1．如圖，在四棱錐O -ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，∠ABC＝eq \f(π,4)，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M為OA的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)．
(1)證明：直線MN∥平面OCD；
(2)求異面直線AB與MD所成角的大??；
(3)求點(diǎn)B到平面OCD的距離．
解：作AP⊥CD于點(diǎn)P，如圖分別以AB，AP，AO所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
則A(0,0,0)，B(1,0,0)，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)，0))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，0))，O(0,0 ,2)，M(0,0,1)，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(\r(2),4)，\f(\r(2),4)，0)).
(1)證明：eq \(MN,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(\r(2),4)，\f(\r(2),4)，－1))，eq \(OP,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)，－2))，
eq \(OD,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，－2)).
設(shè)平面OCD的法向量為n＝(x，y，z)，
則n·eq \(OP,\s\up7(―→))＝0，n·eq \(OD,\s\up7(―→))＝0，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)y－2z＝0，,－\f(\r(2),2)x＋\f(\r(2),2)y－2z＝0.))
取z＝eq \r(2)，則x＝0，y＝4，所以n＝(0,4，eq \r(2))是平面OCD的一個(gè)法向量．
∵eq \(MN,\s\up7(―→))·n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(\r(2),4)，\f(\r(2),4)，－1))·(0,4，eq \r(2))＝0，
故eq \(MN,\s\up7(―→))⊥n，又MN?平面OCD，
∴MN∥平面OCD.
(2)設(shè)AB與MD所成的角為θ.
∵eq \(AB,\s\up7(―→))＝(1,0,0)， eq \(MD,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，－1))，
∴cs θ＝eq \f(|eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(MD,\s\up7(―→))|,|eq \(AB,\s\up7(―→))|·|eq \(MD,\s\up7(―→))|)＝eq \f(1,2).
∴θ＝eq \f(π,3)，即異面直線AB與MD所成角的大小為eq \f(π,3).
(3)設(shè)點(diǎn)B到平面OCD的距離為d，
則d為eq \(eq \(OB,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))在向量n＝(0,4，eq \r(2))上的投影的絕對(duì)值．
由eq \(eq \(OB,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))＝(1,0，－2)，
得d＝eq \f(|eq \(eq \(OB,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))·n|,|n|)＝eq \f(2,3)，
所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為eq \f(2,3).
2．(2021·遼寧省高三模擬)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠DAB＝60°，AD⊥PD，點(diǎn)F為棱PD的中點(diǎn)．
(1)在棱BC上是否存在一點(diǎn)E，使得CF∥平面PAE，并說(shuō)明理由；
(2)若AC⊥PB，二面角D-FC-B的余弦值為eq \f(\r(6),6)時(shí)，求直線AF與平面BCF所成的角的正弦值．
解：(1)在棱BC上存在點(diǎn)E，使得CF∥平面PAE，點(diǎn)E為棱BC的中點(diǎn)．
證明：取PA的中點(diǎn)Q，連接EQ，F(xiàn)Q，
由題意，F(xiàn)Q∥AD且FQ＝eq \f(1,2)AD，CE∥AD且CE＝eq \f(1,2)AD，
故CE∥FQ且CE＝FQ.∴四邊形CEQF為平行四邊形．
∴CF∥EQ，又CF?平面PAE，EQ?平面PAE，
∴CF∥平面PAE.
(2)取AB中點(diǎn)M，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DM，DC，DP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．
設(shè)FD＝a，則D(0,0,0)，F(xiàn)(0,0，a)，C(0,2,0)，B(eq \r(3)，1,0)，A(eq \r(3)，－1,0)．
eq \(FC,\s\up7(―→))＝(0,2，－a)，eq \(CB,\s\up7(―→))＝(eq \r(3)，－1,0)．
設(shè)平面FBC的一個(gè)法向量為m＝(x，y，z)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m·eq \(FC,\s\up7(―→))＝2y－az＝0，,m·eq \(CB,\s\up7(―→))＝\r(3)x－y＝0，))取x＝1，得m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\r(3)，\f(2\r(3),a)))；取平面DFC的一個(gè)法向量為n＝(1,0,0)．
由題意，eq \f(\r(6),6)＝|cs〈m，n〉|＝eq \f(1,\r(1＋3＋\f(12,a2)))，解得a＝eq \r(6).
∴eq \(FA,\s\up7(―→))＝(eq \r(3)，－1，－eq \r(6))．
設(shè)直線AF與平面BCF所成的角為θ，
則sin θ＝|cs〈m，eq \(FA,\s\up7(―→))〉|＝eq \f(|m·eq \(FA,\s\up7(―→))|,|m|·|eq \(FA,\s\up7(―→))|)＝eq \f(2\r(3),\r(6)×\r(10))＝eq \f(\r(5),5).即直線AF與平面BCF所成的角的正弦值為eq \f(\r(5),5).
3．(2021·山西高三模擬)如圖①，已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)M，N分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，且BM＝2MA，AN＝2NC．如圖②，將△AMN沿MN折起到△A′MN的位置．
(1)求證：平面A′BM⊥平面BCNM；
(2)給出三個(gè)條件：①A′M⊥BC；②二面角A′-MN-C大小為60°；③A′到平面BCMN的距離為eq \f(\r(2),2).在其中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題的條件中，并作答：
已知________，在線段A′C上是否存在一點(diǎn)P，使三棱錐A′-PMB的體積為eq \f(3,4)，若存在，求出eq \f(A′P,A′C)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
解：(1)證明：由已知得等邊△ABC中，AM＝1，AN＝2，A＝60°，由余弦定理得MN＝eq \r(3)，
∴MN2＋AM2＝AN2，
∴MN⊥AB，
∴MN⊥A′M，MN⊥BM，
又∵M(jìn)B∩A′M＝M，
∴MN⊥平面A′BM，
∵M(jìn)N?平面BCNM，
∴平面A′BM⊥平面BCNM.
(2)若選條件①A′M⊥BC，
由(1)得A′M⊥MN，又BC和MN是兩條相交直線，
∴A′M⊥平面BCNM，
又等邊△ABC的高為eq \f(3\r(3),2)，
SA′BM＝eq \f(1,2)×A′M×BM＝eq \f(1,2)×1×2＝1，
故三棱錐A′-BCM的體積為VC-A′BM＝eq \f(1,3)S△A′BM×eq \f(3\r(3),2)＝eq \f(\r(3),2)>eq \f(3,4)，
所以存在點(diǎn)P滿足題目條件，
此時(shí)eq \f(A′P,A′C)＝eq \f(VP-A′BM,VC-A′BM)＝eq \f(\f(3,4),\f(\r(3),2))＝eq \f(\r(3),2).
若選條件②二面角A′-MN-C大小為60°，
由(1)得∠A′MB是二面角A′-MN-C的平面角，
∴∠A′MB＝60°，
所以SA′BM＝eq \f(1,2)×A′M×BM×sin 60°＝eq \f(1,2)×1×2×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),2)，又等邊△ABC的高為eq \f(3\r(3),2)，
故三棱錐A′-BCM的體積為VC-A′BM＝eq \f(1,3)S△A′BM×eq \f(3\r(3),2)＝eq \f(3,4)，
所以存在點(diǎn)P滿足題目條件，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，故eq \f(A′P,A′C)＝1.
若選條件③A′到平面BCNM的距離為eq \f(\r(2),2)，
由題可知，等邊△ABC的高為eq \f(3\r(3),2)，
則S△BCM＝eq \f(1,2)×BM×eq \f(3\r(3),2)＝eq \f(1,2)×2×eq \f(3\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),2)，
則三棱錐A′-BCM的體積為V＝eq \f(1,3)×S△BCM×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(1,3)×eq \f(3\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(6),4)

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