1．（3分）﹣2020的倒數(shù)是（ ）
A．﹣2020B．﹣C．2020D．
2．（3分）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．a(chǎn)2?a3＝a6B．a(chǎn)5+a5＝a10C．a(chǎn)6÷a2＝a3D．（a3）2＝a6
3．（3分）如圖，小明課間把老師的三角板的直角頂點(diǎn)放在黑板的兩條平行線a、b上，已知∠1＝55°，則∠2的度數(shù)為（ ）
A．45°B．35°C．55°D．125°
4．（3分）一組數(shù)據(jù)3，5，3，7，7，14，3，眾數(shù)、平均數(shù)分別是（ ）
A．3、6B．3、5C．5、6D．3、7
5．（3分）如圖圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）2020年2月11日，聯(lián)合國(guó)及農(nóng)業(yè)組織向全球發(fā)出沙漠蝗蟲(chóng)災(zāi)害預(yù)警，30多個(gè)國(guó)家遭蝗蟲(chóng)災(zāi)難，巴基斯坦當(dāng)前蝗蟲(chóng)數(shù)目約為4000億只；每平方公里的蝗蟲(chóng)，每天可以吃掉35000人份糧食作物．4000億用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．4×103B．4×107億C．4×1010D．4×1011
7．（3分）一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角減去其外角為120°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（ ）
A．八B．九C．十D．十二
8．（3分）已知反比例函數(shù)y＝（k≠0）過(guò)點(diǎn)A（a，y1），B（a+1，y2），若y2＞y1，則a的取值范圍為（ ）
A．﹣1＜aB．﹣1＜a＜0C．a(chǎn)＜1D．0＜a＜1
9．（3分）如圖，P是y軸正半軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸垂線，分別交反比例函數(shù)y＝和y＝的圖象于點(diǎn)A，B，若，則的值為（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）已知一列數(shù)：1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，…將這列數(shù)排成下列形式：
按照上述規(guī)律排下去，那么第100行從左邊數(shù)第4個(gè)數(shù)是（ ）
A．﹣4954B．4954C．﹣4953D．4953
11．（3分）按照如圖所示的流程，若輸出的M＝﹣6，則輸入的m為（ ）
A．3B．1C．0D．﹣1
12．（3分）拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A在點(diǎn)（﹣3，0）和（﹣2，0）之間，其部分圖象如圖，則下列結(jié)論：①4ac﹣b2＜0；②2a﹣b＝0；③a+b+c＜0；④點(diǎn)M（x1，y1）、N（x2，y2）在拋物線上，若x1＜x2，則y1≤y2，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
13．（3分）如果關(guān)于x的方程x2+kx+9＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么k的值為 ．
14．（3分）在一個(gè)不透明的袋子里有50個(gè)除顏色外均相同的小球，每次摸球前先將盒中的球搖勻，隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色后再放回盒中，通過(guò)大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.4，由此估計(jì)袋中紅球的個(gè)數(shù)為 ．
15．（3分）已知（b≠0），則的值為 ．
16．（3分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為3，∠B＝140°，則弧AC的長(zhǎng)為 ．
17．（3分）如圖放置的一個(gè)圓錐，它的主視圖是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則該圓錐的側(cè)面積為 （結(jié)果保留π）
18．（3分）如圖，圖中的所有三角形都是直角三角形，所有四邊形都是正方形，正方形A的邊長(zhǎng)為，另外四個(gè)正方形中的數(shù)字8，x，10，y分別表示該正方形面積，則x與y的數(shù)量關(guān)系是 ．
三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共66分）
19．（8分）計(jì)算：2sin45°+tan60°+2cs30°﹣．
20．（8分）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x是|x|＜2的整數(shù)．
21．（10分）為了解同學(xué)們課外閱讀的情況，現(xiàn)對(duì)初三某班進(jìn)行了“我最喜歡的課外書(shū)籍類別”的問(wèn)卷調(diào)查，用“A”，表示小說(shuō)類書(shū)籍，“B”表示文學(xué)類書(shū)籍，“C”表示傳記類書(shū)籍，“D”表示藝術(shù)類書(shū)籍．根據(jù)問(wèn)卷調(diào)查統(tǒng)計(jì)資料繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息解答以下問(wèn)題：
（1）本次問(wèn)卷調(diào)查，共調(diào)查了 名學(xué)生．
（2）請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；扇形統(tǒng)計(jì)圖中表示“B”的扇形圓心角為 度．
（3）該班有40人，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算估計(jì)這個(gè)班喜歡傳記類書(shū)籍的大約有多少人？
22．（8分）某校教學(xué)樓后面緊鄰一個(gè)土坡，坡上面是一塊平地，如圖所示，BC∥AD，斜坡AB長(zhǎng)，坡度i＝9：5．為了防止山體滑坡，保障安全，學(xué)校決定對(duì)該土坡進(jìn)行改造，地質(zhì)人員勘測(cè)，當(dāng)坡角不超過(guò)45°時(shí)，可確保山體不滑坡．
（1）求改造前坡B到地面的垂直距離BE的長(zhǎng)；
（2）為確保安全，學(xué)校計(jì)劃改造時(shí)保持坡腳A不動(dòng)，坡頂B沿BC削進(jìn)到F處，問(wèn)BF至少是多少米？
23．（8分）小趙為班級(jí)購(gòu)買筆記本作為晚會(huì)上的獎(jiǎng)品．回來(lái)時(shí)向生活委員交賬說(shuō)：“一共買了36本，有兩種規(guī)格，單價(jià)分別為1.8元和2.6元．去時(shí)我領(lǐng)了100元，現(xiàn)在找回27.6元．”生活委員算了一下，認(rèn)為小趙搞錯(cuò)了．
（1）請(qǐng)你用方程的知識(shí)說(shuō)明小趙為什么搞錯(cuò)了．
（2）小趙一想，發(fā)覺(jué)的確不對(duì)，因?yàn)樗炎约嚎诖锏牧阌缅X一起當(dāng)做找回的錢給了生活委員．如果設(shè)購(gòu)買單價(jià)為1.8元的筆記本a本，試用含a的代數(shù)式表示小趙零用錢的數(shù)目： 元．
（3）如果小趙的零用錢數(shù)目是整數(shù)，且少于3元，試求出小趙零用錢的數(shù)目．
24．（8分）已知平行四邊形ABCD，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且CA＝CB，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，使CE＝BC，聯(lián)結(jié)DE．
（1）當(dāng)AC⊥BD時(shí)，求證：BE＝2CD；
（2）當(dāng)∠ACB＝90°時(shí)，求證：四邊形ACED是正方形．
25．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分線，DE⊥AD交AB于E，△ADE的外接圓⊙O與邊AC相交于點(diǎn)F，過(guò)F作AB的垂線交AD于P，交AB于M，交⊙O于G，連接GE．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若tan∠G＝，BE＝4，求⊙O的半徑；
（3）在（2）的條件下，求AP的長(zhǎng)．
26．（8分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)，對(duì)稱軸與拋物線相交于點(diǎn)P、與BC相交于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)H，連接PB．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）拋物線上存在一點(diǎn)G，使∠GBA+∠PBE＝45°，請(qǐng)求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（3）拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使△QEB與△PEB的面積相等，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
2021年湖南省婁底市中考數(shù)學(xué)仿真試卷
參考答案與試題解析
一、單選題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）
1．（3分）﹣2020的倒數(shù)是（ ）
A．﹣2020B．﹣C．2020D．
【分析】根據(jù)倒數(shù)的概念解答．
【解答】解：﹣2020的倒數(shù)是﹣，
故選：B．
2．（3分）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．a(chǎn)2?a3＝a6B．a(chǎn)5+a5＝a10C．a(chǎn)6÷a2＝a3D．（a3）2＝a6
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法法則，合并同類項(xiàng)法則，冪的乘方法則，逐一檢驗(yàn)．
【解答】解：A、a2?a3＝a2+3＝a5，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、a5+a5＝2a5，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、a6÷a2＝a6﹣2＝a4，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、（a3）2＝a6，本選項(xiàng)正確；
故選：D．
3．（3分）如圖，小明課間把老師的三角板的直角頂點(diǎn)放在黑板的兩條平行線a、b上，已知∠1＝55°，則∠2的度數(shù)為（ ）
A．45°B．35°C．55°D．125°
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠1＝∠3，再根據(jù)平角定義可得計(jì)算出∠3+∠2＝90°，然后可算出∠2的度數(shù)．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝55°，
∵∠3+∠2+90°＝180°，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠2＝90°﹣55°＝35°，
故選：B．
4．（3分）一組數(shù)據(jù)3，5，3，7，7，14，3，眾數(shù)、平均數(shù)分別是（ ）
A．3、6B．3、5C．5、6D．3、7
【分析】根據(jù)眾數(shù)和平均數(shù)的概念求解．
【解答】解：這組數(shù)據(jù)中3出現(xiàn)的次數(shù)最多，故3為眾數(shù)，
平均數(shù)為：＝6．
故選：A．
5．（3分）如圖圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解．
【解答】解：A．是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形．故本選項(xiàng)不合題意；
B．是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形．故本選項(xiàng)不合題意；
C．既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形．故本選項(xiàng)符合題意；
D．不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形．故本選項(xiàng)不合題意．
故選：C．
6．（3分）2020年2月11日，聯(lián)合國(guó)及農(nóng)業(yè)組織向全球發(fā)出沙漠蝗蟲(chóng)災(zāi)害預(yù)警，30多個(gè)國(guó)家遭蝗蟲(chóng)災(zāi)難，巴基斯坦當(dāng)前蝗蟲(chóng)數(shù)目約為4000億只；每平方公里的蝗蟲(chóng)，每天可以吃掉35000人份糧食作物．4000億用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．4×103B．4×107億C．4×1010D．4×1011
【分析】把4000億寫(xiě)成4000 0000 0000，再記成a×10n的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù)的形式．
【解答】解：4000億＝4000 0000 0000＝4×1011，
故選：D．
7．（3分）一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角減去其外角為120°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（ ）
A．八B．九C．十D．十二
【分析】首先設(shè)內(nèi)角為x°，則其外角為（x﹣120）°，根據(jù)內(nèi)角與其相鄰?fù)饨呛蜑?80°，可得方程x+（x﹣120）＝180，計(jì)算出x的值，進(jìn)而可得外角的度數(shù)，然后可得多邊形的邊數(shù)．
【解答】解：設(shè)內(nèi)角為x°，則其外角為（x﹣120）°，由題意得：
x+（x﹣120）＝180，
解得：x＝150，
則其外角為150°﹣120°＝30°，
這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為：360°÷30°＝12．
故選：D．
8．（3分）已知反比例函數(shù)y＝（k≠0）過(guò)點(diǎn)A（a，y1），B（a+1，y2），若y2＞y1，則a的取值范圍為（ ）
A．﹣1＜aB．﹣1＜a＜0C．a(chǎn)＜1D．0＜a＜1
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象所經(jīng)過(guò)的象限和函數(shù)的增減性解答．
【解答】解：∵反比例函數(shù)y＝（k≠0）中的k2＞0，
∴反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限，且在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減?。?br>∵y2＞y1，a+1＞a，
∴點(diǎn)A位于第三象限，點(diǎn)B位于第一象限，
∴，
解得﹣1＜a＜0．
故選：B．
9．（3分）如圖，P是y軸正半軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸垂線，分別交反比例函數(shù)y＝和y＝的圖象于點(diǎn)A，B，若，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【分析】設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，y），則B點(diǎn)坐標(biāo)為（b，y），根據(jù)縱坐標(biāo)相同，列出等式，即可求出的值．
【解答】解：設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，y），則B點(diǎn)坐標(biāo)為（b，y），
∴AP＝a，BP＝﹣b，
∵，
∴＝，即＝﹣
把A（a，y），B（b，y）分別代入反比例函數(shù)y＝和y＝得，＝，
∴＝＝﹣，
故選：D．
10．（3分）已知一列數(shù)：1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，…將這列數(shù)排成下列形式：
按照上述規(guī)律排下去，那么第100行從左邊數(shù)第4個(gè)數(shù)是（ ）
A．﹣4954B．4954C．﹣4953D．4953
【分析】分析可知第n行有n個(gè)數(shù)，此行的第一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值為+1；且奇數(shù)時(shí)為正，偶數(shù)時(shí)為負(fù)，先判斷第100行第一個(gè)數(shù)按規(guī)律寫(xiě)出第4個(gè)數(shù)即可．
【解答】解：第1行：1
第2行：﹣2，3
第3行：﹣4，5，﹣6
第4行：7，﹣8，9，﹣10
第5行：11，﹣12，13，﹣14，15
…
∴第n行第一個(gè)數(shù)為（﹣1）[+1]，
∴第100行4951，﹣4952，4953，﹣4954...．
故選：A．
11．（3分）按照如圖所示的流程，若輸出的M＝﹣6，則輸入的m為（ ）
A．3B．1C．0D．﹣1
【分析】根據(jù)題目中的程序，利用分類討論的方法可以分別求得m的值，從而可以解答本題．
【解答】解：當(dāng)m2﹣2m≥0時(shí)，，解得m＝0，
經(jīng)檢驗(yàn)，m＝0是原方程的解，并且滿足m2﹣2m≥0，
當(dāng)m2﹣2m＜0時(shí)，
m﹣3＝﹣6，解得m＝﹣3，不滿足m2﹣2m＜0，舍去．
故輸入的m為0．
故選：C．
12．（3分）拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A在點(diǎn)（﹣3，0）和（﹣2，0）之間，其部分圖象如圖，則下列結(jié)論：①4ac﹣b2＜0；②2a﹣b＝0；③a+b+c＜0；④點(diǎn)M（x1，y1）、N（x2，y2）在拋物線上，若x1＜x2，則y1≤y2，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【分析】根據(jù)函數(shù)與x中軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，以及對(duì)稱軸的解析式，函數(shù)值的符號(hào)的確定即可作出判斷．
【解答】解：函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，故①正確；
函數(shù)的對(duì)稱軸是直線x＝﹣1，即﹣＝﹣1，則b＝2a，2a﹣b＝0，故②正確；
當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在x軸下方，則a+b+c＜0，則③正確；
則y1和y2的大小無(wú)法判斷，則④錯(cuò)誤．
故選：C．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
13．（3分）如果關(guān)于x的方程x2+kx+9＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么k的值為 ±6 ．
【分析】若一元二次方程有兩相等根，則根的判別式△＝b2﹣4ac＝0，建立關(guān)于k的等式，求出k的值．
【解答】解：∵方程有兩相等的實(shí)數(shù)根，
∴△＝b2﹣4ac＝k2﹣36＝0，
解得k＝±6．
故答案為：±6．
14．（3分）在一個(gè)不透明的袋子里有50個(gè)除顏色外均相同的小球，每次摸球前先將盒中的球搖勻，隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色后再放回盒中，通過(guò)大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.4，由此估計(jì)袋中紅球的個(gè)數(shù)為 20 ．
【分析】在同樣條件下，大量反復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，可以從比例關(guān)系入手，列出方程求解．
【解答】解：設(shè)盒子中有紅球x個(gè)，
由題意可得：＝0.4，
解得：x＝20，
故答案為：20．
15．（3分）已知（b≠0），則的值為 ．
【分析】直接利用已知設(shè)a＝2x，b＝3x，進(jìn)而代入求出答案．
【解答】解：∵（b≠0），
∴設(shè)a＝2x，b＝3x，
則的值為：＝．
故答案為：．
16．（3分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為3，∠B＝140°，則弧AC的長(zhǎng)為 π ．
【分析】連接AO，OC，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠D＝40°，由圓周角定理得到∠AOC＝80°，根據(jù)弧長(zhǎng)的公式即可得到結(jié)論．
【解答】解：連接AO，OC，
∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠B＝140°，
∴∠D＝40°，
∴∠AOC＝80°，
∴的長(zhǎng)＝＝π，
故答案為π．
17．（3分）如圖放置的一個(gè)圓錐，它的主視圖是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則該圓錐的側(cè)面積為 2π （結(jié)果保留π）
【分析】圓錐的側(cè)面積展開(kāi)是一個(gè)扇形，扇形所在圓的半徑是2，扇形的弧長(zhǎng)是2π，然后根據(jù)圓錐的側(cè)面積＝rl計(jì)算．
【解答】解：根據(jù)題意，圓錐的側(cè)面積＝rl＝×2×2π＝2π．
故答案為：2π．
18．（3分）如圖，圖中的所有三角形都是直角三角形，所有四邊形都是正方形，正方形A的邊長(zhǎng)為，另外四個(gè)正方形中的數(shù)字8，x，10，y分別表示該正方形面積，則x與y的數(shù)量關(guān)系是 x+y＝19 ．
【分析】先由正方形A的邊長(zhǎng)為，得出SA＝37，再根據(jù)勾股定理的幾何意義，得到x+10+（8+y）＝SA，由此得出x與y的數(shù)量關(guān)系．
【解答】解：∵正方形A的邊長(zhǎng)為，
∴SA＝37，
根據(jù)勾股定理的幾何意義，得x+10+（8+y）＝SA＝37，
∴x+y＝37﹣18＝19，即x+y＝19．
故答案為x+y＝19．
三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共66分）
19．（8分）計(jì)算：2sin45°+tan60°+2cs30°﹣．
【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入求出答案．
【解答】解：原式＝2×++2×﹣2
＝．
20．（8分）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x是|x|＜2的整數(shù)．
【分析】根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則把原式化簡(jiǎn)，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)求出x，代入計(jì)算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝；
又x是|x|＜2的整數(shù)，
∴x＝﹣1或0或1．
當(dāng)x＝1時(shí)原式無(wú)意義．
∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，原式＝﹣1；
當(dāng)x＝0時(shí)，原式＝﹣．
21．（10分）為了解同學(xué)們課外閱讀的情況，現(xiàn)對(duì)初三某班進(jìn)行了“我最喜歡的課外書(shū)籍類別”的問(wèn)卷調(diào)查，用“A”，表示小說(shuō)類書(shū)籍，“B”表示文學(xué)類書(shū)籍，“C”表示傳記類書(shū)籍，“D”表示藝術(shù)類書(shū)籍．根據(jù)問(wèn)卷調(diào)查統(tǒng)計(jì)資料繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息解答以下問(wèn)題：
（1）本次問(wèn)卷調(diào)查，共調(diào)查了 20 名學(xué)生．
（2）請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；扇形統(tǒng)計(jì)圖中表示“B”的扇形圓心角為 108 度．
（3）該班有40人，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算估計(jì)這個(gè)班喜歡傳記類書(shū)籍的大約有多少人？
【分析】（1）根據(jù)D的人數(shù)除以占的百分比得到調(diào)查的總學(xué)生數(shù)；
（2）求出C的人數(shù)，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖即可，求出B占的百分比，乘以360即可得到結(jié)果；
（3）用C類別人數(shù)所占比例乘以全班總?cè)藬?shù)可得．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得：4÷20%＝20（人），
故答案為：20；
（2）C的人數(shù)為20﹣（7+6+4）＝3（人），
補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，如圖所示；
扇形統(tǒng)計(jì)圖中表示“B”的扇形圓心角為×360°＝108°，
故答案為：108；
（3）×40＝6（人），
答：估計(jì)這個(gè)班喜歡傳記類書(shū)籍的大約有6人．
22．（8分）某校教學(xué)樓后面緊鄰一個(gè)土坡，坡上面是一塊平地，如圖所示，BC∥AD，斜坡AB長(zhǎng)，坡度i＝9：5．為了防止山體滑坡，保障安全，學(xué)校決定對(duì)該土坡進(jìn)行改造，地質(zhì)人員勘測(cè)，當(dāng)坡角不超過(guò)45°時(shí)，可確保山體不滑坡．
（1）求改造前坡B到地面的垂直距離BE的長(zhǎng)；
（2）為確保安全，學(xué)校計(jì)劃改造時(shí)保持坡腳A不動(dòng)，坡頂B沿BC削進(jìn)到F處，問(wèn)BF至少是多少米？
【分析】（1）根據(jù)勾股定理和坡度公式可求得BE的長(zhǎng)．
（2）由（1）得AE＝12.5，設(shè)BF＝xm．作FH⊥AD于H，則＝tan∠FAH．由題意得≤tan45°，解不等式即可求解．
【解答】解：（1）連接AF．
∵i＝．
∴設(shè)BE＝9k，AE＝5k．（k為正數(shù)）
則在Rt△ABE中，∠BEA＝90°，AB＝．
∴AB2＝BE2+AE2．（2分）
即（）2＝（9k）2+（5k）2．
解得：k＝．
∴BE＝9×＝22.5（m）．
故改造前坡頂與地面的距離BE的長(zhǎng)為22.5米．
（2）由（1）得AE＝12.5，設(shè)BF＝xm，作FH⊥AD于H，則＝tan∠FAH．
由題意得≤tan45°．
即x≥10．
∴坡頂B沿BC至少削進(jìn)10m，才能確保安全．
23．（8分）小趙為班級(jí)購(gòu)買筆記本作為晚會(huì)上的獎(jiǎng)品．回來(lái)時(shí)向生活委員交賬說(shuō)：“一共買了36本，有兩種規(guī)格，單價(jià)分別為1.8元和2.6元．去時(shí)我領(lǐng)了100元，現(xiàn)在找回27.6元．”生活委員算了一下，認(rèn)為小趙搞錯(cuò)了．
（1）請(qǐng)你用方程的知識(shí)說(shuō)明小趙為什么搞錯(cuò)了．
（2）小趙一想，發(fā)覺(jué)的確不對(duì)，因?yàn)樗炎约嚎诖锏牧阌缅X一起當(dāng)做找回的錢給了生活委員．如果設(shè)購(gòu)買單價(jià)為1.8元的筆記本a本，試用含a的代數(shù)式表示小趙零用錢的數(shù)目： （21.2﹣0.8a） 元．
（3）如果小趙的零用錢數(shù)目是整數(shù)，且少于3元，試求出小趙零用錢的數(shù)目．
【分析】（1）設(shè)小趙購(gòu)買單價(jià)為1.8元的筆記本x本，可得出購(gòu)買單價(jià)為2.6元的筆記本（36﹣x）本，根據(jù)購(gòu)買1.8元的筆記本的錢數(shù)+購(gòu)買2.6元的筆記本錢數(shù)＝100﹣27.6列出方程，求出方程的解得到x的值為小數(shù)，不合題意，可得出小趙搞錯(cuò)了；
（2）由購(gòu)買單價(jià)為1.8元的筆記本a本，可得出購(gòu)買單價(jià)為2.6元的筆記本（36﹣a）本，表示出購(gòu)買兩種筆記本應(yīng)花的錢，根據(jù)應(yīng)花的錢﹣（100﹣27.6），即可表示出小趙口袋中的零花錢；
（3）由（2）表示出小趙的零花錢，根據(jù)小趙的零用錢數(shù)目是整數(shù)，且少于3元，列出不等式組，求出不等式解集的正整數(shù)解得到a的值，經(jīng)檢驗(yàn)得到滿足題意a的值，即為小趙的零用錢數(shù)目．
【解答】解：（1）設(shè)小趙購(gòu)買單價(jià)為1.8元的筆記本x本，
則購(gòu)買單價(jià)為2.6元的筆記本（36﹣x）本，
∴1.8x+2.6（36﹣x）＝100﹣27.6，
解得：x＝26.5，
因筆記本本數(shù)應(yīng)該為整數(shù)，而計(jì)算出來(lái)的本數(shù)為小數(shù)，
∴小趙搞錯(cuò)了；
（2）[1.8a+2.6（36﹣a）]﹣（100﹣27.6）＝21.2﹣0.8a；
（3）由題意得：，
解得：22.75＜a＜26.5，
因a取整數(shù)，所以a為23或24或25或26，
經(jīng)檢驗(yàn)a＝23或25或26時(shí)，21.2﹣0.8a不為整數(shù)，
故a＝24，此時(shí)21.2﹣0.8a＝2，
所以小趙的零用錢數(shù)目為2元．
故答案為：21.2﹣0.8a
24．（8分）已知平行四邊形ABCD，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且CA＝CB，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，使CE＝BC，聯(lián)結(jié)DE．
（1）當(dāng)AC⊥BD時(shí)，求證：BE＝2CD；
（2）當(dāng)∠ACB＝90°時(shí)，求證：四邊形ACED是正方形．
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出BO＝DO，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出BC＝CD，求出BC＝CE＝CD即可；
（2）根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求出∠ACE＝90°，求出四邊形ACED是平行四邊形，再根據(jù)正方形的判定推出即可．
【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BO＝DO，
∵AC⊥BD，
∴BC＝CD，
∵BC＝CE，
∴BC＝CE＝CD，
即BE＝2CD；
（2）
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB＝90°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BC＝CE，
∴AD＝CE，
∴四邊形ACED是平行四邊形，
∵AC＝CE，∠ACE＝90°，
∴四邊形ACED是正方形．
25．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分線，DE⊥AD交AB于E，△ADE的外接圓⊙O與邊AC相交于點(diǎn)F，過(guò)F作AB的垂線交AD于P，交AB于M，交⊙O于G，連接GE．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若tan∠G＝，BE＝4，求⊙O的半徑；
（3）在（2）的條件下，求AP的長(zhǎng)．
【分析】（1）連接OD，根據(jù)AD是角平分線，求出∠C＝90°，得到OD⊥BC，求出BC是⊙O的切線；
（2）構(gòu)造直角三角形，根據(jù)勾股定理求出k的值即可；
（3）設(shè)FG與AE的交點(diǎn)為M，連接AG，利用三角函數(shù)和相似三角形結(jié)合勾股定理解題．
【解答】（1）證明：連接OD，
∵DE⊥AD，
∴AE是⊙O的直徑，即O在AE上，
∵AD是角平分線，
∴∠1＝∠2，
∵OA＝OD，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴OD∥AC，
∵∠C＝90°，
∴OD⊥BC．
∴BC是⊙O的切線；
（2）解：∵OD∥AC，
∴∠4＝∠EAF，
∵∠G＝∠EAF，
∴∠4＝∠G，
∴tan∠4＝tan∠G＝，
設(shè)BD＝4k，則OD＝OE＝3k，
在Rt△OBD中，由勾股定理得（3k）2+（4k）2＝（3k+4）2，
解得，k1＝2，k2＝（舍），（注：也可由OB＝5k＝3k+4得k＝2），
∴3k＝6，即⊙O的半徑為6；
（3）解：連接AG，則∠AGE＝90°，∠EGM＝∠5．
∴tan∠5＝tan∠EGM＝，
即，，
∴，
∴AM＝EM＝（AE﹣AM）
∴AM＝AE＝＝，
∵OD∥AC，
∴，，
即，．
∴AC＝，CD＝，
∵∠1＝∠2，∠ACD＝∠AMP＝90°，
∴△ACD∽△AMP．
∴，
∴PM＝＝．
∴AP＝＝．
26．（8分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)，對(duì)稱軸與拋物線相交于點(diǎn)P、與BC相交于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)H，連接PB．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）拋物線上存在一點(diǎn)G，使∠GBA+∠PBE＝45°，請(qǐng)求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（3）拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使△QEB與△PEB的面積相等，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
【分析】（1）把三點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)式，列式求得a，b，c的值，即求出解析式；
（2）分兩種情況討論，由銳角三角函數(shù)可求OF的長(zhǎng)，可求點(diǎn)F坐標(biāo)，可得BF解析式，聯(lián)立方程組可求點(diǎn)G坐標(biāo)；
（3）由等底等高的兩個(gè)三角形的面積相等，可求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三點(diǎn)代入拋物線解析式
，
解得：，
∴該拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；
（2）由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
則頂點(diǎn)P（1，4），對(duì)稱軸為直線x＝1，
∴H（1，0），
∴PH＝4，BH＝2，
∵B（3，0），C（0，3），
∴直線BC解析式為y＝﹣x+3，
∴點(diǎn)E（1，2），
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC，
∴∠CBO＝45°，
若點(diǎn)G在直線AB的上方時(shí)，
∵PH⊥AB，∠CBO＝45°，
∴∠HEB＝45°，
∴∠PBE+∠BPE＝45°，
∵∠GBA+∠PBE＝45°，
∴∠BPE＝∠GBA，
∴tan∠BPH＝tan∠GBA＝，
∴，
∴OF＝，
∴點(diǎn)F（0，），
∴直線BF解析式為：y＝﹣x+，
聯(lián)立方程組可得：，
解得：或，
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（﹣，）；
若點(diǎn)G在直線AB的下方時(shí)，
由對(duì)稱性可得：點(diǎn)F'（0，﹣），
∴直線BF解析式為：y＝x﹣，
聯(lián)立方程組可得：，
解得：或，
∴點(diǎn)G'的坐標(biāo)為（﹣，﹣），
綜上所述：點(diǎn)G的坐標(biāo)為（﹣，）或（﹣，﹣）；
（3）存在，
∵點(diǎn)E（1，2），頂點(diǎn)P（1，4），
∴PE＝2，PH＝4，
∴EH＝2＝PE，
如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥BC，交拋物線于Q，此時(shí)△QEB與△PEB的面積相等，
∵PQ∥BC，點(diǎn)P坐標(biāo)（1，4），直線BC解析式為y＝﹣x+3，
∴PQ解析式為y＝﹣x+5，
聯(lián)立方程組得：，
解得：或，
∴點(diǎn)Q（2，3），
過(guò)點(diǎn)H作HQ'∥BC，交拋物線于Q'、Q''，
∴PQ∥BC∥HQ'，
∵PE＝EH，
∴PQ與BC之間的距離＝BC與HQ'之間的距離，
∴△QEB與△PEB的面積相等，
∵HQ'∥BC，點(diǎn)H（1，0），直線BC解析式為y＝﹣x+3，
∴直線Q'H的解析式為：y＝﹣x+1，
聯(lián)立方程組得：，
解得：或，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，）或（，），
綜上所述：點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，3）或（，）或（，）．

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