東華高級(jí)中學(xué)2020-2021學(xué)年第一學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試題本試卷共6頁(yè)，22小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題卡前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的校名、姓名、考號(hào)、座位號(hào)等相關(guān)信息填寫在答題卡指定區(qū)域內(nèi)。2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；不能答在試卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效。4．考生必須保持答題卡的整潔。一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分。1．命題“”的否定是（    ）A．     B．     C．     D．2．若橢圓的右焦點(diǎn)為F，過左焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（    ）A． B． C．6  D．83．不等式的解集是（    ）A．    B．    C．或   D．或4．下列命題為真命題的是（    ）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則5．在中，已知，，，則（    ）A．    B． C． D．6．在等差數(shù)列中，為前項(xiàng)和，，則A． B． C． D．7．“欲窮千里目，更上一層樓”出自唐朝詩(shī)人王之渙的《登鸛雀樓》，鸛雀樓位于今山西永濟(jì)市，該樓有三層，前對(duì)中條山，下臨黃河，傳說常有鸛雀在此停留，故有此名．下面是復(fù)建的鸛雀樓的示意圖，某位游客（身高忽略不計(jì)）從地面點(diǎn)看樓頂點(diǎn)的仰角為30°，沿直線前進(jìn)米到達(dá)點(diǎn)，此時(shí)看點(diǎn)的仰角為45°，若，則樓高約為（    ）．A．92米 B．83米C．74米 D．65米8．從某個(gè)角度觀察籃球（如圖甲），可以得到一個(gè)對(duì)稱的平面圖形，如圖乙所示，籃球的外輪廓為圓，將籃球表面的粘合線視為坐標(biāo)軸和雙曲線，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓的交點(diǎn)將圓的周長(zhǎng)八等分，且，則該雙曲線的離心率為（    ）A． B．C．2 D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題 ，每小題滿分 5 分，共 20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得 5 分，部分選對(duì)得 3分，有選錯(cuò)的得 0 分．9．下面命題正確的是（    ）A．“”是“”的充分不必要條件B．在中，“”是“”的充要條件C．設(shè)，則“且”是“”的必要而不充分條件D．設(shè)，則“”是“”的必要不充分條件10．已知，，且，則下列不等式中一定成立的是（    ）A． B． C． D．11．數(shù)列滿足，則下列說法正確的是（    ）A．數(shù)列是等差數(shù)列 B．數(shù)列的前n項(xiàng)和C．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為 D．?dāng)?shù)列為遞減數(shù)列12．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過的直線與交于兩點(diǎn)，分別為在上的射影，且，為中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．                       B．為等腰直角三角形C．直線的斜率為             D．線段的長(zhǎng)度為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，13．拋物線的準(zhǔn)線方程為__________________.  14．都成立.則的取值范圍是__________．15．已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且，，則橢圓離心率是___________．16．阿波羅尼斯（古希臘數(shù)學(xué)家，約公元前年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)（且）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓，現(xiàn)有，，，則當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，它的內(nèi)切圓的半徑為______.四、解答題：本題共6小題，共70 分 。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．( 本小題滿分10分）已知命題實(shí)數(shù)滿足，其中；命題方程表示雙曲線.（1）當(dāng)時(shí)，若命題為真，且命題為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 18．( 本小題滿分12分）在①②，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面橫線處，然后解答問題．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，設(shè)的面積為，已知_______.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，那么按第一個(gè)解答計(jì)分）（1）求角的大小；（2）已知，，點(diǎn)在邊上，且為的平分線，求的面積． 19．( 本小題滿分12分）已知拋物線的焦點(diǎn)上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為.（1）求的方程；（2）過作直線，交于兩點(diǎn)，若直線中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求直線的方程.  20．( 本小題滿分12分）年月日，習(xí)近平總書記在珠海出席港珠澳大橋開通儀式上宣布：歷經(jīng)年規(guī)劃，年建設(shè)，總長(zhǎng)約公里，總投資約億的港珠澳大橋正式開通，將給我國(guó)粵港澳大灣區(qū)經(jīng)濟(jì)騰飛帶來積極影響.港珠澳大橋作為一項(xiàng)獨(dú)特的工程奇觀，為跨海旅游線路增添新亮點(diǎn).某旅游公司為了提高相關(guān)線路旅游門票的銷量，準(zhǔn)備舉辦一場(chǎng)促銷會(huì)。據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，當(dāng)每張門票售價(jià)定為元時(shí)，銷售量可達(dá)到萬張.現(xiàn)投資方為配合旅游公司的活動(dòng)，決定進(jìn)行門票價(jià)格改革，將每張門票的供貨價(jià)格分成固定價(jià)格和浮動(dòng)價(jià)格兩部分，其中固定價(jià)格為元，浮動(dòng)價(jià)格(單位：元)與銷售量(單位：萬張)成反比，并且根據(jù)調(diào)查，每張門票售價(jià)定為元時(shí)，旅游公司獲得的總利潤(rùn)為萬元.（每張門票的銷售利潤(rùn)＝售價(jià)－供貨價(jià)格）.（1）求出每張門票所獲利潤(rùn)關(guān)于售價(jià)的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（2）每張門票售價(jià)定為多少元時(shí)，每張門票所獲利潤(rùn)最大？并求出該最大值.  21．( 本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，數(shù)列滿足，且.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：； 22．( 本小題滿分12分）已知定點(diǎn)，圓，點(diǎn)為圓上動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，記的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）過點(diǎn)與作平行直線和，分別交曲線于點(diǎn)、和點(diǎn)、，求四邊形面積的最大值.
東華高級(jí)中學(xué)2020-2021學(xué)年第一學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試題答案一、單選題     CBCB   AADB二、多選題    AD   BC   ABD   ACD三、填空題   13.   14．   15.    16．四、解答題17．由，得，...........1分因?yàn)?/span>，所以，即命題: ................2分由方程表示雙曲線，可得：解得，即命題：.....3分（1）若，則命題： ，因?yàn)槊}和均為真命題，所以，所以，所以符合題意的的取值范圍為：................5分     （注：先將代入求解的給相應(yīng)分?jǐn)?shù)）（2）由是的必要不充分條件，則有：但， 所以?，即?.........7分所以，解得........8分經(jīng)檢驗(yàn)和滿足條件........9分        所以實(shí)數(shù)的取值范圍是........10分18．解：（1）若選①：，    則，...........2分化簡(jiǎn)得，...........3分        ..........5分      ∴．.......6分若選②：，則由正弦定理得，........1分即，...........2分     ∵，.............3分.........4分    ∴，...........5分         則．............6分若選③：，則有，......2分化簡(jiǎn)得，.......3分         .............4分所以，............5分                          故．.............6分（2）∵，.......8分且，......10分    ∴．.......12分19．（1）拋物線: 的準(zhǔn)線方程為....1分由拋物線的定義可知   解得……………3分    ∴的方程為.………4分（2）法一：由（1）得拋物線C的方程為，焦點(diǎn)設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，    則…………....6分兩式相減。整理得........8分∵線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為      ∴直線的斜率……………10分直線的方程為即……………12分法二：由（1）得拋物線的方程為，焦點(diǎn)     設(shè)直線的方程為......5分由        消去，得...............7分設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，∵線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為     ∴解得…………10分        直線的方程為即……………12分20．解：（1）每張門票售價(jià)定為元時(shí)，銷售量為＝5(萬張)，...1分令每張門票的浮動(dòng)價(jià)格元        則每張門票供貨價(jià)格為(元)，..............2分故旅游公司所獲總利潤(rùn)為(萬元).   ∴比例系數(shù)...........3分∴........................5分（不寫定義域扣一分）（2）由（1）知 ∴...8分∵       ∴...............9分當(dāng)且僅當(dāng)（元）時(shí)取得“=”號(hào).....................10分∴，       ...............................11分因此，每張門票售價(jià)定為140元時(shí)，所獲利潤(rùn)最大，且每張門票最大利潤(rùn)為100元．.12分21．（1）時(shí)，，解得，...............1分時(shí)，，    整理得，.........2分是首項(xiàng)為1，公比為的對(duì)比數(shù)列，    ，...........3分∵，                                ∴，則，，，……，（，3，…）.將這個(gè)等式相加，..................................................4分得，.....5分又∵，∴；......................................6分（2）證明：∵.....................................................7分∴.①而∴②①－②得...........9分..........11分    ∴；....12分22．（1）由中垂線的性質(zhì)得，  ，........1分所以，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，........2分設(shè)曲線的方程為，則，，因此，曲線的方程為:；........................3分（2）由題意知直線的斜率不為，故可設(shè)的方程為，聯(lián)立方程得，...............4分設(shè)、，則由根與系數(shù)關(guān)系有，.......5分所以，.....6分同理，.........7分         與的距離為，........8分所以，四邊形的面積為，...............9分令，則，得，...............10分由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，.................11分當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，四邊形的面積取最大值為.....12分（注：能說出對(duì)勾函數(shù)或者基本不等式不能取等號(hào)，最后得到答案都可以給相應(yīng)步驟分?jǐn)?shù)）
  

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