福建省北京師范大學(xué)泉州附屬中學(xué)2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期中考試仿真測數(shù)學(xué)試題一+Word版含解析

這是一份福建省北京師范大學(xué)泉州附屬中學(xué)2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期中考試仿真測數(shù)學(xué)試題一+Word版含解析，共31頁。試卷主要包含了在中，，，點滿足，則的值為，已知復(fù)數(shù)，已知，，且與的夾角為，則，設(shè)，，為復(fù)數(shù)，，在中，，，則的值為　　等內(nèi)容，歡迎下載使用。
高一下期中考試仿真測試題一一．單選題1．設(shè)P，A，B，C是球O表面上的四個點，若，，，且，則球O的體積為（    ）A．48π B． C．12π D．2．在中，，，點滿足，則的值為　　A． B．6 C． D．83．已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），若是純虛數(shù)，則實數(shù)a=（    ）A．  B． C． D．34．已知，，且與的夾角為，則　　A． B． C． D．5.中，角A，B，C所對應(yīng)的分別為a，b，c，且，若a=2，則的面積的最大值是A. 1 B.  C. 2 D. 6．已知正方體的棱長為，是底面的中心，則異面直線與所成的角為A． B． C． D．7．在中，角，，的對邊分別為，，，若，則的最小值為　　A． B． C． D．8.如圖，三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，底面三角形是正三角形，E是BC的中點由以下論斷：

與是異面直線；平面；
與為異面直線，且；平面．
則這些論斷正確的序號是  A.  B.  C.  D. 二．多選題9．設(shè)，，為復(fù)數(shù)，．下列命題中正確的是　　A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則10.已知三棱柱的側(cè)棱和底面垂直，且所有頂點都在球O的表面上，側(cè)面的面積為則正確的結(jié)論是   A. 若的中點為E，則//平面
B. 若三棱柱的體積為，則到平面的距離為3
C. 若是邊長為2的等邊三角形，則與平面所成的角為
D. 若AB=AC=BC，則球O體積的最小值為11．中，為邊上的一點，且滿足，若為邊上的一點，且滿足，則下列結(jié)論正確的是　　A． B．的最大值為 C．的最小值為 D．的最小值為   12.如圖，點P在正方體的面對角線上運動，則正確的結(jié)論是   A. 三棱錐的體積不變
B. //平面
C.
D. 平面平面三．填空題13．是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)　　．14．已如向量，滿足，若，則的最大值為________；15．在中，，，則的值為　　．16．如圖，在邊長為的正方形中，，分別是邊，上的兩個動點，且，為的中點，，則的最大值是______．四．解答題17．已知，，分別是內(nèi)角，，所對的邊，且滿足，若為邊上靠近的三等分點，，求：（1）求的值；（2）求的最大值. 18．的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知為銳角，．（1）求；（2）若，且邊上的高為，求的面積． 19．在三角形中，，D是線段上一點，且，F為線段上一點．（1）若，求的值；（2）求的取值范圍；20．已知函數(shù)的最大值為2，且的最小正周期為．（Ⅰ）若，，求的最小值和最大值；（Ⅱ）設(shè)的內(nèi)角、、的對應(yīng)邊分別為、、，為的中點，若，，，求的面積．21.某校要在一條水泥路邊安裝路燈，其中燈桿的設(shè)計如圖所示，AB為地面，CD，CE為路燈燈桿，，，在E處安裝路燈，且路燈的照明張角已知．
（1）當(dāng)M，D重合時，求路燈在路面的照明寬度MN；（2）求此路燈在路面上的照明寬度MN的最小值．22．如圖，在直三棱柱中，底面為等腰直角三角形，，點，分別是棱，上的動點，且.（1）求證：；（2）當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時，求直線與平面所成角的正切值.          高一下期中考試仿真測試題一（解析）1．設(shè)P，A，B，C是球O表面上的四個點，若，，，且，則球O的體積為（    ）A．48π B． C．12π D．【答案】B【分析】由題知球為以2為棱長的正方體的外接球.【詳解】，，，且球可看作以2為棱長的正方體的外接球，設(shè)半徑為,，即，球O的體積.故選：B.【點睛】本題考查外接球體積的計算，解題的關(guān)鍵是求出半徑，屬于基礎(chǔ)題.2．在中，，，點滿足，則的值為　　A． B．6 C． D．8【答案】A【詳解】解：中，，，點滿足，故為的中點，，故選：A.3．已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），若是純虛數(shù)，則實數(shù)a=（    ）A．  B． C． D．3【答案】A【分析】利用是純虛數(shù)，實部為，即可得的值.【詳解】，若是純虛數(shù)，則，解得：.故選：A【點睛】本題主要考查了純虛數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題. 4．已知，，且與的夾角為，則　　A． B． C． D．【答案】A【分析】解：，，且與的夾角為，，，故，故選：A．5.中，角A，B，C所對應(yīng)的分別為a，b，c，且，若，則的面積的最大值是A. 1 B.  C. 2 D. 【答案】B【解析】【分析】
本題主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．
由已知利用正弦定理可得，由余弦定理可得，結(jié)合范圍，可求A的值；再利用余弦定理，基本不等式可求，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，利用三角形的面積公式即可求解．
【解答】
解：由正弦定理以及得：
，
整理得，
則，，
求得，
因為，所以由余弦定理得，
因為，
所以，解得，
當(dāng)且且僅當(dāng)時取等號，
所以，
即面積的最大值為．
故選B．
6.已知正方體的棱長為，是底面的中心，則異面直線與所成的角為A． B． C． D．【答案】A【分析】通過平移將問題變?yōu)?/span>與所成角；根據(jù)等腰三角形三線合一可知，從而得到所成角為.【詳解】原題如下圖所示：    異面直線與所成角即為與所成角連接，且為中點    異面直線與所成角為【點睛】本題考查異面直線所成角的求解，關(guān)鍵是通過平移利用相交直線所成角來求解，屬于基礎(chǔ)題.7．在中，角，，的對邊分別為，，，若，則的最小值為　　A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：，由正弦定理及余弦定理得：，可得：，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，即的最小值為．故選：．8.如圖，三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，底面三角形是正三角形，E是BC的中點由以下論斷：

與是異面直線；平面；
與為異面直線，且；平面．
則這些論斷正確的序號是  A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】
本題考查空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是理解清楚題設(shè)條件，根據(jù)所學(xué)的定理，定義對所面對的問題進(jìn)行證明得出結(jié)論，考查空間想象能力以及推理誰的能力，屬于中檔題．
由題意，此幾何體是一個直三棱柱，且其底面是正三角形，E是中點，由這些條件對四個選項逐一判斷得出正確選項．
【解答】
解：不正確，因為與在同一個側(cè)面中，故不是異面直線；
不正確，由題意知，上底面ABC是一個正三角形，所以，故不可能存在平面；
正確，因為AE，為在兩個平行平面中且不平行的兩條直線，故它們是異面直線；
又，，所以，故正確；
不正確，因為所在的平面與平面相交，且與交線不可能平行，故A平面不正確．
故選A9．設(shè)，，為復(fù)數(shù)，．下列命題中正確的是　　A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則 【答案】BC【詳解】解：由復(fù)數(shù)的形式可知，選項錯誤；當(dāng)時，有，又，所以，故選項正確；當(dāng)時，則，所以，故選項正確；當(dāng)時，則，可得，所以，故選項錯誤．故選：BC．10.已知三棱柱的側(cè)棱和底面垂直，且所有頂點都在球O的表面上，側(cè)面的面積為則正確的結(jié)論是   A. 若的中點為E，則//平面
B. 若三棱柱的體積為，則到平面的距離為3
C. 若是邊長為2的等邊三角形，則與平面所成的角為
D. 若AB=AC=BC，則球O體積的最小值為【答案】AD【解析】【分析】
本題考查直線與平面的平行，直線與平面所成的角，點到平面的距離，錐體的體積公式，球體的體積公式，多面體的外接球等知識點屬于中檔題．
A中取BC的中點F，連接AF，，BE，，，先利用三棱柱的結(jié)構(gòu)特征和平面與平面平行的判定定理證得平面平面，在運用平面與平面平行的性質(zhì)定理即可證得平面．
B中根據(jù)割補思想四棱錐的體積占三棱柱體積的，結(jié)合題設(shè)側(cè)面的面積為即可求得到平面的距離．
C中根據(jù)是邊長為2的等邊三角形結(jié)合題設(shè)可得三棱柱為正三棱柱取的中點N，連結(jié)，根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理可證得，從而有為直線與平面所成的角，通過計算即可確定與平面所成的角．
D中由，三棱柱的側(cè)棱和底面垂直
可得三棱柱為正三棱柱，設(shè)M，N分別是，的中心，連接MN，則球心O為MN的中點設(shè)三棱柱底面邊長為a，高為h，則，通過計算可得外接球的半徑從而確定球O體積的最小值．
【解答】
解：A，取BC的中點F，連接AF，，BE，，，EF．
三棱柱
且，
四邊形為平行四邊形，
故BE，同理
又，E.
平面平面，
平面，
平面，故A正確
B，若三棱柱的體積為，如圖二示四棱錐
的體積為．
三棱柱的側(cè)棱和底面垂直三棱柱的各側(cè)面均垂直與上下底面．
即有平面平面，
設(shè)到直線的距離為m，由平面與平面垂直的性質(zhì)定理知：
到平面的距離為m
又的面積為．
解得
到平面的距離為2，故B錯誤
C，若是邊長為2的等邊三角形，則三棱柱為正三棱柱．
平面平面
取的中點N，連結(jié)則，
又，
．
故為直線與平面所成的角
在三角形中易得：，
在面積為矩形中，
，，
在直角三角形中．故C錯誤
D，若，三棱柱的側(cè)棱和底面垂直
可得三棱柱為正三棱柱，
設(shè)M，N分別是，的中心，連接MN，
則球心O為MN的中點．
設(shè)三棱柱底面邊長為a，高為h，則，
，，
外接球的半徑R滿足：

當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．
故球O的體積，所以D正確．
故選AD．11．中，為邊上的一點，且滿足，若為邊上的一點，且滿足，則下列結(jié)論正確的是　　A． B．的最大值為 C．的最小值為 D．的最小值為【答案】BD【詳解】解：因為，所以，所以，因為、、三點共線，所以，故錯誤；則，則，即最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，故正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為，故錯誤；，當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號，所以的最小值為，故正確．故選：BD．12.如圖，點P在正方體的面對角線上運動，則正確的結(jié)論是   A. 三棱錐的體積不變
B. 平面
C.
D. 平面平面
 【答案】ABD【分析】
本題主要考查命題真假的判斷，解題時要注意三棱錐體積求法中的等體積法、線面平行、垂直的判定，要注意使用轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．
利用空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系求解．
【解答】解：對于A，由題意知，
又平面，平面，
從而平面，
故BC上任意一點到平面的距離均相等，
所以以P為頂點，平面為底面，則三棱錐的體積不變，故A正確；
對于B，連接，，

易知，又平面，平面，故A平面，
由A選項證明過程可知：平面，
又，且、平面，
所以平面平面，
又平面，故平面，故B正確；
對于C，由于平面，又平面，所以，
若，又，DP、平面DPC，則平面DCP，
又平面DCP，故BC，則P為中點，與P為動點矛盾，故C錯誤；
對于D，連接，BD，

易知平面ABCD，平面ABCD，故AC，
又正方形ABCD中，且，BD、平面，
故AC平面，
又平面，故DB，
同理可得，
又，AC、平面，
可得平面，又平面，
故平面平面，故D正確．
故選ABD．13．是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)　　．【答案】解：復(fù)數(shù)，故答案為：．14．已如向量，滿足，若，則的最大值為________；【答案】4【詳解】設(shè)，則，所以，，由二次函數(shù)性質(zhì)可得，，即：所以所以的最大值為.故答案為：4.15．在中，，，則的值為　　．【答案】【詳解】解：在中，，故，由余弦定理可知：，即，由正弦定理可知：，由題知，．故答案為：．16．如圖，在邊長為的正方形中，，分別是邊，上的兩個動點，且，為的中點，，則的最大值是______．【答案】【分析】建立直角坐標(biāo)系，，設(shè)，，然后根據(jù)得，再設(shè)，，，根據(jù)，表示出，進(jìn)而表示出，換元之后利用基本不等式求解最值.【詳解】以為坐標(biāo)原點，以，所在直線為，軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則．由可得，所以可設(shè)，，．因為，由可得，，所以．設(shè)，，則，即當(dāng)時，取最大值，最大值為．故答案為：.17．已知，，分別是內(nèi)角，，所對的邊，且滿足，若為邊上靠近的三等分點，，求：（1）求的值；（2）求的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)，利用正弦定理化簡得到，再利用余弦定理求解；（2）根據(jù)，兩邊平方整理得到，再利用基本不等式求解.【詳解】（1）因為， 由正弦定理得，即，所以由余弦定理得得.（2）由題意得，兩邊平方得，整理得，即，而，于是，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)取等號.所以求的最大值是18．的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知為銳角，．（1）求；（2）若，且邊上的高為，求的面積．【答案】（1）π/6   (2)【解析】解：（1）因為，所以，由余弦定理得，，所以，即，由正弦定理得，，所以，因為，故，由為銳角，，（2）由題意得，，所以，因為，所以，，由余弦定理得，，解得，所以．19．在三角形中，，D是線段上一點，且，F為線段上一點．（1）若，求的值；（2）求的取值范圍；【答案】（1），（2）【分析】（1）根據(jù)平面向量基本定理，由題中條件，得到，從而可求出的值，進(jìn)而可求得的值；（2）根據(jù)題意先求出，設(shè)，再由平面向量數(shù)量積運算，即可求得結(jié)果【詳解】解：（1）因為，所以，得，因為，所以，所以，（2）因為在三角形中，，所以，所以，，由題意得，所以，，因為，所以，所以的取值范圍為20．已知函數(shù)的最大值為2，且的最小正周期為．（Ⅰ）若，，求的最小值和最大值；（Ⅱ）設(shè)的內(nèi)角、、的對應(yīng)邊分別為、、，為的中點，若，，，求的面積．【答案】（1） 2；- （2）解：，，由題意得，，即，則，因為，所以，，因為，，所以，，所以，，故函數(shù)的最大值2，最小值．由得，，由，得，由為三角形內(nèi)角得，因為為的中點，，，所以，所以，所以，解得或（舍，故的面積．21.某校要在一條水泥路邊安裝路燈，其中燈桿的設(shè)計如圖所示，AB為地面，CD，CE為路燈燈桿，，，在E處安裝路燈，且路燈的照明張角已知．
當(dāng)M，D重合時，求路燈在路面的照明寬度MN；求此路燈在路面上的照明寬度MN的最小值．【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，考查了正弦定理，余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于中檔題．
直接利用余弦定理和三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換的應(yīng)用求出結(jié)果；
利用余弦定理和正弦定理的應(yīng)用及相關(guān)的運算的應(yīng)用求出結(jié)果．【答案】路燈在路面的照明寬度為；
照明寬度MN的最小值為．【解析】解：當(dāng)重合時，
由余弦定理知，，
所以，
因為，所以，
因為，所以，
因為，所以
，
在中，由正弦定理可知，，
解得；
易知E到地面的距離，
由三角形面積公式可知，，
所以，
又由余弦定理可知，，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，
解得．
22．如圖，在直三棱柱中，底面為等腰直角三角形，，點，分別是棱，上的動點，且.（1）求證：；（2）當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時，求直線與平面所成角的正切值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）設(shè)，，過點作，使，連接，過作，且使，先證明四邊形為為平行四邊形，通過勾股定理得，進(jìn)而得結(jié)果；（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)錐體體積公式以及二次函數(shù)性質(zhì)得，分別是棱，的中點時合乎題意，通過向量法即可得到線面角的正切值.【詳解】不妨設(shè)，.（1）如圖，過點作，使，連接，過作，且使，連接，.則四邊形，為平行四邊形，故，且，故四邊形為為平行四邊形，則.又，，，所以，即，則.（2）以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為軸?軸?軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，.因為，所以當(dāng)取最大值時，三棱錐的體積取得最大值.因為，所以當(dāng)，即，分別是棱，的中點時，三棱錐的體積取得最大值，此時，.則，，.設(shè)平面的法向量為，由得取，得，，則.設(shè)直線與平面所成角為，則，所以.故直線與平面所成角的正切值為.