?2021年廣西貴港中考數學真題及答案

一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）每小題都給出標號為A.B.C.D.的四個選項，其中只有一個是正確的，請考生用2B鉛筆在答題卡上將選定的答案標號涂黑
1．﹣3的絕對值是（　B　）
A．﹣3 B．3 C．﹣ D．
2．若分式在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是（A　?。?br /> A．x≠﹣5 B．x≠0 C．x≠5 D．x＞﹣5
3．下列計算正確的是（　C　）
A．a2+a2＝a4 B．2a﹣a＝1
C．2a?（﹣3a）＝﹣6a2 D．（a2）3＝a5
4．一組數據8，7，8，6，4，9的中位數和平均數分別是（　B?。?br /> A．7和8 B．7.5和7 C．7和7 D．7和7.5
5．在平面直角坐標系中，若點P（a﹣3，1）與點Q（2，b+1）關于x軸對稱，則a+b的值是（　C?。?br /> A．1 B．2 C．3 D．4
6．不等式1＜2x﹣3＜x+1的解集是（　C?。?br /> A．1＜x＜2 B．2＜x＜3 C．2＜x＜4 D．4＜x＜5
7．已知關于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的兩個實數根分別為x1，x2，且x12+x22＝5，則k的值是（D　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
8．下列命題是真命題的是（　D?。?br /> A．同旁內角相等，兩直線平行
B．對角線相等的四邊形是矩形
C．對角線互相垂直的四邊形是菱形
D．兩角分別相等的兩個三角形相似
9．某蔬菜種植基地2018年的蔬菜產量為800噸，2020年的蔬菜產量為968噸，設每年蔬菜產量的年平均增長率都為x，則年平均增長率x應滿足的方程為（　B?。?br /> A．800（1﹣x）2＝968 B．800（1+x）2＝968
C．968（1﹣x）2＝800 D．968（1+x）2＝800
10．如圖，點A，B，C，D均在⊙O上，直徑AB＝4，點C是的中點，點D關于AB對稱的點為E，若∠DCE＝100°，則弦CE的長是（　A　）

A．2 B．2 C． D．1
11．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)是對角線AC上的兩點，且EF＝2AE＝2CF，連接DE并延長交AB于點M，連接DF并延長交BC于點N，連接MN，則＝（　A　）

A． B． C．1 D．
12．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝12，D為AC邊上的一個動點，連接BD，E為BD上的一個動點，連接AE，CE，當∠ABD＝∠BCE時，線段AE的最小值是（B　?。?br />
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
13．甲、乙兩人在相同條件下進行射擊練習，每人10次射擊成績的平均數都是8環(huán)，方差分別為S甲2＝1.4，S乙2＝0.6，則兩人射擊成績比較穩(wěn)定的是 　乙?。ㄌ睢凹住被颉耙摇保?br /> 14．第七次全國人口普查公布的我國總人口數約為1411780000人，將數據1411780000用科學記數法表示為 　1.41178×109?。?br /> 15．如圖，AB∥CD，CB平分∠ECD，若∠B＝26°，則∠1的度數是 　52°　．

16．如圖，圓錐的高是4，它的側面展開圖是圓心角為120°的扇形，則圓錐的側面積是__6π___（結果保留π）．

17．如圖，在矩形ABCD中，BD是對角線，AE⊥BD，垂足為E，連接CE，若tan∠ADB＝，則tan∠DEC的值是 　?。?br />
18．我們規(guī)定：若＝（x1，y1），＝（x2，y2），則?＝x1x2+y1y2．例如＝（1，3），＝（2，4），則?＝1×2+3×4＝2+12＝14．已知＝（x+1，x﹣1），＝（x﹣3，4），且﹣2≤x≤3，則?的最大值是 　8　．
三、解答題（本大題共8小題，滿分66分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（10分）（1）計算：﹣2cos45°；
（2）解分式方程：．
【解答】解：（1）原式＝2+1﹣1﹣2×
＝2+1﹣1﹣
＝；
（2）整理，得：，
方程兩邊同時乘以（x﹣2），得：x﹣3+x﹣2＝﹣3，
解得：x＝1，
檢驗：當x＝1時，x﹣2≠0，
∴x＝1是原分式方程的解．
20．（5分）尺規(guī)作圖（只保留作圖痕跡，不要求寫出作法）．如圖，已知△ABC，且AB＞AC．
（1）在AB邊上求作點D，使DB＝DC；
（2）在AC邊上求作點E，使△ADE∽△ACB．

【解答】解：（1）如圖，點D即為所求．
（2）如圖，點E即為所求．

21．（6分）如圖，一次函數y＝x+2的圖象與反比例函數y＝的圖象相交，其中一個交點的橫坐標是1．
（1）求k的值；
（2）若將一次函數y＝x+2的圖象向下平移4個單位長度，平移后所得到的圖象與反比例函數y＝的圖象相交于A，B兩點，求此時線段AB的長．

【解答】解：（1）將x＝1代入y＝x+2＝3，
∴交點的坐標為（1，3），
將（1，3）代入y＝，
解得：k＝1×3＝3；

（2）將一次函數y＝x+2的圖象向下平移4個單位長度得到y(tǒng)＝x﹣2，
由，
解得：或，
∴A（﹣1，﹣3），B（3，1），
∴AB＝＝4．
22．（8分）某校為了了解本校學生每天課后進行體育鍛煉的時間情況，在5月份某天隨機抽取了若干名學生進行調查，調查發(fā)現(xiàn)學生每天課后進行體育鍛煉的時間都不超過100分鐘，現(xiàn)將調查結果繪制成兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖表．請根據統(tǒng)計圖表提供的信息，解答下列問題：
組別
鍛煉時間（分）
頻數（人）
百分比
A
0≤x≤20
12
20%
B
20＜x≤40
a
35%
C
40＜x≤60
18
b
D
60＜x≤80
6
10%
E
80＜x≤100
3
5%
（1）本次調查的樣本容量是 　60　；表中a＝　21　，b＝　30%　；
（2）將頻數分布直方圖補充完整；
（3）已知E組有2名男生和1名女生，從中隨機抽取兩名學生，恰好抽到1名男生和1名女生的概率是 　??；
（4）若該校學生共有2200人，請根據以上調查結果估計：該校每天課后進行體育鍛煉的時間超過60分鐘的學生共有多少人？

【解答】解：（1）本次調查的樣本容量是：12÷20%＝60，
則a＝60﹣12﹣18﹣6﹣3＝21，b＝18÷60×100%＝30%，
故答案為：60，21，30%；
（2）將頻數分布直方圖補充完整如下：

（3）畫樹狀圖如圖：

共有6種等可能的結果，恰好抽到1名男生和1名女生的結果有4種，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率為＝，
故答案為：；
（4）2200×（10%+5%）＝330（人），
即該校每天課后進行體育鍛煉的時間超過60分鐘的學生共有330人．
23．（8分）某公司需將一批材料運往工廠，計劃租用甲、乙兩種型號的貨車，在每輛貨車都滿載的情況下，若租用30輛甲型貨車和50輛乙型貨車可裝載1500箱材料；若租用20輛甲型貨車和60輛乙型貨車可裝載1400箱材料．
（1）甲、乙兩種型號的貨車每輛分別可裝載多少箱材料？
（2）經初步估算，公司要運往工廠的這批材料不超過1245箱．計劃租用甲、乙兩種型號的貨車共70輛，且乙型貨車的數量不超過甲型貨車數量的3倍，該公司一次性將這批材料運往工廠共有哪幾種租車方案？
【解答】解：（1）設甲型貨車每輛可裝載x箱材料，乙型貨車每輛可裝載y箱材料，
依題意得：，
解得：．
答：甲型貨車每輛可裝載25箱材料，乙型貨車每輛可裝載15箱材料．
（2）設租用m輛甲型貨車，則租用（70﹣m）輛乙型貨車，
依題意得：，
解得：≤m≤．
又∵m為整數，
∴m可以取18，19，
∴該公司共有2種租車方案，
方案1：租用18輛甲型貨車，52輛乙型貨車；
方案2：租用19輛甲型貨車，51輛乙型貨車．
24．（8分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，F(xiàn)是AD延長線上一點，連接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．
（1）求證：CF是⊙O的切線；
（2）若cosB＝，AD＝2，求FD的長．

【解答】解：（1）連接OC，
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠ACD＝90°，
∴∠ADC+∠CAD＝90°，
又∵OC＝OD，
∴∠ADC＝∠OCD，
又∵∠DCF＝∠CAD．
∴∠DCF+∠OCD＝90°，
即OC⊥FC，
∴FC是⊙O的切線；
（2）∵∠B＝∠ADC，cosB＝，
∴cos∠ADC＝，
在Rt△ACD中，
∵cos∠ADC＝＝，AD＝2，
∴CD＝AD?cos∠ADC＝2×＝，
∴AC＝＝＝，
∴＝，
∵∠FCD＝∠FAC，∠F＝∠F，
∴△FCD∽△FAC，
∴＝＝＝，
設FD＝3x，則FC＝4x，AF＝3x+2，
又∵FC2＝FD?FA，
即（4x）2＝3x（3x+2），
解得x＝（取正值），
∴FD＝3x＝．

25．（11分）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于A（﹣3，0），B兩點，與y軸相交于點C（0，2），對稱軸是直線x＝﹣1，連接AC．
（1）求該拋物線的表達式；
（2）若過點B的直線l與拋物線相交于另一點D，當∠ABD＝∠BAC時，求直線l的表達式；
（3）在（2）的條件下，當點D在x軸下方時，連接AD，此時在y軸左側的拋物線上存在點P，使S△BDP＝S△ABD．請直接出所有符合條件的點P的坐標．

【解答】解：（1）∵拋物線的對稱軸為x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∵點C的坐標為（0，2），
∴c＝2，
∴拋物線的解析式為y＝ax2+2ax+2，
∵點A（﹣3，0）在拋物線上，
∴9a﹣6a+2＝0，
∴a＝﹣，
∴b＝2a＝﹣，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣x+2；

（2）Ⅰ、當點D在x軸上方時，如圖1，
記BD與AC的交點為點E，
∵∠ABD＝∠BAC，
∴AE＝BE，
∵直線x＝﹣1垂直平分AB，
∴點E在直線x＝﹣1上，
∵點A（﹣3，0），C（0，2），
∴直線AC的解析式為y＝x+2，
當x＝﹣1時，y＝，
∴點E（﹣1，），
∵點A（﹣3，0）點B關于x＝﹣1對稱，
∴B（1，0），
∴直線BD的解析式為y＝﹣x+，
即直線l的解析式為y＝﹣x+；

Ⅱ、當點D在x軸下方時，如圖2，
∵∠ABD＝∠BAC，
∴BD∥AC，
由Ⅰ知，直線AC的解析式為y＝x+2，
∴直線BD的解析式為y＝x﹣，
即直線l的解析式為y＝x﹣；
綜上，直線l的解析式為y＝﹣x+或y＝x﹣；

（3）由（2）知，直線BD的解析式為y＝x﹣①，
∵拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣x+2②，
∴或，
∴D（﹣4，﹣），
∴S△ABD＝AB?|yD|＝×4×＝，
∵S△BDP＝S△ABD，
∴S△BDP＝×＝10，
∵點P在y軸左側的拋物線上，
∴設P（m，﹣m2﹣m+2）（m＜0），
過P作y軸的平行線交直線BD于F，
∴F（m，m﹣），
∴PF＝|﹣m2﹣m+2﹣（m﹣）|＝|m2+2m﹣|，
∴S△BDP＝PF?（xA﹣xB）＝×|m2+2m﹣|×4＝10，
∴m＝（舍）或m＝，
∴P（，5）．


26．（10分）已知在△ABC中，O為BC邊的中點，連接AO，將△AOC繞點O順時針方向旋轉（旋轉角為鈍角），得到△EOF，連接AE，CF．
（1）如圖1，當∠BAC＝90°且AB＝AC時，則AE與CF滿足的數量關系是 　AE＝CF　；
（2）如圖2，當∠BAC＝90°且AB≠AC時，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．
（3）如圖3，延長AO到點D，使OD＝OA，連接DE，當AO＝CF＝5，BC＝6時，求DE的長．

【解答】解：（1）結論：AE＝CF．
理由：如圖1中，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，OC＝OB，
∴OA＝OC＝OB，AO⊥BC，
∵∠AOC＝∠EOF＝90°，
∴∠AOE＝∠COF，
∵OA＝OC，OE＝OF，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴AE＝CF．

（2）結論成立．
理由：如圖2中，

∵∠BAC＝90°，OC＝OB，
∴OA＝OC＝OB，
∵∠AOC＝∠EOF，
∴∠AOE＝∠COF，
∵OA＝OC，OE＝OF，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴AE＝CF．

（3）如圖3中，

由旋轉的性質可知OE＝OA，
∵OA＝OD，
∴OE＝OA＝OD＝5，
∴∠AED＝90°，
∵OA＝OE，OC＝OF，∠AOE＝∠COF，
∴＝，
∴△AOE∽△COF，
∴＝，
∵CF＝OA＝5，
∴＝，
∴AE＝，
∴DE＝＝＝．

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