?2020年上海市中考數(shù)學試卷
一．選擇題（共6小題）
1．下列二次根式中，與是同類二次根式的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】根據(jù)同類二次根式的定義，先化簡，再判斷．
【解答】解：A.與的被開方數(shù)不相同，故不是同類二次根式；
B.，與不是同類二次根式；
C.，與被開方數(shù)相同，故是同類二次根式；
D.，與被開方數(shù)不同，故不是同類二次根式．
故選：C．
2．用換元法解方程+＝2時，若設＝y(tǒng)，則原方程可化為關于y的方程是（　?。?br /> A．y2﹣2y+1＝0 B．y2+2y+1＝0 C．y2+y+2＝0 D．y2+y﹣2＝0
【分析】方程的兩個分式具備倒數(shù)關系，設＝y(tǒng)，則原方程化為y+＝2，再轉(zhuǎn)化為整式方程y2﹣2y+1＝0即可求解．
【解答】解：把＝y(tǒng)代入原方程得：y+＝2，轉(zhuǎn)化為整式方程為y2﹣2y+1＝0．
故選：A．
3．我們經(jīng)常將調(diào)查、收集得來的數(shù)據(jù)用各類統(tǒng)計圖進行整理與表示．下列統(tǒng)計圖中，能凸顯由數(shù)據(jù)所表現(xiàn)出來的部分與整體的關系的是（　　）
A．條形圖 B．扇形圖
C．折線圖 D．頻數(shù)分布直方圖
【分析】根據(jù)統(tǒng)計圖的特點判定即可．
【解答】解：統(tǒng)計圖中，能凸顯由數(shù)據(jù)所表現(xiàn)出來的部分與整體的關系的是扇形圖，
故選：B．
4．已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點（2，﹣4），那么這個反比例函數(shù)的解析式是（　　）
A．y＝ B．y＝﹣ C．y＝ D．y＝﹣
【分析】已知函數(shù)圖象上一點的坐標求反比例函數(shù)解析式，可先設出解析式y(tǒng)＝，再將點的坐標代入求出待定系數(shù)k的值，從而得出答案．
【解答】解：設反比例函數(shù)解析式為y＝，
將（2，﹣4）代入，得：﹣4＝，
解得k＝﹣8，
所以這個反比例函數(shù)解析式為y＝﹣，
故選：D．
5．下列命題中，真命題是（　?。?br /> A．對角線互相垂直的梯形是等腰梯形
B．對角線互相垂直的平行四邊形是正方形
C．對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形
D．對角線平分一組對角的梯形是直角梯形
【分析】利用特殊四邊形的判定定理對每個選項逐一判斷后即可確定正確的選項．
【解答】解：A、對角線互相垂直且相等的梯形是等腰梯形，故錯誤；
B、對角線相等且互相垂直的平行四邊形是正方形，故錯誤；
C、正確；
D、對角線平分一組對角的梯形是菱形，故錯誤；
故選：C．
6．如果存在一條線把一個圖形分割成兩個部分，使其中一個部分沿某個方向平移后能與另一個部分重合，那么我們把這個圖形叫做平移重合圖形．下列圖形中，平移重合圖形是（　?。?br /> A．平行四邊形 B．等腰梯形 C．正六邊形 D．圓
【分析】證明平行四邊形是平移重合圖形即可．
【解答】解：如圖，平行四邊形ABCD中，取BC，AD的中點E，F(xiàn)，連接EF．

∵四邊形ABEF向右平移可以與四邊形EFCD重合，
∴平行四邊形ABCD是平移重合圖形，
故選：A．
二．填空題（共12小題）
7．計算：2a?3ab＝　6a2b?。?br /> 【分析】根據(jù)單項式與單項式相乘，把他們的系數(shù)分別相乘，相同字母的冪分別相加，其余字母連同他的指數(shù)不變，作為積的因式，計算即可．
【解答】解：2a?3ab＝6a2b．
故答案為：6a2b．
8．已知f（x）＝，那么f（3）的值是　1?。?br /> 【分析】根據(jù)f（x）＝，可以求得f（3）的值，本題得以解決．
【解答】解：∵f（x）＝，
∴f（3）＝＝1，
故答案為：1．
9．已知正比例函數(shù)y＝kx（k是常數(shù)，k≠0）的圖象經(jīng)過第二、四象限，那么y的值隨著x的值增大而　減小?。ㄌ睢霸龃蟆被颉皽p小”）
【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)進行解答即可．
【解答】解：函數(shù)y＝kx（k≠0）的圖象經(jīng)過第二、四象限，那么y的值隨x的值增大而減小，
故答案為：減?。?br /> 10．如果關于x的方程x2﹣4x+m＝0有兩個相等的實數(shù)根，那么m的值是　4?。?br /> 【分析】一元二次方程有兩個相等的實根，即根的判別式△＝b2﹣4ac＝0，即可求m值．
【解答】解：依題意，
∵方程x2﹣4x+m＝0有兩個相等的實數(shù)根，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4m＝0，解得m＝4，
故答案為：4．
11．如果從1，2，3，4，5，6，7，8，9，10這10個數(shù)中任意選取一個數(shù)，那么取到的數(shù)恰好是5的倍數(shù)的概率是　?。?br /> 【分析】根據(jù)從1，2，3，4，5，6，7，8，9，10這10個數(shù)中任意選取一個數(shù)，得出是5的倍數(shù)的數(shù)據(jù)，再根據(jù)概率公式即可得出答案．
【解答】解：∵從1，2，3，4，5，6，7，8，9，10這10個數(shù)中任意選取一個數(shù)，是5的倍數(shù)的有：5，10，
∴取到的數(shù)恰好是5的倍數(shù)的概率是＝．
故答案為：．
12．如果將拋物線y＝x2向上平移3個單位，那么所得新拋物線的表達式是　y＝x2+3　．
【分析】直接根據(jù)拋物線向上平移的規(guī)律求解．
【解答】解：拋物線y＝x2向上平移3個單位得到y(tǒng)＝x2+3．
故答案為：y＝x2+3．
13．為了解某區(qū)六年級8400名學生中會游泳的學生人數(shù)，隨機調(diào)查了其中400名學生，結果有150名學生會游泳，那么估計該區(qū)會游泳的六年級學生人數(shù)約為　3150名　．
【分析】用樣本中會游泳的學生人數(shù)所占的比例乘總?cè)藬?shù)即可得出答案．
【解答】解：8400×＝3150（名）．
答：估計該區(qū)會游泳的六年級學生人數(shù)約為3150名．
故答案為：3150名．
14．《九章算術》中記載了一種測量井深的方法．如圖所示，在井口B處立一根垂直于井口的木桿BD，從木桿的頂端D觀察井水水岸C，視線DC與井口的直徑AB交于點E，如果測得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么井深AC為　7　米．

【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結論．
【解答】解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，
∴BD∥AC，
∴△ACE∽△DBE，
∴，
∴＝，
∴AC＝7（米），
答：井深AC為7米．
15．如圖，AC、BD是平行四邊形ABCD的對角線，設＝，＝，那么向量用向量、表示為　2+　．

【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)，三角形法則求解即可．
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD，
∴＝＝，
∵＝+＝+，
∴＝＝+，
∵＝+，
∴＝++＝2+，
故答案為：2+．
16．小明從家步行到學校需走的路程為1800米．圖中的折線OAB反映了小明從家步行到學校所走的路程s（米）與時間t（分鐘）的函數(shù)關系，根據(jù)圖象提供的信息，當小明從家出發(fā)去學校步行15分鐘時，到學校還需步行　350　米．

【分析】當8≤t≤20時，設s＝kt+b，將（8，960）、（20，1800）代入求得s＝70t+400，求出t＝15時s的值，從而得出答案．
【解答】解：當8≤t≤20時，設s＝kt+b，
將（8，960）、（20，1800）代入，得：
，
解得：，
∴s＝70t+400；
當t＝15時，s＝1450，
1800﹣1450＝350，
∴當小明從家出發(fā)去學校步行15分鐘時，到學校還需步行350米，
故答案為：350．
17．如圖，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，∠B＝60°，點D在邊BC上，CD＝3，聯(lián)結AD．如果將△ACD沿直線AD翻折后，點C的對應點為點E，那么點E到直線BD的距離為　?。?br />
【分析】如圖，過點E作EH⊥BC于H．首先證明△ABD是等邊三角形，解直角三角形求出EH即可．
【解答】解：如圖，過點E作EH⊥BC于H．

∵BC＝7，CD＝3，
∴BD＝BC﹣CD＝4，
∵AB＝4＝BD，∠B＝60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴ADB＝60°，
∴∠ADC＝∠ADE＝120°，
∴∠EDH＝60°，
∵EH⊥BC，
∴∠EHD＝90°，
∵DE＝DC＝3，
∴EH＝DE?sin60°＝，
∴E到直線BD的距離為，
故答案為．
18．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點O在對角線AC上，圓O的半徑為2，如果圓O與矩形ABCD的各邊都沒有公共點，那么線段AO長的取值范圍是　＜AO＜?。?br /> 【分析】根據(jù)勾股定理得到AC＝10，如圖1，設⊙O與AD邊相切于E，連接OE，如圖2，設⊙O與BC邊相切于F，連接OF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結論．
【解答】解：在矩形ABCD中，∵∠D＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝10，
如圖1，設⊙O與AD邊相切于E，連接OE，
則OE⊥AD，
∴OE∥CD，
∴△AOE∽△ACD，
∴，
∴＝，
∴AO＝，
如圖2，設⊙O與BC邊相切于F，連接OF，
則OF⊥BC，
∴OF∥AB，
∴△COF∽△CAB，
∴＝，
∴＝，
∴OC＝，
∴AO＝，
∴如果圓O與矩形ABCD的各邊都沒有公共點，那么線段AO長的取值范圍是＜AO＜，
故答案為：＜AO＜．


三．解答題（共7小題）
19．計算：27+﹣（）﹣2+|3﹣|．
【分析】利用分數(shù)的指數(shù)冪的意義，分母有理化，負指數(shù)冪的意義，絕對值的性質(zhì)計算后合并即可．
【解答】解：原式＝（33）+﹣4+3﹣
＝3+﹣﹣4+3﹣
＝．
20．解不等式組：
【分析】先求出不等式組中每一個不等式的解集，再求出它們的公共部分即可求解．
【解答】解：，
解不等式①得x＞2，
解不等式②得x＜5．
故原不等式組的解集是2＜x＜5．
21．如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝90°，AB＝8，CD＝5，BC＝3．
（1）求梯形ABCD的面積；
（2）聯(lián)結BD，求∠DBC的正切值．

【分析】（1）過C作CE⊥AB于E，推出四邊形ADCE是矩形，得到AD＝CE，AE＝CD＝5，根據(jù)勾股定理得到CE＝＝6，于是得到梯形ABCD的面積＝×（5+8）×6＝39；
（2）過C作CH⊥BD于H，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理得到BD＝＝＝10，BH＝＝＝6，于是得到結論．
【解答】解：（1）過C作CE⊥AB于E，
∵AB∥DC，∠DAB＝90°，
∴∠D＝90°，
∴∠A＝∠D＝∠AEC＝90°，
∴四邊形ADCE是矩形，
∴AD＝CE，AE＝CD＝5，
∴BE＝AB﹣AE＝3，
∵BC＝3，
∴CE＝＝6，
∴梯形ABCD的面積＝×（5+8）×6＝39；
（2）過C作CH⊥BD于H，
∵CD∥AB，
∴∠CDB＝∠ABD，
∵∠CHD＝∠A＝90°，
∴△CDH∽△DBA，
∴，
∵BD＝＝＝10，
∴＝，
∴CH＝3，
∴BH＝＝＝6，
∴∠DBC的正切值＝＝＝．

22．去年某商店“十一黃金周”進行促銷活動期間，前六天的總營業(yè)額為450萬元，第七天的營業(yè)額是前六天總營業(yè)額的12%．
（1）求該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額；
（2）去年，該商店7月份的營業(yè)額為350萬元，8、9月份營業(yè)額的月增長率相同，“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額與9月份的營業(yè)額相等．求該商店去年8、9月份營業(yè)額的月增長率．
【分析】（1）根據(jù)該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額＝前六天的總營業(yè)額+第七天的營業(yè)額，即可求出結論；
（2）設該商店去年8、9月份營業(yè)額的月增長率為x，根據(jù)該商店去年7月份及9月份的營業(yè)額，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．
【解答】解：（1）450+450×12%＝504（萬元）．
答：該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額為504萬元．
（2）設該商店去年8、9月份營業(yè)額的月增長率為x，
依題意，得：350（1+x）2＝504，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．
答：該商店去年8、9月份營業(yè)額的月增長率為20%．
23．已知：如圖，在菱形ABCD中，點E、F分別在邊AB、AD上，BE＝DF，CE的延長線交DA的延長線于點G，CF的延長線交BA的延長線于點H．
（1）求證：△BEC∽△BCH；
（2）如果BE2＝AB?AE，求證：AG＝DF．

【分析】（1）想辦法證明∠BCE＝∠H即可解決問題．
（2）利用平行線分線段成比例定理結合已知條件解決問題即可．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，∠D＝∠B，CD∥AB，
∵DF＝BE，
∴△CDF≌CBE（SAS），
∴∠DCF＝∠BCE，
∵CD∥BH，
∴∠H＝∠DCF，
∴∠BCE＝∠H，
∵∠B＝∠B，
∴△BEC∽△BCH．

（2）證明：∵BE2＝AB?AE，
∴＝，
∵AG∥BC，
∴＝，
∴＝，
∵DF＝BE，BC＝AB，
∴BE＝AG＝DF，
即AG＝DF．
24．在平面直角坐標系xOy中，直線y＝﹣x+5與x軸、y軸分別交于點A、B（如圖）．拋物線y＝ax2+bx（a≠0）經(jīng)過點A．
（1）求線段AB的長；
（2）如果拋物線y＝ax2+bx經(jīng)過線段AB上的另一點C，且BC＝，求這條拋物線的表達式；
（3）如果拋物線y＝ax2+bx的頂點D位于△AOB內(nèi)，求a的取值范圍．

【分析】（1）先求出A，B坐標，即可得出結論；
（2）設點C（m，﹣m+5），則BC＝|m，進而求出點C（2，4），最后將點A，C代入拋物線解析式中，即可得出結論；
（3）將點A坐標代入拋物線解析式中得出b＝﹣10a，代入拋物線解析式中得出頂點D坐標為（5，﹣25a），即可得出結論．
【解答】解：（1）針對于直線y＝﹣x+5，
令x＝0，y＝5，
∴B（0，5），
令y＝0，則﹣x+5＝0，
∴x＝10，
∴A（10，0），
∴AB＝＝5；

（2）設點C（m，﹣m+5），
∵B（0，5），
∴BC＝＝|m|，
∵BC＝，
∴|m|＝，
∴m＝±2，
∵點C在線段AB上，
∴m＝2，
∴C（2，4），
將點A（10，0），C（2，4）代入拋物線y＝ax2+bx（a≠0）中，得，
∴，
∴拋物線y＝﹣x2+x；

（3）∵點A（10，0）在拋物線y＝ax2+bx中，得100a+10b＝0，
∴b＝﹣10a，
∴拋物線的解析式為y＝ax2﹣10ax＝a（x﹣5）2﹣25a，
∴拋物線的頂點D坐標為（5，﹣25a），
將x＝5代入y＝﹣x+5中，得y＝﹣×5+5＝，
∵頂點D位于△AOB內(nèi)，
∴0＜﹣25a＜，
∴﹣＜a＜0；
25．如圖，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，BO的延長交邊AC于點D．
（1）求證：∠BAC＝2∠ABD；
（2）當△BCD是等腰三角形時，求∠BCD的大??；
（3）當AD＝2，CD＝3時，求邊BC的長．

【分析】（1）連接OA．利用垂徑定理以及等腰三角形的性質(zhì)解決問題即可．
（2）分三種情形：①若BD＝CB，則∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD．②若CD＝CB，則∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD．③若DB＝DC，則D與A重合，這種情形不存在．分別利用三角形內(nèi)角和定理構建方程求解即可．
（3）如圖3中，作AE∥BC交BD的延長線于E．則＝＝，推出＝＝，設OB＝OA＝4a，OH＝3a，根據(jù)BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，構建方程求出a即可解決問題．
【解答】（1）證明：連接OA．

∵AB＝AC，
∴＝，
∴OA⊥BC，
∴∠BAO＝∠CAO，
∵OA＝OB，
∴∠ABD＝∠BAO，
∴∠BAC＝2∠BAD．

（2）解：如圖2中，延長AO交BC于H．

①若BD＝CB，則∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠DBC＝2∠ABD，
∵∠DBC+∠C+∠BDC＝180°，
∴8∠ABD＝180°，
∴∠C＝3∠ABD＝67.5°．
②若CD＝CB，則∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD，
∴∠C＝4∠ABD，
∵∠DBC+∠C+∠CDB＝180°，
∴10∠ABD＝180°，
∴∠BCD＝4∠ABD＝72°．
③若DB＝DC，則D與A重合，這種情形不存在．
綜上所述，∠C的值為67.5°或72°．

（3）如圖3中，作AE∥BC交BD的延長線于E．

則＝＝，
∴＝＝，設OB＝OA＝4a，OH＝3a，
∵BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，
∴25﹣49a2＝16a2﹣9a2，
∴a2＝，
∴BH＝，
∴BC＝2BH＝．



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