1. 若直線l1：y=2x+1與l2：3m+1x?2y+5=0平行，則m=( )
A.1B.?1C.2D.?2

2. 過A2,6，B1,?6兩點的直線的斜率為( )
A.?12B.?112C.112D.12

3. 已知△ABC三個頂點的坐標分別為A2,6，B1,?6，C(5,2)，M為BC的中點，則中線AM所在直線的方程為( )
A.10x+y?26=0B.8x+y?22=0C.8x+y?26=0D.10x?y?34=0

4. 在長方體ABCD?A1B1C1D1中，設AB→=a→，AD→=b→，AA→1=c→，且|a→|=2，則a→+b→?a→?c→=( )
A.1B.2C.3D.4

5. 直四棱柱ABCD?A1B1C1D1的各棱長均為2，且∠BAD=π3，則|AC1→|=( )
A.23B.10C.4D.33

6. 如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=4，若點P在側(cè)面BCC1B1（不含邊界）內(nèi)運動，AP⊥BD1，且點P到底面ABCD的距離為3，則異面直線BD與AP所成角的余弦值是( )

A.1326B.1313C.31313D.31326

7. 已知P，A，B，C四點滿足PA→=1,1,?3，PB→=2,?1,1，PC→=3,4,m，且P，A，B，C四點共面，則m=( )
A.113B.?13C.?343D.343

8. 已知在四面體ABCD中，AB=CD=10，AC=BD=13，AD=BC=5，M為棱AB的中點，DN→=13DC→，連接MN，則點A到MN所在直線的距離的平方為( )

A.6977B.369154C.1011D.6577
二、多選題

以下關(guān)于向量的說法中正確的是( )
A.若將所有空間單位向量的起點放在同一點，則終點圍成一個圓
B.若a→=b→，則|a→|=|b→|
C.若a→與b→共線，b→與c→共線，則a→與c→共線
D.若a→=?b→且b→=?c→，則a→=c→

在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，BD上的點，且BEEC=BFFD=2，則EF→?AC→+AD→=( )
A.52EF→B.43EF→C.89CD→D.53CD→

已知直線l與函數(shù)y=lg2x的圖象有兩個交點Pa,b，Qc,d，且PQ的中點在x軸上，則下列說法正確的是( )
A.l的斜率大于0B.ac=1
C.a+c=1D.l在x軸的截距大于1

在三棱錐P?ABC中，以下說法正確的有( )
A.若2AD→=AB→+AP→，則BP→=3BD→
B.若PA→?AC→=0，PA→?AB→=0，則PA→?BC→=0
C.若PA=PB=PC=2，AB=AC=BC=22，M，N分別為PA，BC的中點，則|MN→|=2
D.若T為△ABC的重心，則2PT→+AT→=PB→+PC→
三、填空題

已知直線l的方向向量m→=1,?2,3，平面α的法向量n→=t,t+1,?1，若l//α，則t=________.

已知直線l:x2+y6=1與x軸和y軸分別交于A，B兩點，O為坐標原點，則△AOB的面積為________.

設A1,1，B3,5，C5,3，D0,?7，E2,?3，F(xiàn)8,?6，若直線l分別與△ABC及△DEF各恰有一個交點，則直線l的斜率的最小值為________.

如圖，已知四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面A1B1C1D1為平行四邊形，E為棱AB的中點，AF→=13AD→，AG→=2GA1→，AC1與平面EFG交于點M，則AMAC1=________.

四、解答題

在①它的傾斜角比直線y=3x?1的傾斜角小π12，②與直線x+y?1=0垂直，③在y軸上的截距為?1，這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并作答．問題：已知直線l過點2,1，且________，求直線l的方程．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．

如圖，在多面體ABC?A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面A1B1C1，四邊形AA1B1B是菱形，AA1//CC1，AA1=2CC1=4，∠AA1B1=60°.C1A1=C1B1=5.

(1)若點G是AB1的中點，證明：CG//平面A1B1C1；

(2)求點C1到平面ABC的距離．

如圖，三棱錐P?ABC中的三條棱AP，AB，AC兩兩互相垂直，∠PBA=π6，點D滿足PB→=4PD→.

(1)證明：PB⊥平面ACD；

(2)若AP=AC，求異面直線CD與AB所成角的余弦值．

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，B1C1⊥平面AA1C1C，D是AA1的中點，△ACD是邊長為1的等邊三角形．

(1)證明：CD⊥B1D；

(2)若BC=3，求二面角B?C1D?B1的余弦值．

如圖，圓柱上、下底面圓的圓心分別為O，O1，該圓柱的軸截面為正方形，三棱柱ABC?A1B1C1的三條側(cè)棱均為圓柱的母線，且AB=AC=306OO1，點P在軸OO1上運動．

(1)證明：不論P在何處，總有BC⊥PA1；

(2)當點P為OO1的中點時，求PB1與平面A1PB所成角的正弦值．

如圖，已知菱形ABCD的邊長為1,∠BAD=π3，將菱形ABCD沿著AD翻折到AEFD 的位置，連接CF，BE，CE．

(1)證明：BE//平面FCD．

(2)在翻折的過程中，能否使得BE與平面ECD所成的角的正弦值為21313？若能，求出二面角B?AD?E的大??；若不能，請說明理由．
參考答案與試題解析
2020-2021學年山東省青島市高二（上）10月月考數(shù)學試卷
一、選擇題
1.
【答案】
A
【考點】
兩條直線平行與傾斜角、斜率的關(guān)系
【解析】
無
【解答】
解：根據(jù)題意得，3m+12=2，
解得m=1．
故選A．
2.
【答案】
D
【考點】
斜率的計算公式
【解析】

【解答】
解：斜率k=6?(?6)2?1=12.
故選D.
3.
【答案】
B
【考點】
直線的一般式方程
直線的兩點式方程
中點坐標公式
【解析】
無
【解答】
解：由中點坐標公式得M3,?2，
所以kAM=?8，
所以AM的方程為y+2=?8x?3，
即8x+y?22=0．
故選B．
4.
【答案】
D
【考點】
空間向量的數(shù)量積運算
【解析】
無
【解答】
解：在長方體中，a→?b→=b→?c→=c→?a→=0，
所以a→+b→?a→?c→
=a→2+a→?b→?a→?c→?b→?c→=22+0?0?0=4．
故選D．
5.
【答案】
C
【考點】
空間向量的數(shù)乘運算
向量的模
【解析】
無
【解答】
解：AC1→=AB→+AD→+AA1→，
又有∠BAD=π3，且各棱長均為2，
所以AB→?AD→=2×2×12=2，AA1→?AB→=0，AA1→?AD→=0，
所以AC1→2=AB→2+AD→2+AA1→2+2AB→?AD→+2AA1→?AB→+2AA1→?AD→
=4+4+4+4=16，
從而|AC1→|=4．
故選C．
6.
【答案】
D
【考點】
用空間向量求直線間的夾角、距離
【解析】

【解答】
解：以D為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系D?xyz，
則A4,0,0，B4,4,0，D0,0,0，D10,0,4,
由條件設Px,4,3，00)，則AB=AC=306a．
在△ABC中，AM=AC?cs∠CAM=AC×ACAN=56a,
則OM=13a．
從而CM=BM=306a2?56a2=56a，
則A10,?12a,0 ，B56a,13a,a，P0,0,12a，B156a,13a,0，
可得A1P→=0,12a，12a,A1B→=56a,56a,a．
設平面A1PB的一個法向量為n→=x,y,z，
則有12ay+12az=0,56ax+56ay+az=0,
取x=1，得n→=1,5,?5，
又因為PB1→=56a,13a,?12a，
設PB1與平面A1PB所成角為θ，
則 sinθ=|cs?n→,PB1→?|=5a1+5+5?536a2+19a2+14a2=11011 .
即PB1與平面A1PB所成角的正弦值為11011．
【答案】
(1)證明：由已知，AB//CD，AE//DF, AB∩AE=A, DC∩DF=D,
所以平面ABE//平面FCD.
因為BE?平面ABE，
所以BE//平面FCD．
(2)解：取AD的中點O，連接OE，OB，BD.
由∠BAD=π3，得△ADE，△ADB都是等邊三角形，且邊長為1，
所以OE⊥AD，OB⊥AD，
所以AD⊥平面BOE，
所以∠BOE是二面角B?AD?E的平面角．
設∠BOE=θ．
在平面BOE中過點O作Oz⊥OB，則Oz⊥平面ABCD．
即Oz⊥OA，Oz⊥OB，
以O為原點，OA→，OB→，Oz→的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系O?xyz．
如圖所示，
則B0,32,0，E0,32csθ,32sinθ，C?1,32,0，D?12,0,0，
所以BE→=0,32csθ?32,32sinθ，DE→=12,32csθ,32sinθ，DC→=?12,32,0.
設平面CDE的法向量為n→=x,y,z，
則n→?DE→=0，n→?DC→=0，
12x+32ycsθ+32zsinθ=0，?12x+32y=0，
令 x=3，則y=1，z=1+csθ?sinθ，
于是n→=3,1,?1+csθsinθ．
設BE與平面ECD所成的角為α，則
sin α=|cs|
=34+(1+csθ)2sin2θ?32(1?csθ)
=21313，
解得θ=2π3.
故能使BE與平面ECD所成角的正弦值為21313，此時二面角B?AD?E的大小為2π3.
【考點】
用空間向量求平面間的夾角
直線與平面平行的判定
【解析】


【解答】
(1)證明：由已知，AB//CD，AE//DF, AB∩AE=A, DC∩DF=D,
所以平面ABE//平面FCD.
因為BE?平面ABE，
所以BE//平面FCD．
(2)解：取AD的中點O，連接OE，OB，BD.
由∠BAD=π3，得△ADE，△ADB都是等邊三角形，且邊長為1，
所以OE⊥AD，OB⊥AD，
所以AD⊥平面BOE，
所以∠BOE是二面角B?AD?E的平面角．
設∠BOE=θ．
在平面BOE中過點O作Oz⊥OB，則Oz⊥平面ABCD．
即Oz⊥OA，Oz⊥OB，
以O為原點，OA→，OB→，Oz→的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系O?xyz．
如圖所示，
則B0,32,0，E0,32csθ,32sinθ，C?1,32,0，D?12,0,0，
所以BE→=0,32csθ?32,32sinθ，DE→=12,32csθ,32sinθ，DC→=?12,32,0.
設平面CDE的法向量為n→=x,y,z，
則n→?DE→=0，n→?DC→=0，
12x+32ycsθ+32zsinθ=0，?12x+32y=0，
令 x=3，則y=1，z=1+csθ?sinθ，
于是n→=3,1,?1+csθsinθ．
設BE與平面ECD所成的角為α，則
sin α=|cs|
=34+(1+csθ)2sin2θ?32(1?csθ)
=21313，
解得θ=2π3.
故能使BE與平面ECD所成角的正弦值為21313，此時二面角B?AD?E的大小為2π3.

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