?
高中數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論

1.包含關(guān)系


2．集合的子集個數(shù)共有 個；真子集有個；非空子集有 –1個；非空的真子集有–2個.
3.充要條件
若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件
p是q的充分不必要條件
p?q且q?p
p是q的必要不充分條件
p?q且q?p
p是q的充要條件
p?q
p是q的既不充分也不必要條件
p?q且q?p

4.全稱命題、特稱命題及含一個量詞的命題的否定
命題名稱
語言表示
符號表示
命題的否定
全稱命題
對M中任意一個x，有p(x)成立
?x∈M，p(x)
?x0∈M，綈p(x0)
特稱命題
存在M中的一個x0，使p(x0)成立
?x0∈M，p(x0)
?x∈M，綈p(x)

5.函數(shù)的單調(diào)性
(1)設(shè)那么
上是增函數(shù)；
上是減函數(shù).
(2)設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù).
6.如果函數(shù)和都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi),和函數(shù)也是減函數(shù); 如果函數(shù)和在其對應(yīng)的定義域上都是減函數(shù),則復(fù)合函數(shù)是增函數(shù).
7．奇偶函數(shù)的圖象特征
奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;反過來，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，那么這個函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那么這個函數(shù)是偶函數(shù)．
8.若函數(shù)是偶函數(shù)，則；若函數(shù)是偶函數(shù)，則.
9.對于函數(shù)(),恒成立,則函數(shù)的對稱軸是函數(shù);兩個函數(shù)與 的圖象關(guān)于直線對稱.
10.若,則函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱; 若,則函數(shù)為周期為的周期函數(shù).
11.函數(shù)的圖象的對稱性
(1)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.
(2)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.
12.幾個常見的函數(shù)方程
(1)正比例函數(shù)(2)指數(shù)函數(shù)(3)對數(shù)函數(shù)(4)冪函數(shù),.
(5)余弦函數(shù),正弦函數(shù)
13.幾個函數(shù)方程的周期(約定a>0)
（1），則的周期T=a；
（2），或，或,則的周期T=2a；
(3)，則的周期T=3a；
14.分數(shù)指數(shù)冪
(1)（，且）.(2)（，且）.
15．根式的性質(zhì)
（1）.（2）當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，.
16.指數(shù)式與對數(shù)式的互化式
.
17.對數(shù)的換底公式
(,且,,且, ).
推論 (,且,,且,, ).
18．對數(shù)的四則運算法則
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則
(1);(2) ;(3).
19.設(shè)函數(shù),記.若的定義域為,則，且;若 的值域為,則，且.對于的情形,需要單獨檢驗.
20. 平均增長率的問題
如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長率為，則對于時間的總產(chǎn)值，有.
21.數(shù)列的同項公式與前n項的和的關(guān)系
( 數(shù)列的前n項的和為).
22.等差數(shù)列的通項公式；
其前n項和公式為
23.等比數(shù)列的通項公式；
其前n項的和公式為或.
24．常見三角不等式
（1）若，則.(2) 若，則.
25.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式
，=
26.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin α
－sin α
－sin α
sin α
cos α
cos α
余弦
cos α
－cos α
cos α
－cos α
sin α
－sin α
正切
tan α
tan α
－tan α
－tan α


口訣
函數(shù)名不變，符號看象限
函數(shù)名改變，符號看象限

27.和角與差角公式
; ;
.
=(輔助角所在象限由點的象限決定, ).
28.二倍角公式
.
（升冪公式）
cos2α＝；sin2α＝；(降冪公式）
.
29.三角函數(shù)的周期公式
函數(shù)，x∈R及函數(shù)，x∈R(A,ω,為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期；函數(shù)，(A,ω,為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期.
30.正弦定理?
.
31.余弦定理
;;.
32.面積定理
（1）（分別表示a、b、c邊上的高）.
（2）.
33.三角形內(nèi)角和定理
在△ABC中，有.
34.平面向量基本定理?
如果e1、e 2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．
不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．
35. a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)
a·b=|a||b|cosθ．
36. a·b的幾何意義
數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．
37.平面向量的坐標運算
(1)設(shè)a=,b=，則a+b=.
(2)設(shè)a=,b=，則a-b=.
(3)設(shè)A，B,則.
(4)設(shè)a=，則a=.
(5)設(shè)a=,b=，則a·b=.
兩向量的夾角公式
(a=,b=).
平面兩點間的距離公式
=
(A，B).
向量的平行與垂直
設(shè)a=,b=，且b0，則
a||bb=λa .
ab(a0)a·b=0.
38.三角形的重心坐標公式
△ABC三個頂點的坐標分別為、、,則△ABC的重心的坐標是.
39. 三角形五“心”向量形式的充要條件
設(shè)為所在平面上一點，角所對邊長分別為，則
（1）為的外心.
（2）為的重心.
（3）為的垂心.
（4）為的內(nèi)心.
（5）為的的旁心.
40.基本不等式：
（1）(當且僅當a＝b時取“=”號)．
（2）(當且僅當a＝b時取“=”號)．
注：已知都是正數(shù)，則有
（1）若積是定值，則當時和有最小值；
（2）若和是定值，則當時積有最大值.
41.含有絕對值的不等式
當a> 0時，有
.
或.
42.指數(shù)不等式與對數(shù)不等式
(1)當時：;
.
(2)當時：;


43..斜率公式
（、）.
44.直線的五種方程
（1）點斜式 (直線過點，且斜率為)．
（2）斜截式 (b為直線在y軸上的截距).
（3）兩點式 ()(、 ()).
(4)截距式 (分別為直線的橫、縱截距，)
（5）一般式 (其中A、B不同時為0).
45.兩條直線的平行和垂直
(1)若，
①; ②.
(2)若,,且A1、A2、B1、B2都不為零,
①； ②；
46．常用直線系方程
(1)平行直線系方程：直線中當斜率k一定而b變動時，表示平行直線系方程．與直線平行的直線系方程是()，λ是參變量．
(2)垂直直線系方程：與直線 (A≠0，B≠0)垂直的直線系方程是,λ是參變量．
47.點到直線的距離
(點,直線：).
48. 圓的方程
（1）圓的標準方程 .
（2）圓的一般方程 (＞0).
（3）圓的參數(shù)方程 .即三角換元
49.點與圓的位置關(guān)系
點與圓的位置關(guān)系有三種
若，則
點在圓外;點在圓上;點在圓內(nèi).
50.直線與圓的位置關(guān)系
直線與圓的位置關(guān)系有三種:
; ; .
其中.
51.兩圓位置關(guān)系的判定方法
設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，
; ;
; ;
.
52.圓的切線方程
(1)已知圓．
①若已知切點在圓上，則切線只有一條，其方程是
.
當圓外時, 表示過兩個切點的切點弦方程．
②過圓外一點的切線方程可設(shè)為，再利用相切條件求k，這時必有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線．
③斜率為k的切線方程可設(shè)為，再利用相切條件求b，必有兩條切線．
(2)已知圓．
①過圓上的點的切線方程為;
②斜率為的圓的切線方程為.
53．橢圓的概念
平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c0，c>0，且a，c為常數(shù)．
橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)
標準方程
＋＝1
(a>b>0)
＋＝1
(a>b>0)
圖形


性
質(zhì)
范圍
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
對稱性
對稱軸：坐標軸　　對稱中心：原點
頂點
坐標
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
軸
長軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為2b
焦距
|F1F2|＝2c
離心率
e＝∈(0,1)
a，b，c
的關(guān)系
a2＝b2＋c2

橢圓的切線方程
（1）橢圓上一點處的切線方程是.
（2）過橢圓外一點所引兩條切線的切點弦方程是
54.雙曲線的概念
平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c>2a，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.
雙曲線的標準方程和幾何性質(zhì)
標準方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
圖形


性
質(zhì)
范圍
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
對稱性
對稱軸：坐標軸　對稱中心：原點
頂點
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
漸近線
y＝±x
y＝±x
離心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
實虛軸
線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長|A1A2|＝2a，線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長
a，b，c
的關(guān)系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)

雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系
(1）若雙曲線方程為漸近線方程：.
(2)若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為.
(3)若雙曲線與有公共漸近線，可設(shè)為（，焦點在x軸上，，焦點在y軸上）.
雙曲線的切線方程
(1)雙曲線上一點處的切線方程是.
（2）過雙曲線外一點所引兩條切線的切點弦方程是
55.拋物線的概念
平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．
拋物線的標準方程和幾何性質(zhì)
標準
方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
p的幾何意義：焦點F到準線l的距離
圖形




頂點
坐標
O(0,0)
對稱軸
x軸
y軸
焦點
坐標
F
F
F
F
離心率
e＝1
準線
方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范圍
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
開口
方向
向右
向左
向上
向下
焦半徑
x0＋
－x0＋
y0＋
－y0＋
通徑長
2p

拋物線的焦半徑公式
拋物線焦半徑.
過焦點弦長.
拋物線上的動點可設(shè)為P或 P，其中 .
56.直線與圓錐曲線相交的弦長公式
|AB|＝＝(k為直線斜率)．
57．（1）線面平行的判定定理和性質(zhì)定理

文字語言
圖形語言
符號語言
判定定理
平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(簡記為“線線平行?線面平行”)

?l∥α
性質(zhì)定理
一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡記為“線面平行?線線平行”)

?l∥b

（2）面面平行的判定定理和性質(zhì)定理

文字語言
圖形語言
符號語言
判定定理
一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行(簡記為“線面平行?面面平行”)

?α∥β
性質(zhì)定理
如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行

?a∥b
（3）直線與平面垂直判定定理與性質(zhì)定理


文字語言
圖形語言
符號語言
判定定理
一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直

?l⊥α
性質(zhì)定理
垂直于同一個平面的兩條直線平行

?a∥b
（4）平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理

文字語言
圖形語言
符號語言
判定定理
一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直

?α⊥β
性質(zhì)定理
兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直

?l⊥α

58.共線向量定理
對空間任意兩個向量a、b(b≠0 )，a∥b存在實數(shù)λ使a=λb．
三點共線.
、共線且不共線且不共線.
59.共面向量定理
向量p與兩個不共線的向量a、b共面的存在實數(shù)對,使．
推論 空間一點P位于平面MAB內(nèi)的存在有序?qū)崝?shù)對,使，
或?qū)臻g任一定點O，有序?qū)崝?shù)對，使.
60.空間向量基本定理
如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．
推論 設(shè)O、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)x，y，z，使.
61.空間向量的直角坐標運算
設(shè)a＝，b＝則
(1)a＋b＝；(2)a－b＝；
(3)λa＝ (λ∈R)；(4)a·b＝；
62.設(shè)A，B，則
= .
63．空間的線線平行或垂直
設(shè)，，則
；.
64.夾角公式
設(shè)a＝，b＝，則
cos〈a，b〉=.
65．（1）異面直線所成角
=
（其中（）為異面直線所成角，分別表示異面直線的方向向量）
（2）直線與平面所成角
(為平面的法向量).
（3）.二面角的平面角
或 （，為平面，的法向量）.
66.（1）空間兩點間的距離公式
若A，B，則
=.
（2）.異面直線間的距離
(是兩異面直線，其公垂向量為，分別是上任一點，為間的距離).
（3）點到平面的距離
（為平面的法向量，是經(jīng)過面的一條斜線，）.
67.球的半徑是R，則
其體積,其表面積．
68.球的組合體
(1)球與長方體的組合體:
長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長.
(2)球與正方體的組合體:
正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長, 正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長, 正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長.
69．柱體、錐體的體積
（是柱體的底面積、是柱體的高）.
（是錐體的底面積、是錐體的高）.
70.分類計數(shù)原理（加法原理）.
分步計數(shù)原理（乘法原理）
71.排列數(shù)公式
==.(，∈N*，且)．注:規(guī)定.
72.組合數(shù)公式
===(∈N*，，且).
73.組合數(shù)的兩個性質(zhì)
(1)= ; (2) +=.注:規(guī)定.
(3).
(4).
(5).
74.排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系
.
75.二項式定理 ;
二項展開式的通項公式
.
76.n次獨立重復(fù)試驗中某事件恰好發(fā)生k次的概率

77.離散型隨機變量的分布列的兩個性質(zhì)
（1）; （2）.
78.數(shù)學(xué)期望

數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)
（1）. （2）若～,則.
方差

標準差 =.
方差的性質(zhì)
(1)； (2）若～，則.
79.正態(tài)分布密度函數(shù)
，式中的實數(shù)μ，（>0）是參數(shù)，分別表示個體的平均數(shù)與標準差.
80.回歸直線方程
，其中.
81.相關(guān)系數(shù)
|r|≤1，且|r|越接近于1，相關(guān)關(guān)系越強；|r|越接近于0，相關(guān)關(guān)系越弱.
82.在處的導(dǎo)數(shù)（或變化率或微商）
.
83. 函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義
函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)是曲線在處的切線的斜率，相應(yīng)的切線方程是.
84.幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
(1) （C為常數(shù)）.(2) .(3) .
(4) .(5) ；.(6) ; .
85.導(dǎo)數(shù)的運算法則
（1）.（2）.（3）.
86.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則
設(shè)函數(shù)在點處有導(dǎo)數(shù)，函數(shù)在點處的對應(yīng)點U處有導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點處有導(dǎo)數(shù)，且，或?qū)懽?
87.判別是極大（?。┲档姆椒?br /> 當函數(shù)在點處連續(xù)時，
（1）如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，則是極大值；
（2）如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，則是極小值.
88.復(fù)數(shù)的相等
.（）
89.復(fù)數(shù)的模（或絕對值）
==.
90.復(fù)數(shù)的四則運算法則
(1);
(2);
(3);
(4).

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