11.3.1 平行直線與異面直線本課時(shí)是人教B版《立體幾何初步》一章第三大節(jié)的第一小節(jié)，前一節(jié)學(xué)習(xí)了平面的基本事實(shí)和推論，初中學(xué)習(xí)過(guò)平面直線的相關(guān)內(nèi)容，已經(jīng)掌握了平面中的直線的平行關(guān)系。該課時(shí)主要學(xué)習(xí)平行公理，等角定理，異面直線和空間四邊形的定義以及簡(jiǎn)單的應(yīng)用。平行直線與異面直線這一節(jié)課是研究空間向量和空間圖形的基礎(chǔ)，通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)平行公理和平行公理的應(yīng)用——等角定理，并會(huì)利用等角定理解決空間幾何的一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。進(jìn)一步引出異面直線、空間四邊形，通過(guò)上述活動(dòng)，加深對(duì)空間角的認(rèn)識(shí)，空間平行直線既是對(duì)直線平行的延續(xù)和拓展，有所后續(xù)研究空間幾何的基礎(chǔ)，他對(duì)研究從平面幾何到空間幾何起到承上啟下的作用，從方法論的角度分析，本節(jié)課教學(xué)過(guò)程中還滲透了探索發(fā)展，歸納轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法.考點(diǎn)教學(xué)目標(biāo)核心素養(yǎng)平行公理和等角定理理解并掌握平行線的傳遞性和等角定理，并能解決有關(guān)問(wèn)題直觀想象，數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理異面直線了解異面直線的畫(huà)法和判斷，并會(huì)判斷異面直線直觀想象，數(shù)學(xué)抽象空間四邊形了解空間四邊形的定義和有關(guān)概念直觀想象，數(shù)學(xué)抽象，【教學(xué)重點(diǎn)】空間平行直線的公理、等角定理、異面直線、空間四邊形【教學(xué)難點(diǎn)】平行公理、等角定理問(wèn)題1：平行直線知識(shí)點(diǎn)1　平行直線1．定義：在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線稱為平行直線．2．空間平行線的傳遞性(1)文字表述：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.(2)符號(hào)表述：?b∥c.(3)圖形表述：注：（1）由空間平行線的傳遞性可以得到幾何體中的一些線線平行關(guān)系，例如，如圖11-32-2所示的棱柱中，因?yàn)閭?cè)面都是平行四邊形，所以有： （2）由空間平行線的傳遞性可以得到空間中的等角定理證明：如圖所示，在上取一點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，使得；在上取一點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，使得；因?yàn)?/span>，所以是一個(gè)平行四邊形，從而，同理；由空間平行線的傳遞性可知，因此是一個(gè)平行四邊形，所以；于是，從而知識(shí)點(diǎn)2：等角定理(1)文字表述：如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等.(2)符號(hào)表述：(3)圖形表述：【對(duì)點(diǎn)快練】1．直線a，b，c，d滿足a∥b，b∥c，c∥d，則a與d的位置關(guān)系是________.答案：平行　∵a∥b，b∥c，c∥d，∴由平行線的傳遞性可知a∥d.2．已知∠BAC＝30°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，則∠B′A′C′＝(　　)A．30°　　　　　　　 B．150°C．30°或150° D．大小無(wú)法確定答案：C　當(dāng)∠B′A′C′與∠BAC開(kāi)口方向相同時(shí)，∠B′A′C′＝30°；當(dāng)∠B′A′C′與∠BAC開(kāi)口方向相反時(shí)，∠B′A′C′＝150°.問(wèn)題2：異面直線我們知道，異面直線指的是空間中既不平行也不相交的直線，而且前面也從幾何體中直觀認(rèn)識(shí)了異面直線。事實(shí)上，異面直線在實(shí)際生活中也是廣泛存在的，如果所示.兩條直線異面，實(shí)際上也就是這榔頭直線不能同時(shí)在任何一個(gè)平面內(nèi)。因此，為了表示異面直線不共面的特點(diǎn)，作圖時(shí)，通常用一個(gè)或者兩個(gè)平面襯托，如圖所示：如圖（1）中，，此時(shí)，直線l與直線AB是異面的，這是因?yàn)橥瑫r(shí)通過(guò)直線l與點(diǎn)B的平面只能是，如果l與直線AB是共面的，則，這與矛盾。由此可總結(jié)出異面直線的一種判定方法：與一個(gè)平面相交于一點(diǎn)的直線與這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)交點(diǎn)的直線異面．知識(shí)點(diǎn)：　異面直線(1)定義：兩條直線異面，實(shí)際上也就是這兩條直線不能同時(shí)在任何一個(gè)平面內(nèi).(2)異面直線的畫(huà)法：為了表示異面直線a，b不共面的特點(diǎn)，作圖時(shí)，通常用一個(gè)或兩個(gè)平面襯托，如圖所示．(3)判定方法：與一個(gè)平面相交于一點(diǎn)的直線與這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)交點(diǎn)的直線異面．【對(duì)點(diǎn)快練】1．沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線一定是異面直線？答案：沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線也可能是平行直線．2．直線a在平面α內(nèi)，直線b在平面β內(nèi)，則直線a，b是異面直線嗎？答案：不一定．異面直線是不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的直線．問(wèn)題3：空間四邊形知識(shí)點(diǎn)：空間四邊形1．定義：順次連接不共面的4點(diǎn)所構(gòu)成的圖形稱為空間四邊形，其中4個(gè)點(diǎn)都是空間四邊形的頂點(diǎn)，連接相鄰頂點(diǎn)間的線段稱為空間四邊形的邊，連接不相鄰頂點(diǎn)間的線段稱為空間四邊形的對(duì)角線．2．表示：用表示頂點(diǎn)的4個(gè)字母表示，如圖所示為空間四邊形ABCD，這個(gè)空間四邊形的邊為AB，BC，CD，DA，對(duì)角線為AC，BD.【對(duì)點(diǎn)快練】1．平行四邊形、梯形等平面四邊形是空間四邊形？答案：　空間四邊形的4個(gè)點(diǎn)不共面，平面四邊形不是空間四邊形．2．空間四邊形是四面體嗎？答案：　不是．空間四邊形可以看成由四面體的4條棱構(gòu)成的圖形．例1.如圖所示的空間四邊形ABCD中，分別是邊的中點(diǎn)，求證：四邊形是平行四邊形。證明：在中，因?yàn)?/span>分別是的中點(diǎn)，所以由三角形的中位線定理可知且 ，同理，且 因此，所以四邊形是平行四邊形。例2.已知E，E1分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱AD，A1D1的中點(diǎn)．求證：∠BEC＝∠B1E1C1.證明　如圖，連接EE1.∵E1，E分別為A1D1，AD的中點(diǎn)，∴A1E1AE.∴A1E1EA為平行四邊形．∴A1AE1E.又∵A1AB1B，∴E1EB1B．∴四邊形E1EBB1是平行四邊形．∴E1B1∥EB，同理E1C1∥EC．又∠C1E1B1與∠CEB方向相同，∴∠C1E1B1＝∠CEB．【變式練習(xí)】已知棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD、AD的中點(diǎn)．求證：(1)四邊形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1.證明　(1)如圖，連接AC，在△ACD中，∵M、N分別是CD、AD的中點(diǎn)，∴MN是三角形的中位線，∴MN∥AC，MN＝AC．由正方體的性質(zhì)得AC∥A1C1，AC＝A1C1.∴MN∥A1C1，且MN＝A1C1，即MN≠A1C1，∴四邊形MNA1C1是梯形．(2)由(1)可知MN∥A1C1，且NM與A1C1方向相同，又∵ND∥A1D1，且ND與A1D1方向相同，∴∠DNM＝∠D1A1C1.例3. 已知空間四邊形ABCD，AB≠AC，AE是△ABC中BC邊上的高，DF是△BCD中BC邊上的中線，求證：AE和DF是異面直線．證明　證法一(反證法)：假設(shè)AE和DF不是異面直線，則AE和DF共面，設(shè)過(guò)AE、DF的平面為β，若E、F重合，則E為BC的中點(diǎn)，∴AB＝AC，與AB≠AC相矛盾．若E、F不重合，∵B∈EF，C∈EF，而EF?β，∴B∈β，C∈β，又A∈β，D∈β，∴A、B、C、D四點(diǎn)共面，這與題設(shè)ABCD為空間四邊形矛盾，綜上可知，假設(shè)不成立，∴AE與DF為異面直線．證法二(定理法)：∵AB≠AC，AE⊥BC，F為BC的中點(diǎn)，∴E、F不重合，又A?平面BCD，E∈平面BCD，DF?平面BCD，E?DF，∴AE與DF為異面直線．【變式訓(xùn)練】若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是(　　)A．l至少與l1，l2中的一條相交      B．l與l1，l2都相交C．l至多與l1，l2中的一條相交      D．l與l1，l2都不相交答案：A　∵l1與l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，α∩β＝l，∴l至少與l1，l2中的一條相交．小結(jié)：1．直線平行關(guān)系的傳遞性，不受平面、空間的限制，也不受直線條數(shù)的限制．2．空間兩條直線的位置關(guān)系有三種：相交、平行、異面，其中前兩種是共面關(guān)系．3．注意空間四邊形與三棱錐的區(qū)別：空間四邊形有4條邊，2條對(duì)角線；而三棱錐有6條棱．聯(lián)系：都是由空間不共面的4個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的圖形．   

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第四冊(cè)電子課本

11.3.1 平行直線與異面直線

版本： 人教B版 (2019)

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