→?(b→+c→)
C.(a→+b→+c→)2=a→2+b→2+c→2
D.|a→+b→+c→|=|a→?b→?c→|

有5件產(chǎn)品，其中3件正品，2件次品，從中任取2件，則互斥的兩個事件是( )
A.至少有1件次品與至多有1件正品
B.至少有1件次品與都是正品
C.至少有1件次品與至少有1件正品
D.恰有1件次品與恰有2件正品

根據(jù)給出所示的三幅統(tǒng)計圖，判斷正確的選項是( )

A.從折線統(tǒng)計圖能看出世界人口的變化情況
B.2050年非洲人口將達(dá)到大約15億
C.2050年亞洲人口比其他各洲人口的總和還要多
D.從1957年到2050年各洲中北美洲人口增長速度最慢

利用簡單隨機抽樣的方法抽查某工廠的100件產(chǎn)品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余為不合格品，現(xiàn)在這個工廠隨機抽查一件產(chǎn)品，設(shè)事件A為“是一等品”，B為“是合格品”，C為“是不合格品”，則下列結(jié)果正確的是( )
A.PB=710B.PA∪B=910C.PA∩B=0D.PA∪B=PC
三、填空題

已知A，B，C，D為空間中任意四點，化簡(AB→?CD→)?(AC→?BD→)=_________.

若直線l的方向向量為a→=(12,0,1)，平面β的法向量為b→=?1,0,?2，則l與β的關(guān)系是________.

設(shè)兩非零向量e1→，e2→不共線，且ke1→+e2→與e1→+ke2→共線的k的值是________．

已知空間向量PA→，PB→，PC→的模長分別為1，2，3，且兩兩夾角均為60°.點G為△ABC的重心，若PG→=xPA→+yPB→+zPC→，x，y，z∈R，則x+y+z=_________；|PG→|=__________.
四、解答題

國家射擊隊的某隊員射擊一次，命中7?10環(huán)的概率如表所示：
該射擊隊員射擊一次，求：
(1)射中9環(huán)或10環(huán)的概率；

(2)至少命中8環(huán)的概率；

3命中不足8環(huán)的概率．

已知向量a→=(?2, ?1, 2)，b→=(?1, 1, 2)，c→=(x, 2, 2).
(1)當(dāng)|c→|=22時，若向量ka→+b→與c→垂直，求實數(shù)x和k的值；

(2)若向量c→與向量a→，b→共面，求實數(shù)x的值.

某城市100戶居民的月平均用水量（單位：噸），以[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12)，[12,14)分組的頻率分布直方圖如圖.

(1)求直方圖中x的值；并估計出月平均用水量的眾數(shù)．

(2)求月平均用水量的中位數(shù)及平均數(shù)；

(3)在月平均用水量為[6,8)，[8,10)，[10,12)，[12,14)的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取22戶居民，則應(yīng)在[10,12)這一組的用戶中抽取多少戶？

(4)在第3問抽取的樣本中，從[10,12)，[12,14)這兩組中再隨機抽取2戶，深入調(diào)查，則所抽取的兩戶不是來自同一個組的概率是多少？

在邊長是2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，A1C的中點．應(yīng)用空間向量方法求解下列問題.

(1)求EF的長；

(2)證明：EF // 平面AA1D1D；

(3)證明：EF⊥平面A1CD.

溺水、校園欺凌等與學(xué)生安全有關(guān)的問題越來越受到社會的關(guān)注和重視，為了普及安全教育，某市組織了一次學(xué)生安全知識競賽，規(guī)定每隊3人，每人回答一個問題，答對得1分，答錯得0分.在競賽中，甲、乙兩個中學(xué)代表隊狹路相逢，假設(shè)甲隊每人回答問題正確的概率均為23，乙隊每人回答問題正確的概率分別為12，23，34，且兩隊各人回答問題正確與否相互之間沒有影響.
(1)分別求甲隊總得分為3分與1分的概率；

(2)求甲隊總得分為2分且乙隊總得分為1分的概率.

在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB=2BB1=2，P為B1C1的中點.

(1)求直線AC與平面ABP所成的角；

(2)求異面直線AC與BP所成的角；

(3)求點B到平面APC的距離.
參考答案與試題解析
2020-2021學(xué)年山東省青島市高二（上）10月月考數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題
1.
【答案】
D
【考點】
簡單隨機抽樣
【解析】
根據(jù)統(tǒng)計中的總體、個體、樣本和樣本容量的定義判斷．
【解答】
解：這個問題我們研究的是運動員的年齡情況.
A，總體是1000名運動員的年齡，故錯誤；
B，個體是每個運動員的年齡，故錯誤；
C，樣本是100名運動員的年齡，故錯誤；
D，樣本容量是100，故正確.
故選D.
2.
【答案】
C
【考點】
簡單隨機抽樣
【解析】
本題考查隨機數(shù)法.
【解答】
解：從隨機數(shù)表第1行的第5列數(shù)字開始，由左到右依次選取兩個數(shù)字，
選出的編號依次為07，04，08，23，12，因此選出的第5個個體的編號為12.
故選C.
3.
【答案】
D
【考點】
共線向量與共面向量
空間向量的基本定理及其意義
【解析】
只要所給三個向量不共面即可作為空間向量的基底．
【解答】
解：對于A中a→，2b→，3c→，
B中a→+b→，b→+c→，c→+a→，
C中a→+b→+c→，b→+c→，c→，每組都是不共面的向量，能構(gòu)成空間的一個基底；
對于D，a→+2b→，2b→+3c→，3a→?9c→，
滿足3a→?9c→=3[(a→+2b→)?(2b→+3c→)]，是共面向量，不能構(gòu)成空間的一個基底．
故選D.
4.
【答案】
D
【考點】
眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)
【解析】
由樣本數(shù)據(jù)第80百分位的定義以及求解步驟直接求解即可得出答案．
【解答】
解：∵ 15×0.8=12，
將這15個數(shù)按照從小到大排為：
56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98．
∴ 第12個數(shù)為90，第13個數(shù)為91.
∵ 90+912=90.5，
∴ 第80百分位數(shù)是90.5.
故選D.
5.
【答案】
B
【考點】
極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差
眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)
【解析】
根據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為5得到n個數(shù)據(jù)的關(guān)系，把這組數(shù)據(jù)做相同的變化，數(shù)據(jù)的倍數(shù)影響平均數(shù)和方差，后面的加數(shù)影響平均數(shù)，不影響方差．
【解答】
解：∵ x1，x2，?，xn的平均數(shù)為5，
∴ x1+x2+?+xnn=5，
∴ 3x1+3x2+?+3xnn+7=3(x1+x2+?+xn)n+7
=3×5+7=22.
∵ x1，x2，?，xn的方差為4，
∴ 3x1+7，3x2+7，?，3xn+7的方差是32×4=36，
∴ 3x1+7，3x2+7，?，3xn+7的標(biāo)準(zhǔn)差為36=6．
故選B.
6.
【答案】
D
【考點】
空間向量的加減法
【解析】
由于B1M→=B1B→+BM→，BM→=12BD→，BD→=BA→+BC→，代入化簡即可得出．
【解答】
解：B1M→=B1B→+BM→，BM→=12BD→，BD→=BA→+BC→，
∴ B1M→=?AA1→+12(?AB→+AD→)
=?c→?12a→+12b→.
故選D.
7.
【答案】
A
【考點】
空間向量的夾角與距離求解公式
【解析】
利用向量夾角余弦公式直接求解．
【解答】
解：∵ 向量a→=(1,λ,1)，b→=(2,?1,?2)，
a→與b→的夾角余弦為26，
∴ cs=a→?b→|a→|?|b→|=?λ2+λ2?9=26，
解得λ=?2.
故選A.
8.
【答案】
A
【考點】
空間向量的數(shù)量積運算
【解析】
直接根據(jù)AE→=AB→+BE→=AB→+13(AC→?AB→)=23AB→+13AC→=23a→+13b→； CF→=14c→?b→，代入數(shù)量積即可求解
【解答】
解：令A(yù)B→=a→，AC→=b→，AD→=c→，
由題意可得AE→=AB→+BE→=AB→+13BC→
=AB→+13(AC→?AB→)
=23AB→+13AC→=23a→+13b→，
CF→=CA→+AF→=14c→?b→，
則AE→?CF→=(23a→+13b→)?(14c→?b→)
=16a→?c→?23a→?b→+112b→?c→?13b→2
=16×12?23×12+112×12?13×1=?1324.
故選A.
二、多選題
【答案】
B,C,D
【考點】
空間向量運算的坐標(biāo)表示
空間向量的數(shù)量積運算
【解析】
A．左邊為向量，右邊為實數(shù)，顯然不相等．
B．利用向量運算性質(zhì)、數(shù)量積運算性質(zhì)即可得出．
C．利用向量運算性質(zhì)、數(shù)量積運算性質(zhì)即可得出．
D．利用向量運算性質(zhì)、數(shù)量積運算性質(zhì)即可得出．
【解答】
解：A，左邊為向量，右邊為實數(shù)，顯然不相等，故不正確；
B，左邊=(4, 2, 2)?(?1, 5, ?3)=?4+10?6=0，
右邊=(1, 2, 3)?(2, 5, ?4)=2+10?12=0，
左邊=右邊，故正確；
C，a→+b→+c→=(3, 7, ?1)，左邊=32+72+(?1)2=59，
右邊=12+22+32+32+0+(?1)2+(?1)2+52+(?3)2=59，
左邊=右邊，故正確；
D，由C可得，左邊=59，
∵ a→?b→?c→=(?1, ?3, 7)，
∴ |a→?b→?c→|=59，
左邊=右邊，故正確.
故選BCD.
【答案】
B,D
【考點】
互斥事件與對立事件
【解析】
根據(jù)互斥事件和對立事件的定義，對每個選項做出判斷，從而得到結(jié)論．
【解答】
解：A，至少有1件次品與至多有1件正品不互斥，
它們都包括了“一件正品與一件次品”的情況，故不滿足條件；
B，至少有1件次品與都是正品是互斥事件，故滿足條件；
C，至少有1件次品與至少有1件正品不互斥，
它們都包括了“一件正品與一件次品”的情況，故不滿足條件．
D，恰有1件次品與恰有2件正品是互斥事件，故滿足條件．
故選BD.
【答案】
A,C
【考點】
扇形統(tǒng)計圖
分布的意義和作用
【解析】
此題暫無解析
【解答】
解：A、從折線統(tǒng)計圖能看出世界人口的變化情況，故A選項正確；
B、從條形統(tǒng)計圖中可得到：2050年非洲人口將達(dá)到大約18億，故B選項錯誤；
C、從扇形統(tǒng)計圖中能夠明顯的得到結(jié)論：2050年亞洲人口比其他各洲人口的總和還要多，故C選項正確；
D、由上述三幅統(tǒng)計圖并不能得出從1957年到2050年中哪個洲人口增長速度最慢，故D選項錯誤．
故選AC.
【答案】
A,B,C
【考點】
互斥事件的概率加法公式
互斥事件與對立事件
【解析】
根據(jù)事件的關(guān)系及運算求解．
【解答】
解：由題意可知，A，B，C為互斥事件，則PA∩B=0，故C正確；
又因為100件中一等品有20件，合格品有70件，不合格品有10件，
所以PB=710 ，PA=210，PC=110，
則PA∪B=910 ，故AB正確，D錯誤.
故選ABC.
三、填空題
【答案】
0→
【考點】
空間向量的加減法
【解析】
本題主要通過向量加減運算，算出最后的結(jié)果即可
【解答】
解：(AB→?CD→)?(AC→?BD→)
=AB→+DC→?AC→+BD→
=AB→+BD→+DC→+CA→
=AC→+CA→=0→.
故答案為：0→.
【答案】
l⊥β
【考點】
空間向量運算的坐標(biāo)表示
空間中直線與平面之間的位置關(guān)系
【解析】
首先判斷兩個向量的關(guān)系，即可判斷線面關(guān)系.
【解答】
解：∵ a→=(12,0,1)，b→=(?1,0,?2)，
∴ a→=?12b→，即a→//b→，
∴ l⊥β.
故答案為：l⊥β.
【答案】
±1
【考點】
平行向量的性質(zhì)
【解析】
利用平行向量的性質(zhì)求解．
【解答】
解：∵ 兩非零向量e1→，e2→不共線，且ke1→+e2→與e1→+ke2→共線，
∴ ke1→+e2→=t(e1→+ke2→)，
則(k?t)e1→+(1?tk)e2→=0.
∵ 非零向量e1→，e2→不共線，
∴ k?t=0，1?kt=0，
解得k=±1.
故答案為：±1.
【答案】
1,53
【考點】
空間向量的數(shù)量積運算
空間向量的加減法
向量的模
【解析】
把BG→=23BD→，BD→=PD→?PB→，PD→=12PA→+PC→代入PG→=PB→+BG→化簡整理即可；|PG→|=13PA→+13PB→+13PC→2代入計算.
【解答】
解：如圖所示，
取AC的中點D，
PG→=PB→+BG→=PB→+23BD→
=PB→+23×PD→?PB→
=PB→+23×12×PA→+PC→?PB→
=13PA→+13PB→+13PC→.
又PG→=xPA→+yPB→+zPC→，
所以x=13，y=13，z=13，
所以x+y+z=1.
空間向量PA→，PB→，PC→的模長分別為1，2，3，且兩兩夾角均為60°，
|PG→|=|13PA→+13PB→+13PC→|
=13(PA→+PB→+PC→)2
=13PA→2+PB→2+PC→2+2PA→?PB→+2PC→?PB→+2PA→?PC→
=1312+22+32+2×1×2×12+2×3×2×12+2×1×3×12
=53.
故答案為：1；53.
四、解答題
【答案】
解：1設(shè)“射中10環(huán)”，”射中9環(huán)”，“射中8環(huán)”，“射中7環(huán)”的事件分別為A，B，C，D，
所以PA+B=PA+PB=0.32+0.28=0.60，
即射中10環(huán)或9環(huán)的概率為0.60.
2由題意得，
PA+B+C=PA+PB+PC
=0.32+0.28+0.18=0.78，
即至少命中8環(huán)的概率為0.78.
3由題意得，
射中環(huán)數(shù)不足8環(huán)的概率為1?PA?PB?PC=1?0.78=0.22，
即命中不足8環(huán)的概率為0.22.
【考點】
對立事件的概率公式及運用
互斥事件的概率加法公式
【解析】
1直接利用互斥事件的加法運算，通過基本概念即可進(jìn)行求解；
2利用互斥事件的加法運算，運用基本概念即可求解；
3利用對立事件求出概率即可.
【解答】
解：1設(shè)“射中10環(huán)”，”射中9環(huán)”，“射中8環(huán)”，“射中7環(huán)”的事件分別為A，B，C，D，
所以PA+B=PA+PB=0.32+0.28=0.60，
即射中10環(huán)或9環(huán)的概率為0.60.
2由題意得，
PA+B+C=PA+PB+PC
=0.32+0.28+0.18=0.78，
即至少命中8環(huán)的概率為0.78.
3由題意得，
射中環(huán)數(shù)不足8環(huán)的概率為1?PA?PB?PC=1?0.78=0.22，
即命中不足8環(huán)的概率為0.22.
【答案】
解：(1)當(dāng)|c→|=22時，x2+4+4=22，
解得x=0，
且向量ka→+b→=(?2k?1, 1?k, 2k+2).
因為向量ka→+b→與c→垂直，
所以(ka→+b→)?c→=0，
即2(1?k)+2(2k+2)=0，
解得k=?3，
所以實數(shù)x和k的值分別為0和?3.
(2)因為向量c→與向量a→，b→共面，
所以設(shè)c→=λa→+μb→(λ，μ∈R)，
所以(x, 2, 2)=λ(?2, ?1, 2)+μ(?1, 1, 2)，
所以x=?2λ?μ，2=μ?λ，2=2λ+2μ，
解得x=?12，λ=?12，μ=32，
所以實數(shù)x的值為?12.
【考點】
向量的線性運算性質(zhì)及幾何意義
向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直
空間向量的數(shù)量積運算
共線向量與共面向量
【解析】
(Ⅰ)直接利用向量的垂直的充要條件的應(yīng)用求出結(jié)果．
(Ⅱ)直接利用共面向量基本定理的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答】
解：(1)當(dāng)|c→|=22時，x2+4+4=22，
解得x=0，
且向量ka→+b→=(?2k?1, 1?k, 2k+2).
因為向量ka→+b→與c→垂直，
所以(ka→+b→)?c→=0，
即2(1?k)+2(2k+2)=0，
解得k=?3，
所以實數(shù)x和k的值分別為0和?3.
(2)因為向量c→與向量a→，b→共面，
所以設(shè)c→=λa→+μb→(λ，μ∈R)，
所以(x, 2, 2)=λ(?2, ?1, 2)+μ(?1, 1, 2)，
所以x=?2λ?μ，2=μ?λ，2=2λ+2μ，
解得x=?12，λ=?12，μ=32，
所以實數(shù)x的值為?12.
【答案】
解：1根據(jù)頻率和為1，得2×0.02+0.095+0.11+0.125+x+0.05+0.025=1，
解得x=0.075.
由圖可知，最高矩形的數(shù)據(jù)組為[6,8)，
∴ 眾數(shù)為126+8=7.
2[0,6)內(nèi)的頻率之和為：0.02+0.095+0.11×2=0.45，
設(shè)中位數(shù)為y，則0.45+y?6×0.125=0.5，
解得y=6.4，
∴ 中位數(shù)為6.4；
平均數(shù)為2(1×0.02+3×0.095+5×0.11+7×0.125
+9×0.075+11×0.05+13×0.025)=6.56.
3月平均用水量為[10,12)的用戶在四組用戶中所占的比例為：+0.075+0.05+0.025=211，
∴ 月平均用水量在[10,12)的用戶中應(yīng)抽取22×211=4(戶).
4月平均用水量在[12,14)的用戶中應(yīng)抽取22×111=2（戶），
月平均用水量在[10,12)的用戶設(shè)為A1，A2，A3，A4，
月平均用水量在[12,14)的用戶設(shè)為B1，B2，
從[10,12)，[12,14)這兩組中隨機抽取2戶有
A1A2，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，
A2A3，A2A4，A2B1，A2B2，
A3A4，A3B1，A3B2，
A4B1，A4B2，B1B2，共15種情況，
其中，抽取的兩戶不是來自同一個組的有
A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，
A3B1，A3B2，A4B1，A4B2，共8種情況，
則抽取的兩戶不是來自同一個組的概率為815.
【考點】
列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率
眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)
頻率分布直方圖
分層抽樣方法
【解析】
1根據(jù)頻率和為1，列方程求出x的值；
2根據(jù)頻率分布直方圖中，每個矩形的中點橫坐標(biāo)與該矩形的縱坐標(biāo)、組距相乘后求和可得平均值，由最高矩形的數(shù)據(jù)組中點為眾數(shù)；中位數(shù)兩邊的頻率相等，由此求出中位數(shù)；
3求出抽取比例數(shù)，計算應(yīng)抽取的戶數(shù)；
4利用列舉法，由古典概型概率公式可得結(jié)果．
【解答】
解：1根據(jù)頻率和為1，得2×0.02+0.095+0.11+0.125+x+0.05+0.025=1，
解得x=0.075.
由圖可知，最高矩形的數(shù)據(jù)組為[6,8)，
∴ 眾數(shù)為126+8=7.
2[0,6)內(nèi)的頻率之和為：0.02+0.095+0.11×2=0.45，
設(shè)中位數(shù)為y，則0.45+y?6×0.125=0.5，
解得y=6.4，
∴ 中位數(shù)為6.4；
平均數(shù)為2(1×0.02+3×0.095+5×0.11+7×0.125
+9×0.075+11×0.05+13×0.025)=6.56.
3月平均用水量為[10,12)的用戶在四組用戶中所占的比例為：+0.075+0.05+0.025=211，
∴ 月平均用水量在[10,12)的用戶中應(yīng)抽取22×211=4(戶).
4月平均用水量在[12,14)的用戶中應(yīng)抽取22×111=2（戶），
月平均用水量在[10,12)的用戶設(shè)為A1，A2，A3，A4，
月平均用水量在[12,14)的用戶設(shè)為B1，B2，
從[10,12)，[12,14)這兩組中隨機抽取2戶有
A1A2，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，
A2A3，A2A4，A2B1，A2B2，
A3A4，A3B1，A3B2，
A4B1，A4B2，B1B2，共15種情況，
其中，抽取的兩戶不是來自同一個組的有
A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，
A3B1，A3B2，A4B1，A4B2，共8種情況，
則抽取的兩戶不是來自同一個組的概率為815.
【答案】
(1)解：以D為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則A1(2, 0, 2)，A(2, 0, 0)，B(2, 2, 0)，C(0, 2, 0)，D1(0, 0, 2)，D(0, 0, 0).
∵ E，F(xiàn)分別為AB，A1C的中點，
∴ E(2, 1, 0)，F(xiàn)(1, 1, 1)，
∴ EF→=(?1, 0, 1)，
∴ |EF→|=1+0+1=2.
(2)證明：∵ AD1→=(?2, 0, 2)=2EF→，
∴ EF // AD1.
又AD1?平面AA1D1D，EF?平面AA1D1D，
∴ EF // 平面AA1D1D.
(3)證明：由(1)可知，CD→=(0, ?2, 0)，A1D→=(?2, 0, ?2).
∵ CD→?EF→=0，EF→?A1D→=0，
∴ EF⊥CD，EF⊥A1D.
又CD∩A1D=D，
∴ EF⊥平面A1CD.
【考點】
空間向量運算的坐標(biāo)表示
數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系
向量的模
直線與平面垂直的判定
直線與平面平行的判定
【解析】
（1）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出向量EF→的坐標(biāo)表示，代入長度公式求解；
（2）求出AD1→的坐標(biāo)表示，關(guān)鍵坐標(biāo)關(guān)系判斷EF // AD1，再利用線面平行的判定定理證明；
（3）利用CD→?EF→=0，EF→?A1D→=0，可證直線EF垂直于CD、A1D，再利用線面垂直的判定定理證明．
【解答】
(1)解：以D為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則A1(2, 0, 2)，A(2, 0, 0)，B(2, 2, 0)，C(0, 2, 0)，D1(0, 0, 2)，D(0, 0, 0).
∵ E，F(xiàn)分別為AB，A1C的中點，
∴ E(2, 1, 0)，F(xiàn)(1, 1, 1)，
∴ EF→=(?1, 0, 1)，
∴ |EF→|=1+0+1=2.
(2)證明：∵ AD1→=(?2, 0, 2)=2EF→，
∴ EF // AD1.
又AD1?平面AA1D1D，EF?平面AA1D1D，
∴ EF // 平面AA1D1D.
(3)證明：由(1)可知，CD→=(0, ?2, 0)，A1D→=(?2, 0, ?2).
∵ CD→?EF→=0，EF→?A1D→=0，
∴ EF⊥CD，EF⊥A1D.
又CD∩A1D=D，
∴ EF⊥平面A1CD.
【答案】
解：(1)記“甲隊總得分為3分”為事件A，記“甲隊總得分為1分”為事件B，
甲隊得3分，即三人都回答正確，其概率為PA=23×23×23=827；
甲隊得1分，即三人中只有1人回答正確，其余兩人都答錯，
其概率為PB=23×1?23×1?23+1?23×23×1?23
+1?23×1?23×23=29，
所以甲隊總得分為3分與1分的概率分別為827和29.
2記“甲隊得分為2分”為事件C，記“乙隊得分為1分”為事件D，
事件C即甲隊三人中有2人答對，其余1人答錯，
則PC=23×23×1?23+23×1?23×23
+1?23×23×23=49，
事件D即乙隊3人中只有1人答對，其余2人答錯，
則PD=12×1?23×1?34+1?12×23×1?34
+1?12×1?23×34=14，
由題意得事件C與事件D相互獨立，
所以甲隊總得分為2分且乙隊總得分為1分的概率：
PCD=PCPD=49×14=19.
【考點】
相互獨立事件的概率乘法公式
【解析】
1記“甲隊總得分為3分”為事件A，記“甲隊總得分為1分”為事件B，甲隊得3分，即三人都回答正確，甲隊得1分，即三人中只有1人回答正確，其余兩人都答錯，由此利用相互獨立事件概率乘法公式能求出甲隊總得分為3分與1分的概率；
2記“甲隊得分為2分”為事件C，記“乙隊得分為1分”為事件D，事件C即甲隊三人中有2人答對，其余1人答錯，事件D即乙隊3人中只有1人答對，其余2人答錯，由題意得事件C與事件D相互獨立，由此利用相互獨立事件概率乘法公式能求出甲隊總得分為2分且乙隊總得分為1分的概率．
【解答】
解：(1)記“甲隊總得分為3分”為事件A，記“甲隊總得分為1分”為事件B，
甲隊得3分，即三人都回答正確，其概率為PA=23×23×23=827；
甲隊得1分，即三人中只有1人回答正確，其余兩人都答錯，
其概率為PB=23×1?23×1?23+1?23×23×1?23
+1?23×1?23×23=29，
所以甲隊總得分為3分與1分的概率分別為827和29.
2記“甲隊得分為2分”為事件C，記“乙隊得分為1分”為事件D，
事件C即甲隊三人中有2人答對，其余1人答錯，
則PC=23×23×1?23+23×1?23×23
+1?23×23×23=49，
事件D即乙隊3人中只有1人答對，其余2人答錯，
則PD=12×1?23×1?34+1?12×23×1?34
+1?12×1?23×34=14，
由題意得事件C與事件D相互獨立，
所以甲隊總得分為2分且乙隊總得分為1分的概率：
PCD=PCPD=49×14=19.
【答案】
解：(1)以D為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則A(2, 0, 0)，C(0, 2, 0)，B(2, 2, 0)，P(1, 2, 1)，
AC→=(?2, 2, 0)，AB→=(0, 2, 0)，AP→=(?1, 2, 1)．
設(shè)平面ABP的法向量為m→=(x, y, z)，
則m→?AB→=0，m→?AP→=0，
即2y=0，?x+2y+z=0，
令x=1，解得y=0，z=1，
∴ m→=(1, 0, 1).
設(shè)直線AC與平面ABP所成的角為θ，
則sinθ=|cs|=|m→?AC→||m→||AC→|=22?8=12，
∴ 直線AC與平面ABP所成的角為30°.
(2)由(1)可知，BP→=(?1, 0, 1)，
∴ cs=AC→?BP→|AC→||BP→|=28×2=12，
∴ 異面直線AC與BP所成的角為60°.
(3)設(shè)平面APC的法向量n→=(x0, y0, z0)，
則n→?AP→=0，n→?AC→=0，
即?x0+2y0+z0=0，?2x0+2y0=0，
令x0=1，解得y0=1，z0=?1，
∴ n→=(1, 1, ?1)，
∴ 點B到平面APC的距離d=|n→?AB→||n→|=23=233.
【考點】
點、線、面間的距離計算
直線與平面所成的角
異面直線及其所成的角
【解析】
（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．A(2, 0, 0)，C(0, 2, 0)，B(2, 2, 0)，P(1, 2, 1)．
設(shè)平面ABP的法向量為m→=(x, y, z)，則m→?AP→=0˙，可得m→．設(shè)直線AC與平面ABP所成的角為θ，則sinθ=|csθ|=|m→||AC→|˙即可得出．
（2）BP→=(?1, 0, 1)，利用cs=|AC→||BP→|˙即可得出．
（3）設(shè)平面APC的法向量n→=(x0, y0, z0)，利用n→?AC→=0˙，可得n→．再利用點B到平面APC的距離d=|n→|˙即可得出．
【解答】
解：(1)以D為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則A(2, 0, 0)，C(0, 2, 0)，B(2, 2, 0)，P(1, 2, 1)，
AC→=(?2, 2, 0)，AB→=(0, 2, 0)，AP→=(?1, 2, 1)．
設(shè)平面ABP的法向量為m→=(x, y, z)，
則m→?AB→=0，m→?AP→=0，
即2y=0，?x+2y+z=0，
令x=1，解得y=0，z=1，
∴ m→=(1, 0, 1).
設(shè)直線AC與平面ABP所成的角為θ，
則sinθ=|cs|=|m→?AC→||m→||AC→|=22?8=12，
∴ 直線AC與平面ABP所成的角為30°.
(2)由(1)可知，BP→=(?1, 0, 1)，
∴ cs=AC→?BP→|AC→||BP→|=28×2=12，
∴ 異面直線AC與BP所成的角為60°.
(3)設(shè)平面APC的法向量n→=(x0, y0, z0)，
則n→?AP→=0，n→?AC→=0，
即?x0+2y0+z0=0，?2x0+2y0=0，
令x0=1，解得y0=1，z0=?1，
∴ n→=(1, 1, ?1)，
∴ 點B到平面APC的距離d=|n→?AB→||n→|=23=233.命中環(huán)數(shù)
10環(huán)
9環(huán)
8環(huán)
7環(huán)
概率
0.32
0.28
0.18
0.12

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