一、單選題
1．如果，那么的值為（ ）
A．B．C．D．
2．在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c，下列等式中成立的是（ ）
A．B．C．D．
3．如圖，以點(diǎn)O為位似中心，把△ABC中放大到原來(lái)的2倍得到△A′B′C′．以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．△ABC∽△A′B′C′B．點(diǎn)C，O，C′三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上
C．AB∥A′B′D．AO：AA′＝1：2
4．如圖是由若干個(gè)完全相同的小正方體組合而成的幾何體，若將小正方體①移動(dòng)到小正方體②的正上方，下列關(guān)于移動(dòng)后幾何體的三視圖說(shuō)法正確的是（ ）
A．左視圖發(fā)生變化B．俯視圖發(fā)生變化
C．主視圖發(fā)生改變D．左視圖、俯視圖和主視圖都發(fā)生改變
5．如圖所示的4個(gè)三角形中，相似三角形有（ ）
A．1對(duì)B．2對(duì)C．3對(duì)D．4對(duì)
6．如圖是某河壩橫斷面示意圖，迎水坡，為背水坡，過(guò)點(diǎn)作水平面的垂線(xiàn),設(shè)斜坡的坡度為，坡角為，斜坡的坡度為，坡角為，則下列結(jié)論正確的是( )
A．B．C．D．
7．如圖，撬釘子的工具是一個(gè)杠桿，動(dòng)力臂，阻力臂，如果動(dòng)力F的用力方向始終保持豎直向下，當(dāng)阻力不變時(shí)，則杠桿向下運(yùn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)力變化情況是（ ）
A．越來(lái)越小B．不變C．越來(lái)越大D．無(wú)法確定
8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，是正方形邊上的線(xiàn)段，點(diǎn)在其中某條線(xiàn)段上，若射線(xiàn)與軸正半軸的夾角為，且，則點(diǎn)所在的線(xiàn)段可以是
A．和B．和C．和D．和
9．如圖，∠1＝∠2，要使△ABC∽△ADE，只需要添加一個(gè)條件即可，這個(gè)條件不可能是（ ）
A．∠B＝∠DB．∠C＝∠EC．D．
10．正方形的邊長(zhǎng)為，動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)，以的速度沿向運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)以的速度沿著向運(yùn)動(dòng)．如果一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，則另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，的面積為，則大致反應(yīng)與變化關(guān)系的圖像是（ ）
A．B．
C．
D．
二、填空題
11．兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)的比為4:3，那么這兩個(gè)三角形的面積的比是________．
12．在△ABC中，若∠A，∠B滿(mǎn)足|csA－|＋(sinB－)2＝0，則∠C＝_________．
13．下圖是某個(gè)幾何體的展開(kāi)圖，該幾何體是________．
14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有一點(diǎn)，那么與軸的正半軸的夾角的余弦值為_(kāi)_______．
15．某校初三年級(jí)在“停課不停學(xué)”期間，積極開(kāi)展網(wǎng)上答疑活動(dòng)，在某時(shí)間段共開(kāi)放7個(gè)網(wǎng)絡(luò)教室，其中4個(gè)是數(shù)學(xué)答疑教室，3個(gè)是語(yǔ)文答疑教室．為了解初三年級(jí)學(xué)生的答疑情況，學(xué)校教學(xué)管理人員隨機(jī)進(jìn)入一個(gè)網(wǎng)絡(luò)教室，則該教室是數(shù)學(xué)答疑教室的概率為_(kāi)____．
16．下列圖形中，是中心對(duì)稱(chēng)的圖形有________．
①正方形；②長(zhǎng)方形；③等邊三角形；④線(xiàn)段；⑤角；⑥平行四邊形．
17．如圖，在?ABCD中，延長(zhǎng)CD至點(diǎn)E，使DE=DC，連接BE與AC于點(diǎn)F，則的值是_____．
18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形與正方形是以為位似中心的位似圖形，且位似比為，點(diǎn)，，在軸上，延長(zhǎng)交射線(xiàn)與點(diǎn)，以為邊作正方形；延長(zhǎng)交射線(xiàn)與點(diǎn)，以為邊作正方形；…按照這樣的規(guī)律繼續(xù)下去，若，則正方形的面積為_(kāi)_______．
三、解答題
19．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
20．我市各學(xué)校積極響應(yīng)上級(jí)“停課不停教、修課不停學(xué)”的要求，開(kāi)展了空中在線(xiàn)教學(xué).其校就“網(wǎng)絡(luò)直播課”的滿(mǎn)意度進(jìn)行了隨機(jī)在線(xiàn)問(wèn)卷調(diào)在，調(diào)在結(jié)果分為四類(lèi): A．非常滿(mǎn)意；B．很滿(mǎn)意；C．一般；D．不滿(mǎn)意，將收集到的信息進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖(如圖所示).請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表所提供的信息解答下列問(wèn)題:
（1）接受問(wèn)卷調(diào)查的學(xué)生共有__ _人； ； ；
（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
頻數(shù)分布統(tǒng)計(jì)表
（3）若該校共有學(xué)生人，請(qǐng)你根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果，估計(jì)該校對(duì)“網(wǎng)絡(luò)直播課”滿(mǎn)意度為類(lèi)和類(lèi)的學(xué)生共有多少人；
（4）為改進(jìn)教學(xué)，學(xué)校決定從選填結(jié)果是類(lèi)的學(xué)生中，選取甲、乙、丙、丁四人，隨機(jī)抽取兩名同學(xué)參與網(wǎng)絡(luò)座談會(huì)，求甲、乙兩名同學(xué)同時(shí)被抽中的概率．
21．某?！熬C合與實(shí)踐”小組采用無(wú)人機(jī)輔助的方法測(cè)量一座橋的長(zhǎng)度．如圖，橋是水平并且筆直的，測(cè)量過(guò)程中，小組成員遙控?zé)o人機(jī)飛到橋的上方120米的點(diǎn)C處懸停，此時(shí)測(cè)得橋兩端A，B兩點(diǎn)的俯角分別為60°和45°，求橋的長(zhǎng)度．
22．點(diǎn)是反比例函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，直線(xiàn)軸，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)， 直線(xiàn) 軸，交于點(diǎn)， 直線(xiàn) 軸，交于點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)，求線(xiàn)段和的長(zhǎng)度；
（2）對(duì)于任意的點(diǎn) ，判斷線(xiàn)段和的大小關(guān)系，并證明．
23．如圖，在中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，，，過(guò)點(diǎn)的切于點(diǎn)，平分．
（1）求證：是的切線(xiàn)；
（1）若，求的半徑長(zhǎng)；
（3）求陰影部分的面積．
24．某服裝廠生產(chǎn)品種服裝，每件成本為71元，零售商到此服裝廠一次性批發(fā)品牌服裝件時(shí)，批發(fā)單價(jià)為元，與之間滿(mǎn)足如圖所示的函數(shù)關(guān)系，其中批發(fā)件數(shù)為10的正整數(shù)倍．
（1）當(dāng)時(shí)，與的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)_________．
（2）某零售商到此服裝廠一次性批發(fā)品牌服裝200件，需要支付多少元？
（3）零售商到此服裝廠一次性批發(fā)品牌服裝件，服裝廠的利潤(rùn)為元，問(wèn)：為何值時(shí)，最大？最大值是多少？
25．如圖，在菱形中，，在邊上，在的延長(zhǎng)線(xiàn)，，射線(xiàn)交于，連接．
（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)是中點(diǎn)，線(xiàn)段，，的數(shù)量關(guān)系是________；
（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)不是中點(diǎn)，（1）的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若，，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．
26．如圖，拋物線(xiàn)與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）是線(xiàn)段上一點(diǎn)，射線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)．
①連接，，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
②拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為，當(dāng)有最小值時(shí)，將沿軸正方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度（）得到，設(shè)與重疊部分的面積記為，請(qǐng)直接寫(xiě)出與的函數(shù)關(guān)系式．
類(lèi)別
頻數(shù)
頻率
參考答案
1．C
【分析】
由已知條件2x=3y，根據(jù)比例的性質(zhì)，即可求得答案．
【詳解】
解：∵2x=3y，
∴=.
故選C.
【點(diǎn)睛】
本題考查比例的性質(zhì)，本題考查比較簡(jiǎn)單，解題的關(guān)鍵是注意比例變形與比例的性質(zhì)．
2．B
【分析】
由題意根據(jù)三角函數(shù)的定義進(jìn)行判斷，從而判斷選項(xiàng)解決問(wèn)題．
【詳解】
解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c，
∴，故A選項(xiàng)不成立；
，故B選項(xiàng)成立；
，故C選項(xiàng)不成立；
，故D選項(xiàng)不成立；
故選B.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義，我們把銳角A的對(duì)邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA．銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作csA．銳角A的對(duì)邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA．
3．D
【分析】
根據(jù)位似的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
【詳解】
解：∵點(diǎn)O為位似中心，把△ABC中放大到原來(lái)的2倍得到△A′B′C′，
∴△ABC∽△A′B′C，OA：OA′＝1：2，AB∥A′B′，CC′經(jīng)過(guò)點(diǎn)O．
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題考查了位似變換：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線(xiàn)相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心．位似的性質(zhì)：兩個(gè)圖形必須是相似形；對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線(xiàn)都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)；對(duì)應(yīng)邊平行（或共線(xiàn)）．
4．C
【分析】
根據(jù)三視圖的判定分析作答即可；
【詳解】
根據(jù)題意可知，
移動(dòng)之前的主視圖為：
；
移動(dòng)之后的主視圖為：
；
∴主視圖發(fā)生了變化；同時(shí)俯視圖和左視圖未發(fā)生變化．
故答案選C．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了立體圖形的三視圖，準(zhǔn)確判斷是解題的關(guān)鍵．
5．A
【分析】
根據(jù)相似三角形的判定方法判斷即可．
【詳解】
解：觀察圖象可知，圖中有3個(gè)直角三角形，一個(gè)銳角三角形，其中左邊的兩個(gè)直角三角形的直角邊的比都是1：2，所以這兩個(gè)直角三角形相似．
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題考查相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法，屬于中考?？碱}型．
6．A
【分析】
分別表示出、，再利用BD與CD的數(shù)量關(guān)系，即可求得、的關(guān)系式．
【詳解】
解：∵ =，=，而B(niǎo)D=2CD，
∴ ===，
即．
故C錯(cuò)誤，而B(niǎo)、D選項(xiàng)無(wú)法判斷．
故選A．
【點(diǎn)睛】
本題考查坡度相關(guān)知識(shí)，熟練掌握坡度的計(jì)算方法，是解題的關(guān)鍵．
7．A
【分析】
根據(jù)杠桿原理及的值隨著的減小而增大結(jié)合反比例函數(shù)的增減性即可求得答案．
【詳解】
解：∵動(dòng)力×動(dòng)力臂=阻力×阻力臂，
∴當(dāng)阻力及阻力臂不變時(shí)，動(dòng)力×動(dòng)力臂為定值，且定值＞0，
∴動(dòng)力隨著動(dòng)力臂的增大而減小，
∵杠桿向下運(yùn)動(dòng)時(shí)的度數(shù)越來(lái)越小，此時(shí)的值越來(lái)越大，
又∵動(dòng)力臂，
∴此時(shí)動(dòng)力臂也越來(lái)越大，
∴此時(shí)的動(dòng)力越來(lái)越小，
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了杠桿原理以及銳角三角函數(shù)和反比例函數(shù)的增減性，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解決本題的關(guān)鍵．
8．D
【分析】
分情況考慮：先考慮點(diǎn)M分別在邊PQ上的線(xiàn)段AB和CD上的情況，根據(jù)正弦、余弦函數(shù)的定義判斷即可；再考慮點(diǎn)M分別在邊QR上的線(xiàn)段EF和GH上的情況，根據(jù)正弦、余弦函數(shù)的定義判斷即可．
【詳解】
如圖，當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，連接．
，，，
，
同法可證，點(diǎn)在上時(shí)，，
如圖，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，作于．
，，，
，
同法可證，點(diǎn)在上時(shí)，，
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題考查了正方形的性質(zhì)，三角函數(shù)中正弦和余弦的定義，涉及到分類(lèi)討論，關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，從而可在直角三角形中利用正余弦的定義進(jìn)行．
9．D
【分析】
先求出∠DAE＝∠BAC，再根據(jù)相似三角形的判定方法分析判斷即可．
【詳解】
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，
∴∠DAE＝∠BAC，
A、添加∠B＝∠D可利用兩角法：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此選項(xiàng)不合題意；
B、添加∠C＝∠E可利用兩角法：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此選項(xiàng)不合題意；
C、添加可利用兩邊及其夾角法：兩組邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似，故此選項(xiàng)不合題意；
D、添加不能證明△ABC∽△ADE，故此選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題考查相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形判定方法：兩角法、兩邊及其夾角法、三邊法、平行線(xiàn)法．
10．B
【分析】
分點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)、點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)、點(diǎn)P在CD上運(yùn)動(dòng)三種情況，分別求出函數(shù)表達(dá)式，即可求解．
【詳解】
解：①當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則PB=3t，BQ=t，
則AP=3-3t，CQ=3-t，
S=S正方形ABCD-S△PBQ-S△ADP-S△CDQ=3×3-[t?3t+（3-3t）×3+3（3-t）]=-t2+6t，
該函數(shù)為開(kāi)口向下的拋物線(xiàn)；
②當(dāng)點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
則S=×PD×AB=×（3t-3）=t-；
③當(dāng)點(diǎn)P在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
同理可得S=-（t-2）（t-3）為開(kāi)口向下的拋物線(xiàn)；
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是動(dòng)點(diǎn)圖象問(wèn)題，涉及到二次函數(shù)、一次函數(shù)等知識(shí)，此類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵是：弄清楚不同時(shí)間段，圖象和圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而求解．
11．16:9
【分析】
根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)的比等于相似比，即可求得它們的相似比，又由相似三角形面積的比等于相似比的平方，即可求得答案．
【詳解】
解：∵兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)的比為4：3，
∴它們的相似比為4：3，
∴它們的面積比為16：9．
故答案為：16：9．
【點(diǎn)睛】
此題考查了相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)的比等于相似比，相似三角形面積的比等于相似比的平方．
12．75°
【詳解】
【分析】根據(jù)絕對(duì)值及偶次方的非負(fù)性，可得出csA及sinB的值，從而得出∠A及∠B的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理可得出∠C的度數(shù)．
【詳解】∵|csA－|＋(sinB－)2＝0，
∴csA=，sinB=，
∴∠A=60°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=75°，
故答案為75°.
【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是得出csA及sinB的值，另外要求我們熟練掌握一些特殊角的三角函數(shù)值．
13．三棱柱
【分析】
由展開(kāi)圖可得，該幾何體有三個(gè)面是長(zhǎng)方形，兩個(gè)面是三角形，據(jù)此可得該幾何體為三棱柱．
【詳解】
解：由展開(kāi)圖可得，該幾何體有三個(gè)面是長(zhǎng)方形，兩個(gè)面是三角形，
∴該幾何體為三棱柱，
故答案為：三棱柱．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了幾何體的展開(kāi)圖，從實(shí)物出發(fā)，結(jié)合具體的問(wèn)題，辨析幾何體的展開(kāi)圖，通過(guò)結(jié)合立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化，建立空間觀念，是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．
14．
【分析】
分解點(diǎn)P的坐標(biāo)，求得OP的長(zhǎng)，根據(jù)三角函數(shù)的定義計(jì)算即可
【詳解】
過(guò)點(diǎn)P作PA⊥x軸，垂足為A，
∵P（6，8）
∴OA=6，PA=8，
∴OP==10，
∴csα==;
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)的意義，勾股定理，三角函數(shù)，正確分解坐標(biāo)，構(gòu)造直角三角形是運(yùn)用勾股定理和求三角函數(shù)的關(guān)鍵．
15．
【分析】
根據(jù)概率公式即可求出該教室是數(shù)學(xué)答疑教室的概率．
【詳解】
根據(jù)題意可知：共開(kāi)放7個(gè)網(wǎng)絡(luò)教室，其中4個(gè)是數(shù)學(xué)答疑教室，3個(gè)是語(yǔ)文答疑教室，
管理人員隨機(jī)進(jìn)入一個(gè)網(wǎng)絡(luò)教室，
則該教室是數(shù)學(xué)答疑教室的概率為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
考查了列表法與樹(shù)狀圖法求概率，解題關(guān)鍵是會(huì)列列表或樹(shù)狀圖和掌握概率公式．
16．①②④⑥
【分析】
根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)圖形的概念解答．
【詳解】
根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)圖形概念“在同一平面內(nèi)，如果把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合”可得：
正方形是中心對(duì)稱(chēng)的圖形；
長(zhǎng)方形是中心對(duì)稱(chēng)的圖形；
等邊三角形不是中心對(duì)稱(chēng)的圖形；
線(xiàn)段是中心對(duì)稱(chēng)的圖形；
角不是是中心對(duì)稱(chēng)的圖形；
平行四邊形是中心對(duì)稱(chēng)的圖形．
故答案為：①②④⑥．
【點(diǎn)睛】
考查了中心對(duì)稱(chēng)圖形，注意在同一平面內(nèi)，如果把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱(chēng)圖形．
17．
【分析】
在?ABCD中，AB∥CD，AB=CD，根據(jù)DE=DC，可得AB=CD=DE=CE，再由AB∥CD，可得△ABF∽△CEF，對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得結(jié)論．
【詳解】
解：在?ABCD中，AB∥CD，AB=CD，
∵DE=DC，
∴AB=CD=DE=CE，
∵AB∥CD，
∴△ABF∽△CEF，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握并運(yùn)用了相似三角形的判定與性質(zhì)．
18．
【分析】
根據(jù)位似圖形的概念求出OA2，根據(jù)正方形的面積公式計(jì)算，總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可．
【詳解】
解：∵正方形A1B1C1A2與正方形A2B2C2A3是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且相似比為，
∴，
∵A1B1⊥x軸，A2B2⊥x軸，
∴A1B1∥A2B2，
∴OA1B1∽△OA2B2，
∴，
∵OA1=1，
∴OA2=2，
∴A1A2=1，
∴正方形A1B1C1A2的面積=1=40，
∵OA1=A1A2=A1B1=1，
∴∠B1OA1=45°，
∴OA2=A2B2=2，
∴正方形A2B2C2A3的面積=2×2=41，
∵A3B3⊥x軸，
∴OA3=A3B3=4，
∴正方形A3B3C3A4的面積=4×4=16=42，
……
則正方形A2021B2021C2021A2022的面積為42021-1=42020=24040，
故答案為：24040．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是位似圖形的性質(zhì)、圖形的變化規(guī)律，掌握位似圖形的性質(zhì)、相似多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
19．，
【分析】
根據(jù)分式的運(yùn)算法則先進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后代入計(jì)算即可．
【詳解】
原式，
當(dāng)時(shí)，原式．
【點(diǎn)睛】
本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
20．（1）300，120，0.2；（2）詳見(jiàn)解析；（3）估計(jì)該校學(xué)生中類(lèi)和類(lèi)共有人；（4）
【分析】
（1）由C組人數(shù)與所占的百分比求總?cè)藬?shù)，利用總?cè)藬?shù)求；
（2）根據(jù)的數(shù)值補(bǔ)全圖形即可；
（3）利用樣本所占百分比估計(jì)總體即可；
（4）利用列表法求甲、乙兩名同學(xué)同時(shí)被抽中的概率即可．
【詳解】
解：（1）由人，
所以接受問(wèn)卷調(diào)查的學(xué)生共有人．
人．

故答案為：
（2）補(bǔ)全圖形如下：
（3）(人)．
答:估計(jì)該校學(xué)生中類(lèi)和類(lèi)共有人．
（4）列表如下:
共有種等可能結(jié)果，其中甲、乙兩位同學(xué)同時(shí)被抽中的結(jié)果有種．
P甲乙
答:甲、乙兩位同學(xué)同時(shí)被抽中的概率為．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是頻數(shù)分布表，條形統(tǒng)計(jì)圖以及利用列表法求概率，掌握從圖表中獲取信息，求概率的方法是解題的關(guān)鍵．
21．
【分析】
過(guò)C地點(diǎn)作交AB于D點(diǎn)，根據(jù)橋兩端A，B兩點(diǎn)的俯角分別為60°和45°，可得，，利用特殊角懂得三角函數(shù)求解即可．
【詳解】
解：如圖示：過(guò)C地點(diǎn)作交AB于D點(diǎn)，
則有：，，
∴，
，
∴．
【點(diǎn)睛】
本題考查了特殊角的三角函數(shù)的運(yùn)算，熟悉特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
22．（1），；（2），證明見(jiàn)解析
【分析】
（1）根據(jù)題意求得B（3，1），C（1，3），D（，3），即可求得AB和CD的長(zhǎng)度；
（2）根據(jù)題意得到,,，，進(jìn)一步求得AB=2a，．即可求得AB＞CD．
【詳解】
解（1）軸，，在反比例函數(shù)的圖象上
同理可求：，
，
（2）
證明，，在反比例函數(shù)的圖象上
軸，在反比例函數(shù)的圖象上
同理可求：，
，
【點(diǎn)睛】
此題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，表示出A、B、C、D的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
23．（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）
【分析】
（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠OCB=∠B=30°．由角平分線(xiàn)的定義以及切線(xiàn)的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）連接OD，設(shè)OC交⊙O于點(diǎn)F．得出∠COD=∠BOD=60°，CD=BC=6，解直角三角形即可得到結(jié)論；
（3）由三角形的面積公式和扇形的面積公式可得出答案．
【詳解】
解：（1）證明：∵，，
∴．
又∵平分，
∴．
∴．
∴，
∴是的切線(xiàn)；
（2）如圖，連接，設(shè)交于點(diǎn)．
∴且于點(diǎn)，
∴．
又∵，，，
∴，，
∵，
∴．
（3）∵OD=2，∠DOF=60°，
∴．
【點(diǎn)睛】
本題考查了切線(xiàn)的判定和性質(zhì)定理，解直角三角形，扇形的面積的計(jì)算，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．
24．（1） （2）18000元 （3）或；3800
【分析】
（1）將兩點(diǎn)（100，100），（300，80）代入到一次函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）將x=200代入到（1）求出y的值，最后求得答案；
（3）當(dāng)時(shí)，求得y的最大值，當(dāng)求得y的最大值，最后作答．
【詳解】
解：（1）當(dāng)100≤x≤300時(shí)，設(shè)與的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，(k≠0)，
將點(diǎn)（100，100），（300，80）代入y=kx+b ，(k≠0)，
，
解，得

故答案填：
（2）當(dāng)時(shí)，
元
答：零售商一次性批發(fā)200件，需要支付18000元
（3）當(dāng)時(shí)
，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下
當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大
又為10的正整數(shù)倍
時(shí)，最大，最大值是3800
當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小
又為10的正整數(shù)倍
時(shí)，最大，最大值是3800
當(dāng)時(shí)，
隨的增大而增大
時(shí)，最大，最大值是3600
∴當(dāng)或時(shí)，最大，最大值是3800
【點(diǎn)睛】
本題主要考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出函數(shù)表達(dá)式，熟練運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
25．（1）；（2）成立，證明見(jiàn)解析；（3）或
【分析】
（1）可以利用度量方法初步猜想，后給出證明即可；
（2）仿照（1）中的證明給出解答即可；
（3）利用構(gòu)造等邊三角形底邊上的高的方法，分兩種情形求解即可．
【詳解】
（1）．理由如下：
如圖連接AC,PQ，在MA上截取AN=MD，連接NC，
∵四邊形ABCD是菱形，∠B=60°，
∴AB=BC=CD，△ABC是等邊三角形，∠D=60°，
∴△ACD是等邊三角形,
∴AC=CD，∠ACD=60°，
∵PC=PD，
∴∠APC=90°，∠NAC=30°，
∵四邊形ABCD是菱形，∠B=60°，
∴AB∥CD，
∴∠PCQ=60°，
∵PC=CQ，
∴△PCQ是等邊三角形,
∴PC=PD=PQ，
∴∠DQC=90°，∠MDC=30°，
∴∠NAC=∠MDC，
∵AC=DC，AN=DM，
∴△NAC≌△MDC，
∴NC=MC，∠ACN=∠DCM，
∵∠ACN+∠NCD=60°，
∴∠DCM +∠NCD=60°，
∴∠NCM=60°，
∴△NCM是等邊三角形,
∴CM=MN，
∵M(jìn)A=AN+MN，
∴MC+MD=MA．
故答案為：MC+MD=MA．
（2）成立,理由如下：在MA上截取AE=MD，連接EC，
∵四邊形ABCD是菱形，∠B=60°，
∴AB=BC=CD，△ABC是等邊三角形，∠D=60°，
∴△ACD是等邊三角形,
∴AC=CD，∠ACD=60°，
∵四邊形ABCD是菱形，∠B=60°，
∴AB∥CD，
∴∠PCQ=60°，
∵PC=CQ，
∴△PCQ是等邊三角形,
∴PC=PD=PQ，∠ACP=∠DCQ，
∵AC=DC，PC=CQ，
∴△ACP≌△DCQ，
∴∠CAE=∠CDM，
∵AC=DC，AE=DM，
∴△EAC≌△MDC，
∴EC=MC，∠ACE=∠DCM，
∵∠ACE+∠ECD=60°，
∴∠DCM +∠ECD=60°，
∴∠ECM=60°，
∴△ECM是等邊三角形,
∴CM=MN，
∵M(jìn)A=AN+MN，
∴MC+MD=MA．
（3）如圖3，連接AC，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CD，垂足為H，
根據(jù)（1）得△ACD，△ACD都是等邊三角形,
∴AC=CD=AB=8，∠ACD=60°，
∴∠CAH=30°，
∴CH=DH=AC=4，AH=ACsin60°=8×=，
在直角三角形APH中，PH==1，
∴PD=DH-PH=4-1=3，
根據(jù)（2）得∠CAP=∠CDQ，
∵∠APC=∠DPM，
∴△APC∽△DPM，
∴AP：PD=AC：MD，
∴7：3=8：MD，
∴MD=；
如圖4，連接AC，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD，垂足為F，
根據(jù)（1）得△ACD，△ACD都是等邊三角形,
∴AC=CD=AB=8，∠ADC=60°，
∴∠FAD=30°，
∴CF=DF=AD=4，AF=ADsin60°=8×=，
在直角三角形APF中，PF==1，
∴PD=DF+PF=4+1=5，
根據(jù)（2）得∠CAP=∠CDQ，
∵∠APC=∠DPM，
∴△APC∽△DPM，
∴AP：PD=AC：MD，
∴7：5=8：MD，
∴MD=；
故DM的長(zhǎng)為或．
【點(diǎn)睛】
本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)，分類(lèi)的思想，熟練菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，活用特殊角的三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．
26．（1）；（2）①；②
【分析】
（1）把點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，構(gòu)造方程組求解即可；
（2）①根據(jù)，得到PC=PB，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)，可確定點(diǎn)P的坐標(biāo)，繼而確定直線(xiàn)AP的解析式，解由直線(xiàn)AP的解析式和二次函數(shù)的解析式組成的方程組即可得解；②先確定取得最小值的P的坐標(biāo)為（1，2），后根據(jù)平移的規(guī)律，結(jié)合圖形面積的變化規(guī)律計(jì)算求解即可．
【詳解】
（1）∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)，
∴，
解得：．
∴拋物線(xiàn)的解析式為．
（2）∵，
∴．
即：，
過(guò)點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，
∴．
∴．
解得：．
同理：．
∴，
即．
設(shè)的解析式是，
∴．
解得：
∴．
聯(lián)立得：，
解得：，（舍）
∴．
（3）如圖1，∵C（0，3），B（3，0），
∴OB=OC，
∴∠OBC=45°，
過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸,垂足為 Q,
則PQ=PBsin45°=PB，
∴DP+PB的最小值即為DP+PQ的最小值，
根據(jù)垂線(xiàn)段最短，當(dāng)DQ⊥x軸時(shí), DP+PQ最小，此時(shí)D,P,Q三點(diǎn)一線(xiàn)，
∵C（0，3），B（3，0），
∴設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y=nx+3，
∴3n+3=0，
∴n= -1，
∴直線(xiàn)BC的解析式為y= -x+3，
∵D（1，4），
∴P（1，2），
設(shè)直線(xiàn)AD的解析式為y=hx+p，
∴．
解得：
∴y=2x+2，
設(shè)直線(xiàn)AP的解析式為y=qx+f，
∴．
解得：
∴y=x+1，
如圖1，當(dāng)0≤t≤1時(shí)，
∵A（-1，0）,
∴（-1+t，0）．
∵AD∥，直線(xiàn)AD的解析式為y=2x+2，
設(shè)的解析式為y=2x+g，
∴0=-2+2t+g，
∴g=2-2t，
∴的解析式為y=2x+2-2t，
設(shè)直線(xiàn)交y軸于點(diǎn)E，交直線(xiàn)BC于點(diǎn)M，
則E（0，2-2t）,
∴CE=3-2+2t=2t+1,
根據(jù)題意，得，
∴
∴M（，），
∴=CE×=；
∵A（-1，0）,
∴（-1+t，0）．
∵AP∥，直線(xiàn)AP的解析式為y=x+1，
設(shè)的解析式為y=x+w，
∴0=-1+t+w，
∴w=1-t，
∴的解析式為y=x+1-t，
設(shè)直線(xiàn)交y軸于點(diǎn)G，交直線(xiàn)BC于點(diǎn)N，
則G（0，1-t）,
∴OG=1-t,O=1-t, B=4-t,
∴= OG×O=；
根據(jù)題意，得，
∴
∴N（，），
∴=B×=，
故重疊部分的面積為：--（-）
=--+
=；
如圖2，當(dāng)1＜t≤4時(shí)，
∵A（-1，0）,
∴（-1+t，0）．
∵AD∥，直線(xiàn)AD的解析式為y=2x+2，
∴的解析式為y=2x+2-2t，
設(shè)直線(xiàn)交直線(xiàn)BC于點(diǎn)F，
根據(jù)題意，得，
∴
∴F（，），
=B×=，
∵A（-1，0）,
∴（-1+t，0）．
∵AP∥，直線(xiàn)AP的解析式為y=x+1，
∴的解析式為y=x+1-t，
設(shè)直線(xiàn)交直線(xiàn)BC于點(diǎn)R，
根據(jù)題意，得，
∴
∴R（，），
∴=B×=，
故重疊部分的面積為：-
=-
=；
∴
【點(diǎn)睛】
本題考查了二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)解析式，圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)，一元二次方程的解法，圖像的平移，線(xiàn)段和的最值，圖形的面積，熟練掌握方程組的求解，一元二次方程的解法，圖形面積的分割求解是解題的關(guān)鍵．甲
乙
丙
丁
甲
（甲，乙）
（甲，丙）
（甲，?。?br>乙
（乙，甲）
（乙，丙）
（乙，?。?br>丙
（丙，甲）
（丙，乙）
（丙，丁）
丁
（丁，甲）
（丁，乙）
（丁，丙）

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