蚌埠二中2021屆高三最后一卷數(shù)學(xué)（文科）試題（試卷滿分值：150分    考試時(shí)間：120分鐘）注意事項(xiàng)：第Ⅰ卷所有選擇題的答案必須用2B鉛筆涂在答題卡中相應(yīng)的位置、第Ⅱ卷的答案必須用0.5毫米黑色簽字筆寫在答題卡的相應(yīng)位置上，否則不予計(jì)分.第Ⅰ卷（選擇題    共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)（為虛數(shù)單位），則A.0                   B.                    C.1                    D.2.七巧板是我們祖先的一項(xiàng)創(chuàng)造，被譽(yù)為“東方魔板”，它是由五塊等腰直角三角形（兩塊全等的小三角形，一塊中三角形和兩塊全等的大三角形），一塊正方形和一塊平行四邊形組成的.如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，若向正方形內(nèi)隨機(jī)拋擲2000粒綠豆（大小忽略不計(jì)），則落在圖中陰影部分內(nèi)綠豆粒數(shù)大約為A.750                 B.500                   C.375                   D.2503.集合，，則A.           B.               C.             D.4.明朝的一個(gè)葡萄紋橢圓盤如圖（1）所示，清朝的一個(gè)青花山水樓閣紋飾橢圓盤如圖（2）所示，北宋的一個(gè)汝窯橢圓盤如圖（3）所示，這三個(gè)橢圓盤的外輪廓均為橢圓.已知圖（1），（2），（3）中橢圓的長軸長與短軸長的比值分別為，，，設(shè)圖（1），（2），（3）中橢圓的離心率分別為，，，則        （1）                 （2）               （3）A.          B.            C.          D.5.2021年電影春節(jié)檔票房再創(chuàng)新高，其中電影《唐人街探案3》和《你好，李煥英》是今年春節(jié)檔電影中最火爆的兩部電影，這兩部電影都是2月12日（大年初一）首映，根據(jù)貓眼票房數(shù)據(jù)得到如下統(tǒng)計(jì)圖，該圖統(tǒng)計(jì)了從2月12日到2月18日共計(jì)7天的累計(jì)票房（單位：億元），則下列說法中錯(cuò)誤的是A.這7天電影《你好，李煥英》每天的票房都超過2.5億元B.這7天兩部電影的累計(jì)票房的差的絕對(duì)值先逐步擴(kuò)大后逐步縮小C.這7天電影《你好，李煥英》的當(dāng)日票房占比逐漸增大D.這7天中有4天電影《唐人街探案3》的當(dāng)日票房占比超過50%6.已知，則，，的大小排序?yàn)?/span>A.           B.           C.            D.7.函數(shù)的部分圖象大致是A.                         B.C.                        D.8.一個(gè)由兩個(gè)圓柱組合而成的密閉容器內(nèi)裝有部分液體，小圓柱底面半徑為，大圓柱底面半徑為，如圖1放置容器時(shí)，液面以上空余部分的高為，如圖2放置容器時(shí)，液面以上空余部分的高為，則    圖1         圖2A.                  B.                C.                D.9.已知實(shí)數(shù)，滿足若的最大值為，最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A.              B.                C.                D.10.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和為，若，則的最大值是A.5                   B.10                    C.15                    D.2011.已知函數(shù)，將的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，點(diǎn)，，是與圖象的連續(xù)相鄰的三個(gè)交點(diǎn)，若是鈍角三角形，則的取值范圍是A.         B.          C.            D.12.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為A.8                   B.9                     C.6                     D.4第Ⅱ卷（非選擇題    共90分）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知，則___________.14.根據(jù)記載，最早發(fā)現(xiàn)勾股定理的人應(yīng)是我國西周時(shí)期的數(shù)學(xué)家商高，商高曾經(jīng)和周公討論過“勾三股四弦五”的問題.現(xiàn)有滿足“勾三股四弦五”，其中“股”，為“弦”上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且滿足勾股定理，則___________.15.我國古代有一種容器叫“方斗”，“方斗”的形狀是一種上大下小的正四棱臺(tái)（兩個(gè)底面都是正方形的四棱臺(tái)），如果一個(gè)方斗的容積為28升（一升為一立方分米），上底邊長為4分米，下底邊長為2分米，則該方斗的外接球的表面積為___________平方分米.16.設(shè)雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，，若，且是的一個(gè)四等分點(diǎn)，則雙曲線的離心率是___________.三、解答題（共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.）（一）必考題：（每小題12分，共60分.）17.已知內(nèi)接于單位圓，且.（1）求角；（2）求面積的最大值.18.自從新型冠狀病毒爆發(fā)以來，美國疫情持續(xù)升級(jí)，以下是美國2020年4月9日-12月14日每隔25天統(tǒng)計(jì)1次共計(jì)11次累計(jì)確診人數(shù)（萬）.日期（月/日）4/095/045/296/237/188/13統(tǒng)計(jì)時(shí)間序號(hào)123456累計(jì)確認(rèn)人數(shù)43.3118.8179.4238.8377.0536.0日期（月/日）9/0610/0110/2611/1912/14 統(tǒng)計(jì)時(shí)間序號(hào)7891011 累計(jì)確認(rèn)人數(shù)646.0744.7888.91187.41673.7 （1）將4月9日作為第1次統(tǒng)計(jì)，若將統(tǒng)計(jì)時(shí)間序號(hào)作為變量，每次累計(jì)確診人數(shù)作為變量，得到函數(shù)關(guān)系，對(duì)上表的數(shù)據(jù)作初步處理，得到部分?jǐn)?shù)據(jù)已作近似處理的一些統(tǒng)計(jì)量的值，，，，，，，，，根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)，確定該函數(shù)關(guān)系式（參數(shù)，的取值精確到0.01）；（2）為了了解患新冠肺炎與年齡的關(guān)系，已知某地曾患新冠肺炎的老年、中年、青年的人數(shù)分別為45人，30人，15人，按分層抽樣的方法隨機(jī)抽取6人進(jìn)行問卷調(diào)查，再從6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行調(diào)查結(jié)果對(duì)比，求這2人中至少有一人是老年人的概率.參考公式：線性回歸方程中，，；19.如圖，在直四棱柱中，底面四邊形為梯形，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，，.（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.20.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，直線：與拋物線交于，兩點(diǎn).（1）若直線過焦點(diǎn)，且與圓交于，（其中，在y軸同側(cè)）兩點(diǎn)，求證：是定值；（2）設(shè)拋物線在點(diǎn)和點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)，試問在軸上是否存在點(diǎn)，使得四邊形為菱形？若存在，求出此時(shí)直線的斜率和點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.21.函數(shù).（1）求在x?e處的切線方程（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）；（2）設(shè)，若，且，滿足，求證：.（二）選考題（共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分）22.【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，取相同長度單位建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的普通方程和極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)射線：與曲線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，求線段的長.23.【選修4-5：不等式選講】已知函數(shù)，記的最小值為.（1）解不等式的解集；（2）是否存在正實(shí)數(shù)，，同時(shí)滿足：，說明理由.蚌埠二中2021屆高三最后一卷數(shù)學(xué)（文科）參考答案一、選擇題：（每小題5分，共60分）1.C    2.C    3.A    4.D    5.D    6.A    7.B    8.B    9.C    10.B    11.D    12.A二、填空題：（每小題5分，共20分）13.    14.    15.    16.三、解答題：（一）必考題：（每小題12分，共60分）17.（1）∵，∴，∴，∵∴.（2）的外接圓為單位圓，∴其半徑，由正弦定理可得，由余弦定理可得，代入數(shù)據(jù)可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，“=”成立，∴，∴的面積，面積的最大值為.18.（1）因?yàn)?/span>，所以，由已知得，，，∴所求函數(shù)方程為．（2）從90人中按照分層抽樣的方法隨機(jī)抽取6人，老年、中年、青年分別抽取的人數(shù)為3人，2人，1人，記3個(gè)老年人為，，，2個(gè)中年人為，，1個(gè)青年人為，抽取的全部結(jié)果為，，，，，，，，，，，，，，共15種．至少1人是老年人的有，，，，，，，，，，，，共12種．所以至少1人是老年人的概率為．19.（1）因?yàn)樗睦庵?/span>為直四棱柱，所以，又已知，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，又，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又在平面中，，在平面中，，由面面平行的判定定理可以證明平面平面，又平面，所以平面（2）由（1）知點(diǎn)為的中點(diǎn)，又在梯形中，，所以為等邊三角形，所以，又，所以，所以的面積，則，又在中，，又在，由余弦定理得，所以的面積為，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由等體積法有，則，即，解得，故所求點(diǎn)到平面的距離為.20.拋物線：的焦點(diǎn)，設(shè)，，聯(lián)立與有，則，且，．（Ⅰ）若直線過焦點(diǎn)，則，則，．由條件可知圓圓心為，半徑為1，由拋物線的定義有，，則，，，（或）即為定值，定值為1．（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率為0，且時(shí)為菱形．理由如下：由有，則，則拋物線在處的切線為，即……①同理拋物線在處的切線為……②聯(lián)立①②解得，代入①式解得，即．又，所以，即的中點(diǎn)為．則有軸．若為菱形，則，所以，此時(shí)，，則．方法二：設(shè)，，，由有，則，若為菱形，則，，則，，即，，則，∴，∴，，則拋物線在處的切線為，即……①同理拋物線在處的切線為……②聯(lián)立①②．又的中點(diǎn)為，所以．方法三：設(shè)，，，由有，則，若為菱形，則，，則，即，則，∴，此時(shí)直線：，則所以．21.（1），，則，故在處的切線方程為即；（2）證明：由題可得，，當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則，所以，當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù).設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，，，，則，在上遞減.不妨設(shè)，由于在上是增函數(shù)，則，又，，則，于是，由，在上遞減，則，所以，則，又，，在上是增函數(shù)，所以，，即.（二）選考題：（任選一題作答，共10分）22.（Ⅰ）由平方取和有，則曲線的普通方程為；代入，有曲線的極坐標(biāo)方程.（Ⅱ）由射線：與曲線交于點(diǎn)，有，又射線：與直線交于點(diǎn)，所以代入得，因?yàn)?/span>、、三點(diǎn)共線，所以。23.（Ⅰ）因?yàn)?/span>即，，解得，所以不等式的解集為.（Ⅱ）由，易知，即。由柯西不等式知，即由，有，即不可能有，所以不存在正數(shù)，，同時(shí)滿足：，. 

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