課時規(guī)范練56　極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的應(yīng)用　　　　　　　　　　　　　　　　　基礎(chǔ)鞏固組1.(2020廣東珠海三模,22)在平面直角坐標(biāo)系中,直線l過點(diǎn)P(3,2),且傾斜角α=,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sin θ.(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),求|PA|+|PB|的值.              2.在平面直角坐標(biāo)系中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù),0≤α<π).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2-4=4ρcos θ-2ρsin θ.(1)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),且AB的長度為2,求直線l的普通方程.          3.(2020湖南郴州二模,文22)在平面直角坐標(biāo)系中,已知曲線C的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)).以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,射線l1的極坐標(biāo)方程為θ=α-≤α≤,射線l2的極坐標(biāo)方程為θ=α+.(1)寫出曲線C的極坐標(biāo)方程,并指出是何種曲線;(2)若射線l1與曲線C交于O,A兩點(diǎn),射線l2與曲線C交于O,B兩點(diǎn),求△ABO面積的取值范圍.        4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(其中t為參數(shù),0<α<π).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ=4cos θ.(1)求l和C的直角坐標(biāo)方程;(2)若l與C相交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=8,求α.        綜合提升組5.(2020山西太原二模,22)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),曲線C2的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的極坐標(biāo)方程;(2)射線θ1=β0<β<與曲線C2交于O,P兩點(diǎn),射線θ2=+β與曲線C1交于點(diǎn)Q,若△OPQ的面積為1,求|OP|的值.     創(chuàng)新應(yīng)用組6.(2020湖南湘潭三模,22)已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),曲線C1的方程為x2+y2-x=0,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求直線l和曲線C1的極坐標(biāo)系方程;(2)曲線C2:θ=αρ>0,0<α<分別交直線l和曲線C1于點(diǎn)M,N,求+|ON|的最大值.        7.(2021安徽皖豫名校聯(lián)考,理22)已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為2ρcosθ+=.(1)求曲線C1的普通方程以及曲線C2的直角坐標(biāo)方程;(2)若曲線C1,C2交于M,N兩點(diǎn),P(,0),求的值.        8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的方程為(x-2)2+(y+1)2=16,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.(1)求直線l和曲線C的極坐標(biāo)方程;(2)設(shè)直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),求|AB|的值.         9.(2020湖南衡陽一模,文22)心形線是由一個圓上的一個定點(diǎn),當(dāng)該圓繞著與其相切且半徑相同的另外一個圓周上滾動時,這個定點(diǎn)的軌跡,因其形狀像心形而得名.如圖,在極坐標(biāo)系Ox中,方程ρ=a(1-sin θ)(a>0)表示的曲線C1就是一條心形線,在以極軸Ox所在直線為x軸,極點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系xOy中,已知曲線C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).(1)求曲線C2的極坐標(biāo)方程;(2)若曲線C1與C2相交于A,O,B三點(diǎn),求線段AB的長.             10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C1:x2+y2-x=0,C2:x2+y2-2y=0.(1)以過原點(diǎn)的直線的傾斜角θ為參數(shù),寫出曲線C1的參數(shù)方程;(2)直線l過原點(diǎn),且與曲線C1,C2分別交于A,B兩點(diǎn)(A,B不是原點(diǎn)),求|AB|的最大值.                參考答案 課時規(guī)范練56　極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的應(yīng)用1.解(1)由ρ=4sinθ得ρ2=4ρsinθ,從而有x2+y2=4y,即x2+(y-2)2=4.(2)由題意設(shè)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),代入圓的方程得3+t2+t2=4,整理得t2+3t+5=0,t1+t2=-3,t1t2=5,由t1+t2<0且t1t2>0,可知|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=-(t1+t2)=3.2.解(1)將代入曲線C極坐標(biāo)方程得,曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-4=4x-2y,即(x-2)2+(y+1)2=9.(2)將直線的參數(shù)方程代入曲線方程(tcosα-2)2+(tsinα+1)2=9,整理得t2-4tcosα+2tsinα-4=0,設(shè)點(diǎn)A,B對應(yīng)的參數(shù)為t1,t2,則t1+t2=4cosα-2sinα,t1t2=-4.則|AB|=|t1-t2|===2,化簡得3cos2α-4sinαcosα=0,由0≤α<π,得α=或tanα=,直線l的普通方程為y=x或x=0.3.解(1)將(φ為參數(shù)),化為普通方程為(x-1)2+(y-1)2=2,化為極坐標(biāo)方程為(ρcosθ-1)2+(ρsinθ-1)2=2,整理得ρ=2cosθ+2sinθ,曲線C是以(1,1)為圓心,為半徑的圓.(2)令ρ1=|OA|=2cosα+2sinα,ρ2=|OB|=2cosα++2sinα+=-2sinα+2cosα,S△OAB=ρ1ρ2=2(cos2α-sin2α)=2cos2α.∵-≤α≤,∴-≤2α≤,∴≤cos2α≤1,∴1≤2cos2α≤2.∴△ABO面積的取值范圍為[1,2].4.解(1)當(dāng)α=時,l:x=1;當(dāng)α≠時,l:y=tanα(x-1).由ρsin2θ=4cosθ得ρ2sin2θ=4ρcosθ,所以C的直角坐標(biāo)方程y2=4x.(2)將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程得(sin2α)t2-(4cosα)t-4=0,則t1+t2=,t1t2=-.因?yàn)?/span>|AB|=|t1-t2|==8,所以sinα=或-.因?yàn)?/span>0<α<π,所以sinα=,故α=.5.解(1)由消去參數(shù)t得曲線C1普通方程為x-y+1=0.由消去參數(shù)α得曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-4x=0,得曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ.(2)由ρ=4cosθ得點(diǎn)P坐標(biāo)為(4cosβ,β)0<β<.又直線x-y+1=0的極坐標(biāo)方程為ρcosθ-ρsinθ+1=0,得點(diǎn)Q+β,∴S△OPQ=·4cosβ·=1.∴cosβ=sinβ,β=.∴|OP|=4cosβ=2.6.解(1)由題可知,直線l的普通方程為x+y-3=0,則直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ+ρsinθ-3=0.曲線C1的普通方程為x2+y2=x,因?yàn)?/span>x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以C1的極坐標(biāo)方程為ρ=cosθ.(2)直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ+ρsinθ-3=0,令θ=α,則ρ==|OM|,所以=cosα+sinα.又|ON|=cosα,所以+|ON|=sinα+2cosα=sin(α+φ)(tanφ=2).因?yàn)?/span>0<α<,所以+|ON|的最大值為.7.解(1)因?yàn)榍€C1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)),所以兩式相減可得,曲線C1的普通方程為=1.因?yàn)榍€C2:2ρcosθ+=,故2ρcosθ·-sinθ·=.故曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x-y-=0.(2)注意到點(diǎn)P(,0)在曲線C2:x-y-=0上,故可設(shè)曲線C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),代入=1中,得t2+8t+24=0.設(shè)M,N對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則t1+t2=-8,t1t2=24,故t1,t2同號.故.8.解(1)由x=y得y=x,所以l的極坐標(biāo)方程為θ=(ρ∈R),由(x-2)2+(y+1)2=16得x2+y2-4x+2y-3=0,又因?yàn)?/span>x2+y2=ρ2,x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2-4ρcosθ+2ρsinθ-3=0.(2)將θ=代入得,ρ2-6ρ+ρ-3=0,即ρ2-5ρ-3=0,所以ρ1+ρ2=5,ρ1ρ2=-3,由極坐標(biāo)幾何意義得|AB|=|ρ1-ρ2|=.9.解(1)由(t為參數(shù)),消參數(shù)t化簡得曲線C2的普通方程為x-y=0.將x=ρcosθ,y=ρsinθ代入C2的普通方程,得ρcosθ-ρsinθ=0,化簡得tanθ=,即θ=,即得曲線C2的極坐標(biāo)方程為θ=(ρ∈R).(2)由已知,不妨設(shè)AρA,,BρB,,于是ρA=a1-sin=a1-,ρB=a1-sin=a1+,故|AB|=2a.10.解(1)如圖,C1:x2+y2-x=0,即+y2=是以C1為圓心,為半徑,且過原點(diǎn)的圓,設(shè)P(x,y)為過原點(diǎn)的直線與C1的交點(diǎn),連接PC1,由圓的對稱性,不妨設(shè)∠PC1x=α(0≤α<π),則由已知,以過原點(diǎn)的直線傾斜角為參數(shù),則0≤θ<π,而α=2θ,所以曲線C1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù),且0≤θ<π).(2)根據(jù)已知C1,C2的極坐標(biāo)方程分別為ρ1=cosα(ρ1>0),ρ2=2sinα(ρ2>0),故|AB|=|ρ1±ρ2|=|2sinα±cosα|=|sin(α±φ)|≤,其中tanφ=.故當(dāng)|sin(α±φ)|=1時,等號成立.綜上,|AB|的最大值為. 

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