第十二講  導(dǎo)數(shù)的切線方程【套路秘籍】  導(dǎo)數(shù)的幾何意義：切線的斜率  求斜率的方法 （1）公式：（2）當(dāng)直線l1、l2的斜率都存在時(shí)：，      切線方程的求法（1）求出直線的斜率（2）求出直線上的一點(diǎn)或切點(diǎn)（3）利用點(diǎn)斜式寫出直線方程。【套路修煉】考向一 斜率（或傾斜角）與切點(diǎn)互求【例1】（1）曲線y＝x3在x＝1處切線的傾斜角為        。（2）設(shè)函數(shù)，若，則______________．【答案】（1）.（2）e【解析】（1）∵y′＝x2，∴y′|x＝1＝1，∴切線的傾斜角α滿足tan α＝1，∵0≤α<π，∴α＝.（3）由題意得，又，解得．【舉一反三】1.已知在曲線上過點(diǎn)的切線為．（1）若切線平行于直線，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若切線垂直于直線，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若切線的傾斜角為，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）兩條直線平行斜率相等，2x0=4,x0=2,代入曲線y0=4,切點(diǎn)P（2,4）（2）直線直線垂直，斜率相乘等于-1.（3）因?yàn)榍芯€的傾斜角為，所以其斜率為．即，得，，故． 考向二 在某點(diǎn)處求切線方程【例2】設(shè)函數(shù)f(x)＝xln x，則點(diǎn)(1,0)處的切線方程是________．【解析】因?yàn)?/span>f′(x)＝ln x＋1，所以f′(1)＝1，所以切線方程為x－y－1＝0.【答案】x－y－1＝0【舉一反三】1.函數(shù)f(x)＝excos  x在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為                         。【答案】x－y＋1＝0【解析】∵f′(x)＝excos  x＋ex(－sin  x)＝ex(cos  x－sin  x)，∴f′(0)＝e0(cos  0－sin  0)＝1．又∵f(0)＝1，∴f(x)在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為y－1＝x，即x－y＋1＝0．2.曲線y＝－5ex＋3在點(diǎn)(0，－2)處的切線方程為_      __.【答案】5x＋y＋2＝0【解析】由y＝－5ex＋3得，y′＝－5ex，所以切線的斜率k＝y′|x＝0＝－5，所以切線方程為y＋2＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0. 考向三 過某點(diǎn)處求切線方程【例3】已知函數(shù)，則過（1,1）的切線方程為__________．【答案】【解析】 由函數(shù)，則，當(dāng)點(diǎn)為切點(diǎn)時(shí)，則，即切線的斜率， 所以切線的方程為，即， 當(dāng)點(diǎn)不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)，則，即， 解得或（舍去），所以所以切線的方程為，即.【舉一反三】1．已知曲線，則過點(diǎn)，且與曲線相切的直線方程為       。【答案】或【解析】設(shè)切點(diǎn)為,切線斜率 ，則切線方程是，又過點(diǎn)，所以， ①又，②由①②解得， 或 ，代入切線方程化簡可得：切線方程為 或.2．過點(diǎn)作曲線的切線，則切線方程為_______________________.【答案】【解析】點(diǎn)不為切點(diǎn)，可設(shè)出切點(diǎn)，則，①又，則切線斜率為=，②由①②得，，故切線方程為，即，故答案為.3．過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線,則切線方程為________.【答案】【解析】因?yàn)?/span>， 所以,設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線斜率為，切線方程為，把原點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程可得，所以過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線,則切線方程為,故答案為.考向四 求參數(shù)【例4】已知函數(shù)f(x)＝bx＋ln x，其中b∈R，若過原點(diǎn)且斜率為k的直線與曲線y＝f(x)相切，則k－b的值為        ．【答案】　【解析】　設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，bx0＋ln x0)，因?yàn)?/span>f′(x)＝b＋，所以k＝b＋，則切線方程為y－(bx0＋ln x0)＝(x－x0)．因?yàn)榍芯€過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以－(bx0＋ln x0)＝(0－x0)，即ln x0＝1，所以x0＝e，所以k－b＝＝.【舉一反三】1.已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m<0)，直線l與函數(shù)f(x)，g(x)的圖象都相切，與f(x)圖象的切點(diǎn)為(1，f(1))，則m＝        .【答案】－2【解析】∵f′(x)＝，∴直線l的斜率k＝f′(1)＝1.又f(1)＝0，∴切線l的方程為y＝x－1.g′(x)＝x＋m，設(shè)直線l與g(x)的圖象的切點(diǎn)為(x0，y0)，則有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋，m<0，∴m＝－2.2.已知直線y＝x＋1與曲線y＝ln(x＋a)相切，則a的值為      。【答案】2【解析】設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，y′＝，所以有解得3.設(shè)曲線y＝在點(diǎn)處的切線與直線x＋ay＋1＝0垂直，則a＝____________.【答案】1【解析】y′＝＝，則曲線y＝在點(diǎn)處的切線的斜率為k1＝1.因?yàn)橹本€x＋ay＋1＝0的斜率k2＝－，又該切線與直線x＋ay＋1＝0垂直，所以k1k2＝－1，解得a＝1.4，已知函數(shù)y＝f(x)及其導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)P處的切線方程是        ．【答案】x－y－2＝0【解析】由題圖可知，f′(2)＝1，過P(2,0)，∴切線方程為y＝x－2，即x－y－2＝0.【套路運(yùn)用】1.已知函數(shù)f(x)＝ax3＋x＋1的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線過點(diǎn)(2,7)，則a＝_______.【答案】【解析】∵f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1．又f(1)＝a＋2，∴切線方程為y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．∵切線過點(diǎn)(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1．2.已知f(x)＝x2，則曲線y＝f(x)過點(diǎn)P(－1,0)的切線方程是                      ．【答案】　y＝0或4x＋y＋4＝0【解析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，x)，∵f′(x)＝2x，∴切線方程為y－0＝2x0(x＋1)，∴x＝2x0(x0＋1)，解得x0＝0或x0＝－2，∴所求切線方程為y＝0或y＝－4(x＋1)，即y＝0或4x＋y＋4＝0.3.已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝ln(－x)＋3x，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，－3)處的切線方程是__      【答案】y＝－2x－1【解析】令x>0，則－x<0，f(－x)＝ln x－3x，又f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝ln x－3x(x>0)，則f′(x)＝－3(x>0)，∴f′(1)＝－2，∴在點(diǎn)(1，－3)處的切線方程為y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1．4.若直線y＝kx＋b是曲線y＝ln x＋2的切線，也是曲線y＝ln(x＋1)的切線，則b＝____.【答案】1－ln2【解析】直線y＝kx＋b與曲線y＝ln x＋2，y＝ln (x＋1)均相切，設(shè)切點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝ln x＋2得y′＝，由y＝ln (x＋1)得y′＝，∴k＝＝，∴x1＝，x2＝－1，∴y1＝－ln k＋2，y2＝－ln k，即A，B，∵A，B在直線y＝kx＋b上，∴?5．已知函數(shù)，則在x=1處的切線方程為_________【答案】.【解析】 ，,而,所以切線方程為.6．已知某曲線的方程為，則過點(diǎn)且與該曲線相切的直線方程為______．【答案】或【解析】設(shè)直線與曲線切于點(diǎn)（x0，y0）（x0≠2），則k=，∵y0=x02+2，且∵k=y′=2x0，∴=2x0，∴x02﹣4x0﹣5=0，∵x0=-1，或x0=5，∴k=2x0=-2或，故直線l的方程或.故答案為：或．7．已知，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線為，則在軸上的截距為______.【答案】1【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，所以 ，則切線的斜率為，因?yàn)榍悬c(diǎn)坐標(biāo)，所以切線方程為，令，可得在軸上的截距為，故答案為1.8．已知恰有兩條不同的直線與曲線和都相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】設(shè)曲線的切點(diǎn)為（），的切點(diǎn)坐標(biāo)為（）， , ∴①切線方程為y-且過點(diǎn)（），故-②由①②得,故有兩解，由①知，若不合題意；所以必有,即在有兩解，令f(x)=,在（）單減，在（2，+）單增，的最小值為，又故,解0<p<2故答案為9．已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，則__________．【答案】3【解析】函數(shù)f（x）＝x2+alnx+b，所以f′（x）＝2x（x＞0），又f（x）在x＝1處的切線方程為y＝4x﹣2，所以2+a＝4解得：a＝2，f（1）＝4﹣2＝2，可得2＝1+2ln1+bb＝1，所以a+b＝3．故答案為：3．10．已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象在處的切線方程為__________．【答案】.【解析】因?yàn)?/span>，點(diǎn)坐標(biāo)為可知點(diǎn)在曲線上則則即切線的斜率為0又因?yàn)檫^點(diǎn)所以切線方程為11．已知曲線.(Ⅰ) 求曲線在處的切線方程；(Ⅱ) 求曲線過原點(diǎn)的切線方程.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 【解析】(Ⅰ)由題意得，所以， ，可得切線方程為，整理得。(Ⅱ)令切點(diǎn)為，因?yàn)榍悬c(diǎn)在函數(shù)圖像上，所以，，所以在該點(diǎn)的切線為  因?yàn)榍芯€過原點(diǎn)，所以，解得，可得切點(diǎn)為， ，，所以切線方程為或。12．已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程； （Ⅱ）直線為曲線的切線，且經(jīng)過原點(diǎn)，求直線的方程及切點(diǎn)坐標(biāo).【答案】(1) (2) 切線方程為,切點(diǎn)為【解析】（Ⅰ），所以 ，即（Ⅱ）設(shè)切點(diǎn)為，則 所以切線方程為 因?yàn)榍芯€過原點(diǎn)，所以 ，所以，解得， 所以，故所求切線方程為，又因?yàn)?/span>，切點(diǎn)為13．已知曲線C：y＝x3－6x2－x＋6.(1)求C上斜率最小的切線方程；(2)證明：C關(guān)于斜率最小時(shí)切線的切點(diǎn)對(duì)稱．【答案】見解析【解析】　(1)y′＝3x2－12x－1＝3(x－2)2－13.當(dāng)x＝2時(shí)，y′最小，即切線斜率的最小值為－13，切點(diǎn)為(2，－12)，切線方程為y＋12＝－13(x－2)，即13x＋y－14＝0.(2)證明：設(shè)點(diǎn)(x0，y0)∈C，點(diǎn)(x，y)是點(diǎn)(x0，y0)關(guān)于切點(diǎn)(2，－12)對(duì)稱的點(diǎn)，則∵點(diǎn)(x0，y0)∈C，∴－24－y＝(4－x)3－6(4－x)2－(4－x)＋6，整理得y＝x3－6x2－x＋6.∴點(diǎn)(x，y)∈C，于是曲線C關(guān)于切點(diǎn)(2，－12)對(duì)稱．14．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax＋(a，b∈Z)，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為y＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)證明：曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)的切線與直線x＝1和直線y＝x所圍成的三角形的面積為定值，并求出此定值．【答案】見解析【解析】　(1)f′(x)＝a－，依題意，f′(2)＝0，f(2)＝3，即解得或因?yàn)?/span>a，b∈Z，所以a＝1，b＝－1，故f(x)＝x＋.(2)證明：在曲線上任取一點(diǎn)，由f′(x0)＝1－知，過此點(diǎn)的切線方程為y－＝(x－x0)．令x＝1得y＝，切線與直線x＝1的交點(diǎn)為.令y＝x得x＝2x0－1，切線與直線y＝x的交點(diǎn)為(2x0－1,2x0－1)．直線x＝1與直線y＝x的交點(diǎn)為(1,1)．從而所圍三角形的面積為·|2x0－1－1|＝·|2x0－2|＝2.所以所圍三角形的面積為定值2.

相關(guān)試卷

新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)培優(yōu)專題02 曲線的切線方程（含解析）：

這是一份新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)培優(yōu)專題02 曲線的切線方程（含解析），共21頁。

2023屆高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)21導(dǎo)數(shù)與切線方程：

這是一份2023屆高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)21導(dǎo)數(shù)與切線方程，共14頁。試卷主要包含了切線方程的求解，曲線過點(diǎn)的切線方程是，已知函數(shù)，若函數(shù)與函數(shù)的圖象存在公切線，，已知函數(shù)，等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2023高考數(shù)學(xué)二輪專題導(dǎo)數(shù)36講 專題02 曲線的切線方程：

這是一份2023高考數(shù)學(xué)二輪專題導(dǎo)數(shù)36講 專題02 曲線的切線方程，共11頁。

英語朗讀寶
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
  • 1.電子資料成功下載后不支持退換，如發(fā)現(xiàn)資料有內(nèi)容錯(cuò)誤問題請(qǐng)聯(lián)系客服，如若屬實(shí)，我們會(huì)補(bǔ)償您的損失
  • 2.壓縮包下載后請(qǐng)先用軟件解壓，再使用對(duì)應(yīng)軟件打開；軟件版本較低時(shí)請(qǐng)及時(shí)更新
  • 3.資料下載成功后可在60天以內(nèi)免費(fèi)重復(fù)下載
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
  • 精品推薦
  • 所屬專輯12份
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

  • 0

    資料籃

  • 在線客服

    官方
    微信

    添加在線客服

    獲取1對(duì)1服務(wù)

  • 官方微信

    官方
    微信

    關(guān)注“教習(xí)網(wǎng)”公眾號(hào)

    打開微信就能找資料

  • 免費(fèi)福利

    免費(fèi)福利
返回
頂部