全國統(tǒng)考2022版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第6章數(shù)列第3講等比數(shù)列及其前n項和1備考試題（含解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

第六章　數(shù)　列第三講　等比數(shù)列及其前n項和練好題·考點自測 1.下列結(jié)論中,錯誤的個數(shù)為 (　　)①滿足an+1=qan(n∈N*,q為常數(shù))的數(shù)列{an}為等比數(shù)列.②a,b,c三個數(shù)成等比數(shù)列的充要條件是b2=ac.③如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列,bn=a2n-1+a2n,則數(shù)列{bn}也是等比數(shù)列.④如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列,則數(shù)列{ln an}是等差數(shù)列.A.1 B.2 C.3 D.42.[北京高考,5分]設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列,則“q>1”是“{an}為遞增數(shù)列”的 (　　)A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3.[2019全國卷Ⅲ,6,5分][文]已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項和為15,且a5=3a3+4a1,則a3= (　　)A.16 B.8 C.4 D.24.[易錯題]記等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a1=2,S3=6,則S4= (　　)A.10或8 B.-10C.-10或8 D.-10或-85.[2020全國卷Ⅱ,6,5分]數(shù)列{an}中,a1=2,am+n=aman.若ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25,則k= (　　)A.2 B.3 C.4 D.56. [2020全國卷Ⅰ,10,5分][文]設(shè){an}是等比數(shù)列,且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,則a6+a7+a8= (　　)A.12 B.24 C.30 D.327.[2017全國卷Ⅱ,3,5分]我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠望巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈????????????? (　　)A.1盞 B.3盞 C.5盞 D.9盞8.[2016全國卷Ⅰ,15,5分]設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2…an的最大值為　　　　. 拓展變式1.[2018全國卷Ⅰ,17,12分][文]已知數(shù)列{an}滿足a1=1,nan+1=2(n+1)an.設(shè)bn=.(1)求b1,b2,b3;(2)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列,并說明理由;(3)求{an}的通項公式. 2.(1)[2020全國卷Ⅱ,6,5分][文]記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和.若a5-a3=12,a6-a4=24,則= (　　)　　　　　　　　　　A.2n-1 B.2-21-n C.2-2n-1 D.21-n-1(2)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,若a2,a4+3,a6+6構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列,則q= (　　)A.1 B.2 C.3 D.43.(1)[2021大同市調(diào)研測試]已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a1a2a3=5,a4a5a6=5,則a7a8a9= (　　)A.25 B.20 C.10 D.10(2)已知正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且S8-2S4=5,則a9+a10+a11+a12的最小值為 (　　)A.25 B.20 C.15 D.10(3)記等比數(shù)列{an}的前n項積為Tn(n∈N*),已知am-1am+1-2am=0,且T2m-1=128,則m的值為 (　　)A.4 B.7 C.10 D.124.數(shù)列{an},{bn}滿足a1=-1,b1=2,且(n∈N*),則b2 015+b2 016=　　　　. 答案第六章　數(shù)　列第三講　等比數(shù)列及其前n項和 1.D　對于①,當n屬于正整數(shù),q為常數(shù)且不等于0時,數(shù)列{an}為等比數(shù)列,故①錯誤;對于②,由等比中項的概念可知,a,b,c三個數(shù)成等比數(shù)列的必要條件是b2=ac,故②錯誤;對于③,當?shù)缺葦?shù)列{an}的公比q=-1時,bn=0,此時{bn}不是等比數(shù)列,故③錯誤;對于④,當an為正數(shù)時,數(shù)列{ln an}是等差數(shù)列,故④錯誤.所以結(jié)論中錯誤的個數(shù)為4,故選D.2.D　等比數(shù)列-1,-2,-4,…,滿足公比q=2>1,但{an}不是遞增數(shù)列,即充分性不成立.an=-1×()n-1為遞增數(shù)列,但q=<1,即必要性不成立.故“q>1”是“{an}為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件,故選D.3.C　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,由a5=3a3+4a1得q4=3q2+4,得q2=4,因為數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),所以q=2.又a1+a2+a3+a4=a1(1+q+q2+q3)=a1(1+2+4+8)=15,所以a1=1,所以a3=a1q2=4,故選C.4.C　設(shè)等比數(shù)列的公比為q,因為a1=2,S3=6,所以S3=2+2q+2q2=6,則q2+q-2=0,所以q=1或q=-2.當q=1時,S4=S3+2=8;當q=-2時,S4=S3+a1q3=6+2×(-2)3=-10.故選C.5.C　令m=1,則由am+n=aman,得an+1=a1an,即=a1=2,所以數(shù)列{an}是首項為2、公比為2的等比數(shù)列,所以an=2n,所以ak+1+ak+2+…+ak+10=ak(a1+a2+…+a10)=2k×=2k+1×(210-1)=215-25=25×(210-1),解得k=4,故選C.6.D　解法一　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,所以=q=2,由a1+a2+a3=a1(1+q+q2)=a1(1+2+22)=1,解得a1=,所以a6+a7+a8=a1(q5+q6+q7)=×(25+26+27)=×25×(1+2+22)=32,故選D.解法二　令bn=an+an+1+an+2(n∈N*),則bn+1=an+1+an+2+an+3.設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,則=q,所以數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,由題意知b1=1,b2=2,所以等比數(shù)列{bn}的公比q=2,所以bn=2n-1,所以b6=a6+a7+a8=25=32,故選D.7.B　由題意知,每層塔所掛的燈數(shù)從上到下構(gòu)成等比數(shù)列,記為{an},則前7項的和S7=381,公比q=2,依題意,得=381,解得a1=3,故選B.8.64　解法一　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,由得,解得所以a1a2…an=q1+2+…+(n-1)=8n×(.記t=(n∈N*),則t=(n2-7n)=(n)2+,易知當n=3或4時,a1a2…an取得最大值26=64.解法二　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,由題可知a1+a1q2=10,a1q+a1q3=5,則q=,a1=8,所以an=8·()n-1=24-n.當n=4時,a4=1,所以a1>a2>a3>a4=1>a5>a6>….所以a1a2…an取最大值時n=3或4.所以a1a2…an的最大值為64. 1.(1)由條件可得an+1=an.將n=1代入得,a2=4a1,因為a1=1,所以a2=4.將n=2代入得,a3=3a2,所以a3=12.因為bn=,所以b1=1,b2=2,b3=4.(2){bn}是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.理由如下:由條件可得,即bn+1=2bn,又b1=1,所以{bn}是以1為首項,2為公比的等比數(shù)列.(3)由(2)可得=2n-1,所以an=n·2n-1.2.(1)B　解法一　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則由解得所以Sn==2n-1,an=a1qn-1=2n-1,所以=2-21-n,故選B.解法二　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,因為=2,所以q=2,所以=2-21-n,故選B.(2)A　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由a2,a4+3,a6+6構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列,得(a4+3)2=a2(a6+6),即(a1+3d+3)2=(a1+d)·(a1+5d+6),化簡得(2d+3)2=0,解得d=.所以q==1.故選A.3.(1)D　解法一　因為數(shù)列{an}為正項等比數(shù)列,所以a1a2a3==5,a4a5a6==5,a7a8a9=,又a2a8=,所以=50,得a7a8a9==10,故選D.解法二　因為數(shù)列{an}為正項等比數(shù)列,所以a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9也構(gòu)成等比數(shù)列,所以=(a1a2a3)·(a7a8a9)=50,又a1a2a3=5,所以a7a8a9=10,故選D.(2)B　在正項等比數(shù)列{an}中,Sn>0.因為S8-2S4=5,所以S8-S4=5+S4.易知S4,S8-S4,S12-S8成等比數(shù)列,所以=S4·(S12-S8),所以S12-S8=+S4+10≥2+10=20(當且僅當S4=5時取等號).因為S12-S8=a9+a10+a11+a12,所以a9+a10+a11+a12的最小值為20.故選B.(3)A　因為{an}是等比數(shù)列,所以am-1am+1=.又am-1am+1-2am=0,則2am=0,所以am=2(am=0舍去).由等比數(shù)列的性質(zhì)可知前2m-1項積T2m-1=,即22m-1=128,解得m=4.故選A.4.-3×22 015　易知b2=-8,由bn+1=2an-3bn?bn+2=2an+1-3bn+1,將an+1消去得bn+2=-2bn-3bn+1,所以bn+2+bn+1=-2(bn+1+bn),故可得bn+1+bn=(-2)n-1(b2+b1)=(-8+2)×(-2)n-1=3×(-2)n,所以b2 016+b2 015=-3×22 015.