?2021年安徽省六安市金寨縣中考數(shù)學(xué)調(diào)研試卷
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）
1．﹣2021的相反數(shù)是（　?。?br /> A．﹣2021 B．﹣ C． D．2021
2．下列運(yùn)算一定正確的是（　?。?br /> A．a(chǎn)2+a2＝a4 B．a(chǎn)2?a4＝a8
C．（a2）4＝a8 D．（a+b）2＝a2+b2
3．芝麻被稱為“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作為食物和藥物，得到廣泛的使用．經(jīng)測算，一粒芝麻的質(zhì)量約為0.00000201kg，將0.00000201用科學(xué)記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．2.01×10﹣8 B．0.201×10﹣7 C．2.01×10﹣6 D．20.1×10﹣5
4．如圖擺放的幾何體中，主視圖與左視圖有可能不同的是（　?。?br /> A． B． C． D．
5．用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正確的是（　　）
A．（x﹣）2＝ B．（x﹣）2＝
C．（x﹣）2＝ D．（x﹣）2＝
6．某中學(xué)開展“讀書伴我成長”活動，為了解八年級學(xué)生四月份的讀書冊數(shù)，對從中隨機(jī)抽取的20名學(xué)生的讀書冊數(shù)進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下表：
冊數(shù)/冊
1
2
3
4
5
人數(shù)/人
2
5
7
4
2
根據(jù)統(tǒng)計表中的數(shù)據(jù)，這20名同學(xué)讀書冊數(shù)的眾數(shù)，中位數(shù)分別是（　　）
A．3，3 B．3，7 C．2，7 D．7，3
7．如圖，A，B是雙曲線y＝上的兩個點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC⊥x軸，交OB于點(diǎn)D，垂足為點(diǎn)C．若△ODC的面積為1，D為OB的中點(diǎn)，則k的值為（　?。?br />
A． B．2 C．4 D．8
8．如圖，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，過點(diǎn)D作DE⊥BA，交BA的延長線于點(diǎn)E，則線段DE的長為（　　）

A． B． C．4 D．
9．如圖，AB為⊙O的直徑，C，D是圓周上的兩點(diǎn)，若∠ABC＝38°，則銳角∠BDC的度數(shù)為（　　）

A．57° B．52° C．38° D．26°
10．如圖，矩形紙片ABCD中，AB＝3，BC＝5，點(diǎn)E、G分別在AD、DC上，將△ABE、△EDG分別沿BE、EG翻折，點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為點(diǎn)F，點(diǎn)D的對稱點(diǎn)為點(diǎn)H，當(dāng)E、F、H、C四點(diǎn)在同一直線上時，連接DH，則線段DH長為（　?。?br />
A． B． C． D．
二、填空題（本大題共4小題，每題5分，滿分20分）
11．（5分）如果二次根式有意義，那么x的取值范圍是　 　．
12．（5分）分解因式：xy2﹣4x＝　 ?。?br /> 13．（5分）在正方形網(wǎng)格中，A、B、C、D均為格點(diǎn)，則∠BAC﹣∠DAE＝　 ?。?br />
14．（5分）已知函數(shù)y＝x2+x+4與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，直線CD交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)F在直線CD上，且橫坐標(biāo)為4，現(xiàn)在，將拋物線沿其對稱軸上下平移，使拋物線與線段EF總有公共點(diǎn)，拋物線向上最多可以平移　 　個單位長度，向下最多可以平移　 　個單位長度．
三、（本大題共2小題，每題8分，滿分16分）
15．（8分）解不等式組：．
16．（8分）目前，以5G為代表的戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展，某市2019年底有5G用戶2萬戶，計劃到2021年底5G用戶數(shù)達(dá)到9.68萬戶，求這兩年全市5G用戶數(shù)的年平均增長率．
四、（本大題共2小題，每題8分，滿分16分）
17．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（﹣1，0）、B（﹣3，4）、和C（2，4）、D（6，6），請按下列要畫圖并填空：
（1）沿水平方向移動線段AB，使點(diǎn)A和點(diǎn)C的橫坐標(biāo)相同，畫出平移后所得的線段A1B1，并寫出點(diǎn)B1的坐標(biāo)；
（2）將線段A1B1繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度，使其與線段CD重合（點(diǎn)A1與點(diǎn)C重合，點(diǎn)B1與點(diǎn)D重合），請用無刻度的直尺和圓規(guī)，找出旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn)P．（保留作圖痕跡，不寫作法）

18．（8分）閱讀下面內(nèi)容，并將問題解決過程補(bǔ)充完整：
﹣1；
；
…
＝＝﹣．
由此，我們可以解決下面這個問題：S＝1+，請求出S的整數(shù)部分．
解：S＝1++…++…+＜+…+＝1+2（+…）＝19
S＝1++…++…+＞　 ?。?br /> ∴S的整數(shù)部分是　 ?。?br /> 五、（本大題共2小題，每題10分，滿分20分）
19．（10分）位于河南省登封市境內(nèi)的元代觀星臺，是中國現(xiàn)存最早的天文臺，也是世界文化遺產(chǎn)之一．
某校數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們使用卷尺和自制的測角儀測量觀星臺的高度．如圖所示，他們在地面一條水平步道MP上架設(shè)測角儀，先在點(diǎn)M處測得觀星臺最高點(diǎn)A的仰角為22°，然后沿MP方向前進(jìn)16m到達(dá)點(diǎn)N處，測得點(diǎn)A的仰角為45°．測角儀的高度為1.6m求觀星臺最高點(diǎn)A距離地面的高度（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）．

20．（10分）如圖，點(diǎn)B為⊙O外一點(diǎn)，過點(diǎn)B作⊙O的切線，切點(diǎn)為A，點(diǎn)P為OB上一點(diǎn)，連接AP并延長交⊙O于點(diǎn)C，連接OC，若OC⊥OB．
（1）求證：BP＝AB；
（2）若OB＝10，⊙O的半徑為8，求AP的長．

六、（本題滿分12分）
21．（12分）某學(xué)?！靶@主持人大賽”結(jié)束后，將所有參賽選手的比賽成績（得分均為整數(shù)）進(jìn)行整理，并分別繪制成扇形統(tǒng)計圖和頻數(shù)分布直方圖．部分信息如下：

（1）本次比賽參賽選手共有　 　，扇形統(tǒng)計圖中“79.5～89.5“這一范圍的人數(shù)占總參賽人數(shù)的百分比為　 ?。?br /> （2）補(bǔ)全圖2頻數(shù)分布直方圖；
（3）成績前四名是2名男生和2名女生，若從他們中任選2人作為該校文藝晚會的主持人，請用列舉法（畫樹狀圖或列表）求所選取的這兩名學(xué)生恰好是一男一女的概率．
七、（本題滿分12分）
22．（12分）九（1）班數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過市場調(diào)查，整理出某種商品在第x（1≤x≤90）天的售價與銷售量的相關(guān)信息如表：
時間x（天）
1≤x＜50
50≤x≤90
售價（元/件）
x+40
70
每天銷量（件）
200﹣2x
已知該商品的進(jìn)價為每件30元，設(shè)銷售該商品的每天利潤為y元；
（1）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）問銷售該商品第幾天時，銷售利潤最大，最大利潤是多少？
八、（本題滿分14分）
23．（14分）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是AD、CD上的點(diǎn)，且AE＝CF，連接BE、BF、EF，點(diǎn)G是BE的中點(diǎn)，連接AG并延長交BF于點(diǎn)K．
（1）求證：AK⊥BF；
（2）當(dāng)點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)時，求tan∠EBF的值；
（3）連接CK，當(dāng)線段CK取最小值時，求的值．


2021年安徽省六安市金寨縣中考數(shù)學(xué)調(diào)研試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）
1．﹣2021的相反數(shù)是（　　）
A．﹣2021 B．﹣ C． D．2021
【分析】利用相反數(shù)的定義分析得出答案．
【解答】解：﹣2021的相反數(shù)是：2021．
故選：D．
2．下列運(yùn)算一定正確的是（　?。?br /> A．a(chǎn)2+a2＝a4 B．a(chǎn)2?a4＝a8
C．（a2）4＝a8 D．（a+b）2＝a2+b2
【分析】根據(jù)合并同類項的法則，同底數(shù)冪的乘法法則，冪的乘方法則以及完全平方公式逐一計算判斷即可．
【解答】解：A、a2+a2＝2a2，原計算錯誤，故此選項不合題意；
B、a2?a4＝a6，原計算錯誤，故此選項不合題意；
C、（a2）4＝a8，原計算正確，故此選項合題意；
D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，原計算錯誤，故此選項不合題意．
故選：C．
3．芝麻被稱為“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作為食物和藥物，得到廣泛的使用．經(jīng)測算，一粒芝麻的質(zhì)量約為0.00000201kg，將0.00000201用科學(xué)記數(shù)法表示為（　　）
A．2.01×10﹣8 B．0.201×10﹣7 C．2.01×10﹣6 D．20.1×10﹣5
【分析】絕對值小于1的負(fù)數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)n由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．
【解答】解：0.00000201＝2.01×10﹣6．
故選：C．
4．如圖擺放的幾何體中，主視圖與左視圖有可能不同的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】分別確定每個幾何體的主視圖和左視圖即可作出判斷．
【解答】解：A、主視圖和左視圖是長方形，一定相同，故本選項不合題意；
B、主視圖和左視圖都是等腰三角形，一定相同，故選項不符合題意；
C、主視圖和左視圖都是圓，一定相同，故選項不符合題意；
D、主視圖是長方形，左視圖是可能是正方形，也可能是長方形，故本選項符合題意；
故選：D．
5．用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正確的是（　?。?br /> A．（x﹣）2＝ B．（x﹣）2＝
C．（x﹣）2＝ D．（x﹣）2＝
【分析】化二次項系數(shù)為1后，把常數(shù)項﹣右移，應(yīng)該在左右兩邊同時加上一次項系數(shù)﹣的一半的平方．
【解答】解：由原方程，得
x2﹣x＝，
x2﹣x+＝+，
（x﹣）2＝，
故選：A．
6．某中學(xué)開展“讀書伴我成長”活動，為了解八年級學(xué)生四月份的讀書冊數(shù)，對從中隨機(jī)抽取的20名學(xué)生的讀書冊數(shù)進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下表：
冊數(shù)/冊
1
2
3
4
5
人數(shù)/人
2
5
7
4
2
根據(jù)統(tǒng)計表中的數(shù)據(jù)，這20名同學(xué)讀書冊數(shù)的眾數(shù)，中位數(shù)分別是（　?。?br /> A．3，3 B．3，7 C．2，7 D．7，3
【分析】找到出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，即為眾數(shù)；求出第10、11個數(shù)據(jù)的平均數(shù)即可得這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，從而得出答案．
【解答】解：這20名同學(xué)讀書冊數(shù)的眾數(shù)為3冊，中位數(shù)為＝3（冊），
故選：A．
7．如圖，A，B是雙曲線y＝上的兩個點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC⊥x軸，交OB于點(diǎn)D，垂足為點(diǎn)C．若△ODC的面積為1，D為OB的中點(diǎn)，則k的值為（　?。?br />
A． B．2 C．4 D．8
【分析】過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，可知S△BOE＝k，由D為OB的中點(diǎn)，CD∥BE，可知CD是△OBE的中位線，CD＝BE，那么△ODC∽△OBE，根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方得出S△ODC＝S△BOE＝k＝1，即可求出k的值．
【解答】解：過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，則S△BOE＝k．
∵D為OB的中點(diǎn)，CD∥BE，
∴CD是△OBE的中位線，CD＝BE，
∴△ODC∽△OBE，
∴＝（）2＝，
∴S△ODC＝S△BOE＝k＝1，
∴k＝8．
故選：D．

8．如圖，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，過點(diǎn)D作DE⊥BA，交BA的延長線于點(diǎn)E，則線段DE的長為（　　）

A． B． C．4 D．
【分析】由在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，利用菱形的性質(zhì)以及勾股定理，求得OB的長，繼而可求得BD的長，然后由菱形的面積公式可求得線段DE的長．
【解答】解：如圖．
∵四邊形ABCD是菱形，AC＝6，
∴AC⊥BD，OA＝AC＝3，BD＝2OB，
∵AB＝5，
∴OB＝＝4，
∴BD＝2OB＝8，
∵S菱形ABCD＝AB?DE＝AC?BD，
∴DE＝＝＝．
故選：D．

9．如圖，AB為⊙O的直徑，C，D是圓周上的兩點(diǎn)，若∠ABC＝38°，則銳角∠BDC的度數(shù)為（　?。?br />
A．57° B．52° C．38° D．26°
【分析】由AB是⊙O的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，即可得∠ACB＝90°，又由∠ABC＝38°，即可求得∠A的度數(shù)，然后根據(jù)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，即可求得∠BDC的度數(shù)．
【解答】解：連接AC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝38°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝52°，
∴∠BDC＝∠BAC＝52°．
故選：B．

10．如圖，矩形紙片ABCD中，AB＝3，BC＝5，點(diǎn)E、G分別在AD、DC上，將△ABE、△EDG分別沿BE、EG翻折，點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為點(diǎn)F，點(diǎn)D的對稱點(diǎn)為點(diǎn)H，當(dāng)E、F、H、C四點(diǎn)在同一直線上時，連接DH，則線段DH長為（　　）

A． B． C． D．
【分析】由翻折性質(zhì)知前后對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等，可得△BFC≌△CDE，過點(diǎn)H作HM⊥DC于點(diǎn)M，則HM∥AD，根據(jù)相似的判定得△HMC∽△EDC，再根據(jù)相似的性質(zhì)得DM＝，在Rt△DHM中，由勾股定理可得線段DH長．
【解答】解：由翻折可知：
AB＝BF＝3，∠BFC＝90°，
勾股定理得：FC＝4，
在△BFC和△CDE中，
，
∴△BFC≌△CDE（ASA），
∴FC＝ED＝4，EC＝BC＝5，
∴EH＝DE＝4（翻折），HC＝EC﹣EH＝1，
過點(diǎn)H作HM⊥DC于點(diǎn)M，則HM∥AD，

∴△HMC∽△EDC，
∴＝＝＝，
解得：MC＝，HM＝，
則DM＝，
在Rt△DHM中，
DH＝＝＝，
故選：A．
二、填空題（本大題共4小題，每題5分，滿分20分）
11．（5分）如果二次根式有意義，那么x的取值范圍是　x≥﹣4　．
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由題意得，x+4≥0，
解得，x≥﹣4，
故答案為：x≥﹣4．
12．（5分）分解因式：xy2﹣4x＝　x（y+2）（y﹣2）　．
【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝x（y2﹣4）＝x（y+2）（y﹣2），
故答案為：x（y+2）（y﹣2）
13．（5分）在正方形網(wǎng)格中，A、B、C、D均為格點(diǎn)，則∠BAC﹣∠DAE＝　45°?。?br />
【分析】把△ADE移到△CFG處，連接AG，根據(jù)勾股定理求出AC、AG、CG，根據(jù)勾股定理的逆定理和等腰三角形的判定得出△ACG是等腰直角三角形，再求出答案即可．
【解答】解：如圖所示，把△ADE移到△CFG處，連接AG，

此時∠DAE＝∠FCG，
∵CF∥BD，
∴∠BAC＝∠FCA，
∴∠BAC﹣∠DAE＝∠FCA﹣∠FCG＝∠ACG，
設(shè)小正方形的邊長是1，
由勾股定理得：CG2＝12+32＝10，AC2＝AG2＝12+22＝5，
∴AC2+AG2＝CG2，AC＝AG，
∴∠CAG＝90°，
即△ACG是等腰直角三角形，
∴∠ACG＝45°，
∴∠BAC﹣∠DAE＝45°，
故答案為：45°．
14．（5分）已知函數(shù)y＝x2+x+4與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，直線CD交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)F在直線CD上，且橫坐標(biāo)為4，現(xiàn)在，將拋物線沿其對稱軸上下平移，使拋物線與線段EF總有公共點(diǎn)，拋物線向上最多可以平移　36　個單位長度，向下最多可以平移　　個單位長度．
【分析】求出直線CD解析式為y＝x+4①，若拋物線向下移m個單位，其解析式y(tǒng)＝﹣x2+x+4﹣m②，由△＝﹣2m≥0，得到0＜m≤，進(jìn)而求解．
【解答】解：對于y＝x2+x+4，令x＝0，則y＝4，
故點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），
而y＝x2+x+4＝﹣（x﹣1）2+，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，），
設(shè)直線CD解析式為y＝kx+b．
則，解得，
∴直線CD解析式為y＝x+4①，
∴E（﹣8，0），F(xiàn)（4，6），
若拋物線向下移m個單位，其解析式y(tǒng)＝﹣x2+x+4﹣m②，
聯(lián)立①②得﹣x2+x﹣m＝0，
∵△＝﹣2m≥0，
∴0＜m≤，
∴向下最多可平移個單位，
若拋物線向上移m個單位，其解析式y(tǒng)＝﹣x2+x+4+m（m＞0），
當(dāng)x＝﹣8時，y＝﹣36+m，
當(dāng)x＝4時，y＝m，
要使拋物線與EF有公共點(diǎn)，則﹣36+m≤0或m≤6，
∴0＜m≤36，
綜上，要使拋物線與EF有公共點(diǎn)，向上最多可平移36個單位，向下最多可平移個單位．
故答案為：36，．
三、（本大題共2小題，每題8分，滿分16分）
15．（8分）解不等式組：．
【分析】先求出兩個不等式的解集，再求其公共解．
【解答】解：，
解不等式①得，x＜，
解不等式②得，x＞﹣1，
所以，不等式組的解集是﹣1＜x＜．
16．（8分）目前，以5G為代表的戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展，某市2019年底有5G用戶2萬戶，計劃到2021年底5G用戶數(shù)達(dá)到9.68萬戶，求這兩年全市5G用戶數(shù)的年平均增長率．
【分析】根據(jù)該市2019年底及2021年底有5G用戶的數(shù)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)這兩年全市5G用戶數(shù)的年平均增長率為x，
依題意得：2（1+x）2＝9.68，
解得：x1＝1.2＝120%，x2＝﹣3.2（不合題意，舍去）．
答：這兩年全市5G用戶數(shù)的年平均增長率為120%．
四、（本大題共2小題，每題8分，滿分16分）
17．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（﹣1，0）、B（﹣3，4）、和C（2，4）、D（6，6），請按下列要畫圖并填空：
（1）沿水平方向移動線段AB，使點(diǎn)A和點(diǎn)C的橫坐標(biāo)相同，畫出平移后所得的線段A1B1，并寫出點(diǎn)B1的坐標(biāo)；
（2）將線段A1B1繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度，使其與線段CD重合（點(diǎn)A1與點(diǎn)C重合，點(diǎn)B1與點(diǎn)D重合），請用無刻度的直尺和圓規(guī)，找出旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn)P．（保留作圖痕跡，不寫作法）

【分析】（1）利用C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，把AB向右平移2個單位即可；
（2）作CA1與DB1的垂直平分線，它們的交點(diǎn)為P．
【解答】解：（1）如圖，線段A1B1為所作，點(diǎn)B1的坐標(biāo)為（0，4）；
（2）如圖，點(diǎn)P為所作．

18．（8分）閱讀下面內(nèi)容，并將問題解決過程補(bǔ)充完整：
﹣1；
；
…
＝＝﹣．
由此，我們可以解決下面這個問題：S＝1+，請求出S的整數(shù)部分．
解：S＝1++…++…+＜+…+＝1+2（+…）＝19
S＝1++…++…+＞　18?。?br /> ∴S的整數(shù)部分是　18　．
【分析】這道題中，分子相同，分母越大，分?jǐn)?shù)的值越小，然后對S進(jìn)行分母有理化，化簡即可得出答案．
【解答】解：S＞++...++
＝2（﹣1+﹣+...+﹣+﹣）
＝2（﹣1）
＞2×（10﹣1）
＝18．
故答案為：18；18．
五、（本大題共2小題，每題10分，滿分20分）
19．（10分）位于河南省登封市境內(nèi)的元代觀星臺，是中國現(xiàn)存最早的天文臺，也是世界文化遺產(chǎn)之一．
某校數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們使用卷尺和自制的測角儀測量觀星臺的高度．如圖所示，他們在地面一條水平步道MP上架設(shè)測角儀，先在點(diǎn)M處測得觀星臺最高點(diǎn)A的仰角為22°，然后沿MP方向前進(jìn)16m到達(dá)點(diǎn)N處，測得點(diǎn)A的仰角為45°．測角儀的高度為1.6m求觀星臺最高點(diǎn)A距離地面的高度（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）．

【分析】過A作AD⊥PM于D，延長BC交AD于E，則四邊形BMNC，四邊形BMDE是矩形，于是得到BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m，求得CE＝AE，設(shè)AE＝CE＝x，得到BE＝16+x，解直角三角形即可得到答案．
【解答】解：過A作AD⊥PM于D，延長BC交AD于E，
則四邊形BMNC，四邊形BMDE是矩形，
∴BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m，
∵∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴CE＝AE，
設(shè)AE＝CE＝x，
∴BE＝16+x，
∵∠ABE＝22°，
∴tan22°＝＝≈0.40，
解得：x≈10.7（m），
∴AD≈10.7+1.6＝12.3（m），
答：觀星臺最高點(diǎn)A距離地面的高度約為12.3m．

20．（10分）如圖，點(diǎn)B為⊙O外一點(diǎn)，過點(diǎn)B作⊙O的切線，切點(diǎn)為A，點(diǎn)P為OB上一點(diǎn)，連接AP并延長交⊙O于點(diǎn)C，連接OC，若OC⊥OB．
（1）求證：BP＝AB；
（2）若OB＝10，⊙O的半徑為8，求AP的長．

【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得到OA⊥AB，根據(jù)同角的余角相等得到∠BAP＝∠BPA，根據(jù)等腰三角形的判定定理得到BP＝AB；
（2）作BD⊥AP于點(diǎn)D，根據(jù)勾股定理求出BA，得到BP的長，證明△BPD∽△CPO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式求出PD，得到答案．
【解答】（1）證明：∵AB是⊙O的切線，
∴OA⊥AB，
∴∠BAP+∠OAC＝90°，
∵OC⊥OB，
∴∠OPC+∠OCA＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠BPA＝∠OPC，
∴∠BAP＝∠BPA，
∴BP＝AB；
（2）解：作BD⊥AP于點(diǎn)D，
∵⊙O的半徑為8，
∴CO＝OA＝8，
在Rt△OAB中，AB＝＝＝6，
∴BP＝BA＝6，
∴OP＝OB﹣BP＝4，
在Rt△CPO中，OP＝4，CO＝8，
∴CP＝4，
∵BA＝BP，BD⊥AP，
∴AD＝PD，∠BDP＝90°＝∠COP，
∵∠BPD＝∠CPO，
∴△BPD∽△CPO，
∴＝，即＝，
解得，PD＝，
∴AP＝．

六、（本題滿分12分）
21．（12分）某學(xué)?！靶@主持人大賽”結(jié)束后，將所有參賽選手的比賽成績（得分均為整數(shù)）進(jìn)行整理，并分別繪制成扇形統(tǒng)計圖和頻數(shù)分布直方圖．部分信息如下：

（1）本次比賽參賽選手共有　50人　，扇形統(tǒng)計圖中“79.5～89.5“這一范圍的人數(shù)占總參賽人數(shù)的百分比為　36%??；
（2）補(bǔ)全圖2頻數(shù)分布直方圖；
（3）成績前四名是2名男生和2名女生，若從他們中任選2人作為該校文藝晚會的主持人，請用列舉法（畫樹狀圖或列表）求所選取的這兩名學(xué)生恰好是一男一女的概率．
【分析】（1）用“89.5～99.5”的人數(shù)除以它們所占的百分比可得到調(diào)查的總?cè)藬?shù)；59.5～69.5”這一范圍的人數(shù)占總參賽人數(shù)的百分比，即可得出答案；
（2）求出“69.5～74.5”這一范圍的人數(shù)為15﹣8＝7（人），“79.5～84.5”這一范圍的人數(shù)為18﹣8＝10（人）；補(bǔ)全圖2頻數(shù)直方圖即可：
（3）畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出恰好選中1男1女的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．
【解答】解：（1）本次比賽參賽選手共有：（8+4）÷24%＝50（人），
“59.5～69.5”這一范圍的人數(shù)占總參賽人數(shù)的百分比為×100%＝10%，
∴79.5～89.5”這一范圍的人數(shù)占總參賽人數(shù)的百分比為100%﹣24%﹣10%﹣30%＝36%；
故答案為：50人，36%；

（2）∵“69.5～79.5”這一范圍的人數(shù)為50×30%＝15（人），
∴“69.5～74.5”這一范圍的人數(shù)為15﹣8＝7（人），
∵“79.5～89.5”這一范圍的人數(shù)為50×36%＝18（人），
∴“79.5～84.5”這一范圍的人數(shù)為18﹣8＝10（人）；
補(bǔ)全圖2頻數(shù)直方圖：

（3）畫樹狀圖為：

共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中恰好選中1男1女的結(jié)果數(shù)為8，
所以恰好選中1男1女的概率＝＝．
七、（本題滿分12分）
22．（12分）九（1）班數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過市場調(diào)查，整理出某種商品在第x（1≤x≤90）天的售價與銷售量的相關(guān)信息如表：
時間x（天）
1≤x＜50
50≤x≤90
售價（元/件）
x+40
70
每天銷量（件）
200﹣2x
已知該商品的進(jìn)價為每件30元，設(shè)銷售該商品的每天利潤為y元；
（1）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）問銷售該商品第幾天時，銷售利潤最大，最大利潤是多少？
【分析】（1）根據(jù)單價乘以數(shù)量，可得利潤，可得答案；
（2）根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，可分別得出最大值，根據(jù)有理數(shù)的比較，可得答案．
【解答】解：（1）當(dāng)1≤x＜50時，y＝（200﹣2x）（x+40﹣30）＝﹣2x2+180x+2000，
當(dāng)50≤x≤90時，
y＝（200﹣2x）（70﹣30）＝﹣80x+8000，
綜上所述：y＝；
（2）當(dāng)1≤x＜50時，
y＝﹣2x2+180x+2000，
y＝﹣2（x﹣45）2+6050．
∴a＝﹣2＜0，
∴二次函數(shù)開口下，二次函數(shù)對稱軸為直線x＝45，
當(dāng)x＝45時，y最大＝6050，
當(dāng)50≤x≤90時，y隨x的增大而減小，
當(dāng)x＝50時，y最大＝4000，
綜上所述，該商品第45天時，當(dāng)天銷售利潤最大，最大利潤是6050元．
八、（本題滿分14分）
23．（14分）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是AD、CD上的點(diǎn)，且AE＝CF，連接BE、BF、EF，點(diǎn)G是BE的中點(diǎn)，連接AG并延長交BF于點(diǎn)K．
（1）求證：AK⊥BF；
（2）當(dāng)點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)時，求tan∠EBF的值；
（3）連接CK，當(dāng)線段CK取最小值時，求的值．

【分析】（1）證明△BAE≌△BCF（SAS），推出∠ABE＝∠CBF，再證明∠BAG＝∠CBF，可得結(jié)論．
（2）證明tan∠ABE＝tan∠BAK，推出＝＝，可以假設(shè)BK＝m，則AK＝2m，想辦法用m表示出GK，可得結(jié)論．
（3）如圖2中，設(shè)AB＝2a，取AB的中點(diǎn)P，連接PK，CP．證明當(dāng)P，K，C共線時，CK的值最?。ㄈ鐖D3中），求出CK的最小值，再利用平行線分線段成比例定理求出CF，可得結(jié)論．
【解答】（1）證明：如圖1中，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴BA＝BC，∠BAE＝∠C＝∠ABC＝90°，
∵AE＝CF，
∴△BAE≌△BCF（SAS），
∴∠ABE＝∠CBF，
∵BG＝GE，
∴AG＝GB＝GE，
∴∠ABE＝∠ABG，
∴∠CBF＝∠BAG，
∵∠CBF+∠ABF＝90°，
∴∠ABF+∠BAG＝90°，
∴∠AKB＝90°，
∴AK⊥BF．

（2）解：∵AE＝ED，
∴AB＝AD＝2AE，
∵∠ABE＝∠BAK，
∴tan∠ABE＝tan∠BAK，
∴＝＝，
∴可以假設(shè)BK＝m，則AK＝2m，
設(shè)AG＝BG＝x，則GK＝2m﹣x，
∵BG2＝GK2+BK2，
∴x2＝（2m﹣x）2+m2，
∴x＝m，
∴GK＝m，
∴tan∠EBF＝＝．

（3）解：如圖2中，設(shè)AB＝2a，取AB的中點(diǎn)P，連接PK，CP．

∵∠AKB＝90°，AP＝PB，
∴PK＝AB＝a，
∵∠CBP＝90°，PB＝a，BC＝2a，
∴PC＝＝a，
∵CK≥PC﹣PK，
∴CK≥a﹣a，
∴當(dāng)P，K，C共線時，CK的值最?。ㄈ鐖D3中），

∵CF∥BP，
∴＝，
∴＝
∴CF＝a﹣a，
∴AE＝CF＝a﹣a，
∴＝＝．


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