2023年浙江省寧波市鄞州區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題（本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  在下列實(shí)數(shù)中，屬于無(wú)理數(shù)的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列計(jì)算正確的是(    )A.  B.  C.  D. 3.  年，鄞州區(qū)以億元躍居浙江省各縣市區(qū)第一，將該數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示是(    )A.  B.  C.  D. 4.  要使分式有意義，則的取值范圍是(    )A.  B.  C.  D. 5.  某志愿者小分隊(duì)年齡情況如下，則這名隊(duì)員年齡的眾數(shù)、中位數(shù)分別是(    ) 年齡歲人數(shù)名 A. 名，歲 B. 名，歲 C. 歲，歲 D. 歲，歲6.  如圖，量得一個(gè)紙杯的高為，個(gè)疊放在一起的紙杯高度為，則個(gè)紙杯疊放在一起的高度是(    )
 A.  B.  C.  D. 7.  某業(yè)主貸款萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)甲，乙兩種產(chǎn)品已知甲產(chǎn)品的銷售凈利潤(rùn)是每個(gè)元，乙產(chǎn)品的銷售凈利潤(rùn)是每個(gè)元，個(gè)甲產(chǎn)品和個(gè)乙產(chǎn)品組成一套銷售，設(shè)銷售套能賺回這臺(tái)機(jī)器的貸款，則滿足的關(guān)系是(    )A.  B.
C.  D. 8.  如圖，中，，，于，是的中線要說(shuō)明“三個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等”是假命題，可以作為反例的兩個(gè)三角形是(    )
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和9.  如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，分別在反比例函數(shù)，的圖象上，連結(jié)交軸于點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的值為(    )A.
B.
C.
D. 10.  如圖，個(gè)全等的直角三角形圍出一個(gè)正方形，過(guò)點(diǎn)，分別作的平行線，過(guò)點(diǎn)，分別作的平行線得四邊形若已知正方形的面積，則直接可求的量是(    )A. 線段的長(zhǎng)
B. 的周長(zhǎng)
C. 線段的長(zhǎng)
D. 四邊形的面積二、填空題（本大題共6小題，共30.0分）11.  實(shí)數(shù)的立方根是______ ．12.  在一個(gè)不透明的袋子里裝著個(gè)白球、個(gè)黃球、個(gè)紅球，它們除顏色不同外其余都相同，現(xiàn)從袋中任意摸出一個(gè)球是黃球的概率為______ ．13.  已知圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，則該圓錐的側(cè)面積為______ ．14.  如圖，二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，則的值是______ ．
 15.  如圖，中，，邊與以為直徑的相切于點(diǎn)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角度為，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，的邊與相切時(shí)，的值為______ ．
 16.  如圖，中，，，作正方形，其中頂點(diǎn)在邊上．
若正方形的邊長(zhǎng)為，則線段的長(zhǎng)是______ ；
若點(diǎn)到的距離是，則正方形的邊長(zhǎng)是______ ．
 三、解答題（本大題共8小題，共80.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.  本小題分
計(jì)算：；
解方程組：．18.  本小題分
如圖，是由邊長(zhǎng)為的小正方形構(gòu)成的的網(wǎng)格圖，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，分別按下列要求畫(huà)圖，保留適當(dāng)?shù)漠?huà)圖痕跡．

在圖中畫(huà)一個(gè)平行四邊形，要求一條邊長(zhǎng)為且面積為；
在圖中畫(huà)一個(gè)矩形，要求一條邊長(zhǎng)為且面積為．19.  本小題分
觀察兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差：
；，，
寫(xiě)出第個(gè)等式，并進(jìn)行證明；
問(wèn)是否可以寫(xiě)成兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差？如果能，請(qǐng)寫(xiě)出這兩個(gè)偶數(shù)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．20.  本小題分
某校在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽取了一些學(xué)生進(jìn)行“我最喜歡的球類運(yùn)動(dòng)”調(diào)查，將調(diào)查結(jié)果整理后繪制如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．

請(qǐng)根據(jù)圖中的信息，解答下列各題：
在本次調(diào)查中，一共抽取了______ 名學(xué)生，在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，羽毛球?qū)?yīng)的圓心角為______ 度；
請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，該?！白钕矚g籃球”的人數(shù)與“最喜歡足球”人數(shù)大約相差人，請(qǐng)估計(jì)全?？?cè)藬?shù)．21.  本小題分
如圖，是一個(gè)自動(dòng)伸縮晾衣架的實(shí)物圖，圖是它的支架左側(cè)平面示意圖，當(dāng)，在上滑槽上左右滑動(dòng)時(shí)，，同時(shí)在與平行的下滑槽上滑動(dòng)，帶動(dòng)整個(gè)支架改變菱形內(nèi)角度數(shù)，從而調(diào)節(jié)支架的高度，圖中，中間個(gè)菱形的邊長(zhǎng)均為．

當(dāng)調(diào)節(jié)至時(shí)，求兩滑槽間的距離即與之間的距離；
根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)一個(gè)身高的人，頭頂與下滑槽的距離不超過(guò)時(shí)，曬衣服比較方便，若上滑槽距離地面，那么至少調(diào)整到多少度？
參考數(shù)據(jù)：，，22.  本小題分
如圖，有一塊邊角料，其中，，，是線段，曲線可以看成反比例函數(shù)圖象的一部分小寧想利用這塊邊角料截取一個(gè)面積最大的矩形，其中，在上點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在曲線上測(cè)量發(fā)現(xiàn)：，，，點(diǎn)到，所在直線的距離分別為，．
小寧嘗試建立坐標(biāo)系來(lái)解決該問(wèn)題，通過(guò)思考，他把，，，，這個(gè)點(diǎn)先描到平面直角坐標(biāo)系上，記點(diǎn)的坐標(biāo)為；點(diǎn)的坐標(biāo)為．
請(qǐng)你在圖中補(bǔ)全平面直角坐標(biāo)系并畫(huà)出圖形；
求直線，曲線的解析式；
求矩形的最大面積．
 23.  本小題分
【基礎(chǔ)鞏固】：
如圖，四邊形中，平分，．
求證：；
【遷移運(yùn)用】：
如圖，在的條件下，取的中點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，若，，求的長(zhǎng)；

【解決問(wèn)題】：
如圖，四邊形中，，，在上取點(diǎn)，使得，恰有若，，求四邊形的面積．24.  本小題分
如圖，的直徑垂直弦于點(diǎn)，點(diǎn)為上的一點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連結(jié)，過(guò)點(diǎn)畫(huà)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)若的直徑為，．

求的長(zhǎng)；
如圖，當(dāng)時(shí)，求的正切值；
如圖，設(shè)，．
求關(guān)于的函數(shù)解析式；
若，求的值．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：是無(wú)理數(shù)；
，，是有理數(shù)．
故選：．
根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義進(jìn)行解答即可．
本題考查的是無(wú)理數(shù)，熟知無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)是解題的關(guān)鍵．
 2.【答案】 【解析】解：、，故A不符合題意；
B、，故B符合題意；
C、，故C不符合題意；
D、，故D不符合題意；
故選：．
利用合并同類項(xiàng)的法則，同底數(shù)冪的除法的法則，同底數(shù)冪的乘法的法則，積的乘方的法則對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算即可．
本題主要考查合并同類項(xiàng)，積的乘方，同底數(shù)冪的除法，同底數(shù)冪的乘法，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．
 3.【答案】 【解析】解：億．
故選：．
科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值時(shí)，是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，是負(fù)整數(shù)．
此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定的值以及的值．
 4.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意得：，
解得：．
故選：．
代數(shù)式有意義的條件為：，解得的取值．
本題主要考查了分式有意義的條件，要求掌握，對(duì)于任意一個(gè)分式，分母都不能為，否則分式無(wú)意義．
 5.【答案】 【解析】解：把這些數(shù)從小到大排列，最中間的數(shù)是第、個(gè)數(shù)的平均數(shù)，
則這名隊(duì)員年齡的中位數(shù)是歲；
歲的人數(shù)最多，有個(gè)，則眾數(shù)是歲．
故選：．
根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義分別進(jìn)行解答即可．
此題考查了中位數(shù)和眾數(shù)，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．將一組數(shù)據(jù)按照從小到大或從大到小的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．
 6.【答案】 【解析】解：設(shè)每增加一個(gè)紙杯，高度增加，
根據(jù)題意，得，
解得，
個(gè)紙杯疊放在一起的高度為，
故選：．
設(shè)每增加一個(gè)紙杯，高度增加，根據(jù)個(gè)疊放在一起的紙杯高度為，列一元一次方程，求出的值，進(jìn)一步可得個(gè)紙杯疊放在一起的高度．
本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，理解題意并根據(jù)題意建立等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
 7.【答案】 【解析】解：設(shè)銷售套能賺回這臺(tái)機(jī)器的貸款，根據(jù)題意可得：，
故選：．
設(shè)銷售套能賺回這臺(tái)機(jī)器的貸款，根據(jù)題意得出不等式解答即可．
本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次不等式，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．
 8.【答案】 【解析】解：、在中，，，
則，
，是的中線，
，
為等邊三角形，
的三個(gè)角和的三個(gè)角都不相等，不能說(shuō)明“三個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等”是假命題，不符合題意；
B、的三個(gè)角和的三個(gè)角都不相等，不能說(shuō)明“三個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等”是假命題，不符合題意；
C、為等邊三角形，，
≌，不能說(shuō)明“三個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等”是假命題，不符合題意；
D、，
，
，，
但和不全等，說(shuō)明“三個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等”是假命題，符合題意；
故選：．
根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定定理判斷即可．
本題考查的是命題的真假判斷，掌握全等三角形的判定定理、等邊三角形的判定定理、直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 9.【答案】 【解析】解：作軸于，
點(diǎn)、關(guān)于軸的對(duì)稱，
軸，
，
，
，
∽，
，
設(shè)，，則，，，，
，
．
故選：．
作軸于，設(shè)，，則，，，，由題意可知，根據(jù)平行線分線段成比例定理得出，通過(guò)證得∽，得出，即可得出，解得．
本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，三角形相似的判定和性質(zhì)，正確表示出線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．
 10.【答案】 【解析】解：連接、，過(guò)點(diǎn)作，，

四邊形是正方形，
，
，，
，，
設(shè)，，
根據(jù)題意可知：個(gè)全等的直角三角形圍出一個(gè)正方形，
≌，
，
，
已知正方形的面積，
的值已知，
，，
，，
，
四邊形是矩形，
，
，
的值已知．
故選：．
連接、，過(guò)點(diǎn)作，，根據(jù)正方形的性質(zhì)可知，由平行線的性質(zhì)，可得，，設(shè)，，根據(jù)≌，可得，再根據(jù)，，可得，，證明四邊形是矩形，可得，即可求出線段的長(zhǎng)．
本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，特殊角三角函數(shù)，全等三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線證得四邊形是矩形．
 11.【答案】 【解析】解：，
的立方根是．
故答案為：．
根據(jù)立方根的定義解答．
本題考查了立方根的定義，找出的立方是是解題的關(guān)鍵．
 12.【答案】 【解析】解：袋子里裝著個(gè)白球、個(gè)黃球、個(gè)紅球，
從袋中任意摸出一個(gè)球是黃球的概率為．
故答案為：．
用黃球的個(gè)數(shù)除以球的總數(shù)即可．
本題考查了概率公式的應(yīng)用，掌握概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比是關(guān)鍵．
 13.【答案】 【解析】解：；
故答案為：．
根據(jù)圓錐的側(cè)面積的計(jì)算公式：進(jìn)行計(jì)算即可．
本題考查圓錐的側(cè)面積．熟練掌握?qǐng)A錐的側(cè)面積公式是解題的關(guān)鍵．
 14.【答案】 【解析】解：二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，
點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為．
當(dāng)時(shí)，，
即．
故答案為：．
根據(jù)拋物線的軸對(duì)稱性質(zhì)得到：當(dāng)與當(dāng)時(shí)，所對(duì)應(yīng)的值相等，據(jù)此解答．
本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，拋物線是關(guān)于對(duì)稱軸成軸對(duì)稱，所以拋物線上的點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，且都滿足函數(shù)函數(shù)關(guān)系式．
 15.【答案】或 【解析】解：當(dāng)的邊繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，
為的直徑，是的切線，
，
旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，的邊與相切時(shí)，，
當(dāng)的邊繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，
為的直徑，是的切線，
，
，
，
綜上所述，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，的邊與相切時(shí)，的值為或，
故答案為：或．
當(dāng)的邊繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，當(dāng)的邊繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，于是得到結(jié)論．
本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)．
 16.【答案】  【解析】解：連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示：
則，
在正方形中，，，
根據(jù)勾股定理，得，
在中，，
，
，
，
設(shè)，
，
，
在中，根據(jù)勾股定理，得，
解得舍去，，
，
在中，根據(jù)勾股定理，得，
故答案為：；
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示：
則，
，
在正方形中，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
在中，，，
在正方形中，，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
即，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
點(diǎn)到的距離是，
，
在中，，，
根據(jù)勾股定理，得，
，
，
在中，根據(jù)勾股定理，，
正方形的邊長(zhǎng)是，
故答案為：．
連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得的長(zhǎng)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，設(shè)，在中，根據(jù)勾股定理列方程，求出的值，進(jìn)一步可得的長(zhǎng)；
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，先證≌，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，再證≌，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，然后再證明≌，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，進(jìn)一步可得，，求出的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理可得的長(zhǎng)度，即可確定正方形的邊長(zhǎng)．
本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等，添加合適的輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵，本題綜合性較強(qiáng)，難度較大．
 17.【答案】解：

；
，
，得，
，得，
．
把代入，得．
所以原方程組的解為． 【解析】分別根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的定義，絕對(duì)值的性質(zhì)以及零指數(shù)冪的定義計(jì)算即可；
方程組利用加減消元法求解即可．
本題考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算以及解二元一次方程組，掌握相關(guān)定義、運(yùn)算法則以及消元的方法是解答本題的關(guān)鍵．
 18.【答案】解：如圖：

?即為所求；
矩形即為所求． 【解析】根據(jù)勾股定理及平行四邊形的面積作圖；
根據(jù)矩形的面積求出高，再作圖．
本題考查了作圖的應(yīng)用和設(shè)計(jì)，掌握平行四邊形的面積公式和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 19.【答案】解：第個(gè)等式是：，證明如下：



，
．
可以寫(xiě)成兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，這兩個(gè)偶數(shù)是和，理由如下：
當(dāng)時(shí)，解得，
，，
兩個(gè)偶數(shù)分別為和． 【解析】根據(jù)給定的例子可得第個(gè)等式是：，根據(jù)平方差公式的逆運(yùn)算證明即可；
當(dāng)時(shí)，解得，即可確定答案．
本題考查了平方差公式，規(guī)律型，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．
 20.【答案】   【解析】解：在本次調(diào)查中，一共抽取了學(xué)生：名；
在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，羽毛球?qū)?yīng)的圓心角為：．
故答案為：，；
樣本中“最喜歡足球”人數(shù)有：人，
補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：

最喜歡籃球的占，最喜歡籃球的占，
所以全?？?cè)藬?shù)為人．
用“最喜歡籃球”的人數(shù)除以可得樣本容量；用乘“最喜歡羽毛球”所占比例可得羽毛球?qū)?yīng)的圓心角度數(shù)；
結(jié)合的結(jié)論求出“最喜歡足球”人數(shù)，進(jìn)而條形統(tǒng)計(jì)圖；
用除以“最喜歡籃球”的人數(shù)與“最喜歡足球”人數(shù)所占百分比的差即可．
本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、用樣本估計(jì)總體，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
 21.【答案】解：如圖，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
由題意可知，直線為中間個(gè)菱形的公共對(duì)稱軸，且，，
，
，，
，
，
同理可得，
，
答：兩滑槽間的距離為．
由得，
，
根據(jù)題意得，
，
，
，
，
，
，
，
，
答：至少調(diào)整到． 【解析】連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則直線為中間個(gè)菱形的公共對(duì)稱軸，且，，由，，得，則，，所以兩滑槽間的距離為；
因?yàn)?/span>，所以，由，得，則，所以，則，所以，得，所以至少調(diào)整到．
此題重點(diǎn)考查菱形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)與解直角三角形等知識(shí)，通過(guò)作輔助線構(gòu)造出所需要的直角三角形是解題的關(guān)鍵．
 22.【答案】解：由題意，如圖如下：


設(shè)直線的解析式為，
則，解得：，
則直線的解析式為：，
設(shè)曲線的表達(dá)式為：，
由點(diǎn)得曲線的解析式得：，
則反比例函數(shù)的表達(dá)式為：；

如圖，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為，

．
四邊形是矩形，
，
點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)矩形的面積為．
則，
當(dāng)時(shí)，矩形的面積的最大值為． 【解析】由題意即可如圖；
用待定系數(shù)法即可求解；
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，得到點(diǎn)坐標(biāo)為，進(jìn)而求解．
本題為反比例函數(shù)綜合題，涉及到一次函數(shù)的基本性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、圖形的面積等，有一定的綜合性，難度不大．
 23.【答案】證明：平分，
．
又，，
≌，
；
解：≌，
，．
，
，
，
∽，
．
是的中點(diǎn)，
．
，
；
解：如圖，連結(jié)，，

，，，
≌，
，
，
，
，
．
，
．
設(shè)，由勾股定理得，
即，
解得負(fù)值舍去，
，
四邊形的面積． 【解析】利用證明≌，得；
通過(guò)等角可得，則∽，得出的長(zhǎng)，利用等角對(duì)等邊得，即可得出答案；
連結(jié)，利用可得≌，得，說(shuō)明設(shè)，連結(jié)，則，列方程即可得出的長(zhǎng)，從而解決問(wèn)題．
本題是四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，證明是解題的關(guān)鍵．
 24.【答案】解：如圖，連結(jié)．

直徑，
，，
，即，
，
；
如圖，連結(jié)，，

，
是直徑，
．
在中，
，
；
如圖，連結(jié)．

，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
；
如圖，連結(jié)，，，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∽，
Ⅰ，
，，
∽，
Ⅱ，
ⅠⅡ得，．
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
是直徑，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
把代入得：
，
的值為． 【解析】連結(jié)，由直徑，得，，用勾股定理有，故DE，；
連結(jié)，，由，可得，即得，從而；
連結(jié)，證明∽，可得，即得，故；
連結(jié)，，，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由∽，有Ⅰ，由∽有Ⅱ，可得，從而，，即知，得，故，可得，，，，在中，，代入得的值為．
本題考查圓的綜合應(yīng)用，涉及勾股定理及應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題．
 

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