?2021年浙江省寧波市南三縣中考數(shù)學(xué)一模試卷
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1．（4分）﹣2021的倒數(shù)是（　?。?br /> A．2021 B． C．﹣2021 D．
2．（4分）2020年，面對極其復(fù)雜嚴(yán)峻的國內(nèi)外形勢特別是新冠肺炎疫情的嚴(yán)重沖擊，寧波市2020全年實(shí)現(xiàn)地區(qū)生產(chǎn)總值GDP12408.7億元，按可比價(jià)格計(jì)算，比上年增長3.3%．12408.7億用科學(xué)記數(shù)法可表示為（　?。?br /> A．1.24087×1012 B．124087×108
C．1.24087×1013 D．124087×1011
3．（4分）一個(gè)由圓柱和長方體組成的幾何體如圖水平放置，它的俯視圖是（　?。?br />
A． B． C． D．
4．（4分）下列運(yùn)算正確的是（　　）
A．x2+x3＝x5 B．（x﹣2）2＝x2﹣4
C．（x3）4＝x7 D．2x2?x3＝2x5
5．（4分）為了防控疫情，學(xué)校決定從三位老師中（含甲老師）隨機(jī)抽調(diào)2人去值周查體溫，則甲老師被抽調(diào)去值周的概率是（　?。?br /> A． B． C． D．
6．（4分）在函數(shù)y＝中，自變量x的取值范圍是（　?。?br /> A．x≥3 B．x＞0且x≠3 C．x≤3 D．x≤3且x≠0
7．（4分）如圖，D，E分別是AB，AC上的中點(diǎn)，F(xiàn)是DE上的一點(diǎn)，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝8，則EF的長為（　?。?br />
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（4分）我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中記載了一道題，大意是：100匹馬恰好拉了100片瓦，已知3匹小馬能拉1片瓦，1匹大馬能拉3片瓦，求小馬，大馬各有多少匹．若設(shè)小馬有x匹，大馬有y匹，則下列方程組中正確的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
9．（4分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點(diǎn)（﹣1，0），其對稱軸為直線x＝1，若2＜c＜3，則下列結(jié)論中錯誤的是（　?。?br />
A．a(chǎn)bc＜0 B．4a+c＞0 C．﹣1＜a＜﹣ D．4a+2b+c＞0
10．（4分）如圖，是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面積分別為S1，S2，S3，若知道圖中陰影部分面積，一定能求出（　　）

A．S1+2S3 B．S3﹣S1 C．S1+S2+S3 D．S1+S3﹣2S2
二、填空題（本題有6個(gè)小題，每小題5分，共30分）
11．（5分）﹣64的立方根是　 ?。?br /> 12．（5分）分解因式：a3﹣9a＝　 ?。?br /> 13．（5分）如圖，用圓心角為120°半徑為6的扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面（接縫忽略不計(jì)），則這個(gè)圓錐的高是　 ?。?br />
14．（5分）李同學(xué)畢業(yè)后收到了甲、乙、丙三家公司的入職通知書，李同學(xué)統(tǒng)計(jì)了一下三家公司這一年的月工資平均數(shù)及方差，如下表所示：

甲
乙
丙
平均數(shù)
6000
6000
5000
方差
5.2
3.8
5.2
李同學(xué)是個(gè)愛挑戰(zhàn)自己的人，希望短時(shí)間內(nèi)有可能拿到更高工資，那么他該選擇　 　公司．
15．（5分）如圖，已知AD是∠BAC的平分線，以線段AB為直徑作圓，交∠BAC和角平分線于C，D兩點(diǎn)．過D向AC作垂線DE垂足為點(diǎn)E．若DE＝2CE＝4，則直徑AB＝　 ?。?br />
16．（5分）如圖，△AOB兩個(gè)頂點(diǎn)A（﹣2，﹣1），B（1，2）在反比例函數(shù)圖象上，若點(diǎn)P是第一象限內(nèi)雙曲線上一點(diǎn)，且S△APB＝2S△AOB，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為　 ?。?br />
三、解答題（本大題共8小題，共80分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（8分）（1）化簡：（2a+b）（2a﹣b）﹣4a（a﹣b）．
（2）解不等式組：．
18．（8分）如圖，在正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上．請僅用無刻度直尺完成以下作圖（保留作圖痕跡）．
（1）在圖1中，作△ABC關(guān)于點(diǎn)O對稱的△A'B'C'；
（2）在圖2中，作△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后，頂點(diǎn)仍在格點(diǎn)上的△AB'C'．

19．（8分）2021年是“五年奉獻(xiàn)一個(gè)新奉化”的攻堅(jiān)之年，大量基礎(chǔ)建設(shè)在有序推進(jìn)中．如圖，工程隊(duì)擬沿AC方向挖掘隧道，為加快施工進(jìn)度，需在另一邊E處同時(shí)施工，使A，C，E三點(diǎn)在一條直線上，工程隊(duì)從AC上的一點(diǎn)B取∠ABD＝140°，BD＝560米，∠D＝50°，則點(diǎn)E與點(diǎn)D之間的距離是多少米？（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

20．（10分）拋物線y＝ax2+bx+c與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點(diǎn)，已知OA＝2OB＝2OC＝4．
（1）求拋物線解析式：
（2）若腰長為4的等腰直角三角形BDE的一直角邊在x軸上，請問拋物線平移后能否同時(shí)經(jīng)過D，E兩點(diǎn)？若能，請說明平移方式；若不能，請說明理由．

21．（10分）教育部頒發(fā)的《中小學(xué)教育懲戒規(guī)則（試行）》并從2021年3月1日起實(shí)行，某校隨機(jī)抽取該校部分家長，按四個(gè)類別：A表示“非常支持”，B表示“支持”，C表示“不關(guān)心”，D表示“不支持”，調(diào)查他們對該規(guī)則態(tài)度的情況，將結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)圖中提供的信息，解決下列問題：
（1）這次共抽取了　 　名家長進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，扇形統(tǒng)計(jì)圖中，D類所對應(yīng)的扇形圓心角的大小是　 ?。?br /> （2）將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；
（3）該學(xué)校共有2000名學(xué)生家長，估計(jì)該學(xué)校家長表示“支持”的（A類，B類的和）人數(shù)大約有多少人？

22．（10分）時(shí)下少兒編程是一個(gè)很熱門的項(xiàng)目，需要有良好的數(shù)學(xué)邏輯思維，某次由編程控制的兩輛模型車沿同一路線同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)駛向B點(diǎn)，途中乙車按照程序設(shè)定停車一段時(shí)間，然后以一定的速度勻速駛向B點(diǎn)，甲車從A到B點(diǎn)速度始終保持不變，如圖所示是甲、乙兩車之間的距離y（分米）與兩車出發(fā)時(shí)間x（分鐘）的函數(shù)圖象．根據(jù)相關(guān)信息解答下列問題：
（1）點(diǎn)M的坐標(biāo)表示的實(shí)際意義是什么？
（2）求出MN所表示的關(guān)系式，并寫出乙車停車后再出發(fā)的速度．
（3）求停車前兩車的速度以及a的值．

23．（12分）如圖，在折紙游戲中，正方形ABCD沿著BE，BF將BC，AB翻折，使A，C兩點(diǎn)恰好落在點(diǎn)P．
（1）求證：∠EBF＝45°．
（2）如圖，過點(diǎn)P作MN∥BC，交BF于點(diǎn)Q．
①若BM＝5，且MP?PN＝10，求正方形折紙的面積．
②若QP＝BC，求的值．

24．（14分）定義：三角形內(nèi)部有一小三角形與原三角形相似，其中小三角形的三個(gè)頂點(diǎn)在原三角形的三邊上（頂點(diǎn)可重合），則稱這兩個(gè)三角形是星相似三角形．例如：如圖1，Rt△ABC中，∠BCA∠＝CEA＝90°，△ACE和△ABC是星相似三角形．如圖2，D是AB的中點(diǎn)，以CD為直徑畫圓，交AB，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，AC＝1．
（1）①若BC＝2，求DE的長．
②設(shè)BC＝x，＝y(tǒng)，試寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式．
（2）若CG＝CE，則△CEG與哪個(gè)三角形星相似，并證明．
（3）在（2）的條件下，求BC的長．


2021年浙江省寧波市南三縣中考數(shù)學(xué)一模試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1．（4分）﹣2021的倒數(shù)是（　　）
A．2021 B． C．﹣2021 D．
【分析】直接利用倒數(shù)的定義得出答案．
【解答】解：﹣2021的倒數(shù)是：﹣．
故選：D．
2．（4分）2020年，面對極其復(fù)雜嚴(yán)峻的國內(nèi)外形勢特別是新冠肺炎疫情的嚴(yán)重沖擊，寧波市2020全年實(shí)現(xiàn)地區(qū)生產(chǎn)總值GDP12408.7億元，按可比價(jià)格計(jì)算，比上年增長3.3%．12408.7億用科學(xué)記數(shù)法可表示為（　　）
A．1.24087×1012 B．124087×108
C．1.24087×1013 D．124087×1011
【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時(shí)，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，且n比原來的整數(shù)位數(shù)少1，據(jù)此判斷即可．
【解答】解：12408.7億＝1.24087×1012．
故選：A．
3．（4分）一個(gè)由圓柱和長方體組成的幾何體如圖水平放置，它的俯視圖是（　　）

A． B． C． D．
【分析】找到從上面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在俯視圖中．
【解答】解：幾何體的俯視圖是：

故選：C．
4．（4分）下列運(yùn)算正確的是（　　）
A．x2+x3＝x5 B．（x﹣2）2＝x2﹣4
C．（x3）4＝x7 D．2x2?x3＝2x5
【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)法則、冪的乘方、單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式、完全平方公式分別求出每個(gè)式子的值，再判斷即可．
【解答】解：A、x2和x3不能合并，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、結(jié)果是x2﹣4x+4，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、結(jié)果是x12，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、結(jié)果是2x5，故本選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
5．（4分）為了防控疫情，學(xué)校決定從三位老師中（含甲老師）隨機(jī)抽調(diào)2人去值周查體溫，則甲老師被抽調(diào)去值周的概率是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．
【解答】解：將另外兩位老師記為乙、丙，列表如下：

甲
乙
丙
甲

（乙，甲）
（丙，甲）
乙
（甲，乙）

（丙，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）

由表可知，共有6種等可能結(jié)果，其中甲老師被抽調(diào)去值周的有4種結(jié)果，
所以甲老師被抽調(diào)去值周的概率為＝，
故選：A．
6．（4分）在函數(shù)y＝中，自變量x的取值范圍是（　　）
A．x≥3 B．x＞0且x≠3 C．x≤3 D．x≤3且x≠0
【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0，得到關(guān)于x的一元一次不等式組，解之即可．
【解答】解：根據(jù)題意得：3﹣x≥0，
解得：x≤3．
故選：C．
7．（4分）如圖，D，E分別是AB，AC上的中點(diǎn)，F(xiàn)是DE上的一點(diǎn)，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝8，則EF的長為（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用三角形中位線定理得到DE＝BC．由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到DF＝AB．所以由圖中線段間的和差關(guān)系來求線段EF的長度即可．
【解答】解：∵DE是△ABC的中位線，BC＝8，
∴DE＝BC＝4．
∵∠AFB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，AB＝6，
∴DF＝AB＝3，
∴EF＝DE﹣DF＝4﹣3＝1．
故選：A．
8．（4分）我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中記載了一道題，大意是：100匹馬恰好拉了100片瓦，已知3匹小馬能拉1片瓦，1匹大馬能拉3片瓦，求小馬，大馬各有多少匹．若設(shè)小馬有x匹，大馬有y匹，則下列方程組中正確的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)“3匹小馬能拉1片瓦，1匹大馬能拉3片瓦”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．
【解答】解：根據(jù)題意可得：，
故選：C．
9．（4分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點(diǎn)（﹣1，0），其對稱軸為直線x＝1，若2＜c＜3，則下列結(jié)論中錯誤的是（　?。?br />
A．a(chǎn)bc＜0 B．4a+c＞0 C．﹣1＜a＜﹣ D．4a+2b+c＞0
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案．
【解答】解：A．拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)，則ab＜0，而c＞0，
故abc＜0，正確，不符合題意；

B．函數(shù)的對稱軸為直線x＝﹣＝1，則b＝﹣2a，
∵從圖象看，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＝3a+c＝0，
而a＜0，故4a+c＜0，故B錯誤，符合題意；

C．④∵﹣＝1，故b＝﹣2a，
∵x＝﹣1，y＝0，故a﹣b+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∵2＜c＜3，
∴2＜﹣3a＜3，
∴﹣1＜a＜﹣，故C正確，不符合題意；

D．從圖象看，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4a+2b+c＞0，
故D正確，不符合題意；
故選：B．
10．（4分）如圖，是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面積分別為S1，S2，S3，若知道圖中陰影部分面積，一定能求出（　?。?br />
A．S1+2S3 B．S3﹣S1 C．S1+S2+S3 D．S1+S3﹣2S2
【分析】根據(jù)八個(gè)直角三角形全等，四邊形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，利用勾股定理解答即可．
【解答】解：設(shè)陰影面積為a，八個(gè)全等的直角三角形中一個(gè)的面積為x，
則S2﹣S1＝4x，S3﹣a﹣S1＝8x，
∴S3﹣a﹣S1＝2（S2﹣S1），
∴S3﹣a﹣S1＝2S2﹣2S1，
∴S3﹣S1﹣2S2+2S1＝a，
∴S3+S1﹣2S2＝a，
由于a已知，故S3+S1﹣2S2已知，
即可求出S3+S1﹣2S2，
故選：D．
二、填空題（本題有6個(gè)小題，每小題5分，共30分）
11．（5分）﹣64的立方根是　﹣4?。?br /> 【分析】根據(jù)立方根的定義求解即可．
【解答】解：∵（﹣4）3＝﹣64，
∴﹣64的立方根是﹣4．
故選﹣4．
12．（5分）分解因式：a3﹣9a＝　a（a+3）（a﹣3）　．
【分析】本題應(yīng)先提出公因式a，再運(yùn)用平方差公式分解．
【解答】解：a3﹣9a＝a（a2﹣32）＝a（a+3）（a﹣3）．
13．（5分）如圖，用圓心角為120°半徑為6的扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面（接縫忽略不計(jì)），則這個(gè)圓錐的高是　4?。?br />
【分析】根據(jù)題目提供的數(shù)據(jù)求出扇形的弧長，根據(jù)扇形的弧長等于圓錐地面的周長求出圓錐的半徑，然后在圓錐的高、母線和底面半徑構(gòu)造的直角三角形中求圓錐的高．
【解答】解：扇形的弧長為：＝4π，
∵扇形的弧長等于圓錐的底面周長，
∴2πr＝4π，
解得：圓錐的底面半徑r＝2，
∴圓錐的高為：＝4．
故答案為：4．
14．（5分）李同學(xué)畢業(yè)后收到了甲、乙、丙三家公司的入職通知書，李同學(xué)統(tǒng)計(jì)了一下三家公司這一年的月工資平均數(shù)及方差，如下表所示：

甲
乙
丙
平均數(shù)
6000
6000
5000
方差
5.2
3.8
5.2
李同學(xué)是個(gè)愛挑戰(zhàn)自己的人，希望短時(shí)間內(nèi)有可能拿到更高工資，那么他該選擇　甲　公司．
【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的意義求解即可．
【解答】解：由表知，甲、乙公司的平均數(shù)均為6000，大于丙公司，而甲公司的方差大于乙公司，波動性大，更富有挑戰(zhàn)性，
故答案為：甲．
15．（5分）如圖，已知AD是∠BAC的平分線，以線段AB為直徑作圓，交∠BAC和角平分線于C，D兩點(diǎn)．過D向AC作垂線DE垂足為點(diǎn)E．若DE＝2CE＝4，則直徑AB＝　10?。?br />
【分析】連接CD，BD，OD，過點(diǎn)D作DP⊥AB于點(diǎn)P，根據(jù)勾股定理求出CD，由圓周角定理可得BD＝CD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DP＝DE，在Rt△ODP中，根據(jù)勾股定理可得半徑r的值，即可得出直徑AB的值．
【解答】解：連接CD，BD，OD，過點(diǎn)D作DP⊥AB于點(diǎn)P，

∵DE⊥AC，DE＝2CE＝4，
∴CE＝2，
∴CD＝＝2，
∵AD是∠BAC的平分線，DP⊥AB，DE⊥AC，
∴∠BAD＝∠DAC，DP＝DE＝4，
∴BD＝CD＝2，
∴PB＝＝2，
在Rt△ODP中，設(shè)OD＝r，則OP＝r﹣2，
∴r2＝（r﹣2）2+42，解得：r＝5，
∴AB＝2r＝10．
故答案為：10．
16．（5分）如圖，△AOB兩個(gè)頂點(diǎn)A（﹣2，﹣1），B（1，2）在反比例函數(shù)圖象上，若點(diǎn)P是第一象限內(nèi)雙曲線上一點(diǎn)，且S△APB＝2S△AOB，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為?。ǎ┗颍?，1）?。?br />
【分析】先求出S△APB，再討論點(diǎn)P在點(diǎn)B上方與下方倆種情況求解．
【解答】解：設(shè)AB所在直線為y＝kx+b，將A（﹣2，﹣1），B（1，2）代入得：
，解得，
∴y＝x+1．
當(dāng)y＝0時(shí)，x＝﹣1，
∴直線與x軸交點(diǎn)為（﹣1，0）．
∴S△AOB＝（yB﹣yA）＝，
∴S△APB＝2S△AOB＝3．
∵﹣2×（﹣1）＝1×2＝2，
∴反比例函數(shù)解析式為y＝，
設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為m，則縱坐標(biāo)為，即點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，）．
①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B上方時(shí)，作PC平行于y軸交AB于點(diǎn)C，

將x＝m代入y＝x+1得y＝m+1，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（m，m+1），
S△APB＝（xB﹣xA）（yP﹣yB）＝（1+2）（m﹣1）＝3，
解得m＝或m＝（舍）．
∴＝，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（，）．
②延長AO交雙曲線與點(diǎn)P，右對稱性可知O為AP中點(diǎn)，
∴AP＝2AO，
∴S△APB＝2S△AOB，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，1）．
故答案為：（，）或（2，1）．
三、解答題（本大題共8小題，共80分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（8分）（1）化簡：（2a+b）（2a﹣b）﹣4a（a﹣b）．
（2）解不等式組：．
【分析】（1）根據(jù)平方差公式以及單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的運(yùn)算法則化簡即可；
（2）分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集．
【解答】解：（1）原式＝4a2﹣b2﹣4a2+4ab
＝4ab﹣b2；
（2），
解不等式x+2＞3，得x＞1，
解不等式，得x﹣1≤8，解得x≤9，
故不等式組的解集為：1＜x≤9．
18．（8分）如圖，在正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上．請僅用無刻度直尺完成以下作圖（保留作圖痕跡）．
（1）在圖1中，作△ABC關(guān)于點(diǎn)O對稱的△A'B'C'；
（2）在圖2中，作△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后，頂點(diǎn)仍在格點(diǎn)上的△AB'C'．

【分析】（1）分別作出A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)A′，B′，C′即可．
（2）根據(jù)AB＝2，BC＝，AC＝5，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題即可．
【解答】解：（1）如圖1中，△A'B'C'即為所求．
（2）如圖2中，△AB'C'即為所求．

19．（8分）2021年是“五年奉獻(xiàn)一個(gè)新奉化”的攻堅(jiān)之年，大量基礎(chǔ)建設(shè)在有序推進(jìn)中．如圖，工程隊(duì)擬沿AC方向挖掘隧道，為加快施工進(jìn)度，需在另一邊E處同時(shí)施工，使A，C，E三點(diǎn)在一條直線上，工程隊(duì)從AC上的一點(diǎn)B取∠ABD＝140°，BD＝560米，∠D＝50°，則點(diǎn)E與點(diǎn)D之間的距離是多少米？（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

【分析】求出∠E的度數(shù)，再在Rt△BDE 中，依據(jù)三角函數(shù)進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：∵A、C、E三點(diǎn)在一條直線上，∠ABD＝140°，∠D＝50°，
∴∠E＝140°﹣50°＝90°，
在Rt△BDE中，
DE＝BD?cos∠D，
＝560×cos50°，
≈560×0.64，
＝358.4（米）．
答：點(diǎn)E與點(diǎn)D間的距離是358.4米．
20．（10分）拋物線y＝ax2+bx+c與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點(diǎn)，已知OA＝2OB＝2OC＝4．
（1）求拋物線解析式：
（2）若腰長為4的等腰直角三角形BDE的一直角邊在x軸上，請問拋物線平移后能否同時(shí)經(jīng)過D，E兩點(diǎn)？若能，請說明平移方式；若不能，請說明理由．

【分析】（1）由OA＝2OB＝2OC＝4可得出A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線表達(dá)式即可；
（2）先求出D，E坐標(biāo)，通過平移前后拋物線表達(dá)式中a的值不變，用待定系數(shù)法求出平移后的表達(dá)式．
【解答】解：（1）∵OA＝2OB＝2OC＝4，
∴OB＝OC＝2，
∴A（﹣4，0）、B（2，0）、C（0，2），
將A（﹣4，0）、B（2，0）、C（0，2）代入拋物線y＝ax2+bx+c得：
，
解之得a＝﹣，b＝﹣，c＝2，
∴y＝﹣，
（2）拋物線平移后能同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)D、E兩點(diǎn)，理由如下：
∵BD＝BE＝4，
∴E（2，4），D（6，0），
設(shè)拋物線平移后的解析式為；y＝，
將E、D 坐標(biāo)代入得，
解之得m＝2，k＝4，
∴平移后拋物線頂點(diǎn)為（2，4），
∵原拋物線頂點(diǎn)為（﹣1，），
∴將原來拋物線向右平移3個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位后能同時(shí)經(jīng)過D、E兩點(diǎn)．
21．（10分）教育部頒發(fā)的《中小學(xué)教育懲戒規(guī)則（試行）》并從2021年3月1日起實(shí)行，某校隨機(jī)抽取該校部分家長，按四個(gè)類別：A表示“非常支持”，B表示“支持”，C表示“不關(guān)心”，D表示“不支持”，調(diào)查他們對該規(guī)則態(tài)度的情況，將結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)圖中提供的信息，解決下列問題：
（1）這次共抽取了　60　名家長進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，扇形統(tǒng)計(jì)圖中，D類所對應(yīng)的扇形圓心角的大小是　18°　．
（2）將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；
（3）該學(xué)校共有2000名學(xué)生家長，估計(jì)該學(xué)校家長表示“支持”的（A類，B類的和）人數(shù)大約有多少人？

【分析】（1）從兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖可知，“C不關(guān)心”的頻數(shù)為9人，占調(diào)查人數(shù)的15%，可求出調(diào)查人數(shù)，求出“D不支持”所占得百分比即可求出相應(yīng)的圓心角的度數(shù)；
（2）求出“A非常支持”的人數(shù)，即可補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（3）求出“A非常支持”“B支持”所占得百分比即可．
【解答】解：（1）9÷15%＝60（人），360°×＝18°，
故答案為：60，18°；
（2）60﹣36﹣9﹣3＝12（人），補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示：

（3）2000×＝1600（人），
答：該學(xué)校家長表示“支持”的（A類，B類的和）人數(shù)大約有1600人．
22．（10分）時(shí)下少兒編程是一個(gè)很熱門的項(xiàng)目，需要有良好的數(shù)學(xué)邏輯思維，某次由編程控制的兩輛模型車沿同一路線同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)駛向B點(diǎn)，途中乙車按照程序設(shè)定停車一段時(shí)間，然后以一定的速度勻速駛向B點(diǎn)，甲車從A到B點(diǎn)速度始終保持不變，如圖所示是甲、乙兩車之間的距離y（分米）與兩車出發(fā)時(shí)間x（分鐘）的函數(shù)圖象．根據(jù)相關(guān)信息解答下列問題：
（1）點(diǎn)M的坐標(biāo)表示的實(shí)際意義是什么？
（2）求出MN所表示的關(guān)系式，并寫出乙車停車后再出發(fā)的速度．
（3）求停車前兩車的速度以及a的值．

【分析】（1）觀察圖象結(jié)合題意分析可得答案；
（2）設(shè)MN所表示的關(guān)系式為y＝kx+b，用待定系數(shù)法求解得解析式；再用路程除以相應(yīng)的時(shí)間可得速度；
（3）設(shè)出發(fā)時(shí)甲的速度為v分米/分鐘，乙速度為（v﹣20）分米/分鐘，根據(jù)乙車設(shè)定停車后的（2.5﹣2）分鐘甲車行駛的路程加上乙車停車后甲乙兩車所產(chǎn)生的距離等于90分米減去40分米，列出關(guān)于v的方程，解得v的值，則乙車速度也可求得，然后用40+70×0.5計(jì)算即可得出a的值．
【解答】解：（1）點(diǎn)M的坐標(biāo)表示的實(shí)際意義是：當(dāng)行駛4分鐘時(shí)，甲車到達(dá)B地（終點(diǎn)），乙車距離終點(diǎn)還有90分米．
（2）設(shè)MN所表示的關(guān)系式為y＝kx+b，將M（4，90），N（5.5，0）代入得：
，
解得：，
∴MN所表示的關(guān)系式為：y＝﹣60x+330；
停車后乙車速度為：90÷（5.5﹣4）＝60（分米/分鐘）．
（3）∵40÷2＝20（分米/分鐘），
∴設(shè)出發(fā)時(shí)甲的速度為v分米/分鐘，乙速度為（v﹣20）分米/分鐘，則有：
（2.5﹣2）v+（4﹣2.5）（v﹣60）＝90﹣40，
解得：v＝70，
∴甲車速度為70分米/分鐘，乙為50分米/分鐘．
∴a的值為40+70×0.5＝75．
23．（12分）如圖，在折紙游戲中，正方形ABCD沿著BE，BF將BC，AB翻折，使A，C兩點(diǎn)恰好落在點(diǎn)P．
（1）求證：∠EBF＝45°．
（2）如圖，過點(diǎn)P作MN∥BC，交BF于點(diǎn)Q．
①若BM＝5，且MP?PN＝10，求正方形折紙的面積．
②若QP＝BC，求的值．

【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得∠ABC＝90°，再由折疊的性質(zhì)得：∠PBF＝∠ABF，∠PBE＝∠CBE，即可得出結(jié)論；
（2）①設(shè)MP＝x（x＞0），PN＝y(tǒng)（y＞0），則xy＝10①，MN＝x+y，證四邊形BCNM是矩形，得BM＝CN，BC＝MN＝x+y，∠BMN＝90°，則BP＝AB＝BC＝MN＝x+y，在Rt△BMP中，由勾股定理得52+x2＝（x+y）2②，由①②聯(lián)立方程組求出x、y的值，即可解決問題；
②設(shè)正方形ABCD的邊長為2，則BC＝CD＝AD＝AB＝2，QP＝BC＝1，證出∠PFB＝∠PQF，則AF＝PF＝PQ＝1，設(shè)CE＝a，則DE＝2﹣a，EF＝a+1，在Rt△DEF中，由勾股定理得出方程，求出a＝，則PE＝，DE＝，EF＝，然后證△NEP∽△DEF，求出NE＝，即可解決問題．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
由折疊的性質(zhì)得：∠PBF＝∠ABF，∠PBE＝∠CBE，
∴∠PBF+∠PBE＝∠ABC＝45°；
（2）解：①設(shè)MP＝x（x＞0），PN＝y(tǒng)（y＞0），
則xy＝10①，MN＝x+y，
∵四邊形ABD是正方形，
∴AB＝BC，AD∥BC，∠C＝90°，
由折疊的性質(zhì)得：BP＝AB，
∵M(jìn)N∥BC，
∴四邊形BCNM是矩形，
∴BM＝CN，BC＝MN＝x+y，∠BMN＝90°，
∴BP＝AB＝BC＝MN＝x+y，
在Rt△BMP中，由勾股定理得：52+x2＝（x+y）2②，
由①②得：，
解得：，
∴AB＝3，
∴正方形折紙的面積＝（3）2＝45；
②設(shè)正方形ABCD的邊長為2，
則BC＝CD＝AD＝AB＝2，
∴QP＝BC＝1，
由折疊的性質(zhì)得：PE＝CE，AF＝PF，∠AFB＝∠PFB，
∵M(jìn)N∥AD，
∴∠AFB＝∠PQF，
∴∠PFB＝∠PQF，
∴AF＝PF＝PQ＝1，
∴DF＝AD﹣AF＝1，
設(shè)CE＝a，則DE＝2﹣a，EF＝a+1，
在Rt△DEF中，由勾股定理得：12+（2﹣a）2＝（a+1）2，
解得：a＝，
∴PE＝，DE＝，EF＝，
∵M(jìn)N∥AD，
∴△NEP∽△DEF，
∴＝，
即＝，
解得：NE＝，
∴BM＝CN＝CE+NE＝+＝，
∴AM＝AB﹣BM＝，
∴＝＝．
24．（14分）定義：三角形內(nèi)部有一小三角形與原三角形相似，其中小三角形的三個(gè)頂點(diǎn)在原三角形的三邊上（頂點(diǎn)可重合），則稱這兩個(gè)三角形是星相似三角形．例如：如圖1，Rt△ABC中，∠BCA∠＝CEA＝90°，△ACE和△ABC是星相似三角形．如圖2，D是AB的中點(diǎn)，以CD為直徑畫圓，交AB，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，AC＝1．
（1）①若BC＝2，求DE的長．
②設(shè)BC＝x，＝y(tǒng)，試寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式．
（2）若CG＝CE，則△CEG與哪個(gè)三角形星相似，并證明．
（3）在（2）的條件下，求BC的長．

【分析】（1）①利用勾股定理和等面積法即可求得CE，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半可得CD，再利用勾股定理可求得DE；②證明△FOG～△EDC，可得，再解直角三角形求得DE和FO，即可求得y和x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半和等邊對等角可得∠BCE＝∠CGE，從而可證明△FEC～△CEG，即△CEG與△FEC相似；
（3）可利用三角形外角的性質(zhì)證明∠GCE＝∠GDE，從而可得EC＝ED＝m，從而可得CD＝m，BD＝m，解直角三角形即可得出BC．
【解答】解：（1）①Rt△ABC中，AC＝1，BC＝2，
∴AB＝，
∵D是AB的中點(diǎn)，
∴CD＝AD＝BD＝，
∵∠ECA＝∠CEA＝90°，
在Rt△ABC中，S，
即，
∴CE＝，
∴DE＝；
②連接OF，

∵OF＝OC，
∴∠DCB＝∠OFC，
由①可得BD＝CD，
∴∠DCB＝∠B，
∴∠OFC＝∠B，
∴△FOG～△EDG，
∴，
∵CB＝x，
∴，CD＝BD＝，F(xiàn)O＝＝，
∴cosB＝，即，
∴BE＝，
∴DE＝BE﹣BD＝﹣，
∴y＝＝＝（x＞1）；
（2）△CEG與△FEC相似．
由（1）可知，OF∥CD，
∵O為CD的中點(diǎn)，
∴OF為△CBD的中位線，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，
∵∠CEB＝180°﹣∠CEA＝90°，
∴EF＝CF＝BF＝BC，
∴∠BCE＝∠FEC，
∵GE＝CE，
∴∠CGE＝∠FEC，
∴∠BCE＝∠CGE，
∵∠FEC＝∠FEC，
∴△FEC～△CEG，
∴△CEG與△FEC相似；
（3）∵CD＝BD，BF＝EF，
∴∠B＝∠FCD＝∠DEG，
∵∠FCE＝∠FCD+∠GCE，∠CGE＝∠DEG+∠GDE，
∴∠GCE＝∠GDE，
∴EC＝ED，設(shè)CE＝m，則DE＝m，CD＝m，BD＝m，
∴tanB＝，即，
∴BC＝+1．


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