2021年湖南省衡陽市中考數(shù)學仿真試卷（一）（word版 含答案）

這是一份2021年湖南省衡陽市中考數(shù)學仿真試卷（一）（word版 含答案），共24頁。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?2021年湖南省衡陽市中考數(shù)學仿真試卷（一）
一、單選題（本大題共12小題，每小題各3分，滿分36分）
1．6的相反數(shù)是（　?。?br /> A．6 B． C．﹣6 D．﹣
2．下列運算正確的是（　?。?br /> A．m+2m＝3m2 B．2m3?3m2＝6m6
C．（2m）3＝8m3 D．m6÷m2＝m3
3．“拒絕浪費，從你我做起”，一個人一日三餐少浪費一粒米，全國一年就可以節(jié)省3520萬斤糧食．將3520萬用科學記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．0.352×108 B．35.2×106 C．3.52×107 D．352×108
4．下列式子中，正確的是（　?。?br /> A． B． C． D．
5．剪紙藝術是最古老的中國民間藝術之一，它能給人以視覺上的藝術享受，下列剪紙作品中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
6．在函數(shù)y＝中，自變量x的取值范圍是（　?。?br /> A．x＞1 B．x≤1 C．x≠0 D．x≤1且x≠0
7．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，下列選項不能得到四邊形ABCD是平行四邊形的是（　?。?br />
A．AC＝BD，OA＝OC B．OB＝OD，OA＝OC
C．AD＝BC，AD∥BC D．△ABC≌△CDA
8．下圖中各圖形經(jīng)過折疊后可以圍成一個棱柱的是（　　）
A． B． C． D．
9．不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（　?。?br /> A． B． C． D．
10．若反比例函數(shù)y＝（2m﹣1）的圖象在第一、三象限，則m的值是（　?。?br /> A．﹣1或1 B．小于的任意實數(shù)
C．1 D．不能確定
11．如圖所示，在一邊靠墻（墻足夠長）的空地上，修建一個面積為375平方米的矩形臨時倉庫，倉庫一邊靠墻，另三邊用總長為55米的柵欄圍成，若設榣欄AB的長為x米，則下列各方程中，符合題意的是（　?。?br />
A．x（55﹣x）＝375 B．x（55﹣2x）＝375
C．x（55﹣2x）＝375 D．x（55﹣x）＝375
12．如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的頂點C的坐標為（﹣1，0），點B的坐標為（0，2），對角線AC⊥x軸，點A在第二象限，直線y＝﹣x+5與x軸、y軸分別交于點N、M．將菱形ABCD沿x軸向右平移m個單位，當點A落在MN上時，則m為（　?。?br />
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空題（本大題共6小題，每小題各3分，滿分18分）
13．分解因式：6m﹣3m2＝　 ?。?br /> 14．化簡：（+）?＝　 ?。?br /> 15．如果一個正多邊形的內(nèi)角和等于720°，那么該正多邊形的一個外角等于　 　度．
16．如圖，把一塊三角板的直角的頂點放在直尺的一邊上，若∠1＝48°，則∠2＝　 ?。?br />
17．動物園有一群鴕鳥和長頸鹿，它們共有30只眼睛和44只腳，則鴕鳥有　 　只，長頸鹿有　 　只．
18．如圖，在平面直角坐標系中放置一菱形OABC，已知∠ABC＝60°，OA＝1．現(xiàn)將菱形OABC沿x軸的正方向無滑動翻轉，每次翻轉60°，連續(xù)翻轉2018次，點B的落點依次為B1，B2，B3，B4，…，則B2018的坐標為　 　．

三、解答題（本大題共8小題，滿分66分.解答應該寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
19．（8分）化簡：（a﹣b）（a+b）﹣a（a+b）．
20．（8分）有4張正面分別標有數(shù)字﹣1，2，﹣3，4的不透明卡片，它們除數(shù)字外其余全部相同，現(xiàn)將它們背面朝上，洗勻后從4張卡片中隨機摸出一張不放回，將該卡片上的數(shù)字記為m，再隨機抽取1張，將卡片的數(shù)字記為n．
（1）請用列表或樹狀圖的方式把（m，n）所有的結果表示出來．
（2）求選出的（m，n）在一、三象限的概率．
21．（8分）如圖，在△ABC中，∠A＝72°，∠BCD＝31°，CD平分∠ACB．
（1）求∠B的度數(shù)；
（2）求∠ADC的度數(shù)．

22．（8分）手機是現(xiàn)代入生活中不可或缺的工具．某?！靶∮浾摺睘榱肆私馐忻袷褂檬謾C的品牌，隨機調(diào)查了我區(qū)部分市民的手機品牌，并對調(diào)查結果進行整理．繪制了如圖所示的不完整的統(tǒng)計圖表．
組別
手機品牌
頻數(shù)（人數(shù)）
A
OPPO
80
B
VIVO
m
C
小米
100
D
華為
120
E
其他
60
請根據(jù)圖表中提供的信息解答下列問題：
（1）填空：m＝　 　，扇形統(tǒng)計圖中E組所占的百分比為　 　；
（2）我區(qū)擁有30萬手機用戶，請估計其中使用華為手機的用戶數(shù)量；
（3）若在這次接受調(diào)查的市民中，隨機抽查一人，則此人用小米手機的概率是　 ?。?br />
23．（8分）如圖，已知△ABC的邊AB是⊙O的切線，切點為點B．AC經(jīng)過圓心并與圓相交于點D，C，過點C作直線CE⊥AB，交AB的延長線于點E．
（1）求證：CB平分∠ACE；
（2）若BE＝3，CE＝9，求⊙O的半徑．

24．（8分）智能手機如果安裝了一款測量軟件“SmartMeasure”后，就可以測量物高、寬度和面積等，如圖，打開軟件后將手機攝像頭對準腳部按鍵，再對準頭部按鍵，即可測量出人體的高度．測量者AB用其數(shù)學原理如圖②所示，測量一棵大樹CD，手機顯示AC＝20m，AD＝25m，∠CAD＝53°，求此時CD的高．（結果保留根號）（sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）

25．（8分）已知，拋物線y＝ax2+2ax+c與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點，點A在點B左側．點B的坐標為（1，0），OC＝3OB．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當a＞0時，如圖所示，若點D是第三象限方拋物線上的動點，設點D的橫坐標為m，三角形ADC的面積為S，求出S與m的函數(shù)關系式，并直接寫出自變量m的取值范圍；請問當m為何值時，S有最大值？最大值是多少．

26．（10分）如圖，在△ABC中，AB＝BC＝15，sinB＝，動點P從點B出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿BA向終點A運動，過點P作PD⊥AB，交射線BC于點D，E為PD中點，以DE為邊作正方形DEFG，使點A、F在PD的同側，設點P的運動時間為t秒（t＞0）．
（1）求點A到邊BC的距離．
（2）當點G在邊AC上時，求t的值．
（3）設正方形DEFG與△ABC的重疊部分圖形的面積為S，當點D在邊BC上時，求S與t之間的函數(shù)關系式．
（4）連接EG，當△DEG一邊上的中點在線段AC上時，直接寫出t的值．


2021年湖南省衡陽市中考數(shù)學仿真試卷（一）
參考答案與試題解析
一、單選題（本大題共12小題，每小題各3分，滿分36分）
1．6的相反數(shù)是（　?。?br /> A．6 B． C．﹣6 D．﹣
【分析】直接利用相反數(shù)的定義得出答案．
【解答】解：6的相反數(shù)是：﹣6．
故選：C．
2．下列運算正確的是（　?。?br /> A．m+2m＝3m2 B．2m3?3m2＝6m6
C．（2m）3＝8m3 D．m6÷m2＝m3
【分析】利用合并同類項、同底數(shù)冪的乘除法以及冪的乘方、積的乘方進行計算即可．
【解答】解：m+2m＝3m，因此選項A不符合題意；
2m3?3m2＝6m5，因此選項B不符合題意；
（2m）3＝23?m3＝8m3，因此選項C符合題意；
m6÷m2＝m6﹣2＝m4，因此選項D不符合題意；
故選：C．
3．“拒絕浪費，從你我做起”，一個人一日三餐少浪費一粒米，全國一年就可以節(jié)省3520萬斤糧食．將3520萬用科學記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．0.352×108 B．35.2×106 C．3.52×107 D．352×108
【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．
【解答】解：3520萬＝35200000＝3.52×107，
故選：C．
4．下列式子中，正確的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】分別根據(jù)立方根及算術平方根的定義對各選項進行逐一解答即可．
【解答】解：A、∵（﹣2）3＝﹣8，∴＝﹣2，故本選項正確；
B、∵0.62＝0.36，∴﹣＝﹣0.6，故本選項錯誤；
C、∵（﹣2）2＝4，∴＝2，故本選項錯誤；
D、∵62＝36，∴＝6，故本選項錯誤．
故選：A．
5．剪紙藝術是最古老的中國民間藝術之一，它能給人以視覺上的藝術享受，下列剪紙作品中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】對稱圖形和中心對稱圖形的概念，對各選項分析判斷即可得解．把一個圖形繞某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心．如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關于這條直線（成軸）對稱．
【解答】解：A．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；
B．不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；
C．既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意；
D．不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不合題意．
故選：C．
6．在函數(shù)y＝中，自變量x的取值范圍是（　?。?br /> A．x＞1 B．x≤1 C．x≠0 D．x≤1且x≠0
【分析】根據(jù)被開方數(shù)是非負數(shù)且分母不等于零，可得答案．
【解答】解：由題意，得
1﹣x≥0且x≠0，
解得x≤1且x≠0，
故選：D．
7．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，下列選項不能得到四邊形ABCD是平行四邊形的是（　?。?br />
A．AC＝BD，OA＝OC B．OB＝OD，OA＝OC
C．AD＝BC，AD∥BC D．△ABC≌△CDA
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理進行分析即可．
【解答】解：A、AC＝BD，OA＝OC不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項符合題意；
B、OB＝OD，OA＝OC可根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形判定四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項不符合題意；
C、AD＝BC，AD∥BC可根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項不符合題意；
D、△ABC≌△CDA可得AB＝CD，AD＝BC，可根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形判定四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項不符合題意；
故選：A．
8．下圖中各圖形經(jīng)過折疊后可以圍成一個棱柱的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】由平面圖形的折疊及立體圖形的表面展開圖的特點解題．
【解答】解：選項A缺少兩個底面，不能圍成棱柱；選項C中折疊后沒有上底面，不能折成棱柱，選項D不能組成棱柱，是因為上下兩底面四個邊的長不能與側面的邊等長、重合．，只有B能圍成三棱柱．
故選：B．
9．不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】先求出不等式組中每一個不等式的解集，再求出它們的公共部分，然后把不等式的解集表示在數(shù)軸上即可．
【解答】解：，
由①得，x＜2，
由②得，x≥﹣1，
故原不等式組的解集為：﹣1≤x＜2．
在數(shù)軸上表示為：
故選：B．
10．若反比例函數(shù)y＝（2m﹣1）的圖象在第一、三象限，則m的值是（　?。?br /> A．﹣1或1 B．小于的任意實數(shù)
C．1 D．不能確定
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義可得m2﹣2＝﹣1，根據(jù)函數(shù)在一，三象限可以得到比例系數(shù)2m﹣1大于0，即可求得m的值．
【解答】解：根據(jù)題意得：，
解得：m＝1．
故選：C．
11．如圖所示，在一邊靠墻（墻足夠長）的空地上，修建一個面積為375平方米的矩形臨時倉庫，倉庫一邊靠墻，另三邊用總長為55米的柵欄圍成，若設榣欄AB的長為x米，則下列各方程中，符合題意的是（　?。?br />
A．x（55﹣x）＝375 B．x（55﹣2x）＝375
C．x（55﹣2x）＝375 D．x（55﹣x）＝375
【分析】設榣欄AB的長為x米，根據(jù)AD+AB+BC＝55且AD＝BC可得AD＝BC＝米，再由長方形的面積公式可得答案．
【解答】解：設榣欄AB的長為x米，則AD＝BC＝米，
根據(jù)題意可得，?x?（55﹣x）＝375，
故選：A．
12．如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的頂點C的坐標為（﹣1，0），點B的坐標為（0，2），對角線AC⊥x軸，點A在第二象限，直線y＝﹣x+5與x軸、y軸分別交于點N、M．將菱形ABCD沿x軸向右平移m個單位，當點A落在MN上時，則m為（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分表示出點A的坐標，再根據(jù)直線解析式求出點A移動到MN上時的x的值，從而得到m的取值范圍，再根據(jù)各選項數(shù)據(jù)選擇即可．
【解答】解：∵菱形ABCD的頂點C（﹣1，0），點B（0，2），
∴點A的坐標為（﹣1，4），
當y＝4時，﹣x+5＝4，
解得x＝2，
∴點A向右移動2+1＝3時，點A在MN上，
∴m的值為3，
故選：C．
二、填空題（本大題共6小題，每小題各3分，滿分18分）
13．分解因式：6m﹣3m2＝　3m（2﹣m）?。?br /> 【分析】運用提取公因式法，確定公因式為3m，然后分解因式即可得到答案．
【解答】解：6m﹣3m2＝3m（2﹣m）．
故答案為：3m（2﹣m）．
14．化簡：（+）?＝　1　．
【分析】首先計算括號內(nèi)的加法，然后計算乘法即可化簡．
【解答】解：原式＝（﹣）?
＝?
＝1．
故答案為1．
15．如果一個正多邊形的內(nèi)角和等于720°，那么該正多邊形的一個外角等于　60　度．
【分析】根據(jù)正多邊形的內(nèi)角和定義（n﹣2）×180°列方程求出多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)正多邊形內(nèi)角和為360°、且每個外角相等求解可得．
【解答】解：多邊形內(nèi)角和（n﹣2）×180°＝720°，
∴n＝6．
則正多邊形的一個外角＝＝＝60°，
故答案為：60．
16．如圖，把一塊三角板的直角的頂點放在直尺的一邊上，若∠1＝48°，則∠2＝　42°?。?br />
【分析】由題意得a∥b，∠4＝90°，根據(jù)平行線的性質得出∠3的度數(shù)，進而可得∠2的度數(shù)．
【解答】解：由題意得a∥b，∠4＝90°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝48°，
∵∠4＝90°，
∴∠2＝180°﹣90°﹣48°＝42°，
故答案為：42°．

17．動物園有一群鴕鳥和長頸鹿，它們共有30只眼睛和44只腳，則鴕鳥有　8　只，長頸鹿有　7　只．
【分析】首先設鴕鳥有x只，長頸鹿有y只，由題意得等量關系：x只鴕鳥的眼睛數(shù)+y只長頸鹿的眼睛數(shù)＝30只，x只鴕鳥的腳數(shù)+y只長頸鹿的腳數(shù)＝44，根據(jù)等量關系列出方程組即可．
【解答】解：設鴕鳥有x只，長頸鹿有y只，由題意得：
，
解得，
故答案為：8；7
18．如圖，在平面直角坐標系中放置一菱形OABC，已知∠ABC＝60°，OA＝1．現(xiàn)將菱形OABC沿x軸的正方向無滑動翻轉，每次翻轉60°，連續(xù)翻轉2018次，點B的落點依次為B1，B2，B3，B4，…，則B2018的坐標為?。?346，0）?。?br />
【分析】連接AC，根據(jù)條件可以求出AC，畫出第5次、第6次、第7次翻轉后的圖形，容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律：每翻轉6次，圖形向右平移4．由于2018＝336×6+2，因此點B2向右平移1344（即336×4）即可到達點B2018，根據(jù)點B2的坐標就可求出點B2018的坐標．
【解答】解：連接AC，如圖所示．
∵四邊形OABC是菱形，
∴OA＝AB＝BC＝OC．
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等邊三角形．
∴AC＝AB．
∴AC＝OA．
∵OA＝1，
∴AC＝1．
畫出第5次、第6次、第7次翻轉后的圖形，如圖所示．
由圖可知：每翻轉6次，圖形向右平移4．
∵2018＝336×6+2，
∴點B2向右平移1344（即336×4）到點B2018．
∵B2的坐標為（2，0），
∴B2018的坐標為（2+1344，0），
∴B2018的坐標為（1346，0）．
故答案為：（1346，0）；

三、解答題（本大題共8小題，滿分66分.解答應該寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
19．（8分）化簡：（a﹣b）（a+b）﹣a（a+b）．
【分析】根據(jù)平方差公式和單項式乘以多項式的法則計算即可．
【解答】解：原式＝a2﹣b2﹣a2﹣ab
＝﹣b2﹣ab．
20．（8分）有4張正面分別標有數(shù)字﹣1，2，﹣3，4的不透明卡片，它們除數(shù)字外其余全部相同，現(xiàn)將它們背面朝上，洗勻后從4張卡片中隨機摸出一張不放回，將該卡片上的數(shù)字記為m，再隨機抽取1張，將卡片的數(shù)字記為n．
（1）請用列表或樹狀圖的方式把（m，n）所有的結果表示出來．
（2）求選出的（m，n）在一、三象限的概率．
【分析】（1）畫樹狀圖展示所有12種等可能的結果數(shù)；
（2）找出點（m，n）在一、三象限的結果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．
【解答】解：（1）畫樹狀圖為：

共有12種等可能的結果數(shù)；
（2）點（m，n）在一、三象限的結果數(shù)為4，
所以選出的（m，n）在一、三象限的概率＝＝．
21．（8分）如圖，在△ABC中，∠A＝72°，∠BCD＝31°，CD平分∠ACB．
（1）求∠B的度數(shù)；
（2）求∠ADC的度數(shù)．

【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義求出∠ACB，再利用三角形的內(nèi)角和等于180°列式計算即可得解；
（2）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式計算即可得解．
【解答】解：（1）∵CD平分∠ACB，∠BCD＝31°，
∴∠ACD＝∠BCD＝31°，
∴∠ACB＝62°，
∵在△ABC中，∠A＝72°，∠ACB＝62°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣72°﹣62°＝46°；

（2）在△BCD中，由三角形的外角性質得，∠ADC＝∠B+∠BCD＝46°+31°＝77°．
22．（8分）手機是現(xiàn)代入生活中不可或缺的工具．某?！靶∮浾摺睘榱肆私馐忻袷褂檬謾C的品牌，隨機調(diào)查了我區(qū)部分市民的手機品牌，并對調(diào)查結果進行整理．繪制了如圖所示的不完整的統(tǒng)計圖表．
組別
手機品牌
頻數(shù)（人數(shù)）
A
OPPO
80
B
VIVO
m
C
小米
100
D
華為
120
E
其他
60
請根據(jù)圖表中提供的信息解答下列問題：
（1）填空：m＝　40　，扇形統(tǒng)計圖中E組所占的百分比為　15%　；
（2）我區(qū)擁有30萬手機用戶，請估計其中使用華為手機的用戶數(shù)量；
（3）若在這次接受調(diào)查的市民中，隨機抽查一人，則此人用小米手機的概率是　　．

【分析】（1）從兩個統(tǒng)計圖中可知“A組”的頻數(shù)為80，占調(diào)查總數(shù)的20%，可求出調(diào)查人數(shù)，進而求出“B組”的頻數(shù)和“E組”所占的百分比；
（2）樣本中，“使用華為手機”的人數(shù)占調(diào)查人數(shù)的，因此估計總體3萬戶的30%是使用“華為手機”的人數(shù)；
（3）樣本中，共調(diào)查400戶，其中使用“華為手機”的有100戶，因此使用“華為手機”的頻率為，即為，頻率估計概率即可．
【解答】解：（1）80÷20%＝400（人），400×10%＝40（人），60÷400＝15%，
故答案為：40；15%；
（2）30×＝30×30%＝9（萬人）
答：其中使用華為手機的用戶數(shù)量為9萬人；
（3）＝，
故答案為：．
23．（8分）如圖，已知△ABC的邊AB是⊙O的切線，切點為點B．AC經(jīng)過圓心并與圓相交于點D，C，過點C作直線CE⊥AB，交AB的延長線于點E．
（1）求證：CB平分∠ACE；
（2）若BE＝3，CE＝9，求⊙O的半徑．

【分析】（1）連接OB，如圖，根據(jù)切線的性質得OB⊥AE，再證明OB∥CE得到∠OBC＝∠ECB，然后證明∠OCB＝∠ECB即可；
（2）連接BD，如圖，利用勾股定理計算出CB＝3，根據(jù)圓周角定理得到∠CBD＝90°，再證明△CBD∽△CEB，然后利用相似比求出CD，從而得到⊙O的半徑．
【解答】（1）證明：連接OB，如圖，
∵AB是⊙O的切線，
∴OB⊥AE，
∵CE⊥AB，
∴OB∥CE，
∴∠OBC＝∠ECB，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OCB＝∠ECB，
∴CB平分∠ACE；
（2）解：連接BD，如圖，
在Rt△CBE中，CB＝＝3，
∵CD為直徑，
∴∠CBD＝90°，
∵∠DCB＝∠ECB，
∴△CBD∽△CEB，
∴CD：CB＝CB：CE，即CD：3＝3：9，解得CD＝10，
∴⊙O的半徑為5．

24．（8分）智能手機如果安裝了一款測量軟件“SmartMeasure”后，就可以測量物高、寬度和面積等，如圖，打開軟件后將手機攝像頭對準腳部按鍵，再對準頭部按鍵，即可測量出人體的高度．測量者AB用其數(shù)學原理如圖②所示，測量一棵大樹CD，手機顯示AC＝20m，AD＝25m，∠CAD＝53°，求此時CD的高．（結果保留根號）（sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）

【分析】過點D作DH⊥AC于H，由銳角三角函數(shù)的定義求出DH、CH的長，再利用勾股定理求解即可．
【解答】解：如圖②中，過點D作DH⊥AC于H，
在Rt△ADH中，cos∠CAD＝，sin∠CAD＝，
∴AH＝AD?cos53°≈25×＝15（m），DH＝AD?sin53°≈25×＝20（m），
∵AC＝20m，
∴CH＝AC﹣AH＝5（m），
∴CD＝＝＝5（m）．

25．（8分）已知，拋物線y＝ax2+2ax+c與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點，點A在點B左側．點B的坐標為（1，0），OC＝3OB．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當a＞0時，如圖所示，若點D是第三象限方拋物線上的動點，設點D的橫坐標為m，三角形ADC的面積為S，求出S與m的函數(shù)關系式，并直接寫出自變量m的取值范圍；請問當m為何值時，S有最大值？最大值是多少．

【分析】（1）根據(jù)點B的坐標及OC＝3OB可得出點C的坐標，再根據(jù)點B、C的坐標利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）過點D作DE⊥x軸，交AC于點E，利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點A、C的坐標，進而即可得出線段AC所在直線的解析式，由點D的橫坐標可找出點D、E的坐標，再利用三角形的面積公式即可得出S與m的函數(shù)關系式，利用配方法可找出S的最大值．
【解答】解：（1）∵點B的坐標為（1，0），OC＝3OB，
∴點C的坐標為（0，3）或（0，﹣3），
將點B（1，0）、C（0，3）或（0，﹣3）代入y＝ax2+2ax+c，
或 ，
解得：或 ，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3或y＝x2+2x﹣3．
（2）過點D作DE⊥x軸，交AC于點E，如圖所示．
∵a＞1，
∴拋物線的解析式為y＝x2+2x﹣3，
∴點C的坐標為（0，﹣3）．
當y＝0時，有x2+2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴點A的坐標為（﹣3，0），
利用待定系數(shù)法可求出線段AC所在直線的解析式為y＝﹣x﹣3．
∵點D的橫坐標為m，
∴點D的坐標為（m，m2+2m﹣3），點E的坐標為（m，﹣m﹣3），
∴DE＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m，
∴S＝DE×|﹣3﹣0|＝﹣（m2+3m）（﹣3＜m＜0）．
∵﹣＜0，且S＝﹣（m2+3m）＝﹣（m+）2+，
∴當m＝﹣時，S取最大值，最大值為．

26．（10分）如圖，在△ABC中，AB＝BC＝15，sinB＝，動點P從點B出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿BA向終點A運動，過點P作PD⊥AB，交射線BC于點D，E為PD中點，以DE為邊作正方形DEFG，使點A、F在PD的同側，設點P的運動時間為t秒（t＞0）．
（1）求點A到邊BC的距離．
（2）當點G在邊AC上時，求t的值．
（3）設正方形DEFG與△ABC的重疊部分圖形的面積為S，當點D在邊BC上時，求S與t之間的函數(shù)關系式．
（4）連接EG，當△DEG一邊上的中點在線段AC上時，直接寫出t的值．

【分析】（1）如圖1，過點A作AH⊥BC于點H，在Rt△ABH中，解直角三角形即可；
（2）如圖2，在Rt△BDP中，用含t的式子分別表示出BD、PD、DE、DG和CD，根據(jù)題意得關于t的方程，解得t即可；
（3）分三種情況：①當0＜t≤時，重疊部分為正方形DEFG，②當＜t≤時，如圖3，重疊部分為五邊形DEFMN，③當＜t≤3時，如圖4，重疊部分為梯形DEMN，分別根據(jù)重疊部分的圖形形狀，計算出S與t之間的函數(shù)關系式即可；
（4）分三種情況：①當DG的中點O在線段AC上時，如圖5，此時DC＝DO，②當EG的中點O在線段AC上時，如圖6，此時NC＝NO，③當DE的中點O在線段AC上時，如圖7，此時NC＝NO，分別列出關于t的方程得出t的值即可．
【解答】解：（1）如圖1，過點A作AH⊥BC于點H，

在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，AB＝15，
∴sinB＝＝，
∴AH＝AB＝×15＝12．
（2）如圖2，在Rt△BDP中，∠BPD＝90°，BP＝3t，

∴sinB＝＝，
∴cosB＝＝，
∴BD＝5t，PD＝4t，
∴DE＝DG＝2t，CD＝15﹣5t．
∴15﹣5t＝2t，
∴t＝．
（3）①當0＜t≤時，重疊部分為正方形DEFG，
∴S＝（2t）2＝4t2；
②當＜t≤時，如圖3，重疊部分為五邊形DEFMN，

由（1）可知，BH＝9，則CH＝6，
∵DG∥AB，
∴∠GNG＝∠A＝∠C，
又∵∠AHC＝∠G＝90°，
∴△ACH∽△MNG，
∴MG：NG＝AH：CH＝2：1，
∴MG＝2NG，
∴S＝S正方形DEFG﹣S△MGN＝4t2﹣×2[2t﹣（15﹣5t）]2＝﹣45t2+210t﹣225；
③當＜t≤3時，如圖4，重疊部分為梯形DEMN，

∴S＝×2t（15﹣4t+15﹣5t）＝﹣9t2+30t．
（4）①當DG的中點O在線段AC上時，如圖5，

∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C，
∵DG∥AB，
∴∠COD＝∠A
∴∠C＝∠COD，
∴DC＝DO，
∴15﹣5t＝t，
解得t＝；
②當EG的中點O在線段AC上時，如圖6，此時NC＝NO，

∴15﹣×5t＝t+t，
解得t＝；
③當DE的中點O在線段AC上時，如圖7，此時NC＝NO，

∴15﹣×5t＝t，
解得t＝．