第五章　平面向量第一講　平面向量的概念及線性運算、平面向量基本定理及坐標運算1.[2021惠州市模擬]正方形ABCD中,點E,F分別是DC,BC的中點,那么= (　　)A. B.-C. D.-2.[2021山東新高考模擬]已知兩個力F1=(1,2),F2=(-2,3)作用于平面內(nèi)某靜止物體的同一點上,為使該物體仍保持靜止,還需給該物體同一點上再加一個力F3,則F3=(　　)A.(1,-5) B.(-1,5)C.(5,-1) D.(-5,1)3.[2021廣西模擬]已知向量a=(k,1)與b=(4,k),則“k=±2”是“a·b共線且方向相反”的 (　　)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.[2021哈爾濱六中模擬]如圖5-1-1,平行四邊形ABCD的對角線相交于點O,過點O的直線與AB,AD所在直線分別交于點M,N,若=m,=n(m>0,n>0),則+n的最小值為????????????? (　　)A.????????????? B.1????????????? C.2????????????? D.2圖5-1-15.[2021洛陽市統(tǒng)考]如果向量a=(k,1)與b=(6,k+1)方向相同,那么實數(shù)k的值為　　　　. 6.[2020唐山市模擬]已知|a|=5,b=(2,1),且a∥b,則向量a的坐標是　　　　　. 7.[2020南昌市三模]如圖5-1-2,在平行四邊形ABCD中,E,F分別為邊AB,BC的中點,連接CE,DF,交于點G.若=λ+μ(λ,μ∈R),則=　　　　. 圖5-1-2 8.已知圓心為O,半徑為1的圓上有不同的三個點A,B,C,其中·=0,存在實數(shù)λ,μ滿足+λ+μ=0,則實數(shù)λ,μ的關系為????????????? (　　)A.λ2+μ2=1 B.=1C.λμ=1 D.λ+μ=19.[角度創(chuàng)新]在平行四邊形ABCD中,E是AB的中點,F是線段DE上的點,且,則 (　　)A.=2 B.=2C.=3 D.=310.[2021河北六校第一次聯(lián)考]已知點O是△ABC內(nèi)一點,且滿足+2+m=0,,則實數(shù)m的值為 (　　)A.-4 B.-2 C.2 D.411.[2021哈爾濱三中二模]已知△ABC中,長為2的線段AQ為BC邊上的高,滿足sin B+sin C=,H為AC上一點且,則BH=????????????? (　　)A. B.4  C. D.212.[2021山東部分重點中學第一次綜合測試]如圖5-1-3,在△ABC中,∠BAC=,=2,P為CD上一點,且滿足=m,若△ABC的面積為2,則||的最小值為????????????? (　　)A. B. C.3 D.圖5-1-313.[2020百校聯(lián)考]如圖5-1-4所示的平面直角坐標系中,網(wǎng)格中小正方形的邊長為1,若向量a,b,c滿足c=xa+yb,且(ka-b)·c=0,則=　　　　. 圖5-1-4答 案第五章　平面向量第一講　平面向量的概念及線性運算、平面向量基本定理及坐標運算1.C　解法一　因為點E是DC的中點,所以.因為點F是BC的中點,所以=.所以,故選C.圖D 5-1-3解法二　如圖D 5-1-3,連接BD,因為點E,F分別是DC,BC的中點,所以()=,故選C.2.A　由題意可知F1+F2+F3=0?F3=-(F1+F2)=(1,-5).3.B　由a=(k,1),b=(4,k),且a,b共線,得k2-4=0,解得k=±2.當k=2時,a=(2,1),b=(4,2),a,b共線且方向相同;當k=-2時,a=(-2,1),b=(4,-2)=-2(-2,1)=-2a,a,b共線且方向相反.∴“k=±2”是“a,b共線且方向相反”的必要不充分條件.故選B.4.D　由題意知+m+,因為M,O,N三點共線,所以m+=1,則+n=(m+)(+n)=×(1+1+mn+)≥×(2+2)=2,當且僅當m=n=1時取“=”,故選D.5.2　解法一　因為向量a與b方向相同,所以(k,1)=λ(6,k+1)(λ>0),所以解得 (舍去)或解法二　由題意知a∥b,所以k(k+1)-1×6=0,解得k=2或k=-3,但當k=-3時,a=(-3,1),b=(6,-2)=-2a,兩個向量方向相反,所以k=2.6.(2,)或(-2,)　因為b=(2,1),所以|b|=,又|a|=5,a∥b,所以a=b或a=b,所以向量a的坐標為(2,)或(-2,).7.　由題圖可設=x(0<x<1),則=x()=x()=+x.因為=λ+μ,與不共線,所以λ=,μ=x,所以.8.A　解法一　取特殊點,取C為優(yōu)弧AB的中點,此時由平面向量基本定理易得λ=μ=,只有選項A符合.故選A.解法二　依題意得||=||=||=1,=λ+μ,兩邊同時平方,得1=λ2+μ2.故選A.9.D　解法一　設=λ.易知,則=λ=λ()+=(1λ)+λ,又,所以λ=,所以,即=3.解法二　,則=3.解法三　如圖D 5-1-4,取CD的中點G,連接BG,設H為BG上一點,且BH=DF,易證得,則.過點H作HM∥AB,交AD于點M,交DE于點Q,作HN∥AD,交AB于點N,則,所以,根據(jù)平行線的性質(zhì)可知BH=BG,則DF=DE,所以=3.圖D 5-1-410.D　由+2=-m得,=,如圖D 5-1-5,設,則,∴A,B,D三點共線,∴與反向共線,m>0,∴,∴,∴,解得m=4.故選D.圖D 5-1-511.D　分別在AB,AC上取E,F,使得AE=AF=AQ=2,連接QE,QF,BF,如圖D 5-1-6所示.因為線段AQ為BC邊上的高,所以ABsin∠ABC=ACsinC=AQ,所以sin∠ABC=,sin C=,所以,由平面向量加法的平行四邊形法則可得AE∥QF,AF∥QE,所以四邊形AEQF為菱形,所以AQ平分∠BAC,∠BAF=120°,所以AB=AC,Q為BC的中點,E,F分別為AB,AC的中點.所以AB=2AF=2AQ=4,又,所以點H為AC的中點,即點H與點F重合,在△BAF中,BF2=AB2+AF2-2AB·AFcos∠BAF=16+4+8=28.所以BH2=28,BH=2,故選D.圖D 5-1-6【解后反思】　由條件sin B+sin C=引發(fā)的兩點聯(lián)想:一是由“形”聯(lián)想平面向量加法的平行四邊形法則;二是由“數(shù)”聯(lián)想所畫圖形中的數(shù)量關系ABsinB=ACsinC=AQ(線段AQ為BC邊上的高).二者結合,才能巧妙得解.解此類題時,要將題目中給出的信息挖掘透徹.12.B　設||=3a,||=b,則△ABC的面積為×3absin =2,解得ab=.由=m=m,且C,P,D三點共線,可知m+=1,得m=,故.以A為坐標原點,AB所在直線為x軸,過A作AB的垂線為y軸,建立如圖D 5-1-7所示的平面直角坐標系,則A(0,0),D(2a,0),B(3a,0),C(b,b),則=(b,b),=(2a,0),=(b+a,b),||2=(b+a)2+(b)2=b2+a2+ab+b2=b2+a2+1≥2+1=ab+1=3,當且僅當b2=a2,即b=6a時取等號,故||的最小值為.圖D 5-1-713.　結合圖形得a=(1,2),b=(3,1),c=(4,4),由c=xa+yb得解得所以x+y=.由(ka-b)·c=0得ka·c-b·c=0,即12k-16=0,所以k=,所以. 

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