2.圓周運(yùn)動(dòng)各物理量間的關(guān)系
3.勻速圓周運(yùn)動(dòng)與變速圓周運(yùn)動(dòng)的區(qū)別與聯(lián)系
二. 圓錐擺模型及其臨界問(wèn)題
1.圓錐擺模型的受力特點(diǎn)
受兩個(gè)力，且兩個(gè)力的合力沿水平方向，物體在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。
2．運(yùn)動(dòng)實(shí)例
3．解題方法
(1)對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，確定向心力來(lái)源。
(2)確定圓心和軌道半徑。
(3)應(yīng)用相關(guān)力學(xué)規(guī)律列方程求解。
4．規(guī)律總結(jié)
(1)圓錐擺的周期
如圖擺長(zhǎng)為L(zhǎng)，擺線與豎直方向夾角為θ。
受力分析，由牛頓第二定律得：mgtanθ＝meq \f(4π2, T2)r
r＝Lsinθ
解得T＝2πeq \r(\f(Lcsθ,g))＝2πeq \r(\f(h,g))。
(2)結(jié)論
①擺高h(yuǎn)＝Lcsθ，周期T越小，圓錐擺轉(zhuǎn)得越快，θ越大。
②擺線拉力F＝eq \f(mg,csθ)，圓錐擺轉(zhuǎn)得越快，擺線拉力F越大。
③擺球的加速度a＝gtanθ。
5．圓錐擺的兩種變形
變形1：具有相同錐度角的圓錐擺(擺長(zhǎng)不同)，如圖甲所示。
由a＝gtanθ知A、B的向心加速度大小相等。由a＝ω2r知ωAvB。

變形2：具有相同擺高、不同擺長(zhǎng)和擺角的圓錐擺，如圖乙所示。
由T＝2πeq \r(\f(h,g))知擺高h(yuǎn)相同，則TA＝TB，ωA＝ωB，由v＝ωr知vA>vB，由a＝ω2r知aA>aB。
6. 解決圓錐擺臨界問(wèn)題的技巧
圓錐擺的臨界問(wèn)題，主要就是與彈力有關(guān)的臨界問(wèn)題。
(1)繩子松弛或斷開(kāi)的臨界條件是：①繩恰好拉直且沒(méi)有彈力；②繩上的拉力恰好達(dá)最大值。
(2)接觸或脫離的臨界條件是物體與物體間的彈力恰好為零。
(3)對(duì)于火車轉(zhuǎn)彎、半圓形碗內(nèi)的水平圓周運(yùn)動(dòng)有兩類臨界情況：①摩擦力的方向發(fā)生改變；②發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)。
三.典型例題精講
題型一：圓錐擺模型常規(guī)問(wèn)題
例1：如圖所示，用一根質(zhì)量不計(jì)、不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩，一端系一可視為質(zhì)點(diǎn)的小球，另一端固定在O點(diǎn)。當(dāng)小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為ω時(shí)，懸點(diǎn)O到軌跡圓心高度為h，細(xì)繩拉力大小為F，小球的向心加速度大小為a，線速度大小為v，下列描述各物理量與角速度ω的關(guān)系圖像正確的是( )
答案 A
解析 設(shè)細(xì)繩長(zhǎng)度為l，小球質(zhì)量為m，小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)細(xì)繩與豎直方向的夾角為θ，有Fsinθ＝mω2lsinθ，得F＝mω2l，A正確；由mgtanθ＝mω2lsinθ，h＝lcsθ，得h＝eq \f(g,ω2)，B錯(cuò)誤；由mgtanθ＝mω2lsinθ，可得csθ＝eq \f(g,ω2l)，小球的向心加速度大小a＝ω2lsinθ＝eq \r(ω4l2－g2)，C錯(cuò)誤；由csθ＝eq \f(g,ω2l)，得小球的線速度大小v＝ωlsinθ＝eq \r(ω2l2－\f(g2,ω2))，D錯(cuò)誤。
題型二：圓錐擺模型臨界問(wèn)題
例2 (多選)質(zhì)量為m的小球由輕繩a和b分別系于一輕質(zhì)細(xì)桿的A點(diǎn)和B點(diǎn)，如右圖所示，繩a與水平方向成θ角，繩b在水平方向且長(zhǎng)為l，當(dāng)輕桿繞軸AB以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則下列說(shuō)法正確的是( )
A．a(chǎn)繩的張力不可能為零
B．a(chǎn)繩的張力隨角速度的增大而增大
C．當(dāng)角速度ω> eq \r(\f(gctθ,l))，b繩將出現(xiàn)彈力
D．若b繩突然被剪斷，則a繩的彈力一定發(fā)生變化
答案：AC。
小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上所受的合力為零，水平方向上所受的合力提供向心力，所以a繩對(duì)小球的拉力在豎直方向上的分力與小球的重力平衡，可知a繩的張力不可能為零，故A正確；根據(jù)豎直方向上小球受力平衡得，F(xiàn)asinθ＝mg，解得Fa＝eq \f(mg,sinθ)，可知a繩的拉力與角速度ω?zé)o關(guān)，故B錯(cuò)誤；當(dāng)b繩拉力為零時(shí)，有：eq \f(mg,tanθ)＝mωeq \\al(2,0)l，解得ω0＝eq \r(\f(gctθ,l))，可知當(dāng)角速度ω>eq \r(\f(gctθ,l))時(shí)，b繩將出現(xiàn)彈力，故C正確；由于b繩可能沒(méi)有彈力，故b繩突然被剪斷，a繩的彈力可能不變，故D錯(cuò)誤。
四.舉一反三，鞏固訓(xùn)練
1.(多選)天花板下懸掛的輕質(zhì)光滑小圓環(huán)P可繞過(guò)懸掛點(diǎn)的豎直軸無(wú)摩擦地旋轉(zhuǎn)．一根輕繩穿過(guò)P，兩端分別連接質(zhì)量為m1和m2的小球A、B(m1≠m2)．設(shè)兩球同時(shí)做如圖所示的圓錐擺運(yùn)動(dòng)，且在任意時(shí)刻兩球均在同一水平面內(nèi)，則( )
A．兩球運(yùn)動(dòng)的周期相等
B．兩球的向心加速度大小相等
C．球A、B到P的距離之比等于m2∶m1
D．球A、B到P的距離之比等于m1∶m2
2.(多選)飛機(jī)飛行時(shí)除受到發(fā)動(dòng)機(jī)的推力和空氣阻力外，還受到重力和機(jī)翼的升力，機(jī)翼的升力垂直于機(jī)翼所在平面向上，當(dāng)飛機(jī)在空中盤旋時(shí)機(jī)翼傾斜，以保證重力和機(jī)翼升力的合力提供向心力．設(shè)飛機(jī)以速率v在水平面內(nèi)做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)機(jī)翼與水平面成θ角，飛行周期為T.則下列說(shuō)法正確的是( )
A．若飛行速率v不變，θ增大，則半徑R增大
B．若飛行速率v不變，θ增大，則周期T增大
C．若θ不變，飛行速率v增大，則半徑R增大
D．若飛行速率v增大，θ增大，則周期T可能不變
3.(多選)在修筑鐵路時(shí)，彎道處的外軌會(huì)略高于內(nèi)軌．如圖所示，當(dāng)火車以規(guī)定的行駛速度轉(zhuǎn)彎時(shí)，內(nèi)、外軌均不會(huì)受到輪緣的擠壓，設(shè)此時(shí)的速度大小為v，重力加速度為g，兩軌所在面的傾角為θ，則( )
A．該彎道的半徑r＝eq \f(v2,gtan θ)
B．當(dāng)火車質(zhì)量改變時(shí)，規(guī)定的行駛速度大小不變
C．當(dāng)火車速率大于v時(shí)，內(nèi)軌將受到輪緣的擠壓
D．當(dāng)火車速率大于v時(shí)，外軌將受到輪緣的擠壓
4．我國(guó)高鐵技術(shù)發(fā)展迅猛，目前處于世界領(lǐng)先水平，已知某路段為一半徑為5 600米的彎道，設(shè)計(jì)時(shí)速為216 km/h(此時(shí)車輪輪緣與軌道間無(wú)擠壓)，已知我國(guó)的高鐵軌距約為1 400 mm，且角度較小時(shí)可近似認(rèn)為tan θ＝sin θ，重力加速度g等于
10 m/s2，則此彎道內(nèi)、外軌高度差應(yīng)為( )
A．8 cm B．9 cm C．10 cm D．11 cm
5.如圖所示，一個(gè)內(nèi)壁光滑的圓錐筒固定在地面上，圓錐筒的軸線豎直。一個(gè)小球貼著筒的內(nèi)壁在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，由于微弱的空氣阻力作用，小球的運(yùn)動(dòng)軌跡由A軌道緩慢下降到B軌道，則在此過(guò)程中( )
A．小球的向心加速度逐漸減小
B．小球運(yùn)動(dòng)的角速度逐漸減小
C．小球運(yùn)動(dòng)的線速度逐漸減小
D．小球運(yùn)動(dòng)的周期逐漸減小
6．在光滑圓錐形容器中，固定了一根光滑的豎直細(xì)桿，細(xì)桿與圓錐的中軸線重合，細(xì)桿上穿有小環(huán)(小環(huán)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)，但不能上下移動(dòng))，小環(huán)上連接一輕繩，與一質(zhì)量為m的光滑小球相連，讓小球在圓錐內(nèi)做水平面上的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，并與圓錐內(nèi)壁接觸。如圖所示，圖甲中小環(huán)與小球在同一水平面上，圖乙中輕繩與豎直軸成θ角。設(shè)圖甲和圖乙中輕繩對(duì)小球的拉力分別為Ta和Tb，容器內(nèi)壁對(duì)小球的支持力分別為Na和Nb，則下列說(shuō)法中正確的是 ( )
A．Ta一定為零，Tb一定為零B．Ta可以為零，Tb可以為零
C．Na一定不為零，Nb可以為零D．Na可以為零，Nb可以為零
7.如圖所示，水平桿固定在豎直桿上，兩者互相垂直，水平桿上O、A兩點(diǎn)連接有兩輕繩，兩繩的另一端都系在質(zhì)量為m的小球上，OA＝OB＝AB，現(xiàn)通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)豎直桿，使水平桿在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，三角形OAB始終在豎直平面內(nèi)，若轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中OB、AB兩繩始終處于拉直狀態(tài)，則下列說(shuō)法正確的是 ( )
A．OB繩的拉力范圍為0～eq \f(\r(3),3)mg
B．OB繩的拉力范圍為eq \f(\r(3),3)mg～eq \f(2\r(3),3)mg
C．AB繩的拉力范圍為eq \f(\r(3),3)mg～eq \f(2\r(3),3)mg
D．AB繩的拉力范圍為0～eq \f(2\r(3),3)mg
8.如圖所示，一根細(xì)線下端拴一個(gè)金屬小球P，細(xì)線的上端固定在金屬塊Q上，Q放在帶小孔(小孔光滑)的水平桌面上，小球在某一水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(圓錐擺)?，F(xiàn)使小球改到一個(gè)更高一些的水平面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(圖中P′位置)，兩次金屬塊Q都靜止在桌面上的同一點(diǎn)，則后一種情況與原來(lái)相比較，下面的判斷中正確的是 ( )
A．Q受到桌面的支持力變大
B．Q受到桌面的靜摩擦力變大
C．小球P運(yùn)動(dòng)的周期變大
D．小球P運(yùn)動(dòng)的角速度變大
9.如圖所示，用一根長(zhǎng)為l＝1m的細(xì)線，一端系一質(zhì)量為m＝1kg的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))，另一端固定在一光滑錐體頂端，錐面與豎直方向的夾角θ＝37°，當(dāng)小球在水平面內(nèi)繞錐體的軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為ω時(shí)，細(xì)線的張力為FT。(g取10m/s2，結(jié)果可用根式表示)求：
(1)若要小球離開(kāi)錐面，則小球的角速度ω0至少為多大？
(2)若細(xì)線與豎直方向的夾角為60°，則小球的角速度ω′為多大？
10.如圖所示，半徑為R的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸旋轉(zhuǎn)的水平轉(zhuǎn)臺(tái)上，轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)軸與過(guò)陶罐球心O的對(duì)稱軸OO′重合，轉(zhuǎn)臺(tái)以一定角速度ω勻速旋轉(zhuǎn)，一質(zhì)量為m的小物塊落入陶罐內(nèi)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，小物塊隨陶罐一起轉(zhuǎn)動(dòng)且相對(duì)罐壁靜止，它和O點(diǎn)的連線與OO′之間的夾角θ為60°，重力加速度大小為g。
(1)若ω＝ω0，小物塊受到的摩擦力恰好為零，求ω0；
(2)若ω＝(1±k)ω0，且0

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