?2021年河南省鄭州市中考數學二模試卷
一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個答案，其中只有一個是正確的
1．5的絕對值是（　?。?br /> A．﹣5 B． C．﹣ D．5
2．下列四個圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
3．2021年河南春晚舞蹈節(jié)目《唐宮夜宴》功“出圈”，讓傳統(tǒng)文化活起來、讓現(xiàn)代科技亮起來、讓時代精神燃起來，受到全國網民的追捧．該節(jié)目視頻在網絡上的播放量突破5000萬次，5000萬用科學記數法表示為（　　）
A．5×103 B．0.5×104 C．5×107 D．50×103
4．如圖，直線a∥b，直角三角板ABC的直角頂點C在直線b上，若∠1＝54°，則∠2的度數為（　?。?br />
A．36° B．44° C．46° D．54°
5．小明在數學課上遇到下列四個算式，你認為運算正確的是（　?。?br /> A．a6÷a3＝a2 B．（﹣a） 2?a3＝a5
C．（a+b）2＝a2+b2 D．a3+a3＝2a6
6．若點A（x1，﹣2），B（x2，3），C（x3，4）在反比例函數y＝﹣的圖象上，則x1，x2，x3的關系是（　?。?br /> A．x1＞x2＞x3 B．x2＞x3＞x1 C．x1＞x3＞x2 D．x3＞x2＞x1
8．小明看到關于四川大涼山留守兒童的關報道后，想為這些孩子獻一份愛心．六一兒童節(jié)當天他將三、四、五三個月掙得的800零花錢成功捐出．已知三月份小明做家務掙得零花錢200元，設從三月份到五月份掙得零花錢的月平均增長率為x，則根據題意列出方程為（　　）
A．200（1+2x）＝800
B．200×2（1+x）＝800
C．200（1+x）2＝800
D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝800
9．如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，點P為CD的中點，按以下步驟作圖：①以點P為圓心，PD長為半徑作弧，交AD于點E；②再分別以點D和點E為圓心，大于DE的長為半徑作弧，兩弧相交于點Q；③作直線PQ，交AD于點O，則線段OP的長為（　　）

A． B．2 C． D．3
10．如圖，△ABC中，CB＝CA，∠ACB＝90°，點D在邊BC上（與B、C不重合），以AD為邊在AD右側作正方形ADEF，過點F作FN⊥CA，交CA的延長線于點N，連接FB，交DE于點P，給出以下結論：①CN＝FN+CD；②∠ADC＝∠ABF；③四邊形CBFN為矩形；④∠AFB+∠FAB＝135°；⑤EF2＝FP?BC，其中正確結論的個數是（　?。?br />
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空題（每小題3分共15分）
11．寫出一個大于3且小于4的無理數　 ?。?br /> 12．一元一次不等式組的所有整數解的和為　 ?。?br /> 13．小明和小亮準備報名參加學校社團，人需要在文學社、書畫社、足球社、動漫社中選擇一個，則他們剛好選擇同一個社團的概率是　 ?。?br /> 14．如圖，⊙O中，若直徑AB＝4，C，D為⊙O上兩點，且分別位于直徑AB的兩側，C為弧AB的中點，∠BCD＝15°，則圖中陰影部分的周長為　 　.（結果保留根號或π）．

15．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，M、N分別為AB、CD的中點，點P為線段MN上一動點，以線段BP為邊，在BP左側作等邊三角形BPQ，連接QM，則QM的最小值為　 ?。?br />
三、解答題（共8小題，共75分）
16．（8分）下面是小明同學進行分式化簡的過程，請認真閱讀并完成相應任務．
＝……第一步
＝……第二步
＝……第三步
＝……第四步
＝……第五步
＝……第六步
任務一：填空：
①以上化簡步驟中，第　 　步是進行分式的通分，通分的依據是　 ??；
②第　 　步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是　 ??；
任務二：請寫出該分式正確的化簡過程．
17．（9分）習近平總書記強調：“紅色基因就是要傳承．中華民族從站起來、富起來到強起來，經歷了多少坎坷，創(chuàng)造了多少奇跡，要讓后代牢記我們要不忘初心，永遠不可迷失了方向和道路．”為鼓勵大家讀好紅色經典故事某校開展了“傳承紅色基因讀好紅色經典”活動．為了解七、八年級學生（七、八年級各有80名學生）的閱讀效果，該校舉行了紅色經典文化知識競賽．現(xiàn)從兩個年級各隨機抽取20名學生的競賽成績（百分制）進行分析，過程如下：
收集數據：
七年級：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，78，81，71，75，80，86，59，83，77．
八年級：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．
整理數據：

40≤x≤49
50≤x≤59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
七年級
0
1
0
a
7
1
八年級
1
0
0
7
10
2
分析數據：

平均數
眾數
中位數
七年級
78
75
b
八年級
78
c
80.5
請回答下列問題：
（1）在上面兩個表格中：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 ?。?br /> （2）估計該校七、八年級學生在本次競賽中成績在90分以上的共有多少人？
（3）你認為哪個年級的學生對紅色經典文化知識掌握的總體水平較好，并說明理由．
18．（9分）某區(qū)域平面示意圖如圖所示，點D在河的右側，人民路AB與橋BC垂直．某校數學小組進行研學活動時，在C處測得點D位于西北方向，又在A處測得點D位于南偏東65°方向，另測得BC＝628m，AB＝400m，求出點D到AB的距離．（結果保留整數參考數據sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）

19．（9分）為落實學生每天“陽光一小時”校園體育活動，鄭州市某學校計劃購買一批新的體育用品．經調查了解到甲、乙兩個體育用品商店的優(yōu)惠活動如下：
甲商店：所有商品按標價8折出售；
乙商店：一次購買商品總額不超過200元的按原價計費，超過200元的部分打6折．
設需要購買體育用品的原價總額為x元，去甲商店購買應付y甲元，去乙商店購買應付y乙元，其函數圖象如圖所示．
（1）分別求y甲、y乙與x的關系式；
（2）兩圖象交于點A，請求出A點坐標，并說明點A的實際意義；
（3）請根據函數圖象，直接寫出選擇去哪個商店購買體育用品更合算．

20．（9分）馬老師帶領同學們復習《圓》的內容時，展示出如下內容：“如圖，△ABC內接于⊙O，直徑AB的長為6，過點C的切線交AB的延長線于點D．”馬老師要求同學們在此基礎上添加一個條件編制一道題目，并解答問題．
（1）若添加條件“∠D＝30°”，則AD的長為　 　；
（2）小亮說：“我添加的條件是∠A＝30°，可以得到AC＝DC”你認為小亮的說法是否正確？請說明理由．

21．（10分）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝ax2﹣2ax﹣1（a＜0）．
（1）拋物線的對稱軸為　 　，拋物線與y軸的交點坐標為　 　；
（2）試說明直線y＝x﹣2與拋物線y＝ax2﹣2ax﹣1（a＜0）一定存在兩個交點；
（3）若當﹣2≤x≤2時，y的最大值是1，求當﹣2≤x≤2時，y的最小值是多少？

22．（10分）若一個函數當自變量在不同范圍內取值時，函數表達式不同，我們稱這樣的函數為分段函數．我們可以參照初中學習探究函數的過程與方法，探究分段函數y＝的圖象與性質，請將下列探究過程補充完整
（1）列表：
x
…
﹣3
﹣
﹣2
﹣
﹣1
﹣
0

1

2

3
…
y
…
m

1

2

1

0

1

n
…
其中，m＝　 　，n＝　 　．
（2）描點：在平面直角坐標系中，以自變量x的取值為橫坐標，以相應的函數值y為縱坐標，描出相應的點，如圖所示，請畫出函數的圖象．
（3）研究函數并結合圖象與表格，回答下列問題：
①點A（﹣1，y1），B（﹣，y2），C（x1，），D（x2，6）在函數圖象上，則y1　 　y2，x1　 　x2；（填“＞”，“＝”或“＜”）
②當函數值y＝1.6時，求自變量x的值；
（4）若直線y＝x+b與函數圖象有且只有一個交點，請直接寫出b的取值范圍．

23．（11分）類比、轉化、從特殊到一般等思想方法，在數學學習和研究中經常用到．小明在數學學習中遇到了這樣一個問題：“如圖1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝α，點P在AB邊上，過點P作PQ⊥AC于點Q，△APQ繞點A逆時針方向旋轉，如圖2，連接CQ．O為BC邊的中點，連接PO并延長到點M，使OM＝OP，連接CM．探究在△APQ的旋轉過程中，線段CM，CQ之間的數量關系和位置關系”小明計劃采用從特殊到一般的方法探究這個問題．
特例探究：
（1）填空：如圖3，當α＝30°時，＝　 　，直線CQ與CM所夾銳角的度數為　 ?。蝗鐖D4，當α＝45°時，＝　 　，直線CQ與CM所夾銳角的度數為　 ?。?br /> 一般結論：
（2）將△APQ繞點A逆時針方向旋轉的過程中，線段CQ，CM之間的數量關系如何（用含α的式子表示）？直線CQ與CM所夾銳角的度數是多少？請僅就圖2所示情況說明理由；
問題解決
（3）如圖4，在Rt△ABC中，若AB＝4，α＝45°，AP＝3，將△APQ由初始位置繞點A逆時針方向旋轉β角（0°＜β＜180°），當點Q到直線AC的距離為2時，請直接寫出線段CM的值．


2021年河南省鄭州市中考數學二模試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個答案，其中只有一個是正確的
1．5的絕對值是（　?。?br /> A．﹣5 B． C．﹣ D．5
【分析】根據絕對值的性質求解．
【解答】解：根據正數的絕對值是它本身，得|5|＝5．
故選：D．
2．下列四個圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．
【解答】解：A、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
C、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項符合題意；
D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項不合題意．
故選：C．
3．2021年河南春晚舞蹈節(jié)目《唐宮夜宴》功“出圈”，讓傳統(tǒng)文化活起來、讓現(xiàn)代科技亮起來、讓時代精神燃起來，受到全國網民的追捧．該節(jié)目視頻在網絡上的播放量突破5000萬次，5000萬用科學記數法表示為（　?。?br /> A．5×103 B．0.5×104 C．5×107 D．50×103
【分析】用科學記數法表示較大的數時，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，n為整數，且n比原來的整數位數少1，據此判斷即可．
【解答】解：5000萬＝50000000＝5×107．
故選：C．
4．如圖，直線a∥b，直角三角板ABC的直角頂點C在直線b上，若∠1＝54°，則∠2的度數為（　?。?br />
A．36° B．44° C．46° D．54°
【分析】根據平行線的性質求出∠3的度數，再根據∠2＝∠ACB﹣∠3即可得出答案．
【解答】解：∵直線a∥b，∠1＝54°，
∴∠3＝54°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠2＝∠ACB﹣∠3＝90°﹣54°＝36°．
故選：A．

5．小明在數學課上遇到下列四個算式，你認為運算正確的是（　　）
A．a6÷a3＝a2 B．（﹣a） 2?a3＝a5
C．（a+b）2＝a2+b2 D．a3+a3＝2a6
【分析】根據完全平方公式、同底數冪的乘除法、合并同類項等運算法則計算判斷即可．
【解答】解：A．a6÷a3＝a6﹣3＝a3，故此運算錯誤；
B．（﹣a） 2?a3＝a2?a3＝a2+3＝a5，故此運算正確；
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此運算錯誤；
D．a3+a3＝2a3，故此運算錯誤；
故選：B．
6．若點A（x1，﹣2），B（x2，3），C（x3，4）在反比例函數y＝﹣的圖象上，則x1，x2，x3的關系是（　　）
A．x1＞x2＞x3 B．x2＞x3＞x1 C．x1＞x3＞x2 D．x3＞x2＞x1
【分析】把把A（x1，﹣2），B（x2，3），C（x3，4）依次代入解析式中求出x1、x2、x3即可比較選出答案．
【解答】解：把A（x1，﹣2），B（x2，3），C（x3，4）分別代入反比例函數y＝﹣中得，
x1＝2，x2＝，x3＝﹣1，
∵2，
∴x1＞x3＞x2，
故選：C．
8．小明看到關于四川大涼山留守兒童的關報道后，想為這些孩子獻一份愛心．六一兒童節(jié)當天他將三、四、五三個月掙得的800零花錢成功捐出．已知三月份小明做家務掙得零花錢200元，設從三月份到五月份掙得零花錢的月平均增長率為x，則根據題意列出方程為（　?。?br /> A．200（1+2x）＝800
B．200×2（1+x）＝800
C．200（1+x）2＝800
D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝800
【分析】等量關系為：三月份零花錢+四月份零花錢+五月份零花錢＝800，據此列出方程即可．
【解答】解：設從三月份到五月份掙得零花錢的月平均增長率為x，
根據題意得：200+200（1+x）+200（1+x）2＝800，
故選：D．
9．如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，點P為CD的中點，按以下步驟作圖：①以點P為圓心，PD長為半徑作弧，交AD于點E；②再分別以點D和點E為圓心，大于DE的長為半徑作弧，兩弧相交于點Q；③作直線PQ，交AD于點O，則線段OP的長為（　　）

A． B．2 C． D．3
【分析】解直角三角形求出OP即可．
【解答】解：由作圖可知，OP⊥AD．
在Rt△OPD中，PD＝CD＝2，∠ADP＝60°，
∴OP＝PD?sin60°＝，
故選：A．
10．如圖，△ABC中，CB＝CA，∠ACB＝90°，點D在邊BC上（與B、C不重合），以AD為邊在AD右側作正方形ADEF，過點F作FN⊥CA，交CA的延長線于點N，連接FB，交DE于點P，給出以下結論：①CN＝FN+CD；②∠ADC＝∠ABF；③四邊形CBFN為矩形；④∠AFB+∠FAB＝135°；⑤EF2＝FP?BC，其中正確結論的個數是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根據正方形的性質得到∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF，利用AAS定理證明△FNA≌△ACD，根據全等三角形的性質得到AC＝FN，NA＝CD，判斷①；根據三角形的外角性質判斷②，根據矩形的判定定理判斷③；根據三角形內角和定理判斷④；證明△ACD∽△FEP，根據相似三角形的性質判斷⑤．
【解答】解：∵四邊形ADEF為正方形，
∴∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF，
∴∠CAD+∠FAN＝90°，
∵FN⊥CA，
∴∠FNA＝90°＝∠ACB，
∴∠CAD＝∠AFN，
在△FNA和△ACD中，
，
∴△FNA≌△ACD（AAS），
∴AC＝FN，NA＝CD，
∴CN＝NA+AC＝FN+CD，①結論正確；
∵FN＝AC，AC＝BC，
∴FN＝BC，
∵FN∥BC，∠ACB＝90°，
∴四邊形CBFN為矩形，③結論正確；
∵四邊形CBFN為矩形，
∴∠CBF＝90°，
∵CB＝CA，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ABF＝45°，
∵∠ADC＞∠ABC，
∴∠ADC＞∠ABF，③結論錯誤；
∵∠ABF＝45°，
∴∠AFB+∠FAB＝135°，④結論正確；
∵∠FPE＝∠DPB＝∠ADC，∠E＝∠C＝90°，
∴△ACD∽△FEP，
∴＝，
∵AD＝EF，AC＝BC，
∴EF2＝FP?BC，⑤結論正確；
故選：C．
二、填空題（每小題3分共15分）
11．寫出一個大于3且小于4的無理數　π（答案不唯一）?。?br /> 【分析】根據無理數是無限不循環(huán)小數進行解答，由于π≈3.14…，故π符合題意．
【解答】解：∵π≈3.14…，
∴3＜π＜4，
故答案為：π（答案不唯一）．
12．一元一次不等式組的所有整數解的和為　2　．
【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．
【解答】解：，
解不等式①得：x＞﹣2，
解不等式②得：x≤2，
則不等式組的解集為﹣2＜x≤2，
所以不等式組的整數解為﹣1，0，1，2，則﹣1+0+1+2＝2，
故答案為2．
13．小明和小亮準備報名參加學校社團，人需要在文學社、書畫社、足球社、動漫社中選擇一個，則他們剛好選擇同一個社團的概率是　　．
【分析】畫樹狀圖，共有16種等可能的結果，其中小亮和小明選同一個社團的有4種結果，再由概率公式求解即可．
【解答】解：將文學社、書畫社、足球社、動漫社分別記為A、B、C、D，
畫樹狀圖如下：

共有16種等可能的結果，其中小亮和小明選同一個社團的有4種結果，
∴他們剛好選擇同一個社團的概率是＝，
故答案為：．
14．如圖，⊙O中，若直徑AB＝4，C，D為⊙O上兩點，且分別位于直徑AB的兩側，C為弧AB的中點，∠BCD＝15°，則圖中陰影部分的周長為　π+2+2　.（結果保留根號或π）．

【分析】作直徑CE，連接DE、OD，如圖，利用圓心角、弧、弦的關系得到∠BOC＝∠AOC＝90°，則根據等腰直角三角形的性質得到BC＝2，∠OCB＝45°，利用圓周角定理得到∠CDE＝90°，∠BOD＝30°，然后計算出CD和的長度，從而得到圖中陰影部分的周長．
【解答】解：作直徑CE，連接DE、OD，如圖，
∵C為弧AB的中點，
∴∠BOC＝∠AOC＝90°，
∴△OBC為等腰直角三角形，
∴BC＝OB＝2，∠OCB＝45°，
∵∠BCD＝15°，
∴∠DCE＝45°﹣15°＝30°，
∵CE為直徑，
∴∠CDE＝90°，
∴DE＝CE＝2，
∴CD＝DE＝2，
∵∠BOD＝2∠BCD＝30°，
∴的長度＝＝π，
∴圖中陰影部分的周長為π+2+2．
故答案為π+2+2．

15．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，M、N分別為AB、CD的中點，點P為線段MN上一動點，以線段BP為邊，在BP左側作等邊三角形BPQ，連接QM，則QM的最小值為　?。?br />
【分析】點P在線段MN上運動時，以BP為邊的等邊三角形BPQ的頂點Q的軌跡是線段Q1Q2 所在的直線，當MQ⊥Q1Q2時值最小由題意可得MA＝MQ1＝1，∠Q1MA＝120°，然后由直角三角形求MQ即可．
【解答】解：由題意可知，當點P與點M重合時，以BP為邊在左側所做的等邊三角形BMQ1，
當BP等于BA時所做的等邊三角形BPA，此時Q和A重合，
當P運動到點N時，以BP為邊所做的等邊三角形BNQ2，
∴點P在線段MN上運動時，以BP為邊的等邊三角形BPQ的頂點Q的軌跡是線段Q1Q2 所在的直線，
當MQ⊥Q1Q2時值最小，如圖所示：

∵ABCD是矩形，AB＝2，AD＝2，M是AB邊的中點，
∴AM＝BM＝1，
∵BMQ1是等邊三角形，
∴MQ1＝AM＝BM＝1，∠BMQ1＝60°，
∴∠Q1MA＝120°，
∴∠MQ1Q＝30°，
又∵MQ⊥Q1Q2，
MQ＝．
故答案為：
三、解答題（共8小題，共75分）
16．（8分）下面是小明同學進行分式化簡的過程，請認真閱讀并完成相應任務．
＝……第一步
＝……第二步
＝……第三步
＝……第四步
＝……第五步
＝……第六步
任務一：填空：
①以上化簡步驟中，第　三　步是進行分式的通分，通分的依據是　分式的基本性質（或填為：分式的分子分母都乘（或除以）同一個不為0的整式，分式的值不變）?。?br /> ②第　五　步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是　括號前面是“﹣”去掉括號后，括號里面的第二項沒有變號?。?br /> 任務二：請寫出該分式正確的化簡過程．
【分析】①根據分式的基本性質解答即可；
②根據去括號法則解答即可；
根據分式的加減運算法則計算即可得到答案．
【解答】解：任務一：
①第三步，分式的基本性質（或填為：分式的分子分母都乘（或除以）同一個不為0的整式，分式的值不變），
故答案為：三，分式的基本性質（或填為：分式的分子分母都乘（或除以）同一個不為0的整式，分式的值不變）；
②第五步，括號前面是“﹣”去掉括號后，括號里面的第二項沒有變號；
故答案為：五，括號前面是“﹣”去掉括號后，括號里面的第二項沒有變號．
任務二：

＝
＝
＝
＝
＝．
17．（9分）習近平總書記強調：“紅色基因就是要傳承．中華民族從站起來、富起來到強起來，經歷了多少坎坷，創(chuàng)造了多少奇跡，要讓后代牢記我們要不忘初心，永遠不可迷失了方向和道路．”為鼓勵大家讀好紅色經典故事某校開展了“傳承紅色基因讀好紅色經典”活動．為了解七、八年級學生（七、八年級各有80名學生）的閱讀效果，該校舉行了紅色經典文化知識競賽．現(xiàn)從兩個年級各隨機抽取20名學生的競賽成績（百分制）進行分析，過程如下：
收集數據：
七年級：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，78，81，71，75，80，86，59，83，77．
八年級：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．
整理數據：

40≤x≤49
50≤x≤59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
七年級
0
1
0
a
7
1
八年級
1
0
0
7
10
2
分析數據：

平均數
眾數
中位數
七年級
78
75
b
八年級
78
c
80.5
請回答下列問題：
（1）在上面兩個表格中：a＝　11　，b＝　77.5　，c＝　81　．
（2）估計該校七、八年級學生在本次競賽中成績在90分以上的共有多少人？
（3）你認為哪個年級的學生對紅色經典文化知識掌握的總體水平較好，并說明理由．
【分析】（1）根據中位數、眾數的意義求解即可；
（2）求出90分以上的所占得百分比即可；
（3）根據中位數、眾數的比較得出結論．
【解答】解：（1）a＝20﹣1﹣7﹣1＝11，
將七年級學生成績從小到大排列處在中間位置的兩個數的平均數為＝77.5，因此中位數是77.5，即b＝77.5，
八年級學生成績出現(xiàn)次數最多的是81分，共出現(xiàn)3次，因此眾數是81，即c＝81，
故答案為：11，77.5，81；
（2）（80+80）×＝12（人），
答：該校七、八年級學生在本次競賽中成績在90分以上的共有12人；
（3）八年級學生的總體水平較好，
因為七、八年級的平均數相等，而八年級的眾數和中位數大于七年級的眾數和中位數，
所以八年級得分高的人數較多，即八年級學生的總體水平較好．
18．（9分）某區(qū)域平面示意圖如圖所示，點D在河的右側，人民路AB與橋BC垂直．某校數學小組進行研學活動時，在C處測得點D位于西北方向，又在A處測得點D位于南偏東65°方向，另測得BC＝628m，AB＝400m，求出點D到AB的距離．（結果保留整數參考數據sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）

【分析】過點D作DE⊥AB于E，過D作DF⊥BC于F，則四邊形EBFD是矩形，設DE＝x，根據BE＝DF＝CF，列方程可得結論．
【解答】解：如圖，過點D作DE⊥AB于E，過D作DF⊥BC于F，則四邊形EBFD是矩形，

設DE＝x，
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，
∵tan∠DAE＝，
∴AE＝≈，
∴BE＝AB﹣AE＝400﹣，
又BF＝DE＝x，
∴CF＝BC﹣BF＝628﹣x，
在Rt△CDF中，∠DFC＝90°，∠DCF＝45°，
∴∠CDF＝45°，
∴∠CDF＝∠DCF，
∴DF＝CF＝628﹣x，
又BE＝DF，
即：400﹣＝628﹣x，
解得：x≈428，
故：點D到AB的距離約428m．
19．（9分）為落實學生每天“陽光一小時”校園體育活動，鄭州市某學校計劃購買一批新的體育用品．經調查了解到甲、乙兩個體育用品商店的優(yōu)惠活動如下：
甲商店：所有商品按標價8折出售；
乙商店：一次購買商品總額不超過200元的按原價計費，超過200元的部分打6折．
設需要購買體育用品的原價總額為x元，去甲商店購買應付y甲元，去乙商店購買應付y乙元，其函數圖象如圖所示．
（1）分別求y甲、y乙與x的關系式；
（2）兩圖象交于點A，請求出A點坐標，并說明點A的實際意義；
（3）請根據函數圖象，直接寫出選擇去哪個商店購買體育用品更合算．

【分析】（1）根據題意，可以分別寫出甲、乙兩家商店y與x的函數關系式；
（2）根據（1）的結論列方程組解答即可；
（3）由點A的意義并結合圖象解答即可．
【解答】解：（1）由題意可得，y甲＝0.8x；
乙商店：當0≤x≤200時，y乙與x的函數關系式為y乙＝x；
當x＞200時，y乙＝200+（x﹣200）×0.6＝0.6x+80，
由上可得，y乙與x的函數關系式為y乙＝；
（2）由，解得，
點A的實際意義是當買的體育商品標價為400元時，甲、乙商店優(yōu)惠后所需費用相同，都是320元；
（3）由點A的意義，結合圖象可知，當x＜400時，選擇甲商店更合算；當x＝400時，兩家商店所需費用相同；當x＞400時，選擇乙商店更合算．
20．（9分）馬老師帶領同學們復習《圓》的內容時，展示出如下內容：“如圖，△ABC內接于⊙O，直徑AB的長為6，過點C的切線交AB的延長線于點D．”馬老師要求同學們在此基礎上添加一個條件編制一道題目，并解答問題．
（1）若添加條件“∠D＝30°”，則AD的長為　9　；
（2）小亮說：“我添加的條件是∠A＝30°，可以得到AC＝DC”你認為小亮的說法是否正確？請說明理由．

【分析】（1）連接OC，根據切線的性質得到∠OCD＝90°，根據含30°的直角三角形的性質計算；
（2）小亮的說法正確；根據圓周角定理得到∠ACB＝90°，證明△OBC為等邊三角形，利用ASA定理證明△ABC≌△DOC，則其對應邊相等．
【解答】解：（1）連接OC，
∵DC是⊙O的切線，
∴∠OCD＝90°，
又∵∠D＝30°，
∴OD＝2OC＝6，
∴AD＝OA+OD＝3+6＝9，
故答案為：9；
（2）小亮的說法正確，理由如下：
∵AB是⊙O是直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝60°，又OB＝OC，
∴△OBC為等邊三角形，
∴CO＝CB，∠CBA＝∠COD＝60°，
在△ABC和△DOC中，
，
∴△ABC≌△DOC（ASA）．
∴AC＝DC．

21．（10分）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝ax2﹣2ax﹣1（a＜0）．
（1）拋物線的對稱軸為　x＝1　，拋物線與y軸的交點坐標為?。?，﹣1）??；
（2）試說明直線y＝x﹣2與拋物線y＝ax2﹣2ax﹣1（a＜0）一定存在兩個交點；
（3）若當﹣2≤x≤2時，y的最大值是1，求當﹣2≤x≤2時，y的最小值是多少？

【分析】（1）由對稱軸方程x＝﹣，將對應系數代入可得，令拋物線解析式中的x＝0，求得y，答案可得；
（2）令x﹣2＝ax2﹣2ax﹣1，說明△＞0即可；
（3）利用當﹣2≤x≤2時，y的最大值是1，可求得a的值，再利用二次函數圖象的特點可求得當x＝﹣2時，可以確定y的最小值．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為x＝﹣，
∴拋物線y＝ax2﹣2ax﹣1的對稱軸為＝﹣＝1．
令x＝0，則y＝﹣1．
∴拋物線y＝ax2﹣2ax﹣1與y軸的交點為（0，﹣1）．
故答案為：x＝1；（0，﹣1）．
（2））令x﹣2＝ax2﹣2ax﹣1，
整理得：ax2﹣（2a+1）x+1﹣0．
∵△＝[﹣（2a+1）]2﹣4×a×1＝4a2+1＞0，
∴直線y＝x﹣2與拋物線y＝ax2﹣2ax﹣1（a＜0）一定存在兩個交點．
（3）∵拋物線y＝ax2﹣2ax﹣1（a＜0）的對稱軸為x＝1，
∴頂點在﹣2≤x≤2范圍內．

∵y的最大值是1，
∴頂點坐標為（1，1）．
∵a＜0，
∴拋物線y＝ax2﹣2ax﹣1的開口向下．
∴當x＜1時，y隨x的增大而增大，當x＞1時，y隨x的增大而減?。?br /> ∵﹣2離對稱軸x＝1更遠些，
∴當x＝﹣2時，y有最小值．
將頂點（1，1）代入拋物線y＝ax2﹣2ax﹣1中，
∴a﹣2a﹣1＝1．
∴a＝﹣2．
∴y＝﹣2x2+4x﹣1．
∴當x＝﹣2時，y＝﹣2×4+4×（﹣2）﹣1＝﹣17．
即y的最小值為﹣17．
22．（10分）若一個函數當自變量在不同范圍內取值時，函數表達式不同，我們稱這樣的函數為分段函數．我們可以參照初中學習探究函數的過程與方法，探究分段函數y＝的圖象與性質，請將下列探究過程補充完整
（1）列表：
x
…
﹣3
﹣
﹣2
﹣
﹣1
﹣
0

1

2

3
…
y
…
m

1

2

1

0

1

n
…
其中，m＝　　，n＝　2　．
（2）描點：在平面直角坐標系中，以自變量x的取值為橫坐標，以相應的函數值y為縱坐標，描出相應的點，如圖所示，請畫出函數的圖象．
（3）研究函數并結合圖象與表格，回答下列問題：
①點A（﹣1，y1），B（﹣，y2），C（x1，），D（x2，6）在函數圖象上，則y1　＞　y2，x1?。肌2；（填“＞”，“＝”或“＜”）
②當函數值y＝1.6時，求自變量x的值；
（4）若直線y＝x+b與函數圖象有且只有一個交點，請直接寫出b的取值范圍．

【分析】（1）把x＝﹣3代入y＝﹣中即可求得m的值；把x＝3代入y＝|x﹣1|中，即可求得n的值；
（2）描點連線即可；
（3）①A與B在y＝﹣上，y隨x的增大而增大，所以y1＞y2；C與D在y＝|x﹣1|上，觀察圖象可得x1＜x2；
②當y＝1.6時，1.6＝|x﹣1|，則有x＝﹣0.6或x＝2.6；1.6＝﹣，則有x＝﹣1.25；
（4）由圖象可知，﹣1＜b＜2或b＞3．
【解答】解：（1）x＝﹣3代入y＝﹣得，y＝，
∴m＝，
把x＝3代入y＝|x﹣1|中得，y＝2，
∴n＝2，
故答案為，2；
（2）如圖所示：

（3）①由圖象可知A與B在y＝﹣上，y隨x的增大而增大，所以y1＞y2；
C與D在y＝|x﹣1|上，所以x1＜x2；
故答案為＞，＜；
②當y＝1.6時，x＞﹣1時，有1.6＝|x﹣1|，
∴x＝﹣0.6或x＝2.6，
當y＝1.6時，x≤﹣1時，有1.6＝﹣，
∴x＝﹣1.25，
故x＝﹣0.6或x＝2.6或x＝﹣1.25；
（4）由圖象可知，﹣1＜b＜2或b＞3．
23．（11分）類比、轉化、從特殊到一般等思想方法，在數學學習和研究中經常用到．小明在數學學習中遇到了這樣一個問題：“如圖1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝α，點P在AB邊上，過點P作PQ⊥AC于點Q，△APQ繞點A逆時針方向旋轉，如圖2，連接CQ．O為BC邊的中點，連接PO并延長到點M，使OM＝OP，連接CM．探究在△APQ的旋轉過程中，線段CM，CQ之間的數量關系和位置關系”小明計劃采用從特殊到一般的方法探究這個問題．
特例探究：
（1）填空：如圖3，當α＝30°時，＝　　，直線CQ與CM所夾銳角的度數為　30°??；如圖4，當α＝45°時，＝　　，直線CQ與CM所夾銳角的度數為　45°　；
一般結論：
（2）將△APQ繞點A逆時針方向旋轉的過程中，線段CQ，CM之間的數量關系如何（用含α的式子表示）？直線CQ與CM所夾銳角的度數是多少？請僅就圖2所示情況說明理由；
問題解決
（3）如圖4，在Rt△ABC中，若AB＝4，α＝45°，AP＝3，將△APQ由初始位置繞點A逆時針方向旋轉β角（0°＜β＜180°），當點Q到直線AC的距離為2時，請直接寫出線段CM的值．

【分析】（1）如圖3中，連接PB，延長BP交CQ的延長線于J，延長QC到R，設AC交BJ于點K．利用相似三角形的性質解決問題即可．圖4同法可得．
（2）如圖2中，連接PB，延長BP交CQ于J，延長QC到R，設AC交BJ于點K．利用相似三角形的性質解決問題即可．
（3）分兩種情形：如圖3﹣1中，過點Q作QD⊥AC于D，連接PB．如圖3﹣2中，過點Q作QD⊥AC于D，連接PB．分別利用勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）如圖3中，連接PB，延長BP交CQ的延長線于J，延長QC到R，設AC交BJ于點K．

∵∠PAQ＝∠BAC，
∴∠CAQ＝∠BAP，
∵＝＝cos30°＝，
∴△QAC∽△PAB，
∴＝＝，∠ABP＝∠ACQ，
∵∠AKB＝∠CKJ，
∴∠CJK＝∠BAK＝30°，
∵OP＝OM，∠POB＝∠MOC，OB＝OC，
∴△POB≌△MOC（SAS），
∴PB＝CM，∠BPO＝∠M，
∴＝，BJ∥CM，
∴∠RCM＝∠J＝30°．
如圖4中，同法可證＝，直線CQ與CM所夾銳角的度數為45°．
故答案為：，30°，，45°．

（2）如圖2中，連接PB，延長BP交CQ于J，延長QC到R，設AC交BJ于點K．

∵∠PAQ＝∠BAC，
∴∠CAQ＝∠BAP，
∵＝＝cosα，
∴△QAC∽△PAB，
∴＝＝cosα，∠ABP＝∠ACQ，
∵∠AKB＝∠CKJ，
∴∠CJK＝∠BAK＝α，
∵OP＝OM，∠POB＝∠MOC，OB＝OC，
∴△POB≌△MOC（SAS），
∴PB＝CM，∠BPO＝∠M，
∴＝cosα，BJ∥CM，
∴∠RCM＝∠J＝α．


（3）如圖3﹣1中，過點Q作QD⊥AC于D，連接PB．

∵△AQP，△ABC都是等腰直角三角形，AP＝3，AB＝4，
∴AQ＝QP＝，AC＝BC＝2，
∵QD＝2，
∴AD＝＝＝，
∴CD＝AC﹣AD＝，
∴CQ＝＝＝，
∵＝，
∴PB＝QC＝，
∴CM＝BP＝

如圖3﹣2中，過點Q作QD⊥AC于D，連接PB．

同法可得AD＝，CD＝，
∴CQ＝＝＝，
∴CM＝PB＝CQ＝，
綜上所述，滿足條件的CM的值為或．


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