?2019-2020學(xué)年江蘇省南通市海安市八校聯(lián)考八年級（下）月考數(shù)學(xué)試卷（4月份）
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）
1．下列二次根式中，最簡二次根式是（　?。?br /> A． B． C． D．
2．下列化簡正確的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
3．如圖，在?ABCD中，M是BC延長線上的一點，若∠A＝135°，則∠MCD的度數(shù)是（　?。?br />
A．45° B．55° C．65° D．75°
4．四邊形ABCD的對角線互相平分，要使它變?yōu)榫匦?，需要添加的條件是（　?。?br /> A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD
5．如圖，以數(shù)軸的單位長線段為邊做一個正方形，數(shù)軸的原點為圓心，正方形對角線長為半徑畫弧，交數(shù)軸正半軸于點A，則點A表示的數(shù)是（　　）

A．1 B．1.4 C． D．
6．如果△ABC的三邊a、b、c滿足ac2﹣bc2＝（a﹣b）（a2+b2），則△ABC的形狀是（　?。?br /> A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
7．均勻地向一個容器內(nèi)注水，在注滿水的過程中，水面的高度h與時間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則該容器是下列四個中的（　　）

A． B． C． D．
8．如圖，a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡﹣|a+c|+的結(jié)果是（　?。?br />
A．2c﹣b B．﹣b C．b D．﹣2a﹣b
9．四邊形ABCD中，AB＝1，CD＝4，M、N分別是AD、BC的中點，則線段MN的取值范圍是（　?。?br /> A．3＜MN＜5 B．3＜MN≤5 C．＜MN＜ D．＜MN≤
10．如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點，將△ABE沿直線BE折疊后得到△GBE，延長BG交CD于點F．若AB＝6，BC＝4，則FD的長為（　?。?br />
A．2 B．4 C． D．2
二、填空題（本大題共8小題，11-13每小題3分，14-18每小題3分，共29分）
11．化簡：＝　 　．
12．在函數(shù)y＝中，自變量x的取值范圍是　 　
13．在?ABCD中，已知周長為44cm，AB比BC短2cm，則CD＝　 　
14．某會展中心在會展期間準(zhǔn)備將高5m、長13m、寬2m的樓道鋪上地毯，已知地毯每平方米20元，請你幫助計算一下，鋪完這個樓道至少需要　 　元．

15．如圖，在△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC＝14，則△ABC的面積為　 　

16．已知a，b，c為一個直角三角形的三邊長，且，則該直角三角形的斜邊長為　 　
17．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC內(nèi)的一點，且PB＝1，PC＝2，PA＝3，∠BPC的度數(shù)是　 　．

18．如圖，在平行四邊形ABCD中，△ABD是等邊三角形，BD＝20，且兩個頂點B、D分別在x軸，y軸上滑動，連接OC，則OC的最小值是　 ?。?br />
三、解答題（本大題共10小題，滿分91分）
19．計算題
（1）+﹣+；
（2）（2+）（2﹣）．
20．已知x＝+1，y＝﹣1，求x2+xy+y2的值．
21．一輛貨車從A地去B地，一輛轎車從B地去A地，同時出發(fā)，勻速行駛，各自到達(dá)終點后停止，轎車的速度大于貨車的速度．兩輛車之間的距離為y（km）與貨車行駛的時間為x（h）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．
（1）兩車行駛多長時間后相遇？
（2）轎車和貨車的速度分別為　 　，　 ??；
（3）誰先到達(dá)目的地，早到了多長時間？
（4）求兩車相距160km時貨車行駛的時間．

22．某館集體門票收費標(biāo)準(zhǔn)是40人以內(nèi)（含40人）每人15元，超過40人的這部分每人10元．
（1）寫出應(yīng)收門票費y（元）與參觀人數(shù)x（人）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）利用（1）中的關(guān)系式計算，某班58名學(xué)生去該館參觀，購門票共花多少元錢？
23．如圖，每個小正方形的邊長都為1．
（1）求四邊形ABCD的周長及面積；
（2）連接BD，判斷△BCD的形狀．

24．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為邊BC的中點，四邊形ABDE是平行四邊形，AC，DE相交于點C．
（1）求證：四邊形ADCE是矩形；
（2）若∠AOE＝90°，AE＝2，求矩形ADCE對角線的長．

25．如圖，在四邊形ABCD中，E為AB上一點，△ADE和△BCE都是等邊三角形，AB、BC、CD、DA的中點分別為P、Q、M、N，試判斷四邊形PQMN為怎樣的四邊形，并證明你的結(jié)論．

26．如圖，正方形ABCD中，E是BC上的一點，連接AE，過B點作BH⊥AE，垂足為點H，延長BH交CD于點F，連接AF．
（1）求證：AE＝BF．
（2）若正方形邊長是5，BE＝2，求AF的長．

27．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，若點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿折線A﹣C﹣B﹣A運(yùn)動（回到點A停止運(yùn)動），設(shè)運(yùn)動時間為t秒．
（1）當(dāng)點P在BC上時，且滿足PA＝PB時，求出此時t的值；
（2）當(dāng)點P在AB上時，求t為何值時，△ACP為以AC為腰的等腰三角形．

28．如圖1，已知正方形ABCD的邊長為1，點E在邊BC上，若∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F．
（1）如圖1，若點E是邊BC的中點，M是邊AB的中點，連接EM，求證：AE＝EF．
（2）如圖2，若點E在射線BC上滑動（不與點B，C重合）．
①在點E滑動過程中，AE＝EF是否一定成立？請說明理由；
②在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，當(dāng)點E滑動到某處時，點F恰好落在直線y＝﹣2x+6上，求此時點F的坐標(biāo)．



2019-2020學(xué)年江蘇省南通市海安市八校聯(lián)考八年級（下）月考數(shù)學(xué)試卷（4月份）
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題）
1．下列二次根式中，最簡二次根式是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】利用最簡二次根式的概念分析即可．
【解答】解：A、＝，故此選項不合題意；
B、＝＝，故此選項不合題意；
C、是最簡二次根式，故此選項符合題意；
D、＝|b|，故此選項不合題意；
故選：C．
2．下列化簡正確的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】利用二次根式的性質(zhì)和二次根式的乘法法則進(jìn)行計算即可．
【解答】解：A、＝＝6，故原題計算錯誤；
B、＝＝＝×＝18，故原題計算正確；
C、＝＝，故原題計算錯誤；
D、＝＝，故原題計算錯誤；
故選：B．
3．如圖，在?ABCD中，M是BC延長線上的一點，若∠A＝135°，則∠MCD的度數(shù)是（　?。?br />
A．45° B．55° C．65° D．75°
【分析】根據(jù)平行四邊形對角相等，求出∠BCD，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出∠MCD即可．
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠A＝∠BCD＝135°，
∴∠MCD＝180°﹣∠DCB＝180°﹣135°＝45°．
故選：A．
4．四邊形ABCD的對角線互相平分，要使它變?yōu)榫匦危枰砑拥臈l件是（　　）
A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD
【分析】四邊形ABCD的對角線互相平分，則說明四邊形是平行四邊形，由矩形的判定定理知，只需添加條件是對角線相等．
【解答】解：添加AC＝BD，
∵四邊形ABCD的對角線互相平分，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AC＝BD，根據(jù)矩形判定定理對角線相等的平行四邊形是矩形，
∴四邊形ABCD是矩形，
故選：D．
5．如圖，以數(shù)軸的單位長線段為邊做一個正方形，數(shù)軸的原點為圓心，正方形對角線長為半徑畫弧，交數(shù)軸正半軸于點A，則點A表示的數(shù)是（　　）

A．1 B．1.4 C． D．
【分析】根據(jù)勾股定理求出OB，進(jìn)而得到OA的長，根據(jù)數(shù)軸的概念解答即可．
【解答】解：由勾股定理得，OB＝＝，
則OA＝OB＝，
∴點A表示的數(shù)是，
故選：C．

6．如果△ABC的三邊a、b、c滿足ac2﹣bc2＝（a﹣b）（a2+b2），則△ABC的形狀是（　?。?br /> A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【分析】運(yùn)用因式分解的方法對ac2﹣bc2＝（a﹣b）（a2+b2）進(jìn)行變形，然后根據(jù)積為0，則必有一個因式為0進(jìn)行分析．
【解答】解：∵ac2﹣bc2＝（a﹣b）（a2+b2），
∴（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，
∴a＝b或a2+b2＝c2，
即該三角形是等腰三角形或直角三角形．
故選：D．
7．均勻地向一個容器內(nèi)注水，在注滿水的過程中，水面的高度h與時間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則該容器是下列四個中的（　?。?br />
A． B． C． D．
【分析】由函數(shù)圖象可得容器形狀不是均勻物體分析判斷，由圖象及容積可求解．
【解答】解：相比較而言，前一個階段，用時較少，高度增加較快，那么下面的物體應(yīng)較細(xì)．由圖可得上面圓柱的底面半徑應(yīng)大于下面圓柱的底面半徑．
故選：D．
8．如圖，a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡﹣|a+c|+的結(jié)果是（　　）

A．2c﹣b B．﹣b C．b D．﹣2a﹣b
【分析】首先根據(jù)數(shù)軸可以得到a＜b＜0＜c，然后則根據(jù)絕對值的性質(zhì)，以及算術(shù)平方根的性質(zhì)即可化簡．
【解答】解：根據(jù)數(shù)軸可以得到：a＜b＜0＜c，且|a|＞|c|，
則c﹣b＞0，
則原式＝﹣a+（a+c）+（c﹣b）＝﹣a+a+c+c﹣b＝2c﹣b．
故選：A．
9．四邊形ABCD中，AB＝1，CD＝4，M、N分別是AD、BC的中點，則線段MN的取值范圍是（　?。?br /> A．3＜MN＜5 B．3＜MN≤5 C．＜MN＜ D．＜MN≤
【分析】連接AC，取AC的中點H，連接MH、NH，根據(jù)三角形中位線定理得到MH＝CD＝2，NH＝AB＝，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系解答即可．
【解答】解：連接AC，取AC的中點H，連接MH、NH，
∵M(jìn)、H分別是AD、AC的中點，
∴MH＝CD＝2，
同理可得，NH＝AB＝，
在△MHN中，MH﹣NH＜MN＜MH+NH，即＜MN＜，
當(dāng)點H在MN上時，MN＝MH+NH＝，
∴＜MN≤，
故選：D．

10．如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點，將△ABE沿直線BE折疊后得到△GBE，延長BG交CD于點F．若AB＝6，BC＝4，則FD的長為（　?。?br />
A．2 B．4 C． D．2
【分析】根據(jù)點E是AD的中點以及翻折的性質(zhì)可以求出AE＝DE＝EG，然后利用“HL”證明△EDF和△EGF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可證得DF＝GF；設(shè)FD＝x，表示出FC、BF，然后在Rt△BCF中，利用勾股定理列式進(jìn)行計算即可得解．
【解答】解：∵E是AD的中點，
∴AE＝DE，
∵△ABE沿BE折疊后得到△GBE，
∴AE＝EG，AB＝BG，
∴ED＝EG，
∵在矩形ABCD中，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴∠EGF＝90°，
∵在Rt△EDF和Rt△EGF中，
，
∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），
∴DF＝FG，
設(shè)DF＝x，則BF＝6+x，CF＝6﹣x，
在Rt△BCF中，（4）2+（6﹣x）2＝（6+x）2，
解得x＝4．
故選：B．

二．填空題（共8小題）
11．化簡：＝　?。?br /> 【分析】根據(jù)二次根式化簡解答即可．
【解答】解：＝，
故答案為：．
12．在函數(shù)y＝中，自變量x的取值范圍是　x≥﹣1且x≠2　
【分析】根據(jù)分式的分母不為零、二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)求解可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，得：x﹣2≠0且x+1≥0，
解得x≥﹣1且x≠2，
故答案為：x≥﹣1且x≠2．
13．在?ABCD中，已知周長為44cm，AB比BC短2cm，則CD＝　10cm．　
【分析】根據(jù)題意可以列出方程組，求出AB和BC的值，進(jìn)而可得CD的長．
【解答】解：由四邊形ABCD是平行四邊形，可知：
2（AB+BC）＝44cm，
且BC﹣AB＝2cm，
∴，
解得BC＝12，AB＝10，
∴CD＝AB＝10cm．
故答案為：10cm．
14．某會展中心在會展期間準(zhǔn)備將高5m、長13m、寬2m的樓道鋪上地毯，已知地毯每平方米20元，請你幫助計算一下，鋪完這個樓道至少需要　680　元．

【分析】地毯的長是樓梯的豎直部分與水平部分的和，即AB與BC的和，在直角△ABC中，根據(jù)勾股定理即可求得AB的長，地毯的長與寬的積就是面積，再乘地毯每平方米的單價即可求解．
【解答】解：由勾股定理得AB＝＝＝12（m），
則地毯總長為12+5＝17（m），
則地毯的總面積為17×2＝34（平方米），
所以鋪完這個樓道至少需要34×20＝680（元）．
故答案為：680．
15．如圖，在△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC＝14，則△ABC的面積為　84　

【分析】過點A作AD⊥BC，利用勾股定理求出AD的長，再利用三角形的面積公式求出△ABC的面積即可．
【解答】解：如圖，過點A作AD⊥BC于D，

設(shè)BD＝x，則CD＝14﹣x，
在Rt△ABD中，AD2+x2＝132，
在Rt△ADC中，AD2＝152﹣（14﹣x）2，
∴132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，
132﹣x2＝152﹣196+28x﹣x2，
解得x＝5，
在Rt△ACD中，AD＝＝12，
∴△ABC的面積＝BC?AD＝×14×12＝84，
故答案為：84．
16．已知a，b，c為一個直角三角形的三邊長，且，則該直角三角形的斜邊長為　3或　
【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得a、b的值，然后利用勾股定理即可求得該直角三角形的斜邊長．
【解答】解：∵，
∴a﹣3＝0，b﹣2＝0，
解得：a＝3，b＝2，
①以a為斜邊時，斜邊長為3；
②以a，b為直角邊的直角三角形的斜邊長為＝，
綜上所述，即直角三角形的斜邊長為3或．
故答案是：3或．
17．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC內(nèi)的一點，且PB＝1，PC＝2，PA＝3，∠BPC的度數(shù)是　135°?。?br />
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到CP＝CD＝2，∠DCP＝90°，DB＝PA＝3，則△CPD為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得PD＝PC＝2，∠CPD＝45°，由PB＝1，PD＝2，DB＝3，易得PB2+PD2＝BD2，根據(jù)勾股定理的逆定理得到△PBD為直角三角形，即可得到∠BPC的度數(shù)．
【解答】解：如圖，把△ACP繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCD，連接DP，

∵△ACP繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCD，
∴△ACP≌△BCD，
∴CP＝CD＝2，∠DCP＝90°，DB＝PA＝3，
∴△CPD為等腰直角三角形，
∴PD＝PC＝2，∠CPD＝45°，
在△PDB中，PB＝1，PD＝2，DB＝3，
而12+（2）2＝32，
∴PB2+PD2＝BD2，
∴△PBD為直角三角形，
∴∠DPB＝90°，
∴∠BPC＝45°+90°＝135°，
故答案為：135°．
18．如圖，在平行四邊形ABCD中，△ABD是等邊三角形，BD＝20，且兩個頂點B、D分別在x軸，y軸上滑動，連接OC，則OC的最小值是　﹣10　．

【分析】由條件可先證得四邊形ABCD為菱形，連接AC交BD于點E，連接OE，可求得OE和AE的長，在△COE中利用三角形三邊關(guān)系可求得OC的最小值．
【解答】解：∵△ABD是等邊三角形，
∴AB＝AD，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴四邊形ABCD為菱形，
如圖，連接AC、BD交于點E，連接OE，則AC⊥BD，E為BD的中點，

∵BD＝20，
∴CD＝20，DE＝10，
∴CE＝，OE＝BD＝10，
∴CO≥CE﹣OE＝﹣10，
∴當(dāng)C、O、E三點在一條線上時，CO有最小值，最小值為﹣10，
故答案為：﹣10．
三．解答題
19．計算題
（1）+﹣+；
（2）（2+）（2﹣）．
【分析】（1）直接化簡二次根式進(jìn)而計算得出答案；
（2）直接利用二次根式的乘法運(yùn)算法則計算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝3+2﹣2+3
＝+5；

（2）原式＝（2）2﹣（）2
＝8﹣5
＝3．
20．已知x＝+1，y＝﹣1，求x2+xy+y2的值．
【分析】根據(jù)二次根式的加減法法則、平方差公式求出x+y、xy，利用完全平方公式把所求的代數(shù)式變形，代入計算即可．
【解答】解：∵x＝+1，y＝﹣1，
∴x+y＝（+1）+（﹣1）＝2，xy＝（+1）（﹣1）＝2，
∴x2+xy+y2＝x2+2xy+y2﹣xy＝（x+y）2﹣xy＝10．
21．一輛貨車從A地去B地，一輛轎車從B地去A地，同時出發(fā)，勻速行駛，各自到達(dá)終點后停止，轎車的速度大于貨車的速度．兩輛車之間的距離為y（km）與貨車行駛的時間為x（h）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．
（1）兩車行駛多長時間后相遇？
（2）轎車和貨車的速度分別為　100km/h　，　80km/h??；
（3）誰先到達(dá)目的地，早到了多長時間？
（4）求兩車相距160km時貨車行駛的時間．

【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以直接寫出兩車行駛多長時間后相遇；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以計算出轎車和貨車的速度；
（3）根據(jù)函數(shù)圖象和題意，可以得到誰先到達(dá)目的地，早到了多長時間；
（4）根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)和（2）中的結(jié)果，可以計算出兩車相距160km時貨車行駛的時間．
【解答】解：（1）由圖象可得，
兩車行駛1小時后相遇；
（2）由圖象可得，
轎車的速度為：180÷1.8＝100（km/h），
貨車的速度為：180÷1﹣100＝80（km/h），
故答案為：100km/h，80km/h；
（3）由題意可得，
轎車先到達(dá)目的地，
180÷80﹣1.8＝2.25﹣1.8＝0.45（小時），
即轎車先到達(dá)目的地，早到了0.45小時；
（4）設(shè)兩車相距160km時貨車行駛的時間為a小時，
相遇前：180﹣160＝（100+80）a，
解得a＝，
相遇后，80a＝160，
解得a＝2，
由上可得，兩車相距160km時貨車行駛的時間是小時或2小時．
22．某館集體門票收費標(biāo)準(zhǔn)是40人以內(nèi)（含40人）每人15元，超過40人的這部分每人10元．
（1）寫出應(yīng)收門票費y（元）與參觀人數(shù)x（人）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）利用（1）中的關(guān)系式計算，某班58名學(xué)生去該館參觀，購門票共花多少元錢？
【分析】（1）根據(jù)題意，可以寫出應(yīng)收門票費y（元）與參觀人數(shù)x（人）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)題意和（1）中的結(jié)果，可以計算出某班58名學(xué)生去該館參觀，購門票共花多少元錢．
【解答】解：（1）由題意可得，
當(dāng)0＜x≤40時，y＝15x，
當(dāng)x＞40時，y＝40×15+（x﹣40）×10＝10x+200，
由上可得，應(yīng)收門票費y（元）與參觀人數(shù)x（人）之間的函數(shù)關(guān)系式是y＝；
（2）當(dāng)x＝58時，
y＝10×58+200＝580+200＝780，
即某班58名學(xué)生去該館參觀，購門票共花780元．
23．如圖，每個小正方形的邊長都為1．
（1）求四邊形ABCD的周長及面積；
（2）連接BD，判斷△BCD的形狀．

【分析】（1）利用勾股定理求出AB、BC、CD和DA的長，即可求出四邊形ABCD的周長；利用分割法即可求出四邊形的面積；
（2）連接BD，求出BD的長，利用勾股定理的逆定理即可證明出結(jié)論．
【解答】解：（1）根據(jù)勾股定理得AB＝＝，AD＝＝，CD＝＝，BC＝＝2，
故四邊形ABCD的周長為+3+；
面積為5×5﹣×1×5﹣×1×4﹣1﹣×1×2﹣×2×4＝14.5；
（2）連接BD，
∵BC＝2，CD＝，BD＝5，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴∠BCD＝90°，
∴△BCD是直角三角形．

24．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為邊BC的中點，四邊形ABDE是平行四邊形，AC，DE相交于點C．
（1）求證：四邊形ADCE是矩形；
（2）若∠AOE＝90°，AE＝2，求矩形ADCE對角線的長．

【分析】（1）先判定四邊形ADCE是平行四邊形，再結(jié)合AB＝AC，推出∠ADC＝90°，即可得出結(jié)論；
（2）證出矩形ADCE是正方形，即可解決問題．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABDE是平行四邊形，
∴BD＝AE，BD∥AE，
∵D為BC的中點，
∴CD＝BD，
∴CD＝AE．
∴四邊形ADCE是平行四邊形．
又∵AB＝AC，D為邊BC的中點，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴四邊形ADCE是矩形．
（2）解：∵四邊形ADCE是矩形，∠AOE＝90°，
∴矩形ADCE是正方形，
∴CE＝AE＝2，∠AEC＝90°，
∴AC＝AE＝2，
即矩形ADCE對角線的長為2．
25．如圖，在四邊形ABCD中，E為AB上一點，△ADE和△BCE都是等邊三角形，AB、BC、CD、DA的中點分別為P、Q、M、N，試判斷四邊形PQMN為怎樣的四邊形，并證明你的結(jié)論．

【分析】先利用中位線定理得出PQ∥AC，PQ＝AC，即MNPQ得到四邊形PQMN為平行四邊形，再求得△AEC≌△DEB，得到PQ＝AC＝BD＝PN，所以四邊形PQMN為菱形．
【解答】解：四邊形PQMN為菱形．
證明：如圖，連接AC、BD．
∵AB、BC的中點分別為P、Q，
∴PQ為△ABC的中位線，
∴PQ∥AC，PQ＝AC，
同理MN∥AC，MN＝AC．
∴MNPQ，
∴四邊形PQMN為平行四邊形．
在△AEC和△DEB中，
AE＝DE，EC＝EB，∠AED＝60°＝∠CEB，
即∠AEC＝∠DEB．
∴△AEC≌△DEB．
∴AC＝DB．
∴PQ＝AC＝BD＝PN
∴四邊形PQMN為菱形．

26．如圖，正方形ABCD中，E是BC上的一點，連接AE，過B點作BH⊥AE，垂足為點H，延長BH交CD于點F，連接AF．
（1）求證：AE＝BF．
（2）若正方形邊長是5，BE＝2，求AF的長．

【分析】（1）根據(jù)ASA證明△ABE≌△BCF，可得結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）得：△ABE≌△BCF，則CF＝BE＝2，最后利用勾股定理可得AF的長．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵BH⊥AE，
∴∠BHE＝90°，
∴∠AEB+∠EBH＝90°，
∴∠BAE＝∠EBH，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴AE＝BF；
（2）解：∵AB＝BC＝5，
由（1）得：△ABE≌△BCF，
∴CF＝BE＝2，
∴DF＝5﹣2＝3，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝5，∠ADF＝90°，
由勾股定理得：AF＝＝＝＝．
27．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，若點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿折線A﹣C﹣B﹣A運(yùn)動（回到點A停止運(yùn)動），設(shè)運(yùn)動時間為t秒．
（1）當(dāng)點P在BC上時，且滿足PA＝PB時，求出此時t的值；
（2）當(dāng)點P在AB上時，求t為何值時，△ACP為以AC為腰的等腰三角形．

【分析】（1）設(shè)存在點P，使得PA＝PB，根據(jù)勾股定理可得AC，可得PC＝t﹣3，PA＝PB＝7﹣t，根據(jù)勾股定理列方程即可得到t的值；
（2）分兩種情況：當(dāng)AC＝AP時；當(dāng)AC＝CP時；進(jìn)行討論易得t的值．
【解答】解：（1）∵△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，
∴由勾股定理得AC＝＝3，
如圖，連接AP，
當(dāng)PA＝PB時，PC＝t﹣3，PA＝PB＝7﹣t，
在Rt△PCA中，PC2+AC2＝AP2，
即（t﹣3）2+32＝（7﹣t）2，
解得：t＝．
故當(dāng)t＝秒時，PA＝PB；
（2）①如圖2，當(dāng)AC＝AP＝3時，△ACP為等腰三角形，
∴AC+CB+BP＝3+4+5﹣3＝9，
∴t＝9÷1＝9（秒）；
②如圖3，當(dāng)AC＝CP時，作CD⊥AB于D，根據(jù)面積法求得CD＝2.4，
在Rt△ACD中，由勾股定理得AD＝1.8，
∴AP＝2AD＝3.6，
∴CA+CB+BP＝3+4+5﹣3.6＝8.4，
此時t＝8.4÷1＝8.4（秒）．
綜上所述，t為9或8.4秒時，△ACP為以AC為腰的等腰三角形．


28．如圖1，已知正方形ABCD的邊長為1，點E在邊BC上，若∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F．
（1）如圖1，若點E是邊BC的中點，M是邊AB的中點，連接EM，求證：AE＝EF．
（2）如圖2，若點E在射線BC上滑動（不與點B，C重合）．
①在點E滑動過程中，AE＝EF是否一定成立？請說明理由；
②在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，當(dāng)點E滑動到某處時，點F恰好落在直線y＝﹣2x+6上，求此時點F的坐標(biāo)．

【分析】（1）由條件可證明△AME≌△ECF，可證得結(jié)論；
（2）①在AB上截取AM＝EC，連接ME，由條件可證明△AME≌△ECF，可證明AE＝EF；②設(shè)F（a，﹣2a+6），過F作FH⊥x軸于H，作FG⊥CD于G，則可用a表示出CH、FH，由角平分線的性質(zhì)可得到關(guān)于a的方程，可求得a的值，可求得F的坐標(biāo)．
【解答】（1）證明：
∵∠BAE+∠AEB＝90°，∠CEF+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
又∵M(jìn)、E為中點，
∴AM＝EC＝BE＝BM，且CF平分∠DCB，
∴∠AME＝∠ECF＝135°，
在△AME和△ECF中

∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF；
（2）解：①若點E在線段BC上滑動時AE＝EF一定成立．
證明：圖2中，在AB上截取AM＝EC，連接ME，

∵AB＝BC，
∴BM＝BE，
∴△MBE是等腰直角三角形，
∴∠AME＝180°﹣45°＝135°，
又∵CF平分是角平分線，
∴∠ECF＝90°+45°＝135°，
∴∠AME＝∠ECF，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，∠CEF+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
在△AME和△ECF中

∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF；
②設(shè)F（a，﹣2a+6），過F作FH⊥x軸于H，作FG⊥CD于G，如圖3，

則CH＝a﹣1，F(xiàn)H＝﹣2a+6
∵CF為角平分線，
∴FH＝CH，
∴a﹣1＝﹣2a+6，解得，
當(dāng)時，﹣2a+6＝﹣2×+6＝，
∴F點坐標(biāo)為（，）．





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