專題4.4 立體幾何中最值問題-2020屆高考數(shù)學(xué)壓軸題講義(選填題)（解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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一．方法綜述
高考試題將趨于關(guān)注那些考查學(xué)生運(yùn)用運(yùn)動變化觀點(diǎn)處理問題的題目，而幾何問題中的最值與范圍類問題，既可以考查學(xué)生的空間想象能力，又考查運(yùn)用運(yùn)動變化觀點(diǎn)處理問題的能力，因此，將是有中等難度的考題．此類問題，可以充分考查圖形推理與代數(shù)推理，同時往往也需要將問題進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，比如求一些最值時，向平面幾何問題轉(zhuǎn)化，這些常規(guī)的降維操作需要備考時加強(qiáng)關(guān)注與訓(xùn)練．
立體幾何中的最值問題一般涉及到距離、面積、體積、角度等四個方面,此類問題多以規(guī)則幾何體為載體,涉及到幾何體的結(jié)構(gòu)特征以及空間線面關(guān)系的邏輯推理、空間角與距離的求解等,題目較為綜合,解決此類問題一般可從三個方面思考：一是函數(shù)法,即利用傳統(tǒng)方法或空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算,建立所求的目標(biāo)函數(shù),轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解；二是根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，變動態(tài)為靜態(tài)，直觀判斷在什么情況下取得最值；三是將幾何體平面化，如利用展開圖，在平面幾何圖中直觀求解.
二．解題策略
類型一距離最值問題
【例1】【河南省焦作市2019屆高三三?！吭诶忾L為4的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)E、F分別在棱AA1和AB上，且C1E⊥EF，則|AF|的最大值為（　?。?br />
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【解析】
以AB，AD，AA1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則C1（4，4，4），設(shè)E（0，0，z），z∈[0，4]，F(xiàn)（x，0，0），x∈[0，4]，則|AF|＝x．＝（4，4，4﹣z），＝（x，0，﹣z）．因為C1E⊥EF，所以，即：z2+4x﹣4z＝0，x＝z﹣．
當(dāng)z＝2時，x取得最大值為1．|AF|的最大值為1．
故選：B．

【指點(diǎn)迷津】建立空間直角坐標(biāo)系，求出坐標(biāo)，利用C1E⊥EF，求出|AF|滿足的關(guān)系式，然后求出最大值即可．利用向量法得到|AF|的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵，故選D.
【舉一反三】
1、【江西省吉安市2019屆高三上學(xué)期期末】若某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的最長棱的棱長為　　

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
解：根據(jù)三視圖知，該幾何體是一個正四棱錐，畫出圖形如圖所示；

則，，底面CDEB，
結(jié)合圖形中的數(shù)據(jù)，求得，
在中，由勾股定理得，
同理求得，
．故選：A．
2、【河南省頂級名校2019屆高三第四次聯(lián)合測評】在側(cè)棱長為的正三棱錐中，側(cè)棱OA，OB，OC兩兩垂直，現(xiàn)有一小球P在該幾何體內(nèi)，則小球P最大的半徑為
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】

當(dāng)小球與三個側(cè)面，，及底面都相切時，小球的體積最大
此時小球的半徑最大，即該小球為正三棱錐的內(nèi)切球
設(shè)其半徑為

由題可知
因此

本題正確選項：
3、如右圖所示，在棱長為2的正方體中，為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)分別為面和線段上的動點(diǎn)，則周長的最小值為_______．

【答案】
【解析】將面與面折成一個平面，設(shè)E關(guān)于的對稱點(diǎn)為M，E關(guān)于對稱點(diǎn)為N,則周長的最小值為.
類型二面積的最值問題
【例2】【河南省鄭州市2019年高三第二次質(zhì)量檢測】在長方體中，，，分別是棱的中點(diǎn)，是底面內(nèi)一動點(diǎn)，若直線與平面沒有公共點(diǎn)，則三角形面積的最小值為（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
補(bǔ)全截面EFG為截面EFGHQR如圖，

其中H、Q、R分別為、的中點(diǎn)，易證平面ACD1∥平面EFGHQR，
∵直線D1P與平面EFG不存在公共點(diǎn)，
∴D1P∥面ACD1，∴D1P面ACD1，
∴P∈AC，∴過P作AC的垂線，垂足為K，則BK=,此時BP最短，
△PBB1的面積最小，
∴三角形面積的最小值為，
故選：C．
【指點(diǎn)迷津】截面問題，往往涉及線面平行，面面平行定義的應(yīng)用等，考查空間想象能力、邏輯思維能力及計算求解能力.解題的關(guān)鍵是注意明確截面形狀，確定幾何量.本題由直線與平面沒有公共點(diǎn)可知線面平行，補(bǔ)全所給截面后，易得兩個平行截面，從而確定點(diǎn)P所在線段，得解．
【舉一反三】
1、【湖南省衡陽市2019屆高三二模】如圖，直角三角形，，，將繞邊旋轉(zhuǎn)至位置，若二面角的大小為，則四面體的外接球的表面積的最小值為（）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如圖，，，分別為，，的中點(diǎn)，作面，作面，連，，易知點(diǎn)即為四面體的外接球心，，，.設(shè)，，則，，，.

【處理一】
消元化為二次函數(shù)..
【處理二】
柯西不等式..所以.
2、如圖，在正四棱柱中，，點(diǎn)是平面內(nèi)的一個動點(diǎn)，則三棱錐的正視圖與俯視圖的面積之比的最大值為（）

A．1 B．2 C ． D．
【答案】B
的正視圖與俯視圖的面積之比的最大值為2；故選B．
3、【福建省2019屆高三模擬】若某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的所有側(cè)面和底面中，面積的最大值為（）

A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【解析】
由三視圖可得，該幾何體的直觀圖如圖所示，其中，為的中點(diǎn)，平面，，.
所以，，.
又因為，，
所以，故，
所以.故選C.

類型三體積的最值問題
【例3】如圖，已知平面平面，，、是直線上的兩點(diǎn)，、是平面內(nèi)的兩點(diǎn)，且，，，，，是平面上的一動點(diǎn)，且有，則四棱錐體積的最大值是（）

A. B. C. D.
【答案】A
【指點(diǎn)迷津】本題主要考查面面垂直的性質(zhì)，棱錐的體積公式以及求最值問題. 求最值的常見方法有①配方法：若函數(shù)為一元二次函數(shù)，常采用配方法求函數(shù)求值域，其關(guān)鍵在于正確化成完全平方式，并且一定要先確定其定義域；②換元法；③不等式法；④單調(diào)性法；⑤圖像法，本題首先根據(jù)線面關(guān)系將體積最值轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題，然后應(yīng)用方法①解答的.
【舉一反三】
1、已知與是四面體中相互垂直的棱，若，且，則四面體的體積的最大值是
A. B. C. D.
【答案】A

2、如圖，已知平面，、是上的兩個點(diǎn)，、在平面內(nèi)，且，，在平面上有一個動點(diǎn)，使得，則體積的最大值是（）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】.和均為直角三角形．∽..學(xué)科&網(wǎng)
過作,垂足為.則.令,.
則,即,.
底面四邊形為直角梯形面積為.學(xué)科&網(wǎng)
.故C正確.
3.【河南省八市重點(diǎn)高中聯(lián)盟“領(lǐng)軍考試”2019屆高三第三次測評】已知一個高為l的三棱錐，各側(cè)棱長都相等，底面是邊長為2的等邊三角形，內(nèi)有一個體積為的球，則的最大值為（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
依題意，當(dāng)球與三棱錐的四個面都相切時，球的體積最大，
該三棱錐側(cè)面的斜高為，
，
，
所以三棱錐的表面積為，
設(shè)三棱錐的內(nèi)切球半徑為，
則三棱錐的體積，
所以，所以，
所以，
故選A.
類型四角的最值問題
【例4】如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動點(diǎn)M在線段PQ上，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn).設(shè)異面直線EM與AF所成的角為，則的最大值為.

【答案】
【解析】建立坐標(biāo)系如圖所示.設(shè)，則.設(shè)，則，由于異面直線所成角的范圍為，所以.，令，則，當(dāng)時取等號.所以，當(dāng)時，取得最大值.

【指點(diǎn)迷津】空間的角的問題，只要便于建立坐標(biāo)系均可建立坐標(biāo)系，然后利用公式求解.解本題要注意，空間兩直線所成的角是不超過90度的.幾何問題還可結(jié)合圖形分析何時取得最大值.當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)P處時，EM與AF所成角為直角，此時余弦值為0（最?。?，當(dāng)點(diǎn)M向左移動時，.EM與AF所成角逐漸變小，點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)Q時，角最小，余弦值最大.
【舉一反三】
1、矩形ABCD中，，，將△ABC與△ADC沿AC所在的直線進(jìn)行隨意翻折，在翻折過程中直線AD與直線BC成的角范圍（包含初始狀態(tài)）為（）

A. B. C. D.
【答案】C
2、在正方體中，是中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，直線與平面所成的角為，則的取值范圍是（）
A． B． C． D．
【答案】A
3.【云南省昆明市云南師范大學(xué)附屬中學(xué)2019屆高三上學(xué)期第四次月考】如圖，在正方體中，點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為上的動點(diǎn)，給出下列說法：

可能與平面平行；
與BC所成的最大角為；
與PQ一定垂直；
與所成的最大角的正切值為；
．
其中正確的有______寫出所有正確命題的序號
【答案】
【解析】
解：由在棱長為1的正方體中點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為上的動點(diǎn)，知：
在中，當(dāng)Q為的中點(diǎn)時，，由線面平行的判定定理可得PQ與平面平行，故正確；
在中，當(dāng)Q為的中點(diǎn)時，，，，可得，故錯誤；
在中，由，可得平面，即有，故正確；
在中，如圖，點(diǎn)M為中點(diǎn)，PQ與所成的角即為PQ與所成的角，當(dāng)Q與，或重合時，PQ與所成的角最大，其正切值為，故正確；

在中，當(dāng)Q為的中點(diǎn)時，PQ的長取得最小值，且長為，故正確．
故答案為：．
4、在正四面體中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一動點(diǎn)，且，設(shè)異面直線與所成角為，當(dāng)時，則的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】

設(shè)P到平面ABC的射影為點(diǎn)O,取BC中點(diǎn)D,
以O(shè)為原點(diǎn)，在平面ABC中，以過O作DB的平行線為x軸，以O(shè)D為y軸，以O(shè)P為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
設(shè)正四面體P?ABC的棱長為，
則，
由,得，∴，
∵異面直線NM與AC所成角為α, ，∴，設(shè)，則∴，
∵，∴.∴cosα的取值范圍是.
三．強(qiáng)化訓(xùn)練
一、選擇題
1、【甘肅省2019屆高三第一次高考診斷】四棱錐的頂點(diǎn)均在一個半徑為3的球面上，若正方形的邊長為4，則四棱錐的體積最大值為（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
設(shè)正方形的中心為，當(dāng)在于球心的連線上時，四棱錐高最高，由于底面面積固定，則高最高時，四棱錐體積取得最大值.設(shè)高為，，球的半徑為，故，解得.故四棱錐的體積的最大值為.故選D.
2．【廣東省東莞市2019屆高三第二次調(diào)研】已知一個四棱錐的正主視圖和俯視圖如圖所示，其中，則該四棱錐的高的最大值為　　

A． B． C．4 D．2
【答案】A
【解析】
解：如圖所示，

由題意知，平面平面ABCD，設(shè)點(diǎn)P到AD的距離為x，
當(dāng)x最大時，四棱錐的高最大，
因為，
所以點(diǎn)P的軌跡為一個橢圓，
由橢圓的性質(zhì)得，當(dāng)時，x取得最大值，
即該四棱錐的高的最大值為．
故選：A．
3．【四川省教考聯(lián)盟2019屆高三第三次診斷】已知四棱錐的底面四邊形的外接圓半徑為3，且此外接圓圓心到點(diǎn)距離為2，則此四棱錐體積的最大值為（）
A．12 B．6 C．32 D．24
【答案】A
【解析】
由錐體的體積公式v=，可知，當(dāng)s和h都最大時，體積最大.
由題得頂點(diǎn)P到底面ABCD的距離h≤2.當(dāng)點(diǎn)P在底面上的射影恰好為圓心O時，即PO⊥底面ABCD時，PO最大=2，即
,
此時,
即四邊形ABCD為圓內(nèi)接正方形時，四邊形ABCD的面積最大，
所以此時四邊形ABCD的面積的最大值=,
所以.
故選：A
4．【安徽省蚌埠市2019屆高三第一次檢查】某三棱錐的三視圖如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，三棱錐表面上的點(diǎn)M在俯視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為A，三棱錐表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為B，則線段MN的長度的最大值為　　

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】

由三視圖可知，該三棱錐的底面是直角三角形，
一條側(cè)棱與底面垂直（平面），
為幾何體的直觀圖如圖，在上，重合，
當(dāng)與重合時，
線段的長度的最大值為．
故選D．
5．如圖，在矩形中， ,點(diǎn)為的中點(diǎn)，為線段（端點(diǎn)除外）上一動點(diǎn)現(xiàn)將沿折起，使得平面平面設(shè)直線與平面所成角為，則的最大值為（）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】

如圖：在矩形中，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，
交于點(diǎn)設(shè)，

6．【2019年4月2019屆高三第二次全國大聯(lián)考】已知正四面體的表面積為，點(diǎn)在內(nèi)（不含邊界）. 若，且，則實數(shù)的取值范圍為（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
設(shè)正四面體的棱長為
則，解得
則正四面體的高為
記點(diǎn)到平面、、的距離分別為
則
因為，所以，則
故
又，故
即實數(shù)的取值范圍為
本題正確選項：
二、填空題
7．【山東省青島市2019屆高三3月一?！吭谒睦忮F中，底面是邊長為2的正方形，面，且，若在這個四棱錐內(nèi)有一個球，則此球的最大表面積為__________．
【答案】
【解析】
在這個四棱錐內(nèi)有一個球，則此球的最大表面積時，對應(yīng)的球應(yīng)該是內(nèi)切球，此時球的半徑最大，設(shè)內(nèi)切球的球心為O半徑為R，連接球心和ABCD四個點(diǎn)，構(gòu)成五個小棱錐，根據(jù)體積分割得到，五個小棱錐的體積之和即為大棱錐的體積，，根據(jù)AB垂直于AD，PD垂直于AB可得到AB垂直于面PDA，故得到AB垂直于PA，同理得到BC垂直于PC，表面積為：，
此時球的表面積為： .
故答案為：.
8．【陜西省西安地區(qū)陜師大附中、西安高級中學(xué)、高新一中、鐵一中學(xué)、西工大附中等八校2019屆高三3月聯(lián)考】如圖，已知正四棱柱和半徑為的半球O，底面ABCD在半球O底面所在平面上，，，，四點(diǎn)均在球面上，則該正四棱柱的體積的最大值為______．

【答案】4
【解析】
設(shè)正四棱柱的高為h，底面棱長為a，則正四棱柱的底面外接圓直徑為，所以，．
由勾股定理得，即，得，其中，
所以，正四棱柱的體積為，其中，
構(gòu)造函數(shù)，其中，則，令，得．
當(dāng)時，；當(dāng)時，．
所以，函數(shù)在處取得極大值，亦即最大值，則．
因此，該正四棱柱的體積的最大值為4．
9．【陜西省西安地區(qū)陜師大附中、西安高級中學(xué)、高新一中、鐵一中學(xué)、西工大附中等八校2019屆高三3月聯(lián)考】如圖，已知圓柱和半徑為的半球O，圓柱的下底面在半球O底面所在平面上，圓柱的上底面內(nèi)接于球O，則該圓柱的體積的最大值為_____．

【答案】2π
【解析】
解：設(shè)圓柱的底面圓半徑為r，高為h；

則h2+r2＝R2＝3；
所以圓柱的體積為V＝πr2h＝π（3﹣h2）h＝π（3h﹣h3）；
則V′（h）＝π（3﹣3h2），
令V′（h）＝0，解得h＝1；
所以h∈（0，1）時，V′（h）＞0，V（h）單調(diào)遞增；
h∈（1，）時，V′（h）＜0，V（h）單調(diào)遞減；
所以h＝1時，V（h）取得最大值為V（1）＝2π．
故答案為：2π．
10．【江西省上饒市2019屆高三二?！恳粋€棱長為的正方體形狀的鐵盒內(nèi)放置一個正四面體，且能使該正四面體在鐵盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則該正四面體的體積的最大值是_____.
【答案】
【解析】
由題該正四面體在鐵盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，故其能在正方體的內(nèi)切球內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，內(nèi)切球半徑為6，設(shè)正四面體棱長為a, 將此正四面體鑲嵌在棱長為x的正方體內(nèi)，如圖所示：則x=，外接球的球心和正方體體心O重合，∴外接球的球半徑為：=6,a=4又正四面體的高為∴該正四面體的體積為
故答案為

11．【河北省衡水市第二中學(xué)2019屆高三上期中】已知體積為的正四棱錐外接球的球心為，其中在四棱錐內(nèi)部.設(shè)球的半徑為，球心到底面的距離為.過的中點(diǎn)作球的截面，則所得截面圓面積的最小值是___________.
【答案】
【解析】
如圖取底面的中心為，

連接平面，且球心在上，
由條件知，，連接，，
則，
于是底面的邊長為.
又，故四棱錐的高是，
所以，即，
從而，，于是，
過的中點(diǎn)的最小截面圓是以點(diǎn)為圓心的截面圓，
該截面圓的半徑是，
故所求面積為.
12．【江西省臨川第一中學(xué)等九校2019屆高三3月聯(lián)考】如圖所示，三棱錐的頂點(diǎn)，，，都在同一球面上，過球心且，是邊長為2等邊三角形，點(diǎn)、分別為線段，上的動點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且，則三棱錐體積的最大值為__________．

【答案】
【解析】
過球心，
又是邊長為的等邊三角形，
，
,三角形是等腰直角三角形，
，
，
又因為,在平面內(nèi)，
由線面垂直的判定定理可得平面 ,
即平面，
設(shè)，
，
則三棱錐體積
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故答案為.
13．【安徽省蚌埠市2019屆高三下學(xué)期第二次檢查】正三棱錐中，，點(diǎn)在棱上，且.正三棱錐的外接球為球，過點(diǎn)作球的截面，截球所得截面面積的最小值為__________．
【答案】
【解析】
因為，所以，
所以，同理，
故可把正三棱錐補(bǔ)成正方體（如圖所示），其外接球即為球，直徑為正方體的體對角線，故，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，
則且，所以，
當(dāng)平面時，平面截球的截面面積最小，
此時截面為圓面，其半徑為，故截面的面積為．填．

14．【江西師范大學(xué)附屬中學(xué)2019高三上學(xué)期期末】若一個四棱錐的底面為正方形，頂點(diǎn)在底面的射影為正方形的中心，且該四棱錐的體積為9，當(dāng)其外接球的體積最小時，它的高為_________．
【答案】
【解析】
設(shè)四棱錐底面邊長為a，高為h，底面對角線交于O，由條件四棱錐P-ABCD為正四棱錐，其外接球的球心M在高PO上，設(shè)外接球半徑為R，在直角三角形MAO中
，，又該四棱錐的體積為9，所以
所以，，，時，時，
所以時R極小即R最小，此時體積最小.
故答案為3.
15．【江西省上饒市2019屆高三二?！恳阎襟w的棱長為，平面與對角線垂直且與每個面均有交點(diǎn)，若截此正方體所得的截面面積為，周長為，則的最大值為______.
【答案】
【解析】
因為平面與對角線垂直，所以平面與對角面平行，作出圖象，為六邊形,設(shè)則,所以，由對稱性得平面過對角線中點(diǎn)時截面面積取最大值為，則的最大值為.

16．【河南省洛陽市2019屆高三第二次統(tǒng)考】正四面體中，是的中點(diǎn)，是棱上一動點(diǎn)，的最小值為，則該四面體內(nèi)切球的體積為_____.
【答案】
【解析】
如下圖，正方體中作出一個正四面體

將正三角形和正三角形沿邊展開后使它們在同一平面內(nèi)，如下圖：

要使得最小，則三點(diǎn)共線，即：，
設(shè)正四面體的邊長為，在三角形中，由余弦定理可得：
，解得：，
所以正方體的邊長為2，正四面體的體積為：，
設(shè)四正面體內(nèi)切球的半徑為，由等體積法可得：，
整理得：，解得：，
所以該四面體內(nèi)切球的體積為.
17．【2019屆湘贛十四校高三聯(lián)考第二次考試】如圖，正三棱錐的高，底面邊長為4，，分別在和上，且，當(dāng)三棱錐體積最大時，三棱錐的內(nèi)切球的半徑為________．

【答案】
【解析】
設(shè)，
，
當(dāng)時，取得最大值，此時為中點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)，且，，所以可求，，因此易求，，，，又∵ ，∴.

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