?八年級數(shù)學(xué)提優(yōu)練習(xí)題2013.11
　
一．選擇題（共7小題）
1．已知如圖等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)P是BA延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)O是線段AD上一點(diǎn)，OP=OC，下面的結(jié)論：①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等邊三角形；③AC=AO+AP；④S△ABC=S四邊形AOCP．其中正確的有（　　）個．

　
A．
①②③
B．
①②④
C．
①③④
D．
①②③④
　
2．如圖，四邊形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥AB，點(diǎn)P是腰AD上的一個動點(diǎn)，要使PC+PB最小，則點(diǎn)P應(yīng)該滿足（　?。?br />
　
A．
PB=PC
B．
PA=PD
C．
∠BPC=90°
D．
∠APB=∠DPC
　
3．如圖，△ABC是等腰直角三角形，△DEF是一個含30°角的直角三角形，將D放在BC的中點(diǎn)上，轉(zhuǎn)動△DEF，設(shè)DE，DF分別交AC，BA的延長線于E，G，則下列結(jié)論：
①AG=CE ②DG=DE
③BG﹣AC=CE ④S△BDG﹣S△CDE=S△ABC
其中總是成立的是（　　）
　
A．
①②③
B．
①②③④
C．
②③④
D．
①②④
　
4．如圖：△ABC中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD，CE⊥CD，且CE=CD，連接BD，DE，BE，則下列結(jié)論：①∠ECA=165°，②BE=BC；③AD⊥BE；④=1．其中正確的是（　?。?br />
　
A．
①②③
B．
①②④
C．
①③④
D．
①②③④
　
5．如圖，BC∥AM，∠A=90°，∠BCD=75°，點(diǎn)E在AB上，△CDE為等邊三角形，BM交 CD于F，下列結(jié)論：①∠ADE=45°，②AB=BC，③EF⊥CD，④若∠AMB=30°，則CF=DF．其中正確的有（　　）

　
A．
①②③
B．
①②④
C．
①③④
D．
②③④
　
6．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，連接EF交AP于G．給出四個結(jié)論：①AE=CF；②EF=AP；③△EPF是等腰直角三角形；④∠AEP=∠AGF．其中正確的結(jié)論有（　　）

　
A．
1個
B．
2個
C．
3個
D．
4個
　
7．如圖，AM、BE是△ABC的角平分線，AM交BE于N，AL⊥BE于F交BC于L，若∠ABC=2∠C，下列結(jié)論：①BE=EC；②BF=AE+EF；③AC=BM+BL；④∠MAL=∠ABC，其中正確的結(jié)論是（　?。?br />
　
A．
①②③
B．
①④
C．
①②③④
D．
①②
　
二．解答題（共8小題）
8．如圖，在△ABC中，AB=AC，E在線段AC上，D在AB的延長線，連DE交BC于F，過點(diǎn)E作EG⊥BC于G．
（1）若∠A=50°，∠D=30°，求∠GEF的度數(shù)；
（2）若BD=CE，求證：FG=BF+CG．

　
9．如圖，直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B（a，0），點(diǎn)C（0，b），點(diǎn)A在第一象限．若a，b滿足（a﹣t）2+|b﹣t|=0（t＞0）．
（1）證明：OB=OC；
（2）如圖1，連接AB，過A作AD⊥AB交y軸于D，在射線AD上截取AE=AB，連接CE，F(xiàn)是CE的中點(diǎn)，連接AF，OA，當(dāng)點(diǎn)A在第一象限內(nèi)運(yùn)動（AD不過點(diǎn)C）時，證明：∠OAF的大小不變；
（3）如圖2，B′與B關(guān)于y軸對稱，M在線段BC上，N在CB′的延長線上，且BM=NB′，連接MN交x軸于點(diǎn)T，過T作TQ⊥MN交y軸于點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

　
10．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（4，4），點(diǎn)B、C分別在x軸、y軸的正半軸上，S四邊形OBAC=16．
（1）∠COA的值為　_________?。?br /> （2）求∠CAB的度數(shù)；
（3）如圖2，點(diǎn)M、N分別是x軸正半軸及射線OA上一點(diǎn)，且OH⊥MN的延長線于H，滿足∠HON=∠NMO，請?zhí)骄績蓷l線段MN、OH之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．
　
11．如圖，已知A（a，b），AB⊥y軸于B，且滿足+（b﹣2）2=0，

（1）求A點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）分別以AB，AO為邊作等邊三角形△ABC和△AOD，如圖1試判定線段AC和DC的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．
（3）如圖2過A作AE⊥x軸于E，F(xiàn)，G分別為線段OE，AE上的兩個動點(diǎn)，滿足∠FBG=45°，試探究的值是否發(fā)生變化？如果不變，請說明理由并求其值；如果變化，請說明理由．
　
12．（2013?日照）問題背景：
如圖（a），點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，要在直線l上找一點(diǎn)C，使AC與BC的距離之和最小，我們可以作出點(diǎn)B關(guān)于l的對稱點(diǎn)B′，連接A B′與直線l交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C即為所求．

（1）實(shí)踐運(yùn)用：
如圖（b），已知，⊙O的直徑CD為4，點(diǎn)A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 為弧AD 的中點(diǎn)，P為直徑CD上一動點(diǎn)，則BP+AP的最小值為　_________?。?br /> （2）知識拓展：
如圖（c），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，E、F分別是線段AD和AB上的動點(diǎn)，求BE+EF的最小值，并寫出解答過程．
　
13．（2013?六盤水）（1）觀察發(fā)現(xiàn)
如圖（1）：若點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)，在直線m上找一點(diǎn)P，使AP+BP的值最小，做法如下：
作點(diǎn)B關(guān)于直線m的對稱點(diǎn)B′，連接AB′，與直線m的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，線段AB′的長度即為AP+BP的最小值．

如圖（2）：在等邊三角形ABC中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在AD上找一點(diǎn)P，使BP+PE的值最小，做法如下：
作點(diǎn)B關(guān)于AD的對稱點(diǎn)，恰好與點(diǎn)C重合，連接CE交AD于一點(diǎn)，則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，故BP+PE的最小值為　_________?。?br /> （2）實(shí)踐運(yùn)用
如圖（3）：已知⊙O的直徑CD為2，的度數(shù)為60°，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，在直徑CD上作出點(diǎn)P，使BP+AP的值最小，則BP+AP的值最小，則BP+AP的最小值為　_________　．

（3）拓展延伸
如圖（4）：點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，分別在邊AB、BC上作出點(diǎn)M，點(diǎn)N，使PM+PN+MN的值最小，保留作圖痕跡，不寫作法．
　
14．（2013?撫順）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，DE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，連接CD．
（1）如圖1，DE與BC的數(shù)量關(guān)系是　_________?。?br /> （2）如圖2，若P是線段CB上一動點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合），連接DP，將線段DP繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段DF，連接BF，請猜想DE、BF、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）若點(diǎn)P是線段CB延長線上一動點(diǎn)，按照（2）中的作法，請在圖3中補(bǔ)全圖形，并直接寫出DE、BF、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系．

　
15．（2013?東營）（1）如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．
證明：DE=BD+CE．
（2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．
（3）拓展與應(yīng)用：如圖（3），D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線m上的兩動點(diǎn)（D、A、E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn)，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試判斷△DEF的形狀．

　

八年級數(shù)學(xué)提優(yōu)練習(xí)題2013.11
參考答案與試題解析
　
一．選擇題（共7小題）
1．已知如圖等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)P是BA延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)O是線段AD上一點(diǎn)，OP=OC，下面的結(jié)論：①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等邊三角形；③AC=AO+AP；④S△ABC=S四邊形AOCP．其中正確的有（　?。﹤€．

　
A．
①②③
B．
①②④
C．
①③④
D．
①②③④

考點(diǎn)：
等腰三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)．4387773
分析：
①利用等邊對等角，即可證得：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，則∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，據(jù)此即可求解；
②證明∠POC=60°且OP=OC，即可證得△OPC是等邊三角形；
③首先證明∴△OPA≌△CPE，則AO=CE，AC=AE+CE=AO+AP．
④過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，根據(jù)S四邊形AOCP=S△ACP+S△AOC，利用三角形的面積公式即可求解．
解答：
解：連接OB，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠BAD=∠BAC=×120°=60°，
∴OB=OC，∠ABC=90°﹣∠BAD=30°，
∵OP=OC，
∴OB=OC=OP，
∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，
∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°；
故①正確；
∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，
∴∠APC+∠DCP=150°，
∵∠APO+∠DCO=30°，
∴∠OPC+∠OCP=120°，
∴∠POC=180°﹣（∠OPC+∠OCP）=60°，
∵OP=OC，
∴△OPC是等邊三角形；
故②正確；
在AC上截取AE=PA，
∵∠PAE=180°﹣∠BAC=60°，
∴△APE是等邊三角形，
∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，
∴∠APO+∠OPE=60°，
∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，
∴∠APO=∠CPE，
∵OP=CP，
在△OPA和△CPE中，
，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO=CE，
∴AC=AE+CE=AO+AP；
故③正確；
過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，
∵∠PAC=∠DAC=60°，AD⊥BC，
∴CH=CD，
∴S△ABC=AB?CH，
S四邊形AOCP=S△ACP+S△AOC=AP?CH+OA?CD=AP?CH+OA?CH=CH?（AP+OA）=CH?AC，
∴S△ABC=S四邊形AOCP；
故④正確．
故選D．



點(diǎn)評：
本題考查了等腰 三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是正確作出輔助線．
　
2．如圖，四邊形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥AB，點(diǎn)P是腰AD上的一個動點(diǎn)，要使PC+PB最小，則點(diǎn)P應(yīng)該滿足（　?。?br />
　
A．
PB=PC
B．
PA=PD
C．
∠BPC=90°
D．
∠APB=∠DPC

考點(diǎn)：
軸對稱-最短路線問題；直角梯形．
專題：
壓軸題；動點(diǎn)型．
分析：
首先根據(jù)軸對稱的知識，可知P點(diǎn)的位置是連接點(diǎn)B和點(diǎn)C關(guān)于AD的對稱點(diǎn)E與AD的交點(diǎn)，利用軸對稱和對頂角相等的性質(zhì)可得．
解答：
解：如圖，作點(diǎn)C關(guān)于AD的對稱點(diǎn)E，連接BE交AD于P，連接CP．
根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，得∠DPC=∠EPD，
根據(jù)對頂角相等知∠APB=∠EPD，
所以∠APB=∠DPC．
故選D．

點(diǎn)評：
此題的關(guān)鍵是應(yīng)知點(diǎn)P是怎樣確定的．要找直線上一個點(diǎn)和直線同側(cè)的兩個點(diǎn)的距離之和最小，則需要利用軸對稱的性質(zhì)進(jìn)行確定．
　
3．如圖，△ABC是等腰直角三角形，△DEF是一個含30°角的直角三角形，將D放在BC的中點(diǎn)上，轉(zhuǎn)動△DEF，設(shè)DE，DF分別交AC，BA的延長線于E，G，則下列結(jié)論：
①AG=CE ②DG=DE
③BG﹣AC=CE ④S△BDG﹣S△CDE=S△ABC
其中總是成立的是（　?。?br /> 　
A．
①②③
B．
①②③④
C．
②③④
D．
①②④

考點(diǎn)：
旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．4387773
專題：
開放型．
分析：
連DA，由△ABC是等腰直角三角形，D點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得AD⊥BC，AD=DC，∠ACD=∠CAD=45°，得到∠GAD=∠ECD=135°，由∠EDF=90°，根據(jù)同角的余角相等得到∠1=∠2，所以△DAG≌△DCE，AG=EC，DG=DE，由此可分別判斷．
解答：
解：連DA，如圖，
∵△ABC是等腰直角三角形，D點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，AD=DC，∠ACD=∠CAD=45°，
∴∠GAD=∠ECD=135°，
又∵△DEF是一個含30°角的直角三角形，
∴∠EDF=90°，
∴∠1=∠2，
∴△DAG≌△DCE，
∴AG=EC，DG=DE，所以①②正確；
∵AB=AC，
∴BG﹣AC=BG﹣AB=AG=EC，所以③正確；
∵S△BDG﹣S△CDE=S△BDG﹣S△ADG=S△ADB=S△ABC．所以④正確．
故選B．

點(diǎn)評：
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等，對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．也考查了等腰直三角形的性質(zhì)，特別是斜邊上的中線垂直斜邊并且等于斜邊的一半．
　
4．如圖：△ABC中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD，CE⊥CD，且CE=CD，連接BD，DE，BE，則下列結(jié)論：①∠ECA=165°，②BE=BC；③AD⊥BE；④=1．其中正確的是（　?。?br />
　
A．
①②③
B．
①②④
C．
①③④
D．
①②③④

考點(diǎn)：
等腰直角三角形；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形．4387773
分析：
①根據(jù)：∠CAD=30°，AC=BC=AD，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求出∠ECA=165°，從而得證結(jié)論正確；
②根據(jù)CE⊥CD，∠ECA=165°，利用SAS求證△ACD≌△BCE即可得出結(jié)論；
③根據(jù)∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC，利用等腰三角形的性質(zhì)和△ACD≌△BCE，求出∠CBE=30°，然后即可得出結(jié)論；
④過D作DM⊥AC于M，過D作DN⊥BC于N．由∠CAD=30°，可得CM=AC，求證△CMD≌△CND，可得CN=CM=AC=BC，從而得出CN=BN．然后即可得出結(jié)論．
解答：
解：①∵∠CAD=30°，AC=BC=AD，∴∠ACD=∠ADC=（180°﹣30°）=75°，
∵CE⊥CD，∴∠DCE=90°，
∴∠ECA=165°∴①正確；
②∵CE⊥CD，∠ECA=165°（已證），
∴∠BAE=∠ECA﹣∠ACB=165﹣90=75°，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=BC，∴②正確；
③∵∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC，
∴∠CAB=∠ACB=45°
∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=45﹣30=15°，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE=30°，
∴∠ABF=45+30=75°，
∴∠AFB=180﹣15﹣75=90°，
∴AD⊥BE．
④證明：如圖，
過D作DM⊥AC于M，過D作DN⊥BC于N．
∵∠CAD=30°，且DM=AC，
∵AC=AD，∠CAD=30°，∴∠ACD=75°，
∴∠NCD=90°﹣∠ACD=15°，∠MDC=∠DMC﹣∠ACD=15°，
∴△CMD≌△CND，
∴CN=CM=AC=BC，
∴CN=BN．
∵DN⊥BC，
∴BD=CD．∴④正確．
所以4個結(jié)論都正確．
故選D．


點(diǎn)評：
此題主要考查等腰直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形等知識點(diǎn)的理解和掌握，此題有一定的拔高難度，屬于難題．
　
5．如圖，BC∥AM，∠A=90°，∠BCD=75°，點(diǎn)E在AB上，△CDE為等邊三角形，BM交 CD于F，下列結(jié)論：①∠ADE=45°，②AB=BC，③EF⊥CD，④若∠AMB=30°，則CF=DF．其中正確的有（　?。?br />
　
A．
①②③
B．
①②④
C．
①③④
D．
②③④

考點(diǎn)：
直角梯形；等邊三角形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．4387773
分析：
由BC∥AM得∠CDA=105°，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠CDE=60°，則∠EDA=105°﹣60°=45°；過C作CG⊥AM，則四邊形ABCG為矩形，于是∠DCG=90°﹣∠BCD=15°，而∠BCE=75°﹣60°=15°，易證得Rt△CBE≌Rt△CGD，則BC=CG，得到AB=BC；由于AG=BC，而AG≠M(fèi)D，則CF：FD=BC：MD≠1，不能得到F點(diǎn)是CD的中點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)則不能得到
EF⊥CD；若∠AMB=30°，則∠CBF=30°，在Rt△AMB中根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到BM=2AB，則BM=2BC，
易得∠BFC=75°，所以BF=BC，得MF=BF，由CB∥AM得CF：FD=BF：MF=1，即可有CF=DF．
解答：
解：∵BC∥AM，
∴∠BCD+∠CDA=180°，
∵∠BCD=75°，
∴∠CDA=105°，
∵△CDE為等邊三角形，
∴∠CDE=60°，
∴∠EDA=105°﹣60°=45°，所以①正確；
過C作CG⊥AM，如圖，
∵∠A=90°，
∴四邊形ABCG為矩形，
∴∠DCG=90°﹣∠BCD=15°，
而△CDE為等邊三角形，
∴∠DCE=60°，CE=CD，
∴∠BCE=75°﹣60°=15°，
∴Rt△CBE≌Rt△CGD，
∴BC=CG，
∴AB=BC，所以②正確；
∵AG=BC，而AG≠M(fèi)D，
∴CF：FD=BC：MD≠1，
∴F點(diǎn)不是CD的中點(diǎn)，
∴EF不垂直CD，所以③錯誤；
若∠AMB=30°，則∠CBF=30°，
∴在Rt△AMB中，BM=2AB，
∴BM=2BC，
∵∠BCD=75°，
∴∠BFC=180°﹣30°﹣75°=75°，
∴BF=BC，
∴MF=BF，
而CB∥AM，
∴CF：FD=BF：MF=1，
∴CF=FD，所以④正確．
故選B．

點(diǎn)評：
本題考查了直角梯形的性質(zhì)：有一組對邊平行，另一組對邊不平行，且有一個直角．也考查了矩形和等邊三角形的性質(zhì)、含30度的直角三角形三邊的關(guān)系以及相似三角形的判定與性質(zhì)．
　
6．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，連接EF交AP于G．給出四個結(jié)論：①AE=CF；②EF=AP；③△EPF是等腰直角三角形；④∠AEP=∠AGF．其中正確的結(jié)論有（　?。?br />
　
A．
1個
B．
2個
C．
3個
D．
4個

考點(diǎn)：
全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．4387773
分析：
根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得：AP⊥BC，AP=BC，AP平分∠BAC．所以可證∠C=∠EAP；∠FPC=∠EPA；AP=PC．即證得△APE與△CPF全等．根據(jù)全等三角形性質(zhì)判斷結(jié)論是否正確．
解答：
解：∵AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，
∴AP⊥BC，AP=BC=PC，∠BAP=∠CAP=45°=∠C．
∵∠APF+∠FPC=90°，∠APF+∠APE=90°，
∴∠FPC=∠EPA．
∴△APE≌△CPF（ASA）．
∴①AE=CF；③EP=PF，即△EPF是等腰直角三角形；
∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中點(diǎn)，
∴AP=BC，
∵EF不是△ABC的中位線，
∴EF≠AP，故②錯誤；
④∵∠AGF=∠EGP=180°﹣∠APE﹣∠PEF=180°﹣∠APE﹣45°，
∠AEP=180°﹣∠APE﹣∠EAP=180°﹣∠APE﹣45°，
∴∠AEP=∠AGF．
故正確的有①、③、④，共三個．
因此選C．
點(diǎn)評：
此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)．
　
7．如圖，AM、BE是△ABC的角平分線，AM交BE于N，AL⊥BE于F交BC于L，若∠ABC=2∠C，下列結(jié)論：①BE=EC；②BF=AE+EF；③AC=BM+BL；④∠MAL=∠ABC，其中正確的結(jié)論是（　　）

　
A．
①②③
B．
①④
C．
①②③④
D．
①②

考點(diǎn)：
全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)．4387773
分析：
根據(jù)角平分線定義求出∠ABE=∠EBC=∠C，根據(jù)等角對等邊求出BE=CE，即可判斷①；
證△ABE∽△ACB，推出AB2=AE×AC，求出AF2=AB2﹣BF2=AE2﹣EF2，把 AB2=AE×AC代入入上式即可求出BF=AE+EF，即可判斷②；
延長AB到N，使BN=BM，連接MN，證△AMC≌△AMN，△AFB≌△BLF，推出AB=BL，即可判斷③；
設(shè)∠LAC=x°，∠LAM=y°，則∠BAM=∠MAC=（x+y）°，證△AFB≌△BLF推出∠BAF=∠BLF，∠BAF=∠BAM+∠MAL=x°+y°+y°，∠BLA=∠C+∠LAC=∠C+x°，得出方程x°+y°+y°=∠C+x°，求出∠C=2y°，∠ABC=4y°，即可判斷④．
解答：
解：∵BE是∠ABC的角平分線，
∴∠EBC=∠ABE=∠ABC，
∵∠ABC=2∠C，
∴∠ABE=∠EBC=∠C，
∴BE=EC，∴①正確；
∵∠ABE=∠ACB，∠BAC=∠EAB
∴△ABE∽△ACB，
∴=，
∴AB2=AE×AC，
在Rt△AFB與Rt△AFE中，由勾股定理得：AF2=AB2﹣BF2=AE2﹣EF2，
把 AB2=AE×AC代入入上式得：
AE×AC﹣BF2=AE2﹣EF2，
則BF2=AC×AE﹣AE2+EF2=AE×（AC﹣AE）+EF2=AE×EC+EF2=AE×BE+EF2，
即（BE﹣EF）2=AE×BE+EF2，
∴BE2﹣2BE×EF+EF2=AE×BE+EF2，
∴BE2﹣2BE×EF=AE×BE，
∴BE﹣2EF=AE，
BE﹣EF=AE+EF，
即BF=AE+EF，∴②正確；
延長AB到N′，使BN=BM，連接MN′，則△BMN′為等腰三角形，
∴∠BN′M=∠BMN′，
△BN′M的一個外角∠ABC=∠BN′M+∠BM′N=2∠BN′M，
則∠BN′M=∠ACB，
在△AMC與△AMN′中
，
∴△AMC≌△AMN′（AAS），
∴AN′=AC=AB+BN′=AB+BM，
又∵AL⊥BE，
∴∠AFB=∠LFB=90°，
在△AFB與△LFB中，
，
∴△AFB≌△BLF（ASA），
∴AB=BL，
則AN′=AC=AB+BN′=AB+BM=BM+BL，即AC=BM+BL，∴③正確；
設(shè)∠LAC=x°，∠LAM=y°，
∵AM平分∠BAC，
∴∠BAM=∠MAC=（x+y）°．
∵△AFB≌△BLF，
∴∠BAF=∠BLF，
∵∠BAF=∠BAM+∠MAL=x°+y°+y°，∠BLA=∠C+∠LAC=∠C+x°，
∴x°+y°+y°=∠C+x°，
∴∠C=2y°，
∵∠ABC=2∠C，
∴∠ABC=4y°，
即∠MAL=∠ABC，
∴④正確．
故選C．


點(diǎn)評：
本題考查了勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，角平分線性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用．
　
二．解答題（共8小題）
8．如圖，在△ABC中，AB=AC，E在線段AC上，D在AB的延長線，連DE交BC于F，過點(diǎn)E作EG⊥BC于G．
（1）若∠A=50°，∠D=30°，求∠GEF的度數(shù)；
（2）若BD=CE，求證：FG=BF+CG．


考點(diǎn)：
等腰三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．4387773
專題：
證明題．
分析：
（1）根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠C，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠CEG，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠CEF，然后計算即可得解；
（2）過點(diǎn)E作EH∥AB交BC于H，根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠ABC=∠EHC，內(nèi)錯角相等可得∠D=∠FEH，然后求出∠EHC=∠C，再根據(jù)等角對等邊可得EC=EH，然后求出BD=EH，再利用“角角邊”證明△BDF和△HEF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BF=FH，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CG=HG，即可得證．
解答：
（1）解：∵∠A=50°，
∴∠C=（180°﹣∠A）=（180°﹣50°）=65°，
∵EG⊥BC，
∴∠CEG=90°﹣∠C=90°﹣65°=25°，
∵∠A=50°，∠D=30°，
∴∠CEF=∠A+∠D=50°+30°=80°，
∴∠GEF=∠CEF﹣∠CEG=80°﹣25°=55°；

（2）證明：過點(diǎn)E作EH∥AB交BC于H，
則∠ABC=∠EHC，∠D=∠FEH，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠EHC=∠C，
∴EC=EH，
∵BD=CE，
∴BD=EH，
在△BDF和△HEF中，
，
∴△BDF≌△HEF（AAS），
∴BF=FH，
又∵EC=EH，EG⊥BC，
∴CG=HG，
∴FG=FH+HG=BF+CG．

點(diǎn)評：
本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，主要利用了等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，等角對等邊的性質(zhì)，（2）作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．
　
9．如圖，直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B（a，0），點(diǎn)C（0，b），點(diǎn)A在第一象限．若a，b滿足（a﹣t）2+|b﹣t|=0（t＞0）．
（1）證明：OB=OC；
（2）如圖1，連接AB，過A作AD⊥AB交y軸于D，在射線AD上截取AE=AB，連接CE，F(xiàn)是CE的中點(diǎn)，連接AF，OA，當(dāng)點(diǎn)A在第一象限內(nèi)運(yùn)動（AD不過點(diǎn)C）時，證明：∠OAF的大小不變；
（3）如圖2，B′與B關(guān)于y軸對稱，M在線段BC上，N在CB′的延長線上，且BM=NB′，連接MN交x軸于點(diǎn)T，過T作TQ⊥MN交y軸于點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．


考點(diǎn)：
全等三角形的判定與性質(zhì)；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對值；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；等腰直角三角形．4387773
分析：
（1）根據(jù)a=t，b=t，推出a=b即可；
（2）延長AF至T，使TF=AF，連接TC，TO，證△TCF≌△AEF，推出CT=AE，∠TCF=∠AEF，再證△TCO≌△ABO，推出TO=AO，∠TOC=∠AOB，求出△TAO為等腰直角三角形即可；
（3）連接MQ，NQ，BQ，B′Q，過M作MH∥CN交x軸于H，證△NTB′≌△MTH，推出TN=MT，證△NQB′≌△MQB，推出∠NB′Q=∠CBQ，求出△BQB′是等腰直角三角形即可．
解答：
（1）解：∵a，b滿足（a﹣t）2+|b﹣t|=0（t＞0）．
∴a﹣t=0，b﹣t=0，
∴a=t，b=t，
∴a=b，
∵B（t，0），點(diǎn)C（0，t）
∴OB=OC；

（2）證明：延長AF至T，使TF=AF，連接TC，TO，
∵F為CE中點(diǎn)，
∴CF=EF，
在△TCF和△AEF中

∴△TCF≌△AEF（SAS），
∴CT=AE，∠TCF=∠AEF，
∴TC∥AD，
∴∠TCD=∠CDA，
∵AB=AE，
∴TC=AB，
∵AD⊥AB，OB⊥OC，
∴∠COB=∠BAD=90°，
∴∠ABO+∠ADO=180°，
∵∠ADO+∠ADC=180°，
∴∠ADC=∠ABC，
∵∠TCD=∠CDA，
∴∠TCD=∠ABO，
在△TCO和△ABO中

∴△TCO≌△ABO（SAS），
∴TO=AO，∠TOC=∠AOB，
∵∠AOB+∠AOC=90°，
∴∠TOC+∠AOC=90°，
∴△TAO為等腰直角三角形，
∴∠OAF=45°；

（3）解：連接MQ，NQ，BQ，B′Q，過M作MH∥CN交x軸于H，
∵B和B′關(guān)于關(guān)于y軸對稱，C在y軸上，
∴CB=CB′，
∴∠CBB′=∠CB′B，
∵M(jìn)H∥CN，
∴∠MHB=∠CB′B，
∴∠MHB=∠CBB′，
∴MH=BM，
∵BM=B′N，
∴MH=B′N，
∵M(jìn)H∥CN，
∴∠NB′T=∠MHT，
在△NTB′和△MTH中

∴△NTB′≌△MTH，
∴TN=MT，又TQ⊥MN，
∴MQ=NQ，
∵CQ垂直平分BB′，
∴BQ=B′Q，
∵在∴△NQB′和△MQB中

∴△NQB′≌△MQB （SSS），
∴∠NB′Q=∠CBQ，
而∠NB′Q+∠CB′Q=180°
∴∠CBQ+∠CB′Q=180°
∴∠B′CB+∠B′QB=180°，
又∠B′CB=90°，
∴∠B′QB=90°
∴△BQB′是等腰直角三角形，
∴OQ=OB=t，
∴Q（0，﹣t）．


點(diǎn)評：
本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，相等垂直平分線，偶次方，絕對值等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用．
　
10．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（4，4），點(diǎn)B、C分別在x軸、y軸的正半軸上，S四邊形OBAC=16．
（1）∠COA的值為　45°　；
（2）求∠CAB的度數(shù)；
（3）如圖2，點(diǎn)M、N分別是x軸正半軸及射線OA上一點(diǎn)，且OH⊥MN的延長線于H，滿足∠HON=∠NMO，請?zhí)骄績蓷l線段MN、OH之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．

考點(diǎn)：
全等三角形的判定與性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．4387773
分析：
（1）過A作AN⊥OC于N，AM⊥OB于M，得出正方形NOMA，根據(jù)正方形性質(zhì)求出∠COA=∠COB，代入求出即可；
（2）求出CN=BM，證△ANC≌△AMB，推出∠NAC=∠MAB，求出∠CAB=∠NAM，即可求出答案；
（3）求出∠HON=∠NMO=22.5°，延長OH至點(diǎn)P使PH=OH，連接MP交OA于L，求出∠HON=∠NMO=∠LMN，求出OL=ML，證△OLP≌△MLN，推出MN=OP，即可得出答案．
解答：
解：（1）過A作AN⊥OC于N，AM⊥OB于M，
則∠ANO=∠AMO=∠COB=90°，
∵A（4，4），
∴AN=AM=4，
∴四邊形NOMA是正方形，
∴∠COA=∠COB=×90°=45°．
故答案為：45°；
（2）∵四邊形NOMA是正方形，
∴AM=AN=4，OM=ON=4，
∴OC×AN+OB×AM=16，
∴OC+OB=8=ON+OM，
即ON﹣OC=OB﹣OM，
∴CN=BM，
在△ANC和△AMB中，
，
∴△ANC≌△AMB（SAS），
∴∠NAC=∠MAB，
∴∠CAB=∠CAM+∠MAB=∠NAM=360°﹣90°﹣90°﹣90°=90°，
即∠CAB=90°；
（3）MN=2OH，
證明：在Rt△OMH中，∠HON+∠NMO+∠NOM=90°，
又∵∠NOM=45°，∠HON=∠NMO，
∴∠HON=∠NMO=22.5°，
延長OH至點(diǎn)P使PH=OH，連接MP交OA于L，
∴OM=MP，∠OMP=2∠OMN=45°，
∴∠HON=∠NMO=∠LMN，
∴∠OLM=90°=∠PLO，
∴OL=ML，
在△OLP和△MLN中，

∴△OLP≌△MLN（ASA），
∴MN=OP，
∵OP=2HO，
∴MN=2HO．


點(diǎn)評：
本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)的應(yīng)用，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．
　
11．如圖，已知A（a，b），AB⊥y軸于B，且滿足+（b﹣2）2=0，

（1）求A點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）分別以AB，AO為邊作等邊三角形△ABC和△AOD，如圖1試判定線段AC和DC的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．
（3）如圖2過A作AE⊥x軸于E，F(xiàn)，G分別為線段OE，AE上的兩個動點(diǎn)，滿足∠FBG=45°，試探究的值是否發(fā)生變化？如果不變，請說明理由并求其值；如果變化，請說明理由．

考點(diǎn)：
全等三角形的判定與性質(zhì)；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．4387773
專題：
探究型．
分析：
（1）根據(jù)二次根式以及偶次方都是非負(fù)數(shù)，兩個非負(fù)數(shù)的和是0，則每個數(shù)一定同時等于0，即可求解；
（2）連接OC，只要證明OC是∠AOD的角平分線即可判斷AC=CD，求出∠ACD的度數(shù)即可判斷位置關(guān)系；
（3）延長GA至點(diǎn)M，使AM=OF，連接BM，由全等三角形的判定定理得出△BAM≌△BOF，△FBG≌△MBG，故可得出FG=GM=AG+OF，由此即可得出結(jié)論．
解答：
解：（1）根據(jù)題意得：a﹣2=0且b﹣2=0，
解得：a=2，b=2，
則A的坐標(biāo)是（2，2）；

（2）AC=CD，且AC⊥CD．
如圖1，連接OC，CD，
∵A的坐標(biāo)是（2，2），
∴AB=OB=2，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠OBC=30°，OB=BC，
∴∠BOC=∠BCO=75°，
∵在直角△ABO中，∠BOA=45°，
∴∠AOC=∠BOC﹣∠BOA=75°﹣45°=30°，
∵△OAD是等邊三角形，
∴∠DOC=∠AOC=30°，
即OC是∠AOD的角平分線，
∴OC⊥AD，且OC平分AD，
∴AC=DC，
∴∠ACO=∠DCO=60°+75°=135°，
∴∠ACD=360°﹣135°﹣135°=90°，
∴AC⊥CD，
故AC=CD，且AC⊥CD．


（3）不變．
延長GA至點(diǎn)M，使AM=OF，連接BM，
∵在△BAM與△BOF中，
，
∴△BAM≌△BOF（SAS），
∴∠ABM=∠OBF，BF=BM，
∵∠OBF+∠ABG=90°﹣∠FBG=45°，
∴∠MBG=45°，
∵在△FBG與△MBG中，
，
∴△FBG≌△MBG（SAS），
∴FG=GM=AG+OF，
∴=1．
點(diǎn)評：
本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，涉及到非負(fù)數(shù)的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)等知識，難度適中．
　
12．（2013?日照）問題背景：
如圖（a），點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，要在直線l上找一點(diǎn)C，使AC與BC的距離之和最小，我們可以作出點(diǎn)B關(guān)于l的對稱點(diǎn)B′，連接A B′與直線l交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C即為所求．

（1）實(shí)踐運(yùn)用：
如圖（b），已知，⊙O的直徑CD為4，點(diǎn)A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 為弧AD 的中點(diǎn)，P為直徑CD上一動點(diǎn)，則BP+AP的最小值為　2?。?br /> （2）知識拓展：
如圖（c），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，E、F分別是線段AD和AB上的動點(diǎn)，求BE+EF的最小值，并寫出解答過程．

考點(diǎn)：
軸對稱-最短路線問題．4387773
分析：
（1）找點(diǎn)A或點(diǎn)B關(guān)于CD的對稱點(diǎn)，再連接其中一點(diǎn)的對稱點(diǎn)和另一點(diǎn)，和MN的交點(diǎn)P就是所求作的位置．根據(jù)題意先求出∠C′AE，再根據(jù)勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值；
（2）首先在斜邊AC上截取AB′=AB，連結(jié)BB′，再過點(diǎn)B′作B′F⊥AB，垂足為F，交AD于E，連結(jié)BE，則線段B′F的長即為所求．
解答：
解：（1）作點(diǎn)B關(guān)于CD的對稱點(diǎn)E，連接AE交CD于點(diǎn)P
此時PA+PB最小，且等于AE．
作直徑AC′，連接C′E．
根據(jù)垂徑定理得弧BD=弧DE．
∵∠ACD=30°，
∴∠AOD=60°，∠DOE=30°，
∴∠AOE=90°，
∴∠C′AE=45°，
又AC′為圓的直徑，∴∠AEC′=90°，
∴∠C′=∠C′AE=45°，
∴C′E=AE=AC′=2，
即AP+BP的最小值是2．
故答案為：2；

（2）如圖，在斜邊AC上截取AB′=AB，連結(jié)BB′．
∵AD平分∠BAC，
∴點(diǎn)B與點(diǎn)B′關(guān)于直線AD對稱．
過點(diǎn)B′作B′F⊥AB，垂足為F，交AD于E，連結(jié)BE，
則線段B′F的長即為所求．（點(diǎn)到直線的距離最短）
在Rt△AFB′中，∵∠BAC=45°，AB′=AB=10，
∴B′F=AB′?sin45°=AB?sin45°=10×=5，
∴BE+EF的最小值為．


點(diǎn)評：
此題主要考查了利用軸對稱求最短路徑問題以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，根據(jù)已知得出對應(yīng)點(diǎn)P位置是解題關(guān)鍵．
　
13．（2013?六盤水）（1）觀察發(fā)現(xiàn)
如圖（1）：若點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)，在直線m上找一點(diǎn)P，使AP+BP的值最小，做法如下：
作點(diǎn)B關(guān)于直線m的對稱點(diǎn)B′，連接AB′，與直線m的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，線段AB′的長度即為AP+BP的最小值．

如圖（2）：在等邊三角形ABC中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在AD上找一點(diǎn)P，使BP+PE的值最小，做法如下：
作點(diǎn)B關(guān)于AD的對稱點(diǎn)，恰好與點(diǎn)C重合，連接CE交AD于一點(diǎn)，則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，故BP+PE的最小值為　?。?br /> （2）實(shí)踐運(yùn)用
如圖（3）：已知⊙O的直徑CD為2，的度數(shù)為60°，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，在直徑CD上作出點(diǎn)P，使BP+AP的值最小，則BP+AP的值最小，則BP+AP的最小值為　　．

（3）拓展延伸
如圖（4）：點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，分別在邊AB、BC上作出點(diǎn)M，點(diǎn)N，使PM+PN+MN的值最小，保留作圖痕跡，不寫作法．

考點(diǎn)：
圓的綜合題；軸對稱-最短路線問題．4387773
專題：
壓軸題．
分析：
（1）觀察發(fā)現(xiàn)：利用作法得到CE的長為BP+PE的最小值；由AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1，再根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得CE=；
（2）實(shí)踐運(yùn)用：過B點(diǎn)作弦BE⊥CD，連結(jié)AE交CD于P點(diǎn)，連結(jié)OB、OE、OA、PB，根據(jù)垂徑定理得到CD平分BE，即點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于CD對稱，則AE的長就是BP+AP的最小值；
由于的度數(shù)為60°，點(diǎn)B是的中點(diǎn)得到∠BOC=30°，∠AOC=60°，所以∠AOE=60°+30°=90°，于是可判斷△OAE為等腰直角三角形，則AE=OA=；
（3）拓展延伸：分別作出點(diǎn)P關(guān)于AB和BC的對稱點(diǎn)E和F，然后連結(jié)EF，EF交AB于M、交BC于N．
解答：
解：（1）觀察發(fā)現(xiàn)
如圖（2），CE的長為BP+PE的最小值，
∵在等邊三角形ABC中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)
∴CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1，
∴CE=BE=；
故答案為；

（2）實(shí)踐運(yùn)用
如圖（3），過B點(diǎn)作弦BE⊥CD，連結(jié)AE交CD于P點(diǎn)，連結(jié)OB、OE、OA、PB，
∵BE⊥CD，
∴CD平分BE，即點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于CD對稱，
∵的度數(shù)為60°，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，
∴∠BOC=30°，∠AOC=60°，
∴∠EOC=30°，
∴∠AOE=60°+30°=90°，
∵OA=OE=1，
∴AE=OA=，
∵AE的長就是BP+AP的最小值．
故答案為；

（3）拓展延伸
如圖（4）．

點(diǎn)評：
本題考查了圓的綜合題：弧、弦和圓心角之間的關(guān)系以及圓周角定理在有關(guān)圓的幾何證明中經(jīng)常用到，同時熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)以及軸對稱﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}．
　
14．（2013?撫順）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，DE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，連接CD．
（1）如圖1，DE與BC的數(shù)量關(guān)系是　DE=BC??；
（2）如圖2，若P是線段CB上一動點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合），連接DP，將線段DP繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段DF，連接BF，請猜想DE、BF、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）若點(diǎn)P是線段CB延長線上一動點(diǎn)，按照（2）中的作法，請在圖3中補(bǔ)全圖形，并直接寫出DE、BF、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系．


考點(diǎn)：
全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形．4387773
分析：
（1）由∠ACB=90°，∠A=30°得到∠B=60°，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)得到DB=DC，則可判斷△DCB為等邊三角形，由于DE⊥BC，DE=BC；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠PDF=60°，DP=DF，易得∠CDP=∠BDF，則可根據(jù)“SAS”可判斷△DCP≌△DBF，則CP=BF，利用CP=BC﹣BP，DE=BC可得到BF+BP=DE；
（3）與（2）的證明方法一樣得到△DCP≌△DBF得到CP=BF，而CP=BC+BP，則BF﹣BP=BC，所以BF﹣BP=DE．
解答：
解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
∴DB=DC，
∴△DCB為等邊三角形，
∵DE⊥BC，
∴DE=BC；
故答案為DE=BC．

（2）BF+BP=DE．理由如下：
∵線段DP繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段DF，
∴∠PDF=60°，DP=DF，
而∠CDB=60°，
∴∠CDB﹣∠PDB=∠PDF﹣∠PDB，
∴∠CDP=∠BDF，
在△DCP和△DBF中
，
∴△DCP≌△DBF（SAS），
∴CP=BF，
而CP=BC﹣BP，
∴BF+BP=BC，
∵DE=BC，
∴BC=DE，
∴BF+BP=DE；

（3）如圖，
與（2）一樣可證明△DCP≌△DBF，
∴CP=BF，
而CP=BC+BP，
∴BF﹣BP=BC，
∴BF﹣BP=DE．

點(diǎn)評：
本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應(yīng)邊相等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)以及含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．
　
15．（2013?東營）（1）如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．
證明：DE=BD+CE．
（2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．
（3）拓展與應(yīng)用：如圖（3），D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線m上的兩動點(diǎn)（D、A、E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn)，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試判斷△DEF的形狀．


考點(diǎn)：
全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定．4387773
專題：
壓軸題．
分析：
（1）根據(jù)BD⊥直線m，CE⊥直線m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根據(jù)等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根據(jù)“AAS”可判斷△ADB≌△CEA，
則AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE；
（2）與（1）的證明方法一樣；
（3）與前面的結(jié)論得到△ADB≌△CEA，則BD=AE，∠DBA=∠CAE，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠ABF=∠CAF=60°，則∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，則∠DBF=∠FAE，
利用“SAS”可判斷△DBF≌△EAF，所以DF=EF，∠BFD=∠AFE，于是∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，根據(jù)等邊三角形的判定方法可得到△DEF為等邊三角形．
解答：
證明：（1）∵BD⊥直線m，CE⊥直線m，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；

（2）∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α，
∴∠CAE=∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；

（3）由（2）知，△ADB≌△CEA，
BD=AE，∠DBA=∠CAE，
∵△ABF和△ACF均為等邊三角形，
∴∠ABF=∠CAF=60°，
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF=∠FAE，
∵BF=AF
在△DBF和△EAF中
，
∴△DBF≌△EAF（SAS），
∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，
∴△DEF為等邊三角形．
點(diǎn)評：
本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應(yīng)邊相等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．
　

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